數(shù)學(xué)課后導(dǎo)練：直角坐標(biāo)系平面上的伸縮變換

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精課后導(dǎo)練基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)1。在同一平面直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過伸縮變換后，曲線C變?yōu)榍€2x′2+8y′2=1,則曲線C的方程為（)A。50x2+72y2=1B。9x2+100y2=1C.25x2+36y2=1D。x2+y2=1答案：A2.將曲線x2+y2=1伸縮變換為=1的伸縮變換公式為（）A.B。C。D.答案：A3.在平面直角坐標(biāo)系中，求下列方程所對(duì)應(yīng)的圖形經(jīng)過伸縮變換后的圖形。(1)5x+2y=0;(2)x2+y2=1。解:（1）由伸縮變換得①①代入5x+2y=0得10x′+6y′=0,經(jīng)伸縮變換后仍為直線。（2）將①代入x2+y2=1中得=1，圓變成橢圓.4.在同一平面直角坐標(biāo)系中，將曲線x2-36y2—8x+12=0變成曲線x′2-y′2-4x′+3=0，求滿足圖象變換的伸縮變換.解：設(shè)伸縮變換為將其代入方程x′2—y′2-4x′+3=0得λ2x2-μ2y2—4λx+3=0與x2—36y2-8x+12=0比較系數(shù)得，∴λ=,μ=3.∴變換為x′=x,y′=3y。5.△ABC中,若BC的長(zhǎng)為4，中線AD的長(zhǎng)為3，則點(diǎn)A的軌跡方程是_____________。答案：x2+y2=9（y≠0）6。在氣象臺(tái)A正西方向300千米處有一臺(tái)風(fēng)中心,它以每小時(shí)40千米的速度向東北方向移動(dòng),距臺(tái)風(fēng)中心250千米以內(nèi)的地方都要受其影響.問：從現(xiàn)在起，大約多長(zhǎng)時(shí)間后，氣象臺(tái)A所在地將遭受臺(tái)風(fēng)影響持續(xù)多長(zhǎng)時(shí)間?解：如圖所示,以氣象臺(tái)為坐標(biāo)原點(diǎn),正東方向?yàn)閤軸正方向，建立直角坐標(biāo)系。則現(xiàn)在臺(tái)風(fēng)中心B的坐標(biāo)為（—300，0）.根據(jù)題意，可知，t小時(shí)后，B1的坐標(biāo)為（—300+40tcos45°,40tsin45°），即（—300+20t,20t),因?yàn)橐耘_(tái)風(fēng)中心為圓心，以250千米為半徑的圓上或圓內(nèi)的點(diǎn)將遭受臺(tái)風(fēng)影響，所以B1在圓上或圓內(nèi)時(shí)，氣象臺(tái)將受臺(tái)風(fēng)影響。所以令|AB1|≤250，即（-300+20t）2+(20t）2≤2502,整理得16t2-120t+275≤0.解得≤t≤,1.99≤t≤8。61。故大約2小時(shí)后,氣象臺(tái)A所在地將遭受臺(tái)風(fēng)影響，大約持續(xù)6個(gè)半小時(shí).7.如右圖,已知A、B、C是直線m上的三點(diǎn),且|AB|=|BC｜=6，⊙O′切直線m于點(diǎn)A，又過B、C作⊙O′異于m的兩切線,切點(diǎn)分別為D、E，設(shè)兩切線交于點(diǎn)P，（1）求點(diǎn)P的軌跡方程;（2）經(jīng)過點(diǎn)C的直線l與點(diǎn)P的軌跡交于M、N兩點(diǎn),且點(diǎn)C分所成的比等于2∶3，求直線l的方程.分析:先根據(jù)圓切線的定義,可得到點(diǎn)P的軌跡是橢圓,然后建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系求出點(diǎn)P的軌跡方程來;根據(jù)定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式,找出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)來，列出方程組求出點(diǎn)M、N的坐標(biāo)，從而求出直線方程。解：（1）∵|PE｜=｜PD｜,|BD｜=|BA｜，｜CE|=|CA｜，∴｜PB|+|PC｜=|PD｜+|DB|+｜CE|-|PE|=｜BD|+|CE｜=｜AB|+｜CA｜=18＞6=|BC｜,∴P點(diǎn)軌跡是以B、C為焦點(diǎn),長(zhǎng)軸長(zhǎng)等于18的橢圓。以B、C兩點(diǎn)所在直線為x軸，線段BC的垂直平分線為y軸建立直角坐標(biāo)系，則可設(shè)橢圓的方程是+=1（a＞b＞0）。（2)略.綜合運(yùn)用8.學(xué)?？萍夹〗M在計(jì)算機(jī)上模擬航天器變軌返回試驗(yàn).設(shè)計(jì)方案如下圖:航天器運(yùn)行（按順時(shí)針方向)的軌跡方程為+=1，變軌(即航天器運(yùn)行軌跡由橢圓變?yōu)閽佄锞€)后返回的軌跡是以y軸為對(duì)稱軸、M(0,）為頂點(diǎn)的拋物線的實(shí)線部分,降落點(diǎn)為D（8,0)。觀測(cè)點(diǎn)A（4，0）、B（6，0）同時(shí)跟蹤航天器.（1）求航天器變軌后的運(yùn)行軌跡所在的曲線方程；（2）試問:當(dāng)航天器在x軸上方時(shí),觀測(cè)點(diǎn)A、B測(cè)得離航天器的距離分別為多少時(shí),應(yīng)向航天器發(fā)出變軌指令？分析：本題是有關(guān)橢圓與雙曲線的實(shí)際應(yīng)用問題，所求的拋物線方程不是標(biāo)準(zhǔn)方程的形式，可以將其視為對(duì)應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)方程的拋物線進(jìn)行一定的平移后所得到，從而將問題解決;有關(guān)求曲線的交點(diǎn)問題通常是解它們的方程所組成的方程組，從而求解。解：(1)設(shè)曲線方程為y=ax2+,由題意可知0=a·64+,即a=?！嗲€方程為y=。(2）設(shè)變軌點(diǎn)為C(x,y),根據(jù)題意可知得4y2-7y-36=0，y=4或y=(不合題意，舍去）.∴y=4，得x=6或x=-6(不合題意,舍去)，∴C點(diǎn)的坐標(biāo)為(6，4),｜AC|=，|BC|=4。答：當(dāng)觀測(cè)點(diǎn)A、B測(cè)得AC、BC距離分別為、4時(shí)，應(yīng)向航天器發(fā)出變軌指令.9。(2006江蘇高考,4)為了得到函數(shù)y=2sin(+),x∈R的圖象,只需把函數(shù)y=2sinx，x∈R的圖象上所有的點(diǎn)（)A。向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍（縱坐標(biāo)不變)B.向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍（縱坐標(biāo)不變）C。向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的3倍(縱坐標(biāo)不變）D。向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的3倍(縱坐標(biāo)不變)答案：C拓展探究10。在平面直角坐標(biāo)系xOy中，有一個(gè)以F1(0，—)和F2（0，）為焦點(diǎn)、離心率為的橢圓.設(shè)橢圓在第一象限的部分為曲線C，動(dòng)點(diǎn)P在C上，C在點(diǎn)P處的切線與x、y軸的交點(diǎn)分別為A、B，且向量。求：（1)點(diǎn)M的軌跡方程；（2）||的最小值.解：（1)橢圓方程可寫為=1，式中a＞b＞0，且得a2=4，b2=1，所以曲線C的方程為x2+=1(x＞0,y＞0).y=（0＜x＜1),y′=。設(shè)P（x0，y0），因P在C上,有0＜x0＜1,y0=,y′|=，得切線AB的方程為y=(x—x0）+y0.設(shè)A(x,0）和B（0，y）,由切