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PAGE1第24講數(shù)列的概念（9類核心考點精講精練）1.5年真題考點分布5年考情考題示例考點分析2024年天津卷，第19題,15分由遞推數(shù)列研究數(shù)列的有關性質(zhì)等比數(shù)列通項公式的基本量計算求等比數(shù)列前n項和裂項相消法求前n項和2023年天津卷，第19題,15分等差數(shù)列與等比數(shù)列綜合應用等差數(shù)列通項公式的基本量計算求等差數(shù)列前n項和寫出等比數(shù)列的通項公式2023年天津卷，第5題,5等比數(shù)列通項公式的基本量計算利用等比數(shù)列的通項公式求數(shù)列中的項2022年天津卷，第18題,15分等差數(shù)列通項公式的基本量計算等比數(shù)列通項公式的基本量計算錯位相減法求和分組(并項)法求和2021年天津卷，第19題,15分等差數(shù)列前n項和的基本量計算由定義判定等比數(shù)列錯位相減法求和數(shù)列不等式恒成立問題2020年天津卷，第19題,15分等差數(shù)列通項公式的基本量計算求等差數(shù)列前n項和等比數(shù)列通項公式的基本量計算分組(并項)法求和2.命題規(guī)律及備考策略【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是天津高考卷的必考內(nèi)容，設題穩(wěn)定，難度較高，分值為15分【備考策略】1.理解、掌握數(shù)列的概念2.能掌握數(shù)列的通項公式與遞推公式3.具備數(shù)形類比遞推的思想意識，會借助函數(shù)求解數(shù)列的最值與單調(diào)性4.會解數(shù)列中的規(guī)律問題【命題預測】本節(jié)內(nèi)容是天津高考卷的必考內(nèi)容，一般給出數(shù)列求解數(shù)列的通項公式與求和問題。知識講解知識點一．數(shù)列的有關概念1.數(shù)列：按照確定的順序排列的一列數(shù)2.數(shù)列的項：數(shù)列中的每一個數(shù)3.通項公式：如果數(shù)列{an}的第n項an4.遞推公式：如果一個數(shù)列的相鄰兩項或多項之間的關系可以用一個式子來表示，那么這個式子叫做這個數(shù)列的遞推公式5.數(shù)列{an}的前n項和：把數(shù)列{an}從第1項起到第n項止的各項之和，稱為數(shù)列{an}的前n項和，記作Sn，即知識點二.數(shù)列的分類1.項數(shù)：（1）有窮數(shù)列：項數(shù)有限（2）無窮數(shù)列：項數(shù)無限2.項與項間的大小關系：（1）遞增數(shù)列：an＋1>an（2）遞減數(shù)列：an＋1<an（3）常數(shù)列：an＋1＝an（4）擺動數(shù)列：從第二項起，有些項大于它的前一項，有些項小于它的前一項的數(shù)列（其中n∈N*）知識點三.數(shù)列與函數(shù)的關系數(shù)列{an}是從正整數(shù)集N*(或它的有限子集{1,2，…，n})到實數(shù)集R的函數(shù)，其自變量是序號n，對應的函數(shù)值是數(shù)列的第n項an，記為an＝f(n)．知識點四.數(shù)列常用的結(jié)論1．已知數(shù)列{an}的前n項和Sn，則a2．在數(shù)列{an}中，若an最大，則an≥an?1an≥an+1(n≥2，n∈N*)；若an最小，則知識點五.數(shù)列的兩種常用表示方法（1）通項公式：如果數(shù)列的第項與序號之間的關系可以用一個式子來表示，那么這個公式叫做這個數(shù)列的通項公式．（2）遞推公式：如果已知數(shù)列的第1項（或前幾項），且從第二項（或某一項）開始的任一項與它的前一項（或前幾項）間的關系可以用一個公式來表示，那么這個公式就叫做這個數(shù)列的遞推公式．考點一、數(shù)列的周期性1.（·湖南·高考真題）已知數(shù)列an滿足a1=0，aA．0 B．?C．3 D．32.（2024·陜西安康·模擬預測）在數(shù)列an中，an>0,a1A．2 B．1 C．3 D．51.（2024·河北·模擬預測）已知首項為2的數(shù)列an滿足4an+1?5an+1an?2A．40 B．41 C．42 D．432.（2024·山東濟寧·三模）已知數(shù)列an中，a1=2A．?2 B．?1 C．1 D．23.（2024·陜西榆林·三模）現(xiàn)有甲乙丙丁戊五位同學進行循環(huán)報數(shù)游戲，從甲開始依次進行，當甲報出1，乙報出2后，之后每個人報出的數(shù)都是前兩位同學所報數(shù)的乘積的個位數(shù)字，則第2024個被報出的數(shù)應該為（

）A．2 B．4 C．6 D．84.（2024·遼寧·模擬預測）數(shù)列an中，a1=4，a2=3A．14 B．34 C．3 考點二、數(shù)列的單調(diào)性1.（2024·貴州·模擬預測）已知數(shù)列an滿足an=A．k<0 B．k<1 C．k>0 D．k>12.（2024·天津南開·二模）設數(shù)列an的通項公式為an=A．?3,+∞ B．?2,+∞ C．?2,+∞1.（2024·北京西城·三模）對于無窮數(shù)列{an}，定義dn=an+1A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件2.（2024·江西·模擬預測）已知數(shù)列an滿足an=n?aa∈R，則“A．必要不充分條件 B．充分不必要條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件3.（2024·四川雅安·模擬預測）已知數(shù)列an滿足an+2=3an+1?2an，a14.（2024·河南信陽·模擬預測）在數(shù)列an中，a1=(1)記bn=a(2)記Sn為an的前n項和，若Sn考點三、數(shù)列的最值1.（2020·北京·高考真題）在等差數(shù)列an中，a1=?9，a5=?1A．有最大項，有最小項 B．有最大項，無最小項C．無最大項，有最小項 D．無最大項，無最小項2.（·遼寧·高考真題）已知數(shù)列an滿足a1=33,1.（24-25高三上·江蘇南通·階段練習）在遞增數(shù)列an中，a1=π6，sinanA．12 B．32 C．?12.（24-25高三上·山西大同·期末）等比數(shù)列an中，Sn為其前n項和，a1=1，且A．12 B．49 C．163.（2024·山東濟南·二模）已知an是各項均為正整數(shù)的遞增數(shù)列，an前n項和為Sn，若Sn=2024A．63 B．64 C．71 D．724.（2024·天津和平·二模）已知數(shù)列an滿足12a1+122a2+?+12nan=nn∈考點四、an與S1.（2024·山東濟南·三模）若數(shù)列an的前n項和Sn=n(n+1)A．10 B．11 C．12 D．132.（2024·貴州遵義·二模）已知數(shù)列an的前n項和Sn=A．16 B．17 C．18 D．191.（2024·內(nèi)蒙古呼和浩特·二模）數(shù)列an的前n項和為Sn=3?2A．1681 B．21181 C．8272.（2024高三·全國·專題練習）已知數(shù)列an的前n項和為Sn，an+1=Sn3.（2024高三·全國·專題練習）在數(shù)列an中，a1=13，前n項和S4.（2024高三·全國·專題練習）已知數(shù)列an的前n項和為Sn，若Sn=考點五、累加法求通項公式1.（2024·重慶·三模）已知數(shù)列an的前n項和為SA．276 B．272 C．268 D．2662.（2024·河北保定·三模）設bn是公差為3的等差數(shù)列，且bn=an+1A．21 B．25 C．27 D．311.（2024·陜西咸陽·三模）在數(shù)列an中，a1=1，aA．43 B．46 C．37 D．362.（2024·湖南衡陽·模擬預測）已知數(shù)列an滿足：a1=1，an=an?1A．Sn=nn+1 B．Sn=3.（2024·全國·模擬預測）已知數(shù)列an滿足a1=3,a2=15，且an+2A．2016 B．2017 C．4032 D．40344.（2024·廣東深圳·模擬預測）已知數(shù)列an的前n項和為Sn，且Sn=n2+3n，若首項為1A．10122023 B．20252024 C．20232024考點六、累乘法求通項公式1.（2024·西藏·模擬預測）已知數(shù)列an對任意k∈N*滿足aA．21012 B．21013 C．220242.（2024·全國·模擬預測）已知數(shù)列an滿足an+1an=A．28 B．220 C．2251.（2024高三下·全國·專題練習）在數(shù)列an中，a1=13，前nA．12n?12n+1 B．3n?22n+1 C．2?2.（23-24高三上·河南·期中）在數(shù)列an中，an>0，a1=1A．414 B．15 C．223 3.（2024·四川瀘州·三模）已知Sn是數(shù)列an的前n項和，a1=1，n4.（2024高三下·全國·專題練習）已知數(shù)列{an}中，3.（2024·全國·模擬預測）已知數(shù)列an的前n項和為Sn，2an+1=3SnA．?3,2 B．?3,2 C．?3,2 D．?3,24.（23-24高三下·安徽·階段練習）已知數(shù)列an的前n項和為Sn，數(shù)列bn的前n項和為Tn，且an+1A．1 B．32 C．76考點八、遞推數(shù)列問題1.（2025·廣東·一模）斐波那契數(shù)列因數(shù)學家斐波那契以兔子繁殖為例而引入，又稱“兔子數(shù)列”.這一數(shù)列如下定義：設an為斐波那契數(shù)列，a1=1,a2=1,an=A．5 B．6 C．7 D．82.（24-25高三上·江蘇南通·階段練習）已知數(shù)列an的前n項和為Sn，滿足an+1A．a(chǎn)3a4和a5a6 B．a(chǎn)4a5和a61.（2024·湖北襄陽·模擬預測）已知函數(shù)fx=3x?13x+1，數(shù)列anA．1 B．2 C．3 D．42.（2024·安徽馬鞍山·模擬預測）數(shù)列{an}共有9項，且a1=1?，A．28個 B．36個 C．45個 D．56個4.（2024·四川樂山·三模）峨眉山是一個著名的旅游和朝圣地，以其壯麗的自然風光和宗教文化遺址而聞名．其中“九十九道拐”景點約有2000級臺階，某游客一次上1個或2個臺階，設爬上第n個臺階的方法數(shù)為an①a5=8；②3an+1=an?1其中所有正確結(jié)論的序號是．考點九、數(shù)列中的規(guī)律1.（24-25高三上·湖南長沙·階段練習）一只蜜蜂從蜂房A出發(fā)向右爬，每次只能爬向右側(cè)相鄰的兩個蜂房（如圖），例如：從蜂房A只能爬到1號或2號蜂房，從1號蜂房只能爬到2號或3號蜂房，…，以此類推，用an表示蜜蜂爬到n號蜂房的方法數(shù)，則aA．10 B．55 C．89 D．992.（24-25高三上·廣東深圳·開學考試）三名籃球運動員甲、乙、丙進行傳球訓練（不能傳給自己），由丙開始傳，經(jīng)過5次傳遞后，球又被傳回給丙，則不同的傳球方式共有（

）A．6種 B．10種 C．11種 D．12種1.（2024·四川·模擬預測）南宋數(shù)學家楊輝的重要著作《詳解九章算法》中的“垛積術(shù)”問題介紹了高階等差數(shù)列．以高階等差數(shù)列中的二階等差數(shù)列為例，其特點是從數(shù)列中的第二項開始，每一項與前一項的差構(gòu)成等差數(shù)列．若某個二階等差數(shù)列的前4項為1,4,8,13，則該數(shù)列的第18項為（

）A．188 B．208 C．229 D．2512.（2024·遼寧·二模）大衍數(shù)列，來源于《乾坤譜》中對易傳“大衍之數(shù)五十”的推論，主要用于解釋中國傳統(tǒng)文化中的太極衍生原理，數(shù)列中的每一項，都代表太極衍生過程中，曾經(jīng)經(jīng)歷過的兩儀數(shù)量總和，是中國傳統(tǒng)文化中隱藏著的世界數(shù)學史上第一道數(shù)列題.大衍數(shù)列的前10項依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，則此數(shù)列的第30項為（

）A．366 B．422 C．450 D．6003.（2024·浙江紹興·二模）漢諾塔（TowerofHanoi），是一個源于印度古老傳說的益智玩具.如圖所示，有三根相鄰的標號分別為A、B、C的柱子，A柱子從下到上按金字塔狀疊放著n個不同大小的圓盤，要把所有盤子一個一個移動到柱子B上，并且每次移動時，同一根柱子上都不能出現(xiàn)大盤子在小盤子的上方，請問至少需要移動多少次？記至少移動次數(shù)為Hn，例如：H(1)=1，H(2)=3A．H(3)=5 B．H(n)為等差數(shù)列C．H(n)+1為等比數(shù)列 D．H4.（2024·全國·模擬預測）據(jù)中國古代數(shù)學名著《周髀算經(jīng)》記截：“勾股各自乘，并而開方除之（得弦）．”意即“勾”a、“股”b與“弦”c之間的關系為a2+b2=c2（其中a≤bA．145 B．181 C．221 D．2651．（2024·天津·二模）已知數(shù)列an為不單調(diào)的等比數(shù)列，a2=14,aA．34 B．78 C．982．（23-24高三上·天津和平·期末）已知數(shù)列an為等比數(shù)列，Sn為數(shù)列an的前n項和，aA．9 B．21 C．45 D．933．（23-24高三上·天津·期中）設Sn是數(shù)列an的前n項和，已知a1=1且A．9 B．27 C．81 D．1014．（22-23高三上·湖南婁底·期末）已知Sn為等差數(shù)列an的前n項和，a3A．157 B．C．114 D．5．（22-23高三上·天津靜?！るA段練習）設命題P：已知定義在(0,+∞)的可導函數(shù)f(x)，其導函數(shù)f'x=xlnx?x，存在k∈R，使得A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件6．（21-22高三上·天津河西·期中）已知數(shù)列an中，a1=?1，an=2an?1+3，則通項公式1．（2024·天津北辰·模擬預測）設數(shù)列an滿足a1+2A．53 B．85 C．1272．（2024·全國·模擬預測）已知Sn為正項數(shù)列an的前n項和．若Sn+2aA．7 B．15 C．8 D．163．（2024·四川宜賓·二模）在數(shù)列an中，已知a1=2,a2A．3 B．2 C．1 D．04．（2024·陜西安康·模擬預測）已知等比數(shù)列an的前n項和為Sn，且an+1=A．4n?13C．4n?1 5．（23-24高三上·天津西青·期末）已知an是等比數(shù)列，Sn是數(shù)列an的前n項和，2A．3 B．18 C．54 D．1526．（23-24高三下·天津·階段練習）著名的“全錯位排列”問題（也稱“裝錯信封問題”是指“將n個不同的元素重新排成一行，每個元素都不在自己原來的位置上，求不同的排法總數(shù)．”，若將n個不同元素全錯位排列的總數(shù)記為an，則數(shù)列an滿足a1=0,a1.（2023·全國·高考真題）已知等差數(shù)列an的公差為2π3，集合S=cosanA．－1 B．?12 C．0 2.（2022·全國·高考真題）嫦娥二號衛(wèi)星在完成探月任務后，繼續(xù)進行深空探測，成為我國第一顆環(huán)繞太陽飛行的人造行星，