高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：同角三角函數(shù)的基本關(guān)系與誘導(dǎo)公式

第23講同角三角函數(shù)的基本關(guān)系與誘導(dǎo)公式

［課程標(biāo)準(zhǔn)］1.借助單位圓的對稱性，利用定義推導(dǎo)出誘導(dǎo)公式

?±^,a土兀的正弦、余弦、正切）2理解同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式sin2a+cos2a

,sma

1,cosot=tana.

基礎(chǔ)知識整合

A知識梳建

1.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式

(1)平方關(guān)系：|01|sin%+cos2a=1.

―一皿入「F7771sina

(2)商數(shù)關(guān)系：l02lTZT=tancc.

2.六組誘導(dǎo)公式

公式——四五六

兀兀

角兀+a(%Z)兀+兀一

2k￡a-aa2~a2+a

正弦sina-sina-sinasinacosacosa

余弦cosa-cosacosa-cosasina-sina

正切tanatana-tana-tana——

函數(shù)名改變，符號看

口訣函數(shù)名不變，符號看象限

象限

0知識拓展

同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的常用變形

(sina±cosa)2=l±2sinacosa；

(sina+cosa)2+(sina-cosa)2=2;

(sina+cosa)2-(sina-cosa)2=4sinacos(z;

sina=tanacosa(。器+hi,%金Z);

.sir?。tai?。(TC,「~

sin9?=---------廠=—5-----7。右Z+E7,左￡Z

sinzot+cosatana+11L,

2

2cosa

cosa=?77+kn,%￡Z

sixra+cosa

A雙基自測

L(人教B必修第三冊7.2.3練習(xí)ATi⑵改編)若cosa=g,0),則

tana=()

A.一乎B.當(dāng)

C.-2y[2D.2\[2

答案c

解析由已知得sina=-N「cos2a=1一七=一所以tana=黑^=

-2也.故選C.

2.已知cos31°=a,則sin239°tan149°的值為()

]一次/----Z

A.~--B.yjl-*

答案B

解析sin239°tanl49°=sin(270°-31°)tan(180°-31°)=-

cos31°?(一tan31°)=sin31°=\J1-a2.

3.(人教B必修第三冊第七章復(fù)習(xí)題A組T6改編)已知tan0=2,則

3sina+2cosa

4sin?-3cosa-'

Q

答案5

_3tana+23x2+28

解析.?.tan6=2,...原式=痂二=三｝=亍

4.(人教A必修第一冊習(xí)題5.2T12改編)已知aG(0,。tana=2,則cosa

答案坐

(兀、sintz

解析*/aE0,5,sina>0,cosa>0,tana=2=,sin2a+cos*2o3*t=

\乙Jcosot

1.更

1,??costz=5.

5.(人教A必修第一冊5.3例4改編)化簡(5兀產(chǎn)出-兀)COS(2T:-a)的結(jié)

sink+al

果為.

答案-sin2a

心皿h-sina?、.

斛析原式=-sma)cosa=-sur?a.

核心考向突破

多角度探究突破

考向一同角三角函數(shù)的基本關(guān)系

角度1常規(guī)問題

例1(D已知角a的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與％軸的非負(fù)半軸重合，終邊上

一點(diǎn)A(2sina,3)(sinaR0),貝ljcosa=()

A-2B--2

D.邛

j2

答案A

3cin/y3

解析由三角函數(shù)定義，得tan?=i—W—=則2(l-cosM

=3cosa,所以(2cosa-l)(cos?+2)=0,貝ljcosa=

(2)(2023?全國乙卷)若。G(0,tan0=,貝ljsin。一cos。二.

答案-坐

解析因?yàn)檐趧tsinGO,cos6>0,又因?yàn)閠an6=^1=；,則cos。

=2sin。,且cos20+sin?。=4sin2/9+sin20=5sin20=1,解得sin。=坐或sin。=-乎

小

(舍去),所以sin。一cos。二sin。一2sin6二一sin。=-.

觸類旁通!:利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式求值的三個基本題型

利用sin2a+cos2a=1

已知sina卜

求cos。利用tana=纏

利用sin-a+cos2a=1求atna

已知cosa

求sin。

［已知tana卜利用‘in%=1和tana=犒

——―［解方程組求得sina和cosa

r即時(shí)訓(xùn)練1.(2023?長郡十八校聯(lián)盟聯(lián)考)已知第二象限角a的終邊上有兩點(diǎn)

A(-1,a),B(b,2),且cosa+3sina=0,貝1J6-3a=()

A.-7B.-5

C.5D.7

答案A

解析因?yàn)閏osa+3sina=0,所以3sina=-cosa,所以tan?=-g,又因?yàn)?/p>

tanaug'R,所以。=?b=-6,所以》-3a=-7.故選A.

(TT兀、

2.(2024?東莞模擬)已知2sin2"3sin"2=0,-萬，之，則cos。的值為

()

答案B

(兀兀、

解析因?yàn)椤?,2)>則sinew(-1,1),cos6?>0,因?yàn)閆sii??！?sin(9—2

=(2sin0+l)-(sin0-2)=0,貝sin6=—/,因此cos。=弋1一sirF)=早.故選B.

角度2"1”的變換

sin。(1+sin2。)

例2(2021?新高考I卷)若tanO=-2,貝lj—^————=()

62

A.5B.5

c-lD5

答案C

sin。(l+sin26)sin。(sin。+cos。)2

解析解法一：因?yàn)閠an。=-2,所以一sin。+cos?！?sin。+cos。

sin20+sinOcos。tan?。+tan。4-22

siMsin。+cos。)=sMe+c"。=l+ta/e=1=亍故選g

sin。(1+sin2。)sin。(sin?。+2sin8cos。+cos20)

解法二：sinO+cos。=sin"+cos"='足仇五道+

?Z)[

cosO)=cos20(tan20+tan。).由tan。==-2,sin?。+cos?。=1,解得cos2(9=亍

sin。(1+sin26)12

所以---sin6?+cos6?----=cosPGa/e+tan。)=§x(4-2)=/故選C.

22

觸類旁通對于含有sjnct,cos?,sinacosa的三角函數(shù)求值問題，一般可以考

慮添加分母1,再將1用“si/a+cosZa”代替，然后用分子分母同除以角的余弦的

平方的方式將其轉(zhuǎn)化為關(guān)于tana的式子，從而求解.

「即時(shí)訓(xùn)練(2023??？谀M)已知角a的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊為x軸的非負(fù)

-2

半軸，終邊上有一點(diǎn)尸⑴2),則一器總=——■

答案-4

-2

sin

解析因?yàn)榻莂的終邊上有一點(diǎn)P(l,2),所以tana=2.所以丁一-----=

1—jsinotcosot

sin2atan2a22.

99—9=~Q=-4

sina+cosa-3sinacosatana+1-3tana2+1-3x2

角度3sin%+cosx,sinx-cosx,sinxcos%之間的關(guān)系

例3(2023.濟(jì)南模擬)已知a?當(dāng)］，且since+cos?=乎，則tana的值為

答案

解析sina+cosa=乎,sin2a+cos2a+2sin?cosa=],sinacosa=~^<

0,sin2a+cos2a-2sinacosa=g=(sina-cosa)2,又aG[-sin?<0,

cosa>0,；?cosa—sina=邛，sina=一號,cosa=半,Atana=1

2-

I觸類旁通1（1）已知asiwc+bcosx=c可與sin2x+cos2x=1聯(lián)立,求得sin%,cosx.

(2)sinx+cosx,sinx-cosx,sinxcosx之間的關(guān)系為

(sin%+cosx)2=1+2sinxcosx,

(sin%-cosx)2=1-2sinxcosx,

(sinx+cosx)2+(sin%-cosx)2=2.

因此，已知上述三個代數(shù)式中的任意一個代數(shù)式的值，便可求其余兩個代數(shù)

式的值.

1即時(shí)訓(xùn)練（2024?青島調(diào)研）若sinO+cose=￥，則sin%+cos,。=（）

-17

A6B18

12

1?9D.§

答案B

4

-

解析由sin。+cos。=平方得1+2sin8cos。-3/.sinOcos。=7,/.sin4^

+cos，。=（sin20+cos202-2sin20cos20=1-2x/1=*故選B.

考向二誘導(dǎo)公式的應(yīng)用

例4⑴（2023?北京市八一中學(xué)模擬）若角a的終邊在第三象限，則下列三角

函數(shù)值中小于零的是（）

A.sin（兀+a）B.cos（兀一a）

（兀、（兀、

C.cosl2+a\D.sinl2一?I

答案D

解析因?yàn)榻?。的終邊在第三象限，所以sina<0,cosa<0.對于A,sin（7i+a）

=-sina>0;對于B,cos(兀-a)=-cosot>0;對于C,cos^+=-sin?>0;對于

D,sin作一a]=cosa<0.故選D.

tan(兀+a)cos(2兀+a)sin(a-^^

(2)化間.cos(一a-3兀)sin(一3兀一a)-"

答案-1

一(兀丫

tanacosasin_2兀+(a+于

解析原式—cos(3兀+a)[-sin(3兀+a)]

(nA

tanacosasin7+a,

a)tanacosacosa

-cosasina-cosasina

tanacosasinacosa】

一sina-cosasina-,

(3)已知cos(75°+?)=^,a是第三象限角，貝sin(195。-a)+cos(a-15。)的

值為.

-17

合案~13

解析因?yàn)閏os(75°+a)=*>0,a是第三象限角，所以75°+?是第四象限角，

.________________J2

sin(75°+a)=-1-cos2(75°+a)=一百.所以sin(195°-a)+cos(ot-15°)=

sin[180°+(15°-a)]+cos(15°-a)=-sin(15°-a)+cos(15°-a)=-sin[90°-(75°

51217

+a)]+cos[90°-(75°+a)]--cos(75°+a)+sin(75°+?)=一百一百二一百?

觸類旁通［利用誘導(dǎo)公式化簡求值的基本步驟

提醒：用誘導(dǎo)公式求值時(shí)，要善于觀察所給角之間的關(guān)系，利用整體代換的

兀兀71.兀

思想簡化解題過程.常見的互余關(guān)系有號-。與聿+%§+a-a,+ot-a

XX迎LlLJr-、I」—一一兀八一5兀八兀八（_2兀八兀八（_3兀八人左

寺，常見的互補(bǔ)關(guān)系有與石+仇與丁-6,1與4-。寺.

r即時(shí)訓(xùn)練1.（2024.江西宜舂中學(xué)診斷）若?為銳角，且cos[?+^=|,則

cosC的值為()

A空

A.3

C也

答案A

解析0<a<^,<*.^<a+季〈,

7CsinU|

2故選A.

2.（2023?咸陽模擬）已知角a終邊上一點(diǎn)尸（sinll80。，cosll80°）,那么cos（3a

+60。)=()

A.0

C.1D坐

答案D

解析\0P\=^sin21180°+cos21180°=1,Asina=cost180°=cos(100°+

3x360°)=cosl00°=-sin10°=sin(-10°),cosa=sin1180°=sin(100°+3x360°)=

sin100°=cos10°=cos(-10°),:?a=-10°+k360。(左￡Z),cos(3a+60°)=cos(-

30°+3k360。+60°)=cos30°=早故選D.

考向三誘導(dǎo)公式與同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的綜合應(yīng)用

例5(5(2023?南京二模)利用誘導(dǎo)公式可以將任意角的三角函數(shù)值轉(zhuǎn)化為

0°?90°之間角的三角函數(shù)值，而這個范圍內(nèi)的三角函數(shù)值又可以通過查三角函

數(shù)表得到.如表為部分銳角的正弦值，則tanl600。的值為QJ\數(shù)點(diǎn)后保留兩位有效

數(shù)字)()

a10°20°30°40°

sina0.17360.34200.50000.6428

a50°60°70°80°

sina0.76600.86600.93970.9848

A.-0.42B.-0.36

C.0.36D.0.42

答案B

sin20°

（）

解析tan1600°=tan4x360°+160°=tan160°=-tan20°=cos20°

sin20°0.3420“珀江

sin70°=一0.9397、一°n,36.故選B.

（2）（2023,聊城模擬）已知角a為銳角，且2tan（7i-a）-3cos|j+"+5=0,tan（7i

+a）+6sin（7i+^）-1=0,貝ljsina=（）

A州B也

A.5B.7

c燉D1

10

答案c

3sin￡-2tana+5=0,

解析由已知得I-o、c消去sin￡,得tana=3,所以sina=

tana-osinp-1=0,

93^/15

3cosa,代入sin2a+cos2a=1,化簡得sit?。=而，因?yàn)?。為銳角，所以sina二.

觸類旁通1（1）利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式和誘導(dǎo)公式求值或化簡時(shí)，關(guān)鍵

是尋求條件、結(jié)論間的聯(lián)系，靈活使用公式進(jìn)行變形.

（2）注意角的范圍對三角函數(shù)符號的影響.

即時(shí)訓(xùn)練1.（2023?吉安模擬）已知cosg+a）=-1,且a是第四象限角，則

cos（-3兀+0（）的值為（）

A-tB.-I

C.D.|

答案B

解析Vcos（j3y兀+a\J=3.?.sina=-亍3是第四象限角，，cos（-3兀+a）

,371

（黃山模擬）已知芯1=去「貝ljsinx=（）

2.2023?tan|/LU〉人

小-1

B.2-

-1±V5

J2D.―Y~

答案B

（3jT、1COSY1

解析由tanQ-x）=|，可得4二限，即cMx-sixO,即si/H

sinx-1=0,解得sinx=舍去.故選B.

課時(shí)作業(yè)

一、單項(xiàng)選擇題

1.（2024衡陽月考）若角a的終邊在第三象限，則.,.,+屋廠的值

Y1-sina'1-cosa

為（）

A.3B.—3

C.1D.-1

答案B

cos<z

解析因?yàn)榻莂的終邊在第三象限，所以sin“。，c°sa<。，所以原式=工

2sma一

+:-=-3.

-sma

2.設(shè)sin25°=a,貝ljsin65°cos115Otan205°=（）

次a2

個1-a2yjl-a2

C.-a2D.a2

答案c

解析因?yàn)閟in65°=cos25°,cosll5°=cos（90°+25°）=-sin25°,tan205°=

sin25。

tan（180°+25°）=tan25°二cos25°'所以sin65°cosn5°tan205°=-sin225°=-a2.

3.（2023?湖北四校聯(lián)考）已知角a是第二象限角，且滿足sin修+a）+3cos（a

一兀）=1,貝ljtan（兀+a）=（）

A.小B.-小

C.一坐D.-1

答案B

解析由sin（^+aj+3cos（a-兀）=1,得cosa-3cosa=1,.*.cosa=*.*

角a是第二象限角，.,.sinan好，??.tan（7i+a）=tana=￡^=一/.

4.（2024?泰安質(zhì)檢）已知sin（a-合）=/,則cos（a+皆）的值為（）

12也

A.1B.-

C」D一基

=3?3

答案A

(1771'（兀3兀、1

解析coslot+]2=。-五十=sina-自

cos]53,

5.已知函數(shù)於)=asin(7ix+a)+"cos(7ix+^,且印3)=3,則J2024)的值為

)

A.-1B.1

C.3D.-3

答案D

解析函數(shù)f(x)=asin(Tix+a)+bcos(juc+份,=asin(3?i+a)+6cos(3兀

十份=一(asina+bcos/3)=3,/.asina+bcos/3=-3..\y(2024)=asin(2024兀+a)+

6cos(2024兀+份=asina+6cos尸=-3.故選D.

,4兀4TI

6.（2023?遼寧校考一模）已知角?的終邊上一點(diǎn)的坐標(biāo)為sin-^-,cosg，則a

的最小正值為（）

,兀3兀

A-5B10

r17兀

D

5w

答案D

解析因?yàn)閷?為-3714TI.兀3兀、371,4兀

To,,所以sin-y=sm2To,=cosTo,而cos-g-

n371371

=sin

=cos2To,To,,所以角?終邊上的點(diǎn)的坐標(biāo)可寫為

3ii3TI3兀37i

cos|而，Sinl-To.,所以a=-正+2E,左?Z,因此a的最小正值為一證+

[7兀...

2兀二元.故x選D.

sina+cosot\

7.(2023?益陽模擬)若-:--------=5，貝Usin2a-sinacosa-3cos2a=()

sina—cosot/

B旦

A-WB10

D.-|

C-W

答案c

,sina+cos?1」ana+l1

角星析由二=77,得;~=77,即tana=-3,sin29a-sinacosa-

sina-cosa2tana-12

sin2a-sinacosa-3cos2atan2。-tana-39

3cos2。故選

sm~'a+cos%2="t_an2%+i1=71H0?C

8.（2024.青島模擬）田忌賽馬是中國古代對策論與運(yùn)籌思想運(yùn)用的著名范

例.故事中齊將田忌與齊王賽馬，孫臏獻(xiàn)策以下馬對齊王上馬，以上馬對齊王中

馬，以中馬對齊王下馬，結(jié)果田忌一負(fù)兩勝，從而獲勝.在比大小游戲中（大者為

勝），已知我方的三個數(shù)為a=cosO,b二sin。+cos。，c=cos。-sin。，對方的三個

數(shù)以及排序如表：

第一局第二局第三局

2tan。sin。

71

若0。<不則我方必勝的排序是()

A.a,b,cB.b,c,a

C.c,a,bD.c,b,a

答案D

兀sin。(cos。一1)

解析因?yàn)楫?dāng)0<。<4時(shí),sin0>0,cos0>0,tan0>O,sin。-tan。二-----cosO-------

<0,所以sin0<tan0<2,cos。-sin0<cos0<sin0+cos。，即c<a<b.又b2=(sin。+cos02

=1+2sin9cos分1,所以b二sin。+cos分1>tan0,a=cos0>sin0,c-cos。-sin]v2,

故類比“田忌賽馬”，我方必勝的排序是gb,故選D.

二、多項(xiàng)選擇題

9.在△A5C中，下列結(jié)論正確的是（）

.B+CA

A.sin(A+B)=sinCB.sin-2-二cos,

C.tan(A+B)=-tanD.cos(A+B)=cosC

答案ABC

B+C

解析中，有貝(兀一二；

^AABCA+5+C=7i,ljsin(A+B)=sinC)sinCsin'2

=sin|^2一，bcos,;tan（A+B）=tan（兀一C）二一tanQCWl;cos（A+B）=cos（兀一C）

=-cosC.

10.（2024?淄博調(diào)研）已知（0,兀）,sin。+cos。=/則下列結(jié)論正確的是（）

A.°￡怎，兀jB.cos0=-1

37

C.tan0=-D.sin。-cos。=5

答案ABD

1124

解析因?yàn)閟in6+cos0=5,所以1+2sin8cose=B，所以2sin6cos。=一行＜°，

又ee（0,71）,所以。喏，兀），A正確；進(jìn)而可得sinGcos。，因?yàn)椋╯in。-cos。）?

r1

sin。+cos。=1，

5

二1一2sin8cos。=不49，所以sin。-cose=g7,D正確；由j,解得sin。

sin。-cos。=5,

434

=5,cos8=-予進(jìn)而得tan9=-w，故B正確，C錯誤.故選ABD.

JT

n.（2023?宜昌高三模擬）定義：角。與9都是任意角，若滿足6+9=5,則

稱。與夕“廣義互余”.已知sin（7r+a）=-￡下列角夕中，可能與角a“廣義互余”

:（）

A-口B.COS（7l+份=（

A.smW=W足-

C.tan^=V15D.tan￡

答案AC

1

-I兀兀

解析?「sin（兀+a）=-sina=4sina='7,若=貝U夕一asin夕

=sin[j-aj=cos?=±,故A符合條件;

4cos（兀+/?）=-cosl2-a\=-sintz=-

I，故B不符合條件；tan￡=，B,即sin￡=，BcosA，又sii?/+cos2A=1,sin￡

=土?xí)鴁,故C符合條件；tan￡=,即sin￡=,又sin2^+cos2^=1,.*.sin.

=±乎，故D不符合條件.故選AC.

三、填空題

12.(2023?西安調(diào)研)sin(—570°)+cos(-2640°)+tanl665°=.

答案1

解析原式=sin(—570°+720°)+cos(-2640°+2880°)+tan(1665°-

1620°)=sinl50°+cos240°+tan45°=sin30°-cos60°+l=；-g+l=l.

13.已知角a的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊過點(diǎn)

P(sinl38°,cosl38°),則tan(a+18°)=.

答案-當(dāng)

解析因?yàn)閏osl38o<0,sinl38o>0,所以點(diǎn)P在第四象限，即a為第四象限

cosl38°cos(90。+48。)一sin48°

角由三角函數(shù)定義得tana

sinl38°sin(90。+48。)cos48°

sin(-48°)一

------7~=tan(-48°),所以a=-48°+k360°,k￡Z,所以tan(a+18°)=tan(-

COS\-4AOoOX)

J3

48°+左S60。+18°)=tan(-30。)=一里.

14.(2023?浙江名校協(xié)作體檢測)已知sinajcos1-號+aj=后且0<玲,

貝1Jsina=,cosa=

-234

答案55

-5-ctlcosf-與+a)=-cosot(-sina)=sinacosa=2：0<a<7,

解析

[.12

Ismacosa=行,

/.0<sin(z<cos?.由i°得sina=5,cosa=亍

[sm?2a+cos7a=1I,

四、解答題

已知京求下列各式的值.

15.idntx-1

sina-3cos(z

(1)-------------；

sintz+cosa

(2)sin2a+sinacosa+2.

解由已知得tanot=

sina-3cosatana-35

(1)~=~7=一3.

sma+costztana+13

2

m+i