立體幾何中球與幾何體的切接問題-高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)重點(diǎn)題型歸納與方法總結(jié)（原卷版）

【一輪復(fù)習(xí)講義】2024年高考數(shù)學(xué)高頻考點(diǎn)題型歸納與方法總結(jié)（新高考通用）

素養(yǎng)拓展24立體幾何中球與幾何體的切接問題（精講+精練）

、知識點(diǎn)梳理

一、外接球

如果一個(gè)多面體的各個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，那么稱這個(gè)多面體是球的內(nèi)接多面體，這個(gè)球稱為多面體

的外接球.解決這類問題的關(guān)鍵是抓住內(nèi)接的特點(diǎn)，即球心到多面體的頂點(diǎn)的距離等于球的半徑.并且還

要特別注意多面體的有關(guān)幾何元素與球的半徑之間的關(guān)系，而多面體外接球半徑的求法在解題中往往會起

到至關(guān)重要的作用.

二、內(nèi)切球

球的內(nèi)切問題主要是指球外切多面體與旋轉(zhuǎn)體，解答時(shí)首先要找準(zhǔn)切點(diǎn)，通過作截面來解決.如果外切的

是多面體，則作截面時(shí)主要抓住多面體過球心的對角面來作.當(dāng)球與多面體的各個(gè)面相切時(shí)，注意球心到

各面的距離相等即球的半徑，求球的半徑時(shí)，可用球心與多面體的各頂點(diǎn)連接，球的半徑為分成的小棱錐

的高，用體積法來求球的半徑.

【常用結(jié)論】

①外接球模型一：墻角模型是三棱錐有一條側(cè)棱垂直于底面且底面是直角三角形模型，用構(gòu)造法（構(gòu)造長

方體）解決.外接球的直徑等于長方體的體對角線長（在長方體的同一頂點(diǎn)的三條棱長分別為mb,C,外接

球的半徑為&則2""^.）,秒殺公式：F弋叁.可求出球的半徑從而解決問題.有以

下四種類型：

類型I類型II類型m例外型

②外接球模型二：三棱錐的三組對棱長分別相等模型，一般用構(gòu)造法（構(gòu)造長方體）解決.外接球的直徑等

于長方體的體對角線長，即2&=77左長方體的長、寬、高分別為〃方、°）.秒殺公式:上=立廿士^（三

8

棱錐的三組對棱長分別為X、八Z）.可求出球的半徑從而解決問題.

③外接球模型三：直棱柱的外接球、圓柱的外接球模型，用找球心法（多面體的外接球的球心是過多面體

的兩個(gè)面的外心且分別垂直這兩個(gè)面的直線的交點(diǎn).一般情況下只作出一個(gè)面的垂線，然后設(shè)出球心用算

術(shù)方法或代數(shù)方法即可解決問題.有時(shí)也作出兩條垂線，交點(diǎn)即為球心.）解決.以直三棱柱為例，模型如

下圖，由對稱性可知球心。的位置是△NBC的外心01與的外心。2連線的中點(diǎn)，算出小圓Oi的半

Rh2

徑401=〃，OO\=—,/.R2=r2+—?

24

④外接球模型四：垂面模型是有一條側(cè)棱垂直底面的棱錐模型，可補(bǔ)為直棱柱內(nèi)接于球，由對稱性可知

球心。的位置是△C3D的外心5與△，8處的外心。2連線的中點(diǎn)，算出小圓5的半徑N0i=r,，

2

:.R2

4

⑤外接球模型五：有一側(cè)面垂直底面的棱錐型，常見的是兩個(gè)互相垂直的面都是特殊三角形且平面ABC±

平面BCD,如類型I,△A8C與△BCD都是直角三角形，類型II,△/BC是等邊三角形，△BCD是直角三

角形，類型III,△/8C與都是等邊三角形，解決方法是分別過△NBC與△BCD的外心作該三角形所

在平面的垂線，交點(diǎn)。即為球心.類型IV,△/BC與△BCD都一般三角形，解決方法是過△BCD的外心

。1作該三角形所在平面的垂線，用代數(shù)方法即可解決問題.設(shè)三棱錐/一2。的高為〃，外接球的半徑為R,

及2=-2+冽2

球心為。.△58的外心為01,。1到5。的距離為d,。與O1的距離為加，貝小'解得

區(qū)2=屋+（〃一次）2,

72

R.可用秒殺公式：尺2=4+"—?其中匕、投為兩個(gè)面的外接圓的半徑，/為兩個(gè)面的交線的長）

高，廠為幾何體的底面半徑或底面外接圓的圓心）

⑦內(nèi)切球思路：以三棱錐P-/3C為例，求其內(nèi)切球的半徑.

方法：等體積法，三棱錐P-/2C體積等于內(nèi)切球球心與四個(gè)面構(gòu)成的四個(gè)三棱錐的體積之和；

第一步：先求出四個(gè)表面的面積和整個(gè)錐體體積；

第二步：設(shè)內(nèi)切球的半徑為廠，球心為。，建立等式：Vp_ABC=Vo-ABC^~Vo-PAB~^~Vo-PAC~\~Vo-PBC=—P-ABC=

jS^ABCr+^S^PAB'r+△身er△尸5C'r=；（品/5。+S△刈3+S△燈c+S4PBC）?r;

____________3Vp_ABC_______3—

第三步:解出r

SO—ABC+SO—HB+SO—MC+SO—PBCS表

二、題型精講精練

【典例1】（2023?浙江?高三校聯(lián)考期中）正四面體的所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)表面積是36兀的球面上，則該正

四面體的棱長是.

【答案】2次

【解析】如圖所示:

因?yàn)檎拿骟w內(nèi)接于球，則相應(yīng)的一個(gè)正方體內(nèi)接球，設(shè)正方體為/BCD,

則正四面體為

設(shè)球的半徑為A,則4萬爐=36萬，

解得火=3,

所以NG=6則正方體的棱長為26，

所以正四面體的棱長為2而，

故答案為：2瓜

【典例2】（2023?河南?開封高中?？寄M預(yù)測）已知四面體/BCD中，AB=CD=2也,NC=AD=回,

AD=BC=屈,則四面體N5CD外接球的體積為（）

A.45TTB.C.45右兀D.24亞n

22

【答案】C

【解析】設(shè)四面體/BCD的外接球的半徑為R,

則四面體48CD在一個(gè)長寬高為。,6,c的長方體中，如圖，

a1+b2=20,_________

貝?。?2+c2=29,故R=行+.+°2=V45,

L〃t2+I0c2—_曾4I22

故四面體N5CD外接球的體積為展3成3,兀X竺叵=竺互，

3382

故選:C

【典例3】（2023?黑龍江齊齊哈爾?高三齊齊哈爾市第八中學(xué)校校考階段練習(xí)）設(shè)直三棱柱ZBC-48c的

所有頂點(diǎn)都在一個(gè)表面積是40%的球面上，且/8=/C=/4，/8/C=120。，則此直三棱柱的表面積是（）

A.16+86B.8+1273C.8+16^3D.16+12百

【答案】D

【解析】設(shè)==2機(jī)，因?yàn)?R4C=120°,所以N/CB=30°.

于是=（r是“3C外接圓的半徑），r=2m.

sin30

又球心到平面ABC的距離等于側(cè)棱長工4的一半，

所以球的半徑為而齊+m2=#m?

所以球的表面積為4兀（指加）=40兀，解得加=后.

因此===20BC=2瓜

于是直三棱柱的表面積是

2x2V2x2V2+2V6x2V2+2x-x2V2x2V2sinl200=16+1273.

2

【典例4】（2023?安徽宣城?高三統(tǒng)考期末）在三棱錐尸-A8C中，△/8C是邊長為3的等邊三角形，側(cè)棱

玄_1平面/8C,且尸4=4,則三棱錐尸-4BC的外接球表面積為.

【答案】28兀

【解析】根據(jù)已知，底面。是邊長為3的等邊三角形，尸4,平面/BC,

可得此三棱錐外接球，即以“BC為底面以力為高的正三棱柱的外接球.

設(shè)正三棱柱的上下底面的中心分別為M,N,則外接球的球心。為MN的中點(diǎn)，

p

JB

的夕卜接圓半徑為，"/去3=夙，="=羽=2,

所以球的半徑為R=OA=42+屋=V7，

所以四面體P-N8C外接球的表面積為S=4兀火2=28兀，

故答案為：28兀.

【典例5】（2023?四川樂山?高三期末）已知正“8C邊長為1,將繞8C旋轉(zhuǎn)至△D8C,使得平面

ABC1平面BCD,則三棱錐D-ABC的外接球表面積為

【答案】兀

【解析】如圖，

取3c中點(diǎn)G,連接NG,OG,則/GL3C,DG1BC,

分別取A4BC與AD8C的外心分別過E,尸作平面4BC與平面。5C的垂線，相交于O,則。為四面體

/-BCD的球心，

由/6=/C=D8=DC=3C=l,

所以正方形OEGF的邊長為工水?=也，貝!JOG=

所以四面體/-BCD的外接球的半徑氏=而/7而=j骼］+QJ=^A,

球。的表面積為4

故答案為：空5兀

【典例6】（2023?山東濱州?高三?？计谥校┮阎睦忮FP-NBCD的底面邊長為3TL側(cè)棱長為6,則該

四棱錐的外接球的體積為.

【答案】326兀

【解析】如圖，如是正四棱錐尸一/BCD的高，而A8=30,P/=6,貝！］/0］=江=互竺=3,

2

POX=^PA-AO^=343,顯然正四棱錐尸-4BC。的外接球的球心O在直線PQ上,

令PO=AO=R,則。。］=|3如-幻，

在Rt^/O0中，△2=/。2=/。；+。。；=學(xué)+（36_在？，解得尺=26，

44/-I-

所以該四棱錐的外接球體積為展*3=g兀X（2百）3=32缶.

故答案為：32A/3TI

【典例7】（2023?高三課時(shí)練習(xí)）邊長為1的正四面體內(nèi)切球的體積為（）

A乖6口6「qn乖爪

?---D>---V/?U?---

8126216

【答案】D

【解析】將棱長為1的正四面體/3C。補(bǔ)成正方體/ECb-G8HD,則該正方體的棱長為",

2

設(shè)正四面體/BCD的內(nèi)切球半徑為,，正四面體Z8CD每個(gè)面的面積均為走xF=且,

44

由等體積法可得囁8°=巫=工廠（叢//+&+即+RBCJ=3〃解得r=漁，

21-D\-yly]3\/\ABC/\ACD/\ABD/\z/O-Ly3]2

因此，該正四面體的內(nèi)切球的體積為廠=&71X[諉]=-71.

3112J216

故選：D.

【題型訓(xùn)練1-刷真題】

一、單選題

1.（2022?全國?統(tǒng)考高考真題）已知正三棱臺的高為1,上、下底面邊長分別為3G和4。，其頂點(diǎn)都在同

一球面上，則該球的表面積為（）

A.100兀B.12871C.144無D.192兀

2.（2022?全國?統(tǒng)考高考真題）已知球。的半徑為1,四棱錐的頂點(diǎn)為O,底面的四個(gè)頂點(diǎn)均在球。的球面

上，則當(dāng)該四棱錐的體積最大時(shí)，其高為（）

A.-B.|C.—D.—

3232

3.（2022?全國?統(tǒng)考高考真題）已知正四棱錐的側(cè)棱長為/,其各頂點(diǎn)都在同一球面上.若該球的體積為36%,

且3V/V3。，則該正四棱錐體積的取值范圍是（）

\811「27811「27641,

A.1o8,—B.C.-D.r[1o8,27]

_4JL44JL43_

4.（2021?全國?統(tǒng)考高考真題）已知是半徑為1的球。的球面上的三個(gè)點(diǎn)，且/C，BC,/C=BC=1,

則三棱錐O-/8C的體積為（）

A.—B.—C.—D."

121244

二、填空題

5.（2023?全國?統(tǒng)考高考真題）已知點(diǎn)邑C均在半徑為2的球面上，“3C是邊長為3的等邊三角形,

S4_L平面4BC,貝！|S/=.

【題型訓(xùn)練2-刷模擬】

一、單選題

1.（2023秋?四川成都?高三四川省成都市新都一中校聯(lián)考開學(xué)考試）邊長為1的正方體的外接球表面積為（）

…371

A.兀B.3JiC.一兀D.一

44

2.（2023秋?四川成都?高三樹德中學(xué)校考開學(xué)考試）已知四面體48co滿足48=CO=G，AD=BC=5

AC=BD=2,且該四面體NBC。的外接球的表面積是（）

A.2兀B.6兀

6兀,

C.—D.4兀

11

3.（2023?全國?高三專題練習(xí)）在直三棱柱中，ABLBC,BC=1,AB=6,44]=26，貝〕J該

直三棱柱的外接球的體積為（）

8兀16兀-32兀64兀

A.—B.-----C.-----D.-----

3333

4.（2023秋?四川眉山?高三?？茧A段練習(xí)）已知圓柱的高為1,它的兩個(gè)底面的圓周在直徑為2的同一個(gè)球

的球面上，則該圓柱的體積為（）

兀一3兀71

A.兀B.—C.—D.一

244

5.（2023?河南鄭州?校聯(lián)考二模）如圖，在三棱錐"BCD中，AD=CD=2,AB=BC=AC=2叵,平面

/CO,平面N2C,則三棱錐/-BCD外接球的表面積為（）

6.（2023秋?江蘇南通?高三統(tǒng)考開學(xué)考試）已知從1HC是邊長為4的等邊三角形，將它沿中線/。折起得四

面體/-8CD,使得此時(shí)8C=2g,則四面體4-8。的外接球表面積為（）

A.16兀B.18兀C.217rD.28兀

7.（2023?山西呂梁?統(tǒng)考二模）在三棱錐尸—4SC中，已知尸底面45C,CA=CB=PA=2,AC1BC,

則三棱錐尸-4BC外接球的體積為（）

A.16KB.48兀C.48兀D.12也無

8.（2023?四川成都?校聯(lián)考二模）在三棱錐尸-4BC中，PA=PC=2娓,4c=4也,ZABC=900,平面

尸/C，平面/8C,若三棱錐尸-4BC的所有頂點(diǎn)都在球。的表面上，則球。的半徑為（）

A.273B.3C.2A/5D.4

9.（2023秋?陜西西安?高三校聯(lián)考開學(xué)考試）在三棱錐尸-/3C中，“8C是邊長為3的等邊三角形，側(cè)棱

尸/，平面且尸/=2右，則三棱錐P-/BC的外接球的表面積為（）

A.32兀B.28兀C.26兀D.24兀

10.（2023春?四川綿陽?高三綿陽南山中學(xué)實(shí)驗(yàn)學(xué)校校考階段練習(xí)）已知四棱錐尸-/BCD的體積是36g,

底面4BGD是正方形，AP/2是等邊三角形，平面尸45,平面48CD,則四棱錐尸-48CZ）外接球表面積為

（）

A.89兀B.88兀C.84兀D.81兀

11.（2023?江西南昌?南昌市八一中學(xué)校考三模）已知四棱錐尸-4BCD的底面48co是矩形，高為血，

AD=2&,AB=2,ABLPD,PA=PD,則四棱錐尸-N3CD的外接球的表面積為（）

l廠256

A.12V6nB.48v67tC.36KD.n

12.（2023秋?陜西西安?高三校聯(lián)考開學(xué)考試）已知在三棱錐尸-4BC中，P4+BC=4,AB1AC,尸NJ_平

面/3C,則三棱錐尸-N8C的外接球表面積的最小值為（）

A.兀B.4兀C.87tD.127t

13.（2023秋?湖南衡陽?高三衡陽市田家炳實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）球。內(nèi)接三棱錐/-BCD,/C,平面

BCD,BDLCD.若BD=1,球。表面積為97t.則三棱錐體積最大值為（）

25

A.1B.-C.—D.一

322

14.（2023秋?四川成都?高三樹德中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知四面體/BCD滿足48=CD=百，AD=BC=也，

R,

4C=M=2,且該四面體45CZ）的外接球的球半徑為片，四面體的內(nèi)切球的球半徑為耳，則小的值是（）

22

A.V1TB.—VHC.y/~6D.—V6

TT

15.（2023?河南開封?統(tǒng)考三模）在三棱錐尸-4BC中，PA=AB,P/_L平面NBC,ZABC=-,AB+BC=6,

2

則三棱錐尸-48c外接球體積的最小值為（）

A.8"兀B.16扁C.24癡兀D.32"兀

16.（2023?河南?統(tǒng)考三模）如圖，該幾何體為兩個(gè)底面半徑為1,高為1的相同的圓錐形成的組合體，設(shè)它

的體積為匕，它的內(nèi)切球的體積為％,則匕：匕=（）

C.2:1D.72:1

17.（2023?福建寧德?校考模擬預(yù)測）將一個(gè)半徑為2的球削成一個(gè)體積最大的圓錐，則該圓錐的內(nèi)切球的

半徑為（）

A.男1B,2舊)

33

c.4MD.4(6-1)

3

18.（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知四棱錐尸-48CD的各棱長均為2,則其內(nèi)切球表面積為（）

A.(8-2V3)nB.(8-4⑨%

C.(8—6石)兀D.(8-3。)兀

19.（2023?全國?高三專題練習(xí)）若一個(gè)正三棱柱存在外接球與內(nèi)切球，則它的外接球與內(nèi)切球體積之比為

（）

A.373:1B.5:1C.5A/5:1D.6:1

20.（2023?湖北?統(tǒng)考二模）已知直三棱柱NBC-481G存在內(nèi)切球，若AB=3,BC=4,AB工BC,則該三棱

柱外接球的表面積為（）

A.2671B.27兀C.28KD.29兀

21.（2023春?貴州?高三校聯(lián)考期中）已知正三棱錐產(chǎn)一A8C的底面邊長為3,高為灰，則三棱錐尸一48C

的內(nèi)切球的表面積為（）

3兀

A.—B.3itC.6兀D.12兀

2

22.（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知圓臺。。2的下底面半徑是上底面半徑的2倍，其內(nèi)切球的半徑為亞，

則該圓臺的體積為（）

A7V2n「14扃024瓜「25A/2TT

A.-------D.--------C.---------D.------

3333

23.（2023?廣東深圳?高三深圳外國語學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知正三棱錐尸-4BC中，ZAPB=9Q°,其內(nèi)切

球半徑為廠，外接球半徑為R,則?=（）

.V3-1?2（6+1）V6-V2八V6+V2

A.-----------D.、_____L.L.---------------U?---------------

3966

24.（2023秋?浙江麗水?高三浙江省麗水中學(xué)校聯(lián)考期末）將菱形力沿對角線力。折起，當(dāng)四面體

5-/CD體積最大時(shí)，它的內(nèi)切球和外接球表面積之比為（）

?1111

A.—B.—C.—D.—

351012

二、填空題

25.（2023?全國?高三專題練習(xí)）在矩形48CD中，AB=\,BC=6,己4,平面/BCD,PA=\,四棱錐

P-ABCD的外接球的表面積為.

26.（2023秋?四川眉山?高三校考開學(xué)考試）已知正三棱柱N3C-44。的底面邊長為6,三棱柱的高為2vL

則該三棱柱的外接球的表面積為.

27.（2023秋?重慶?高三統(tǒng)考階段練習(xí)）正三棱錐尸-48c底面邊長為2,〃■為48的中點(diǎn)，且尸”，尸C,則

正三棱錐尸-4BC外接球的體積為.

28.（2023?河南?統(tǒng)考模擬預(yù)測）在菱形/BCD中，AB=5,AC=6,/C與8。的交點(diǎn)為G,點(diǎn)N分

別在線段/D,CD上，^.AM=^MD,CN=；ND,將沿AW折疊到△腦V。，使GD=2后，則三

棱錐D-NBC的外接球的表面積為.

29.（2023秋?河北秦皇島?高三校聯(lián)考開學(xué)