2024-2025學年云南省昆明市高三（上）摸底數(shù)學試卷（含答案）

20242025學年云南省昆明市高三(上)摸底數(shù)學試卷

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求

的。

1.已知集合A={x|l<%<3},B={x|(x-2)(%-4)<0},則/nB=()

A.(2,3]B.[1,2)C.(一%4)D.[1,4)

2.已知命題p：3zec,z2+1<0,貝Ijp的否定是()

A.VzEC,z2+1<0B.Vz6C,z2+1>0

C.3zGC,z2+1<0D.3zGC,z2+1>0

3.正項等差數(shù)列的公差為d,已知a1=4,且a3-2,劭三項成等比數(shù)列，則d=()

A.7B.5C.3D.1

4.若sinl600=m,則sin40°=()

A.—2mB.—2mV1—m2C.—2mV1+m2D.2mV1—m2

5.已知向量五二(1,2),|五+b|=若bl(b—2方)，則cos位,5)=()

6.函數(shù)/(%)=ln(A^TT+k%)是奇函數(shù)且在R上單調(diào)遞增，貝味的取值集合為()

A.{-1}B.{0}C.{1}D.{-1,1}

7.函數(shù)f(x)=3s譏(3X+>0,若/(乃</(2兀)對％6R恒成立，且/O)在49］上有3條對稱軸，則

8.設(shè)橢圓E：福+A=l(a>6>0)的右焦點為F,過坐標原點。的直線與E交于4B兩點，點C滿足#=

|正，若布?云=0,而?鐘=0,貝UE的離心率為()

A—B—Q—￡)—

A.9B.7。5U-3

二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。

9.數(shù)列{an}的前n項和為%,已知%=kl一2n(keR),則下列結(jié)論正確的是()

A.{廝}為等差數(shù)列B.{%J不可能為常數(shù)列

C.若{an}為遞增數(shù)列，貝味>0D.若{Sn}為遞增數(shù)列，貝瞌>1

10.甲、乙兩班各有50位同學參加某科目考試，考后分另U以％=0.8%1+2。、%=。*75刀2+25的方式賦

分，其中與,冷分別表示甲、乙兩班原始考分，%，均分別表示甲、乙兩班考后賦分.已知賦分后兩班的平

均分均為60分，標準差分別為16分和15分，則()

A.甲班原始分數(shù)的平均數(shù)比乙班原始分數(shù)的平均數(shù)高

B.甲班原始分數(shù)的標準差比乙班原始分數(shù)的標準差高

C.甲班每位同學賦分后的分數(shù)不低于原始分數(shù)

D.若甲班王同學賦分后的分數(shù)比乙班李同學賦分后的分數(shù)高，則王同學的原始分數(shù)比李同學的原始分數(shù)高

11.已知函數(shù)"%)及其導函數(shù)尸(%)的定義域為R,若+1)與/(%)均為偶函數(shù)，且/(—1)+/(1)=2,則

下列結(jié)論正確的是()

A.f(l)=0B.4是1(久)的一個周期

C.f(2024)=0D.f(x)的圖象關(guān)于點(2,1)對稱

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.曲線/(X)=ex-x在x=0處的切線方程為.

13.若復數(shù)z=4(1+sind-"羅)+is譏8(0<6<兀)在復平面內(nèi)對應的點位于直線y=x.L,貝U/l的最大值

為.

14.過拋物線C：必=3久的焦點作直線/交c于a,B兩點，過4B分別作/的垂線與x軸交于M,N兩點，若

\AB\=12,則|MN|=.

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

15.(本小題13分)

記△ABC的內(nèi)角4,B,C的對邊分別為a,b,c,已知a—26+2ccosA=0.

(1)求角C；

(2)若AB邊上的高為1,△ABC的面積為苧，求AABC的周長.

16.(本小題15分)

如圖，PC是圓臺OiG的一條母線，AABC是圓。2的內(nèi)接三角形，48為圓G的直徑，4B=4,4C=2，2

(1)證明：AB1PC；

(2)若圓臺Oi。2的高為3,體積為7兀，求直線與平面P8C夾角的正弦值.

17.(本小題15分)

已知函數(shù)/'(%)=Inx+ax.

(1)若/(%)<0在X￡(0,+8)恒成立，求a的取值范圍；

(2)若a=l,g(?=/(靖)—，(乃，證明：g(x)存在唯一極小值點X。66,1),且以沏)>2.

18.(本小題17分)

動點M(%y)到直線匕：y=久與直線G：y=-V3久的距離之積等于"且|y|<.記點M的軌跡方程

為r.

(1)求「的方程；

(2)過r上的點P作圓Q：*2+(y—4)2=1的切線PT,T為切點，求|PT|的最小值；

(3)已知點G(0,§,直線八丫=左久+2(卜>0)交廠于點4,B,「上是否存在點C滿足襦+區(qū)+岳=6?若

存在，求出點C的坐標；若不存在，說明理由.

19.(本小題17分)

設(shè)ziCN,數(shù)對(a”時)按如下方式生成：(的,編)=(0,0),拋擲一枚均勻的硬幣，當硬幣的正面朝上時，

若即>時,則(%i+i，6n+1)=(%+1,%+1),否則(。"+1，%+1)=(冊+1,—);當硬幣的反面朝上時，若

bn>an,貝！J(an+i，g+i)=(a.+1,6n+1),否則(c1n+i，6“+i)=(a”6n+1),拋擲n次硬幣后，記與=刈的

概率為七.

(1)寫出(口2，無)的所有可能情況，并求B，Pz；

(2)證明：｛匕一基是等比數(shù)列，并求分；

(3)設(shè)拋擲幾次硬幣后廝的期望為品，求扁-

參考答案

1.71

2.5

3.C

4.0

5.C

6.C

1.B

8.D

9.AC

1Q.ACD

11.ABD

12.y=1

13.72-1

14.8/3

15.解:(1)由a-2b+2ccosA=0,根據(jù)正弦定理得sinA—2sinB+2s譏CcosA=0,

將sinB=sin(4+C)=sinAcosC+cosAsinC代入，整理得sbi4(l—2cosC)=0,

因為46(0㈤，可得sinA〉0,所以l—2cosC=0,即cosC=(結(jié)合Ce(0,?r),得C=最

(2)因為△48C的48邊上的高九=1,所以S-BC=：由=?，解得c=纓.

由C=*得SMBC=3岫力嗎=}解得ab=*

根據(jù)余弦定理c?-a2+b2-2abeos]=得a?+人2_仍=$即①+b?-3ab=

可得(a+b)2=3ab+|=y,所以a+b=號三

因止匕，△ABC的周長a+6+c=—y-+—y-=2V-3"

16.解：(1)證明：因為PC是圓臺。1。2的一條母線，所以PC與。1。2的延長線必(司

相交，//'

所以P,C,。1，。2四點共面，/

連接。1。2，02C,0止，則。1。2J_平面4BC,

因為4Bu平面48C,所以。1。21力B,

因為△ABC是圓。2的內(nèi)接三角形，48為圓。2的直徑，所以4C1BC,

因為28為圓。2的直徑，AB=4,AC=2AA2,

22

所以BC=y/AB-AC=272=AC，所以AB102C,

因為。1O2n02C=02,所以AB1平面。1O2CP,

因為PCu平面。1。2cP,所以481PC；

(2)因為圓臺。1O2的高為3,體積為7兀，設(shè)圓3的半徑為r,

-1

2

則U=-x3TTx(4+2r+r)=7兀，解得r=1,

因為圓面。1〃圓面。2，圓面。1n平面。102cp=。/,圓面。2rl平面01。2cp=。2。,所以0止〃。2。,

由⑴知,02B,02C,。2。1兩兩互相垂直，

則以。2為坐標原點，02B,02C,。2。1所在直線分別為X,y,Z軸建立空間直角坐標系，如圖，

則4(-2,0,0),5(2,0,0),C(0,2,0),P(0,l,3),

所以麗=(4,0,0)，BC=(-2,2,0).CP=(0,-1,3)>

設(shè)平面PBC的法向量為元=(x,y,z),

則g巴-2久+2y-0,令z=],得％=3,y=3,所以元=(3,3,1),

(n-CP=-y+3z=0

設(shè)直線與平面PBC的夾角為。，

則S譏a=|cos(通，元>|=繇=3=智,

所以直線與平面PBC夾角的正弦值為蟆1

17.解：(1)對/(%)=Inx+a%求導，得/(%)=|+a,

若a>0,當久>0時，>0,則1(%)>0,/(%)單調(diào)遞增，/(%)不可能恒小于等于0,

若Q<0,令尸<)=0,則：+a=0,解得<=

當0<%<-;時，/'(%)>0，/(%)單調(diào)遞增；當久>一;時，f'(x)<0,/(%)單調(diào)遞減，

所以/(%)在％=處取得最大值，f(-=ln(-i)-1,

要使/(%)40恒成立，即解得。工一；，

故a的范圍為(—8,—3；

(2)證明：當a=l時，^(x)=ex—Inx,

因為y=e",y=-：在(0,+8)上單調(diào)遞增，所以,(%)在(0,+8)上單調(diào)遞增，

又9%)=V-^—2<0，/(1)=e-1>°，

故存在％oE(1,l),使得“(%O)=O,即蜻。一2=0,

且當OV%V%o時，“(%)<0；當％〉&時，g'(%)>0,

故g(%)存在唯一極小值點&e0,1),

因為e%o--=0,即仇%0=-%o，

%o

x

故g(%o)=e%°—lnx0=e°+xQ,

因為%°EG，1),且丫=e%+》在G，l)上單調(diào)遞增，

所以0(%o)>96)，即+%。>e2+

1q

又e2>5，故g(%o)>2.

18.解：(1)根據(jù)M(x,y)到直線匕：y=與直線%：y=-Cx的距離之積等于I，

可得吟咧.吟到=[,化簡得|3/—y2|=3,

結(jié)合|y|<C|x|,可得37—y2=3,整理得?=i,即為曲線「的方程；

(2)設(shè)P(x,y),可得|PT|=JPQ2_/=J/+(y_4)2_12=J1y2_8y+16=J乳y一3尸+4,

根據(jù)點P在曲線「：乂2_?=1，可知yeR,所以當y=3時，|PT|最小值為2；

(3)將直線&y=kx+2(fc>0)與37—y2=3消去y,整理得(3—fc2)%2—4kx—7=0,

設(shè)A(%i，yi),8(%2，丫2)，C(%o，y。)，

則％1+%2=^~j2f可得力+、2=k(X]+%2)+4=券^+4?

,4k

%1+%2+%0=0"°=一寸

假設(shè)存在點c,滿足襦+而+屈=6,則4,可得

Q_.,,、—-4k2'

7i+y2+y0=3x-

Vo=4-(為+y2)=^2

由于C（x°,yo）在曲線3/-V=3上，所以3（—煞）2—（言$2=3,

化簡得19k4—661+27=0,gp(fc2-3)(19/c2-9)=0,解得或1=3,

由于/=16必+28（3—必）>0,解得1<7且1力3,所以卜2=1左2=3不符合題意，舍去.

_4k_/19

“3產(chǎn)4:gpc(_/T93

{-4k3、4，4，

綜上所述，存在點c（-集,-|）,使得刀+南+岳=丁

19.解：（1）當拋擲一次硬幣結(jié)果為正時，（的,瓦）=（1,0）；

當拋擲一次硬幣結(jié)果為反時，（的,瓦）=（0,1）;

當拋擲兩次硬幣結(jié)果為（正，正）時，（a2,&2）=（2,1）；

當拋擲兩次硬幣結(jié)果為（正,反）時，（。2,2）=（1，1）；

當拋擲兩次硬幣結(jié)果為（反，正）時，m2，與）=（L1）；

當拋擲兩次硬幣結(jié)果為（反，反）時，@也）=（1,2）.

21

???P1=0,02=1=/?

（2）證明：由題知，|%11bzi|41,

當冊>bn,且擲出反面時，有（。九+1，%+1）=（an,bn+1）,此時冊+i=bn+1,

當%l<bn,且擲出正面時，有（。九+L%+I）=（an+1,bn）,此時冊+i=bn+1,

ill1

Pa

Pn+1=2（n>bn）+^P（an<如）=,[P（an>bn）+P{an</>?）]=-（l-Pn）,

?■>Pn+1一百=-5（匕一E），

???班一芻是以BW=V為首項，4為公比的等比數(shù)歹U,

???4-一扔*

???4=?"（一扔工

（3）設(shè)由1>如與與<“的概率均為冊，

由(2)知，<2?=^(1-^)=1[1-(-1)"]，

111

由題思得E1=lx—+0x-=—,

若an>bn,則an=bn+1,

當下次投擲硬幣為正面朝上時，an+1=an+l,

當下次投擲硬幣時為反面朝上時，冊+1=即，

^an=bn,則下次投擲硬幣為正面朝上時，an+1=an+1,

當下次投擲硬幣為反面朝上時，an