2024年暑假數(shù)學高一升高二題型專練：直線的斜率與傾斜角（6大題型）

專題01直線的斜率與傾斜角（6大題型）

國高頻考點題型復Z歸級__

【題型1直線的斜率】

【題型2直線的傾斜角】

【題型3斜率與傾斜角的關系】

【題型4利用斜率解決三點共線】

【題型5利用斜率解決直線與線段交點】

【題型6利用斜率模型最值范圍問題】

國專項練_____

【題型1直線的斜率】

【典例1】如果直線，先沿X軸負方向平移2個單位長度，再沿y軸正方向平移2個單位

長度后，又回到原來的位置，那么直線/的斜率是（）

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】B

【解析】設4a,〃是直線/上任意一點，

則平移后得到點/'（a—2,6+2）,

于是直線1的斜率k=k.=葉：二"=-L

a-L—a

故選：B

【題型訓練1】

L若過點（一2,一血和點血4）的直線的斜率等于一1,則實數(shù)小的值是（）

A.1B.-3C.3D.-1

【答案】B

【解析】由題意得祟=—1,解得加=一3

故選：B

2.已知直線/經過點4（1,2）,且不經過第四象限，則直線，的斜率4的取值范圍是（）

A.（-1,0]B.[0,1]C.[1,2]D.[0,2]

【答案】D

【解析】由圖可知當直線位于如圖所示的陰影區(qū)域內（包括邊界）時滿足題意，所以直線1

的斜率滿足0WAW2

故選：D

3.已知。（。為坐標原點）是等腰直角三角形的彳的直角頂點，點力在第一象限，/4y=15°,

則斜邊4?所在直線的斜率為

【答案】3或一乖

【解析】設直線*與x軸的交點為C,(圖略)

則N/C〃=180°—//一/月。。=180°-45°-105°=30°,

或//?7=180°-ZA-ZAOC=18Q°-45°-75°=60°.

所以A4s=tan30°=乎或服=tan120°=一木.

4.已知直線/經過點/(I,2)和點庾a,3),求直線)的斜率

①當a=l時，直線)的斜率不存在；

1

②當a#l時，直線)的斜率為UT

故答案為：3或一小

【題型2直線的傾斜角】

【典例2】若過點尸(1—a,1+a)和0⑶2a)的直線的傾斜角為鈍角，則實數(shù)a的取值范圍

是()

A.(-2,1)B.(-1,2)

C.(―°°,0)D.(一8,—2)U(1,+°0)

【答案】A

【解析】?/過點尸(1-1+。)和。(3,2a)的直線的傾斜角為鈍角

???直線的斜率小于o,即y「T<o.

3-1+a

(a—1)(Q+2)<0

??-2va<1

故選A.

【題型訓練2】

1.已知直線，的傾斜角為a,則與/關于x軸對稱的直線的傾斜角為()

A.aB.90°-aC.180°—aD.90°+a

【答案】C

【解析】根據(jù)傾斜角的定義，并結合圖形知，所求直線的傾斜角為180。-a.

故選：C.

2.已知點“(0,@,點N(l,2⑹，則直線的傾斜角為()

A.30°B.60°C.120°D.135°

【答案】B

【解析】設直線腦V的斜率為k,則人速=叵=百.令直線的傾斜角為則

1-0

tan8=百，:.0=^.

故選：B

3.(多選)下列命題中，正確的是()

A.任意一條直線都有唯一的傾斜角

B.一條直線的傾斜角可以為一30°

C.傾斜角為0。的直線有無數(shù)條

D.若直線的傾斜角為。，則sinffe(0,1)

【答案】AC

【解析】任意一條直線都有唯一的傾斜角，傾斜角不可能為負，傾斜角為0°的直線有無數(shù)

條，它們都垂直于y軸，因此A正確，B錯誤，C正確.

D中，當a=0°時，sina=0；當a=90。時，sina=l,故D錯誤.

故選：AC

4.已知點/(2,1),B(3,加，若me-^-1,73-1,則直線的傾斜角的取值范圍

為.

【解析】設直線AB的傾斜角為a,

?.?點A(2,1),B(3,m),

k7—m+1—m_i_1I

直線AB的斜率3-2,

即k的取值范圍為

tanare

又：ad[o,JI),

0,可Uk"

故答案為：L3JL6)

【題型3斜率與傾斜角的關系】

【典例3】已知直線4的斜率為-的，直線4的傾斜角為直線4的傾斜角的一半，則直線4

的斜率為()

C.V3D.不存在

【答案】C

【解析】由直線1的斜率為一石，設其傾斜角為〃，貝I]tan4=-^,

由直線4的傾斜角為直線乙的傾斜角的一半，設直線4的傾斜角為%,則羽=4,

叱“2人浣量=-百(Gtang+l)向-6)=0,解得tan.當

由傾斜角的取值范圍為［°。)，則tan&=6，

故直線4的斜率為6.

故選：C.

【題型訓練3】

1.已知直線/的傾斜角。滿足120。＜a4135。，貝心的斜率上的取值范圍是()

A.-今B.［-73,-1］

_3)

C.＞/3,—1JD.卜8,-1,+??)

【答案】C

【解析】函數(shù)％=tana在(120。,135。］上單調遞增，

又tanl2(T=-G，tanl35°=-l,故人的取值范圍是(-石,-”.

故選：C

2.(多選)已知直線斜率的絕對值為m，則直線的傾斜角可以為()

A.30°B.60°C.120°D.150°

【答案】BC

【解析】由題意得直線的斜率為十或一小，故直線的傾斜角為60?；?20°.

故選：BC

3.若直線/的斜率左6卜6,1),則直線/的傾斜角的取值范圍是()

【答案】A

【解析】設直線/的傾斜角為a,其中ce［0,7i),可得％=tantz,

因為Ze卜6,1),即＜tana＜1,

結合正切函數(shù)的圖象與性質，可得直線/的傾斜角ae

故選：A.

4.已知經過點/(勾2),以一外2加—1)E/0)的直線的傾斜角a的取值范圍是(45°,60°),

試求實數(shù)必的取值范圍.

3m—33

【答案】4＜^4

2—2加一1

【解析】因為尸tana在(45°,60°)上單調遞增，所以l＜tana=〃—『一〈事,從

［卬＞0,［欣0,3J—33

而12成3-2欣/或12卬＞3-2卬＞24而，解得4〈成］

3也一33

綜上，實數(shù)力的取值范圍為4〈欣不

【題型4利用斜率解決三點共線】

【典例4】若月（2,3）,8（3,2）,C（g,機）三點共線，則實數(shù)力的值為.

9

【答案】5

3—2m—?

【解析】設直線488c的斜率分別為人?金，則由斜率公式，得服=K=—1,kBc=、-

二3

2/、

=--（777—2）.

5

,：A,B,。三點共線，：.kAB=kBC,

29

即一1=一三（勿一2）,解得勿=5.

0乙

故答案為：（9

【題型訓練4】

1.若43,1）,6（—2,6）,以8,11）三點在同一條直線上，則實數(shù)6的值為（）

A.2B.3C.9D.—9

【答案】C

【解析】由題意得先（=曷，解得6=-9

故選：C.

2.若/（—2,3）,僅3,2）,“g,加）三點不能構成三角形，則實數(shù)"的值為（）

51

A.2B.—2C.~D.——

【答案】C

【解析】因為4B,。三點不能構成三角形

所以4（—2,3）,8（3,2）,C（g,加）三點共線，

所以JCAB=JCAC,

3-T3-0

即

23-1

---

-2-

2

13-/775

所以一三=r，解得m=5

0u乙

~2

故選：C.

3.已知2（—1,1）,夙x,2）,。（一2,力是斜率為1的直線上的三點，則x+y=.

【答案】0

9—1v—\

【解析】由題意得F7=-五7=1，解得x=0,y=0,所以x+y=O

x-v1一2十1

故答案為：0

4.若4(2,2),8(a,0),C(0,6)(a6W0)三點共線，求證：1+z=7；

abZ

【答案】證明見解析

【解析】由題意得^Qo,解得R#—311.因為4B,C二點共線，所以左0=A4c.

.0—2b—2—2b—2,,11.

又因為skiB=7,,所以o=~c\o,從而aZ)=2a+2b,所以2(—I—)=1,從

a—z0—2a—2(J—2a)/

【題型5利用斜率解決直線與線段交點】

1.【典例5】己知4(2,-3)、5(2,1),若直線/經過點尸(0,-1),且與線段A3有交點，則

/的斜率的取值范圍為()

A.(F,-2]U[2,+⑹B.[-2,2]

C.(-00,-1]u[l,+co)D.[-1,1]

【答案】D-

【解析】過點尸作PCLAB,垂足為點C,如圖所示：

設直線/交線段A3于點M,設直線/的斜率為左，且降=于萬=-1，^B=—=h

當點Af在從點A運動到點C(不包括點C)時，直線/的傾斜角逐漸增大，

此時-1=%V%<0；

當點/在從點C運動到點8時，直線/的傾斜角逐漸增大，此時。(人4km=1.

綜上所述，直線/的斜率的取值范圍是

故選：D.

【題型訓練4】

1.(多選)直線/過點尸(1⑶且斜率為4,若直線，與線段相有公共點，4-L-4),8(2,-3),

則孑可以取()

A.-8B.-5C.3D.4

【答案】AD

【解析】由于直線1過點尸(1,3)且斜率為k,與連接兩點A(T,Y),8(2,-3)的線段有公共

7

點，貝此PA=]，kpB=-6，由圖可知，

y)

^e(-co,-6]u時，直線與線段有交點，根據(jù)選項，可知AD符合.

故選：AD.

2.(多選)若直線/過點戶(1,0),且與以4(2,1),以0,4)為端點的線段有公共點，則直

線/的斜率可能是()

1

-2-D

A.B.2C.

【答案】ACD

10=￡=—/.由圖可知直線，的斜率的取值范圍是(一

【解析】由題意得以1,

8,—^3]U[1,+8),

故選:ACD

3.已知點4(2,3),8(—3,-2),若直線/過點?(1,1),且與線段46始終沒有交點，則直

線1的斜率k的取值范圍是.

【答案】

k\^<k<2

斜率次的取值范圍上k\^<k<2

故答案為:k\^<k<2

4.已知力(3,3),8(-4,2),C(0,-2).

(1)求直線26和AC的斜率；

(2)若點，在線段8c(包括端點)上移動時,求直線的斜率的變化范圍.

5

【答案】⑴'⑵

【解析】（1）由斜率公式可得直線四的斜9—率3嬴1直線/C的斜率嬴=—下9—一3號5.

-4—3（U—JJ

15

故直線AB的斜率為彳直線AC的斜率為亍

（2）如圖所示，」當〃，由6運動到。時，直線組?的斜率由標增大到嬴,所以直線相的斜率

的變化范圍是17'3_.

【題型6利用斜率模型最值范圍問題】

y-1

【典例6]已知實數(shù)x,y滿足方程x+2y=6,當1W&W3時，則—的取值范圍

X—Z

31

【答案】（一8,——]u[—,+8）

【解析】—的幾何意義是過欣X，力，M2,1）兩點的直線的斜率.

因為點〃在函數(shù)x+2尸6的圖象上，且1WXW3,

所以可設該線段為/s,且月（1弓），玖3,?,

「31

kNA~-5,

所以y占-的1取值范圍是（-oo-31]U[I-,+00）

31

故答案為：（一00,—5]u[5，+0°）

【題型訓練4】一

若a＞垃c〉0,則」必,△，的大小關系為（

1.已知函數(shù)f(x)=log3(x+2),)

dbc

卜343c/(a)<f(b)</(c)

cbaabc

c以c)J(a)〈f(b)

cabacb

【答案】B

【解析】作出函數(shù)f（x）=log3（x+2）的大致圖象，如圖所示.

由圖象可知，y軸右側曲線上各點與原點連線的斜率隨x的增大而減小，因為a＞垃c〉0,所

以以

abc

故選:B

2.已知點加x,p)在直線/：尸一9+欄上,當[—2,3]時，則出上的取值范圍為________.

00X

54

【答案】(一8,——]U[—,+00)

【解析】作出函數(shù)F(x)=log3(x+2)的大致圖象，如圖所示.

y~\~2y——2

-=-——7-的幾何意義是過點〃(x,力，M0,—2)的直線的斜率.因為點〃(x,y)

xx—0

v1Q

在直線/：y=—上，且x￡[—2,3],所以設該線段為Z8,且4(—2,3),5(3,2).因

E5+W5

52十2445

所以

,3+2--\>-或4-即一的取值范圍為

為*二23-O332

(-oo--]o[j,+oo)

54

故答案為：(-8,---]O[―,+℃))

23

3.已知4(3,-1),8(1,2),Plx,力是線段加上的動點，則上的取值范圍是.

X

【答案】2]

【解析】因為4(3,-1),6(1,2),2(x,力是線段上的動點，

所以上表示直線OP的斜率.如下圖.

X

_1_f)19_n

因為直線。4的斜率為一r=-：,直線。8的斜率為烹=2.

3—031—U

故答案為：2]

4.數(shù)學家華羅庚曾說：“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微.”事實上，很多代數(shù)問題可以

轉化為幾何問題加以解決.例如，與J(x—a)2+(y—『)2相關的代數(shù)問題,可以轉化為點

4》廣)與點8(。,6)之間的距離的幾何問題.結合上述觀點，函數(shù)/(x)=sinx+：,x

cosx+1v4

的值域為____

【答案】

【解析】如圖所示：設單位圓。上的一點為尸(cosx,sinx),點A(T-l),5(1,0),

則/。)=包土=表示直線上4的斜率，因為x/o,彳

cosx+1V4

故當P與B重合時，的斜率為了(0)=；

當P與C重合時，E4的斜率最大值為/=1

【專項練】

1.如圖所示，若直線4，*4的斜率分別為&，&，%，則()

A.k2<k{<k3B.k{<k2<k3

C.k3<k2<kxD.k3<kx<k2

【答案】A

TT

【解析】設直線4，4，4的傾斜角分別為%，%，%，可得0<%(兀，再由斜

率的定義即可比較用，k2,匕的大小關系.

設直線4,4的傾斜角分別為%，%，%,由圖象知:

所以tan%<tanax<0<tana3,即&<《<0</,

故選：A.

2.直線4，4的傾斜角分別為。，夕，貝|“q=尸”是“tane=tan6”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【解析】因為直線4，4的傾斜角分別為夕，所以2目0,兀）,月耳0,兀），

若tana=tan4,則a=4，

jr

若。=夕=5,貝I]tana,tan尸都不存在，

所以“1=。”是“tana=tan￡”的必要不充分條件，

故選：B.

TT3zr

3.已知直線的傾斜角的范圍是ae,則此直線的斜率次的取值范圍是（）

A.[-1,1]B.[-1,O）U（O,1]

C.[―l,+oo）D.（-oo,-1]D[l,+oo）

【答案】D

【解析】當直線的傾斜角￡力三時，直線的斜率左=tanc,因ee苧，

2144」

jrTTTC）7T

則當a￡[—,—）時，tana21,即左21,當?！辏ā?一]時，tan6Z<-1,即女（一1,

4224

所以直線的斜率k的取值范圍是（—,-!]

故選：D

4.若過點尸（-1,0）的直線與以點4（1,2）,3（-2,石）為端點的線段相交，則直線的傾斜角取值范

圍為（）

712兀7171八n%2萬712%

A.B.C.0,一O--,71D.

143」443吟U~i,~3

【答案】A

【解析】如圖所示，設P4的傾斜角為。，總的傾斜角為4，則所求直線的傾斜角的取值

范圍為[%￡],

易得tana=kPA=丁1"=1，tan°=kPB=~/=一班，

TT27r

又因為04。<乃,04方〈萬，所以（/=1，夕=飛-,

所以所求直線的傾斜角的取值范圍為py.

故選：A.

5.(多選)設直線/過坐標原點，它的傾斜角為。，如果將/繞坐標原點按逆時針方向旋轉

45°,得到直線那么4的傾斜角可能為()

A.。+45°B.a—135°

C.135°-aD.45

【答案】AB

通過圖象可知，

當0。Wa〈135。，乙的傾斜角為。+45°；

當135°Wa〈180°時，A的傾斜角為45。+。-180°=。一135°.

故選：AB

6.(多選)已知點4(2,-1),若在坐標軸上存在一點P,使直線用的傾斜角為45°,則點

P的坐標可能為()

A.(3,0)B.(-3,0)

C.(0,-3)D.(0,3)

【答案】AC

【解析】設x軸上點?E,0)或y軸上點NO,ri).

0+1n+1

由舊名=1,得——7=7-7=1，

m-20-2

得勿=3,27=—3.

故點尸的坐標為(3,0)或(0,-3).

故選：AC

7.若直線1的斜率為“，傾斜角為a,而aG,則"的取值范圍是

L64；L3)

【答案】N，o)U%

【解析】由直線傾斜角的范圍再結合正切函數(shù)的單調性即可求出k的取值范圍.

【解析】當工<a〈工時，走<tana<1,即且Wk〈l；

6433

當§w