人教版六年級下冊數(shù)學思維訓練講義-第三講圓柱與圓錐（二）（含答案）

第三講圓柱與圓錐（二）第一部分：趣味數(shù)學巧算谷垛體積亮亮是個肯動腦、愛學習的好孩子。星期六,爸爸帶亮亮去鄉(xiāng)下的爺爺家玩,正好趕上收谷子的時候,整個打谷場上到處都是一堆一堆的稻谷垛。亮亮感到很新鮮,拉著爸爸的手,繞著這些谷垛走了一圈又一圈,聽爸爸講小時候打谷子的故事。走到一個谷垛前,爸爸突然問:“亮亮,你看看,這個谷垛是什么形狀的啊?”“這個谷垛啊,上頭尖,下面圓,好像是……”亮亮想了想,叫道,“對了,幾何課上老師講過,這種叫做圓錐體。”爸爸接著又問“那你還記得圓錐體的體積計算公式嗎?亮亮眨眨眼,說:“當然記得了,圓錐體的體積,等于π乘底面圓的半徑的平方,再乘高,最后除以3?！薄安诲e不錯”爸爸稱贊道,又指著旁邊另外一個谷垛,說,“那你知道這個谷垛的體積怎么計算嗎?亮亮仔細一看,奇怪啊,別的谷垛的頂上都是尖的，這個谷垛的頂上怎么是平平的呢?這是什么形狀啊?他只好說:“我沒學過這種形狀的體積公式?！卑职中α?說:“傻小子,你都學過圓錐了。你看看,這個谷垛本來應該是個圓錐體的,可是現(xiàn)在,它的頂部被橫著削了一刀,可削去的還是個圓錐啊?！薄鞍?我明白了!”亮亮說,“那就是大圓錐的體積減去小圓錐的體積了,對不對?”“哈哈，儒子可教!這種形狀叫做圓臺,計算它的體積,就是通過圓錐體積相減得到的?！钡诙糠郑毫曨}精講例題1：把底面直徑是10厘米的圓柱形木塊沿底面直徑豎直切成相同的兩塊,表面積增加了80平方厘米。求這個圓柱體的體積。分析：把圓柱體沿底面直徑豎直切成兩塊,表面積要增加兩個長方形的面積,長方形的長是圓柱的底面直徑,寬等于圓柱的高。因此,可以根據(jù)增加的表面積求出圓柱的高,再求圓柱體的體積。圓柱體的高:80÷(2×10)=4(厘米)；圓柱體的體積:3.14×(10÷2)2×4=314(立方厘米)答:這個圓柱的體積是314立方厘米果以,練習1：1.把底面直徑是8厘米的圓柱形木塊沿底面直徑豎直切成相同的兩塊,表面積增加了112平方厘米，求這個圓柱體的體積。2.把一個底面半徑為6厘米、高為10厘米的圓柱體,沿底面直徑豎直切開后,表面積增加多少平方厘米?3.把一個高為7.5分米的圓柱形木塊沿底面直徑豎直切成相同的兩塊,表面積增加了75平方分米,求這個圓柱體的體積。4.有一根圓柱體的木料,如果按如圖1所示：切成4塊,那么表面積會增加288平方厘米，如果按如圖2所示，切成4塊,那么表面積會增加169.56平方厘米。這根木料的體積是多少立方厘米?例題2：一段圓柱體木料,如果截成兩個小圓柱體,它的表面積增加9.42平方厘米；如果沿著底面直徑截成兩個半圓柱體,那么它的表面積將增加100平方厘米，求原來圓柱體的表面積。分析：我們知道,圓柱體的表面積=側面積十底面積×2。圓柱體截成兩個小圓柱體后,增加的9.42平方厘米就是兩個底面的面積和；沿著直徑截成兩個半圓柱體,增加了兩個“直徑×高”的面,增加100平方厘米,因此,直徑×高×2=100,而圓柱體的側面積=直徑×π×高,所以,側面積=100÷2×π100÷2×π+9.42=157+9.42=166.42(平方厘米)答:原來圓柱體的表面積是166.42平方厘米練習2：一段圓柱體木料,如果截成兩個小圓柱體,那么它的表面積增加6.28平方厘米，如果沿著直徑截成兩個半圓柱體,那么它的表面積將增加75平方厘米，求原來圓柱體的表面積。2.有大、小兩種不帶蓋的圓柱形水桶,它們表面積的和是5433平方分米,小桶和大桶的用料面積的比是1:2,小桶的底面周長是62.8分米,大桶的底面周長是94.2分米。求大、小兩個桶的側面積各是多少?3.把一根高為10分米的圓柱鋸成完全相同的兩部分,表面積比原來增加了16平方分米,這根圓柱原來的體積是多少立方分米?例題3：已知一個圓錐的底面半徑和高都等于一個正方體的棱長,這個正方體的體積是216立方分米。求這個圓錐的體積。分析：不妨設圓柱的底面半徑為r,則正方體的體積為r3=216，那么,圓錐的體積為：1/3×πr2×r=226.08(立方分米)答:這個圓錐的體積為226.08立方分米練習3：1.一個圓柱體比一個圓錐體的體積大1200立方厘米,圓柱體的底面積是400平方厘米,比圓錐體的底面積小100平方厘米,圓柱體的高是18厘米,則圓錐體的高是多少厘米?2.一個圓柱體底面積是5平方分米,把它削成一個最大的圓錐,削去部分的體積是6立方分米。求這個圓柱體的高。3.兩個正方體的體積之差是1200立方厘米,如果以每個正方體的一面為底,加工成最大的圓錐,那么加工成的兩個圓錐的體積之差是多少立方厘米？例題4：皮球掉在一個盛有水的圓柱形水桶中．皮球的直徑為12厘米，水桶底面直徑為60厘米．皮球有2/3的體積浸在水中（下圖）。問皮球掉進水中后，水桶的水面升高多少厘米？分析：皮球掉進水中后排擠出一部分水，使水面升高．這部分水的體積的大小等于皮球浸在水中部分的體積，再用這個體積除以圓柱形水桶底面積，就得到水面升高的高度．解：球的體積：＝288π（立方厘米）．水桶的底面積：π×302＝900π（平方厘米）．練習4:1.在一只底面半徑為15厘米的圓柱形水桶里有一個直徑為10厘米的圓柱形鋼材浸沒在水中,當鋼材取出后,桶里的水面下降了2厘米,這段鋼材長多少厘米?2.有一只底面半徑是20厘米的圓柱形水桶,里面有一段底面半徑是5厘米的圓柱體鋼材浸沒在水中。當鋼材從水中取出后,桶里的水下降2厘米。這段鋼材長多少厘米?答:這段鋼材長32厘米3.有一只長方體的玻璃缸,長8分米、寬5分米、高4分米,里面的水深是3.5分米，如果放入一個底面直徑為3分米,高為3分米的圓柱體鐵塊,那么缸里的水會不會溢出來?例題5：一個邊長是20厘米的正方體玻璃缸中裝著水,水中浸沒了一個底面直徑為12厘米、高為5厘米的鐵質圓錐體和一個底面直徑為8厘米、高為5厘米的鐵質圓柱體，當圓錐體和圓柱體都從桶中取出后,桶內水將下降多少厘米?分析：我們知道,鐵質圓錐體圓柱體浸沒于水中,都排開一定體積的水,它們的體積和就等于總排開水的體積。答案：鐵質圓錐體的體積與鐵質圓柱體的體積和為練習5：1.一個底面直徑是6厘米的圓錐形金屬鑄件,放進棱長15厘米的正方體容器的水中,這個鑄件全部被水浸沒,容器中的水面比原來升高1.2厘米，求這個圓錐體的高。(精確到0.1厘米)2.如圖所示,一個圓柱形玻璃杯內盛有水,水面高4厘米，玻璃杯的底面直徑是12厘米,在這個玻璃杯中放進底面直徑是8厘米的圓柱形鐵塊后,水面沒有淹沒鐵塊，這時水面有多高?3.如圖所示,在一個棱長為20厘米的正方體密閉容器的下底固定了個實心圓柱體,容器內盛有m升水時,水面恰好經過圓柱體的上底面，如果將容器倒置那么圓柱體有8厘米露出水面，已知圓柱體的底面積是正方體底面積的1/8，求實心圓柱體的體積。第三部分：數(shù)學史哥德巴赫猜想200多年前，德國的數(shù)學家哥德巴赫發(fā)現(xiàn)每一個大于4的偶數(shù)都可以表示成兩個奇素數(shù)之和，數(shù)學家歐拉表示同意，這個猜想被稱為“哥德巴赫猜想”，人們把這個猜想比喻為“數(shù)學皇冠上的明珠”，1966年，我國數(shù)學家陳景潤在“哥德巴赫猜想”的研究上取得了更加顯著的進展，轟動的國內外數(shù)學界。參考答案：練習1：1.2.3.4.練習2：1.124.03平方厘米2.1+2=3小桶的表面積：5433÷3=1811（平方分米）大桶的表面積：1811×2=3622（平方分米）小桶側面積：1811-3.14×（62.8÷2÷3.14）2=1497（平方分米）大桶側面積：3622-3.14×（94.2÷2÷3.14）2=2915.5（平方分米）3.練習3：1.2.3.練習4：1.10÷2=5(厘米),152×3.14×2÷(52×3.14)=18(厘米)2.3.14×202×2÷(3.14×52)=32(厘米)3.由于鐵塊能完全浸