人教版五年級(jí)下冊數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練講義-第十七講流水問題（含答案）

第五講流水問題第一部分：趣味數(shù)學(xué)兩鼠穿垣兩鼠穿垣今有垣厚五尺，兩鼠對(duì)穿。大鼠日一尺，小鼠亦一尺。大鼠日自倍，小鼠日自半。問：何日相逢？各穿幾何？題意是：有垛厚五尺（舊制長度單位，1尺=10寸）的墻壁，大小兩只老鼠同時(shí)從墻的兩面，沿一直線相對(duì)打洞。大鼠第一天打進(jìn)1尺，以后每天的進(jìn)度為前一天的2倍；小鼠第一天也打進(jìn)1尺，以后每天的進(jìn)度是前一天的一半。它們幾天可以相遇？相遇時(shí)各打進(jìn)了多少？此題刊于我國著名的古典數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》一書的“盈不足”一章中。《九章算術(shù)》成書大約在公元一世紀(jì)，由于年代久遠(yuǎn)，它的作者以及準(zhǔn)確的成書年代，至今尚未能考證出來。該書是采用羅列一個(gè)個(gè)數(shù)學(xué)問題的形式編排的。全書共收集了246道數(shù)學(xué)題，分成九大類，即九章，所以稱為《九章算術(shù)》。

第二部分：奧數(shù)小練船在江河里航行時(shí)，除了本身的前進(jìn)速度外，還受到流水的推送或頂逆，在這種情況下計(jì)算船只的航行速度、時(shí)間和所行的路程，叫做流水行船問題。流水行船問題，是行程問題中的一種，因此行程問題中三個(gè)量（速度、時(shí)間、路程）的關(guān)系在這里將要反復(fù)用到.此外，流水行船問題還有以下兩個(gè)基本公式：順?biāo)俣?船速+水速，（1）逆水速度=船速-水速.（2）這里，船速是指船本身的速度，也就是在靜水中單位時(shí)間里所走過的路程.水速，是指水在單位時(shí)間里流過的路程.順?biāo)俣群湍嫠俣确謩e指順流航行時(shí)和逆流航行時(shí)船在單位時(shí)間里所行的路程。根據(jù)加減法互為逆運(yùn)算的關(guān)系，由公式（l）可以得到：水速=順?biāo)俣?船速，船速=順?biāo)俣?水速。由公式（2）可以得到：水速=船速-逆水速度，船速=逆水速度+水速。這就是說，只要知道了船在靜水中的速度，船的實(shí)際速度和水速這三個(gè)量中的任意兩個(gè)，就可以求出第三個(gè)量。另外，已知船的逆水速度和順?biāo)俣?，根?jù)公式（1）和公式（2），相加和相減就可以得到：船速=（順?biāo)俣?逆水速度）÷2，水速=（順?biāo)俣?逆水速度）÷2?！纠}1】甲、乙兩港間的水路長208千米，一只船從甲港開往乙港，順?biāo)?小時(shí)到達(dá)，從乙港返回甲港，逆水13小時(shí)到達(dá)，求船在靜水中的速度和水流速度?！舅悸穼?dǎo)航】根據(jù)題意，要想求出船速和水速，需要按上面的基本數(shù)量關(guān)系先求出順?biāo)俣群湍嫠俣龋標(biāo)俣群湍嫠俣瓤砂葱谐虇栴}的一般數(shù)量關(guān)系，用路程分別除以順?biāo)?、逆水所行時(shí)間求出。順?biāo)俣龋?08÷8=26（千米/小時(shí)）逆水速度：208÷13=16（千米/小時(shí)）船速：（26+16）÷2=21（千米/小時(shí)）水速：（26—16）÷2=5（千米/小時(shí)）答：船在靜水中的速度為每小時(shí)21千米，水流速度每小時(shí)5千米。練習(xí)一1.甲、乙之間的水路是234千米，一只船從甲港到乙港需9小時(shí)，從乙港返回甲港需13小時(shí)，問船速和水速各為每小時(shí)多少千米？2.一艘每小時(shí)行25千米的客輪，在大運(yùn)河中順?biāo)叫?40千米，水速是每小時(shí)3千米，需要行幾個(gè)小時(shí)？3.一只小船靜水中速度為每小時(shí)30千米。在176千米長河中逆水而行用了11個(gè)小時(shí)。求返回原處需用幾個(gè)小時(shí)?！纠}2】某船在靜水中的速度是每小時(shí)15千米，它從上游甲地開往下游乙地共花去了8小時(shí)，水速每小時(shí)3千米，問從乙地返回甲地需要多少時(shí)間？【思路導(dǎo)航】要想求從乙地返回甲地需要多少時(shí)間，只要分別求出甲、乙兩地之間的路程和逆水速度。從甲地到乙地，順?biāo)俣龋?5+3=18（千米/小時(shí)），甲乙兩地路程：18×8=144（千米），從乙地到甲地的逆水速度：15—3=12（千米/小時(shí)），返回時(shí)逆行用的時(shí)間：144÷12＝12（小時(shí)）。答：從乙地返回甲地需要12小時(shí)。練習(xí)二1.一只船在河里航行，順流而下每小時(shí)行18千米.已知這只船下行2小時(shí)恰好與上行3小時(shí)所行的路程相等.求船速和水速。2.兩個(gè)碼頭相距352千米，一船順流而下，行完全程需要11小時(shí).逆流而上，行完全程需要16小時(shí)，求這條河水流速度。3.A、B兩碼頭間河流長為90千米，甲、乙兩船分別從A、B碼頭同時(shí)啟航.如果相向而行3小時(shí)相遇，如果同向而行15小時(shí)甲船追上乙船，求兩船在靜水中的速度?！纠}3】甲、乙兩港相距360千米，一輪船往返兩港需35小時(shí)，逆流航行比順流航行多花了5小時(shí).現(xiàn)在有一機(jī)帆船，靜水中速度是每小時(shí)12千米，這機(jī)帆船往返兩港要多少小時(shí)？【思路導(dǎo)航】要求帆船往返兩港的時(shí)間，就要先求出水速.由題意可以知道，輪船逆流航行與順流航行的時(shí)間和與時(shí)間差分別是35小時(shí)與5小時(shí)，用和差問題解法可以求出逆流航行和順流航行的時(shí)間。并能進(jìn)一步求出輪船的逆流速度和順流速度。在此基礎(chǔ)上再用和差問題解法求出水速。輪船逆流航行的時(shí)間：（35+5）÷2=20（小時(shí)），順流航行的時(shí)間：（35—5）÷2=15（小時(shí)），輪船逆流速度：360÷20=18（千米/小時(shí)），順流速度：360÷15=24（千米/小時(shí)），水速：（24—18）÷2=3（千米/小時(shí)），帆船的順流速度：12＋3＝15（千米/小時(shí)），帆船的逆水速度：12—3=9（千米/小時(shí)），帆船往返兩港所用時(shí)間：360÷15＋360÷9＝24+40=64（小時(shí)）。答：機(jī)帆船往返兩港要64小時(shí)。練習(xí)三1.乙船順?biāo)叫?小時(shí)，行了120千米，返回原地用了4小時(shí).甲船順?biāo)叫型欢嗡?，用?小時(shí).甲船返回原地比去時(shí)多用了幾小時(shí)？2.一條大河，河中間的水流速度是每小時(shí)8千米，沿岸邊的水流速度是每小時(shí)6千米，一只船在河中間順流而下，6.5小時(shí)行駛260千米，求這只船沿岸邊返回原地需要多少小時(shí)？兩個(gè)碼頭相距352千米，一船順流而下，行完全程需要11小時(shí)，逆流而,上，行完全程周要16小時(shí)，求這條河水流速度?！纠}4】小剛和小強(qiáng)租一條小船，向上游劃去，不慎把水壺掉進(jìn)江中，當(dāng)他們發(fā)現(xiàn)并調(diào)過船頭時(shí)，水壺與船已經(jīng)相距2千米，假定小船的速度是每小時(shí)4千米，水流速度是每小時(shí)2千米，那么他們追上水壺需要多少時(shí)間？【思路導(dǎo)航】此題是水中追及問題，已知路程差是2千米，船在順?biāo)械乃俣仁谴?水速.水壺飄流的速度只等于水速，所以速度差=船順?biāo)俣?水壺飄流的速度=（船速+水速）-水速=船速。路程差÷船速=追及時(shí)間2÷4=0.5（小時(shí)）答：他們二人追回水壺需用0.5小時(shí)。練習(xí)四1.某河有相距45千米的上、下兩碼頭，每天定時(shí)有甲、乙兩艘船速相同的客輪分別從兩碼頭同時(shí)出發(fā)相向而行.一天甲船從上游碼頭出發(fā)時(shí)掉下一物，此物浮于水面順?biāo)h下，4分鐘后，與甲船相距1千米.預(yù)計(jì)乙船出發(fā)后幾小時(shí)可以與此物相遇？2.船往返于相距180千米的兩港之間，順?biāo)滦栌?0小時(shí)，逆水而上,需用15小時(shí)，由于暴雨后水速增加，該船順?biāo)兄灰?小時(shí)，那么逆水而行,需要幾小時(shí)？3.甲乙兩船分別從a港順?biāo)轮?80千米外的b港，靜水中甲船每小時(shí)行56千米，乙船每小時(shí)行40千米，水速為每小時(shí)8千米，乙船出發(fā)1.5小時(shí)，甲船才出發(fā)到b港返回迎面相遇，此處距a崗多少千米？【例題5】甲、乙兩船在靜水中速度分別為每小時(shí)24千米和每小時(shí)32千米，兩船從某河相距336千米的兩港同時(shí)出發(fā)相向而行，幾小時(shí)相遇？如果同向而行，甲船在前，乙船在后，幾小時(shí)后乙船追上甲船？【思路導(dǎo)航】①相遇時(shí)用的時(shí)間336÷（24+32）=336÷56=6（小時(shí)）。②追及用的時(shí)間（不論兩船同向逆流而上還是順流而下）：336÷（32—24）＝42（小時(shí)）。答：兩船6小時(shí)相遇；乙船追上甲船需要42小時(shí)。練習(xí)五1.一位少年短跑選手順風(fēng)跑90米，用了10秒，在同樣的風(fēng)速下，逆風(fēng)跑70米也用了10秒，他在無風(fēng)時(shí)跑100米要用多少秒？2.輪船用同一速度往返于兩碼頭之間，它順流而下行了8小時(shí)，逆流而上行了10小時(shí)，如果水流速度是每小時(shí)3千米，兩碼頭之間的距離是多少千米？3.甲乙兩個(gè)碼頭相距144千米，一艘汽艇在靜水中每小時(shí)行20千米，水流速度是每小時(shí)4千米，求由甲碼頭到乙碼頭順?biāo)行枰獛仔r(shí)?由乙碼頭到甲碼頭逆水而行需要多少小時(shí)？第三部分：數(shù)學(xué)史話元代數(shù)學(xué)家朱世杰朱世杰是我國元代數(shù)學(xué)家，字漢卿,號(hào)松庭，著有《算學(xué)啟蒙》《四元玉鑒》等書。他和秦九韶、李冶、楊輝是我國宋元時(shí)期最著名的數(shù)學(xué)家。

關(guān)于朱世杰的生平，遺留下來的資料很少.在別人為他的著作所寫的序言中有:“燕山松庭朱先生以數(shù)學(xué)名家周游湖海二十余年矣，四方之來學(xué)者日眾”“漢卿名世杰，松庭其自號(hào)也，周流四方，復(fù)游廣陵，踵門而學(xué)者云集”。由此可知，朱世杰曾以數(shù)學(xué)教學(xué)和數(shù)學(xué)研究為業(yè)，游學(xué)四方。他從事這些活動(dòng)的時(shí)代，大約是在13世紀(jì)后期的20~30年和14世紀(jì)開頭的10~20年之間。

《算學(xué)啟蒙》全書共三卷20門259個(gè)問題，從簡單的四則運(yùn)算入手，逐步深入，直至高次開方、天元術(shù)等較高深的內(nèi)容，形成了比較完整的體系，在當(dāng)時(shí)是一部較好的數(shù)學(xué)啟蒙讀本。在全書開頭，朱世杰列出了各種常用數(shù)據(jù)、基本運(yùn)算法則、歌訣等共18條.其中的歸除歌訣與后世珠算所用歌訣完全相同；所給出的正負(fù)數(shù)乘除法法則，在中國數(shù)學(xué)史上也是首次出現(xiàn)。

《算學(xué)啟蒙》繼承了《九章算術(shù)》以來中國古代數(shù)學(xué)的傳統(tǒng),書中問題大都與當(dāng)時(shí)的社會(huì)實(shí)際生活有關(guān),對(duì)元代社會(huì)史、經(jīng)濟(jì)史的研究，有一定參考價(jià)值。此書曾流傳至朝鮮和日本。中國現(xiàn)存的《算學(xué)啟蒙》，就是根據(jù)1660年的朝鮮刻本于1839年翻刻的。

《四元玉鑒》全書三卷24門288問。從書中所包含的數(shù)學(xué)內(nèi)容來看，高次方程組的(最多可包括四個(gè)未知數(shù))解法、高階等差級(jí)數(shù)求和、高次內(nèi)插法等都是書中的重要內(nèi)容。

在宋代天元術(shù)和增乘開方法的基礎(chǔ)上，13世紀(jì)中葉以后，天元術(shù)迅速發(fā)展成為四元術(shù)。祖頤在為《四元玉鑒》所寫的后序中說:“平陽(山西臨汾)蔣周(13世紀(jì))撰《益古》，博陸(河北蠡縣)李文一撰《照膽》，鹿泉(河北獲鹿)石道信撰《鈐經(jīng)》，平水(山西絳縣)劉汝諧撰《如積釋鎖》，絳(山西新絳)人元裕細(xì)草之，后人始知有天元也。平陽李德載因撰《兩儀群英集臻》，兼有地元.霍山(山西臨汾)邢先生頌不高弟劉大鑒潤夫撰《乾坤括囊》，末僅有人元二問。吾友燕山朱漢卿先生演數(shù)有年，探三才之頤，索《九章》之穩(wěn)，按天地人物立成四元，……”其中講的正是這一段由天元術(shù)發(fā)展到四元術(shù)的歷史。

雖然《四元玉鑒》還只是給出了包含有四次差的公式，但由于朱世杰已經(jīng)知道公式各項(xiàng)系數(shù)正是前述一系列高階等差級(jí)數(shù)(5)式的“積”,可以認(rèn)為朱世杰已經(jīng)通曉了任意高次的招差法公式。這比西方要早四百余年。

綜上所述，朱世杰不愧是宋元時(shí)代杰出的數(shù)學(xué)家。清代《疇人傳續(xù)編》評(píng)論他說“漢卿在宋元間,與秦道古(九韶)、李仁卿(李冶)可稱鼎足而三。道古正負(fù)開方、仁卿天元如積，皆足上下千古，漢卿又兼包眾有，充類盡量,神而明之,尤超越乎秦李兩家之上。”美國著名的科學(xué)史家G?薩頓評(píng)論說:“朱世杰是他所生存時(shí)代的，同時(shí)也是貫穿古今的一位最杰出的數(shù)學(xué)家，而他所著的《四元玉鑒》則是中國數(shù)學(xué)著作中最重要的一部，同時(shí)也是整個(gè)中世紀(jì)最杰出的數(shù)學(xué)著作?！?/p>

參考答案：練習(xí)一1.從甲到乙順?biāo)俣龋?34÷9＝26（千米/小時(shí)）從乙到甲逆水速度：234÷13＝18（千米/小時(shí)）船速是：（26+18）÷2=22（千米/小時(shí)）水速是：（26-18）÷2＝4（千米/小時(shí)）2.順?biāo)俣龋?5+3=28（千米/小時(shí)）順?biāo)?40千米所需時(shí)間：140÷28=5（小時(shí)）3.水速：30-（176÷ll）=14（千米/小時(shí)）返回原處所需時(shí)間：176÷（14＋30）＝4（小時(shí)）練習(xí)二1.逆水速度：18×2÷3=12（千米/小時(shí)）船速：（18+12）÷2=15（千米/小時(shí)）水流速度：（18-12）÷2=3（千米/小時(shí)）2.（352÷11-352÷16）÷2=5（千米/小時(shí)）3.90÷3＝30（千米/小時(shí)）90÷15=6（千米/小時(shí)）甲船速度：（30＋6）÷2=18（千米/小時(shí)）乙船速度：（30-6）÷2＝12（千米/小時(shí)）練習(xí)三1.乙船順?biāo)俣龋?20÷2=60（千米/小時(shí)）乙船逆水速度：120÷4=30（千米/小時(shí)）水流速度：（60-30）÷2＝15（千米/小時(shí)）甲船順?biāo)俣龋?2O÷3＝4O（千米/小時(shí)）甲船逆水速度：40-2×15=10（千米/小時(shí)）甲船逆水航行時(shí)間：120÷10=12（小時(shí)）甲船返回原地比去時(shí)多用時(shí)間：12-3=9（小時(shí)）2.260÷(260÷6.5-8-6)=10(小時(shí))3.(352÷11-352÷16)÷2=5(千米/小時(shí))練習(xí)四1.船速：1000÷4=250（米/分）相遇時(shí)間：45000÷250=180（分）=3（小時(shí)）2.船在靜水中的速度是：(180÷10+180÷15)÷2=5(千米/時(shí))暴雨前水流的速度是：(180÷10-180÷15)÷2=3(千米/時(shí))暴雨后水流的速度是180÷9-15=5(千米/時(shí))暴雨后船逆水而上用的時(shí)間為180÷（15-5）=18（小時(shí)）3.甲船順?biāo)旭?，全程需要?80÷(56+8)=7.5(小時(shí))乙船順?biāo)旭偅绦枰?80÷(40-8)=10小時(shí)甲船到達(dá)b港時(shí)，乙船行駛1.5+7.5=9小時(shí)，還有一小時(shí)的路程48千米，既乙船與甲船的相遇路程。甲船逆水與乙船順?biāo)俣认嗟龋氏嘤鰰r(shí)再相遇路程的中點(diǎn)處，距離b港24千米處，此處距離a港480-2