人教版五年級下冊數(shù)學思維訓練講義-第十七講流水問題（含答案）

第五講流水問題第一部分：趣味數(shù)學兩鼠穿垣兩鼠穿垣今有垣厚五尺，兩鼠對穿。大鼠日一尺，小鼠亦一尺。大鼠日自倍，小鼠日自半。問：何日相逢？各穿幾何？題意是：有垛厚五尺（舊制長度單位，1尺=10寸）的墻壁，大小兩只老鼠同時從墻的兩面，沿一直線相對打洞。大鼠第一天打進1尺，以后每天的進度為前一天的2倍；小鼠第一天也打進1尺，以后每天的進度是前一天的一半。它們幾天可以相遇？相遇時各打進了多少？此題刊于我國著名的古典數(shù)學名著《九章算術(shù)》一書的“盈不足”一章中?！毒耪滤阈g(shù)》成書大約在公元一世紀，由于年代久遠，它的作者以及準確的成書年代，至今尚未能考證出來。該書是采用羅列一個個數(shù)學問題的形式編排的。全書共收集了246道數(shù)學題，分成九大類，即九章，所以稱為《九章算術(shù)》。

第二部分：奧數(shù)小練船在江河里航行時，除了本身的前進速度外，還受到流水的推送或頂逆，在這種情況下計算船只的航行速度、時間和所行的路程，叫做流水行船問題。流水行船問題，是行程問題中的一種，因此行程問題中三個量（速度、時間、路程）的關(guān)系在這里將要反復用到.此外，流水行船問題還有以下兩個基本公式：順水速度=船速+水速，（1）逆水速度=船速-水速.（2）這里，船速是指船本身的速度，也就是在靜水中單位時間里所走過的路程.水速，是指水在單位時間里流過的路程.順水速度和逆水速度分別指順流航行時和逆流航行時船在單位時間里所行的路程。根據(jù)加減法互為逆運算的關(guān)系，由公式（l）可以得到：水速=順水速度-船速，船速=順水速度-水速。由公式（2）可以得到：水速=船速-逆水速度，船速=逆水速度+水速。這就是說，只要知道了船在靜水中的速度，船的實際速度和水速這三個量中的任意兩個，就可以求出第三個量。另外，已知船的逆水速度和順水速度，根據(jù)公式（1）和公式（2），相加和相減就可以得到：船速=（順水速度+逆水速度）÷2，水速=（順水速度-逆水速度）÷2。【例題1】甲、乙兩港間的水路長208千米，一只船從甲港開往乙港，順水8小時到達，從乙港返回甲港，逆水13小時到達，求船在靜水中的速度和水流速度?！舅悸穼Ш健扛鶕?jù)題意，要想求出船速和水速，需要按上面的基本數(shù)量關(guān)系先求出順水速度和逆水速度，而順水速度和逆水速度可按行程問題的一般數(shù)量關(guān)系，用路程分別除以順水、逆水所行時間求出。順水速度：208÷8=26（千米/小時）逆水速度：208÷13=16（千米/小時）船速：（26+16）÷2=21（千米/小時）水速：（26—16）÷2=5（千米/小時）答：船在靜水中的速度為每小時21千米，水流速度每小時5千米。練習一1.甲、乙之間的水路是234千米，一只船從甲港到乙港需9小時，從乙港返回甲港需13小時，問船速和水速各為每小時多少千米？2.一艘每小時行25千米的客輪，在大運河中順水航行140千米，水速是每小時3千米，需要行幾個小時？3.一只小船靜水中速度為每小時30千米。在176千米長河中逆水而行用了11個小時。求返回原處需用幾個小時。【例題2】某船在靜水中的速度是每小時15千米，它從上游甲地開往下游乙地共花去了8小時，水速每小時3千米，問從乙地返回甲地需要多少時間？【思路導航】要想求從乙地返回甲地需要多少時間，只要分別求出甲、乙兩地之間的路程和逆水速度。從甲地到乙地，順水速度：15+3=18（千米/小時），甲乙兩地路程：18×8=144（千米），從乙地到甲地的逆水速度：15—3=12（千米/小時），返回時逆行用的時間：144÷12＝12（小時）。答：從乙地返回甲地需要12小時。練習二1.一只船在河里航行，順流而下每小時行18千米.已知這只船下行2小時恰好與上行3小時所行的路程相等.求船速和水速。2.兩個碼頭相距352千米，一船順流而下，行完全程需要11小時.逆流而上，行完全程需要16小時，求這條河水流速度。3.A、B兩碼頭間河流長為90千米，甲、乙兩船分別從A、B碼頭同時啟航.如果相向而行3小時相遇，如果同向而行15小時甲船追上乙船，求兩船在靜水中的速度。【例題3】甲、乙兩港相距360千米，一輪船往返兩港需35小時，逆流航行比順流航行多花了5小時.現(xiàn)在有一機帆船，靜水中速度是每小時12千米，這機帆船往返兩港要多少小時？【思路導航】要求帆船往返兩港的時間，就要先求出水速.由題意可以知道，輪船逆流航行與順流航行的時間和與時間差分別是35小時與5小時，用和差問題解法可以求出逆流航行和順流航行的時間。并能進一步求出輪船的逆流速度和順流速度。在此基礎上再用和差問題解法求出水速。輪船逆流航行的時間：（35+5）÷2=20（小時），順流航行的時間：（35—5）÷2=15（小時），輪船逆流速度：360÷20=18（千米/小時），順流速度：360÷15=24（千米/小時），水速：（24—18）÷2=3（千米/小時），帆船的順流速度：12＋3＝15（千米/小時），帆船的逆水速度：12—3=9（千米/小時），帆船往返兩港所用時間：360÷15＋360÷9＝24+40=64（小時）。答：機帆船往返兩港要64小時。練習三1.乙船順水航行2小時，行了120千米，返回原地用了4小時.甲船順水航行同一段水路，用了3小時.甲船返回原地比去時多用了幾小時？2.一條大河，河中間的水流速度是每小時8千米，沿岸邊的水流速度是每小時6千米，一只船在河中間順流而下，6.5小時行駛260千米，求這只船沿岸邊返回原地需要多少小時？兩個碼頭相距352千米，一船順流而下，行完全程需要11小時，逆流而,上，行完全程周要16小時，求這條河水流速度。【例題4】小剛和小強租一條小船，向上游劃去，不慎把水壺掉進江中，當他們發(fā)現(xiàn)并調(diào)過船頭時，水壺與船已經(jīng)相距2千米，假定小船的速度是每小時4千米，水流速度是每小時2千米，那么他們追上水壺需要多少時間？【思路導航】此題是水中追及問題，已知路程差是2千米，船在順水中的速度是船速+水速.水壺飄流的速度只等于水速，所以速度差=船順水速度-水壺飄流的速度=（船速+水速）-水速=船速。路程差÷船速=追及時間2÷4=0.5（小時）答：他們二人追回水壺需用0.5小時。練習四1.某河有相距45千米的上、下兩碼頭，每天定時有甲、乙兩艘船速相同的客輪分別從兩碼頭同時出發(fā)相向而行.一天甲船從上游碼頭出發(fā)時掉下一物，此物浮于水面順水飄下，4分鐘后，與甲船相距1千米.預計乙船出發(fā)后幾小時可以與此物相遇？2.船往返于相距180千米的兩港之間，順水而下需用10小時，逆水而上,需用15小時，由于暴雨后水速增加，該船順水而行只要9小時，那么逆水而行,需要幾小時？3.甲乙兩船分別從a港順水而下至480千米外的b港，靜水中甲船每小時行56千米，乙船每小時行40千米，水速為每小時8千米，乙船出發(fā)1.5小時，甲船才出發(fā)到b港返回迎面相遇，此處距a崗多少千米？【例題5】甲、乙兩船在靜水中速度分別為每小時24千米和每小時32千米，兩船從某河相距336千米的兩港同時出發(fā)相向而行，幾小時相遇？如果同向而行，甲船在前，乙船在后，幾小時后乙船追上甲船？【思路導航】①相遇時用的時間336÷（24+32）=336÷56=6（小時）。②追及用的時間（不論兩船同向逆流而上還是順流而下）：336÷（32—24）＝42（小時）。答：兩船6小時相遇；乙船追上甲船需要42小時。練習五1.一位少年短跑選手順風跑90米，用了10秒，在同樣的風速下，逆風跑70米也用了10秒，他在無風時跑100米要用多少秒？2.輪船用同一速度往返于兩碼頭之間，它順流而下行了8小時，逆流而上行了10小時，如果水流速度是每小時3千米，兩碼頭之間的距離是多少千米？3.甲乙兩個碼頭相距144千米，一艘汽艇在靜水中每小時行20千米，水流速度是每小時4千米，求由甲碼頭到乙碼頭順水而行需要幾小時?由乙碼頭到甲碼頭逆水而行需要多少小時？第三部分：數(shù)學史話元代數(shù)學家朱世杰朱世杰是我國元代數(shù)學家，字漢卿,號松庭，著有《算學啟蒙》《四元玉鑒》等書。他和秦九韶、李冶、楊輝是我國宋元時期最著名的數(shù)學家。

關(guān)于朱世杰的生平，遺留下來的資料很少.在別人為他的著作所寫的序言中有:“燕山松庭朱先生以數(shù)學名家周游湖海二十余年矣，四方之來學者日眾”“漢卿名世杰，松庭其自號也，周流四方，復游廣陵，踵門而學者云集”。由此可知，朱世杰曾以數(shù)學教學和數(shù)學研究為業(yè)，游學四方。他從事這些活動的時代，大約是在13世紀后期的20~30年和14世紀開頭的10~20年之間。

《算學啟蒙》全書共三卷20門259個問題，從簡單的四則運算入手，逐步深入，直至高次開方、天元術(shù)等較高深的內(nèi)容，形成了比較完整的體系，在當時是一部較好的數(shù)學啟蒙讀本。在全書開頭，朱世杰列出了各種常用數(shù)據(jù)、基本運算法則、歌訣等共18條.其中的歸除歌訣與后世珠算所用歌訣完全相同；所給出的正負數(shù)乘除法法則，在中國數(shù)學史上也是首次出現(xiàn)。

《算學啟蒙》繼承了《九章算術(shù)》以來中國古代數(shù)學的傳統(tǒng),書中問題大都與當時的社會實際生活有關(guān),對元代社會史、經(jīng)濟史的研究，有一定參考價值。此書曾流傳至朝鮮和日本。中國現(xiàn)存的《算學啟蒙》，就是根據(jù)1660年的朝鮮刻本于1839年翻刻的。

《四元玉鑒》全書三卷24門288問。從書中所包含的數(shù)學內(nèi)容來看，高次方程組的(最多可包括四個未知數(shù))解法、高階等差級數(shù)求和、高次內(nèi)插法等都是書中的重要內(nèi)容。

在宋代天元術(shù)和增乘開方法的基礎上，13世紀中葉以后，天元術(shù)迅速發(fā)展成為四元術(shù)。祖頤在為《四元玉鑒》所寫的后序中說:“平陽(山西臨汾)蔣周(13世紀)撰《益古》，博陸(河北蠡縣)李文一撰《照膽》，鹿泉(河北獲鹿)石道信撰《鈐經(jīng)》，平水(山西絳縣)劉汝諧撰《如積釋鎖》，絳(山西新絳)人元裕細草之，后人始知有天元也。平陽李德載因撰《兩儀群英集臻》，兼有地元.霍山(山西臨汾)邢先生頌不高弟劉大鑒潤夫撰《乾坤括囊》，末僅有人元二問。吾友燕山朱漢卿先生演數(shù)有年，探三才之頤，索《九章》之穩(wěn)，按天地人物立成四元，……”其中講的正是這一段由天元術(shù)發(fā)展到四元術(shù)的歷史。

雖然《四元玉鑒》還只是給出了包含有四次差的公式，但由于朱世杰已經(jīng)知道公式各項系數(shù)正是前述一系列高階等差級數(shù)(5)式的“積”,可以認為朱世杰已經(jīng)通曉了任意高次的招差法公式。這比西方要早四百余年。

綜上所述，朱世杰不愧是宋元時代杰出的數(shù)學家。清代《疇人傳續(xù)編》評論他說“漢卿在宋元間,與秦道古(九韶)、李仁卿(李冶)可稱鼎足而三。道古正負開方、仁卿天元如積，皆足上下千古，漢卿又兼包眾有，充類盡量,神而明之,尤超越乎秦李兩家之上?！泵绹目茖W史家G?薩頓評論說:“朱世杰是他所生存時代的，同時也是貫穿古今的一位最杰出的數(shù)學家，而他所著的《四元玉鑒》則是中國數(shù)學著作中最重要的一部，同時也是整個中世紀最杰出的數(shù)學著作?！?/p>

參考答案：練習一1.從甲到乙順水速度：234÷9＝26（千米/小時）從乙到甲逆水速度：234÷13＝18（千米/小時）船速是：（26+18）÷2=22（千米/小時）水速是：（26-18）÷2＝4（千米/小時）2.順水速度：25+3=28（千米/小時）順水行140千米所需時間：140÷28=5（小時）3.水速：30-（176÷ll）=14（千米/小時）返回原處所需時間：176÷（14＋30）＝4（小時）練習二1.逆水速度：18×2÷3=12（千米/小時）船速：（18+12）÷2=15（千米/小時）水流速度：（18-12）÷2=3（千米/小時）2.（352÷11-352÷16）÷2=5（千米/小時）3.90÷3＝30（千米/小時）90÷15=6（千米/小時）甲船速度：（30＋6）÷2=18（千米/小時）乙船速度：（30-6）÷2＝12（千米/小時）練習三1.乙船順水速度：120÷2=60（千米/小時）乙船逆水速度：120÷4=30（千米/小時）水流速度：（60-30）÷2＝15（千米/小時）甲船順水速度：12O÷3＝4O（千米/小時）甲船逆水速度：40-2×15=10（千米/小時）甲船逆水航行時間：120÷10=12（小時）甲船返回原地比去時多用時間：12-3=9（小時）2.260÷(260÷6.5-8-6)=10(小時)3.(352÷11-352÷16)÷2=5(千米/小時)練習四1.船速：1000÷4=250（米/分）相遇時間：45000÷250=180（分）=3（小時）2.船在靜水中的速度是：(180÷10+180÷15)÷2=5(千米/時)暴雨前水流的速度是：(180÷10-180÷15)÷2=3(千米/時)暴雨后水流的速度是180÷9-15=5(千米/時)暴雨后船逆水而上用的時間為180÷（15-5）=18（小時）3.甲船順水行駛，全程需要，480÷(56+8)=7.5(小時)乙船順水行駛，全程需要，480÷(40-8)=10小時甲船到達b港時，乙船行駛1.5+7.5=9小時，還有一小時的路程48千米，既乙船與甲船的相遇路程。甲船逆水與乙船順水速度相等，故相遇時再相遇路程的中點處，距離b港24千米處，此處距離a港480-2