2025屆高考數(shù)學(xué)統(tǒng)考第二輪專題復(fù)習(xí)第13講直線與圓學(xué)案理含解析

第13講直線與圓高考年份全國(guó)卷Ⅰ全國(guó)卷Ⅱ全國(guó)卷Ⅲ2024直線與圓的位置關(guān)系,圓的幾何性質(zhì)·T11圓心到直線距離的計(jì)算·T5導(dǎo)數(shù)的幾何意義、直線與圓相切·T102024圓與圓的位置關(guān)系,圓與雙曲線的綜合·T112024直線的方程、圓的方程、點(diǎn)到直線的距離·T61.[2024·全國(guó)卷Ⅱ]若過點(diǎn)(2,1)的圓與兩坐標(biāo)軸都相切,則圓心到直線2x-y-3=0的距離為 ()A.55 B.255 C.352.[2024·北京卷]已知半徑為1的圓經(jīng)過點(diǎn)(3,4),則其圓心到原點(diǎn)的距離的最小值為 ()A.4 B.5C.6 D.73.[2024·全國(guó)卷Ⅲ]若直線l與曲線y=x和圓x2+y2=15都相切,則l的方程為 (A.y=2x+1 B.y=2x+1C.y=12x+1 D.y=124.[2024·全國(guó)卷Ⅲ]直線x+y+2=0分別與x軸,y軸交于A,B兩點(diǎn),點(diǎn)P在圓(x-2)2+y2=2上,則△ABP面積的取值范圍是 ()A.[2,6] B.[4,8]C.[2,32] D.[22,32]5.[2024·浙江卷]已知直線y=kx+b(k>0)與圓x2+y2=1和圓(x-4)2+y2=1均相切,則k=,b=.

6.[2024·江蘇卷]在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知P32,0,A,B是圓C:x2+y-122=36上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),滿意PA=PB,則△PAB面積的最大值是.

直線的方程及應(yīng)用1(1)直線l:2x-y+e=0的傾斜角為α,則sin(π-α)sinπ2+α的值為 ()A.-25 B.-C.15 D.(2)若O為坐標(biāo)原點(diǎn),P是直線x-y+2=0上的動(dòng)點(diǎn),則|OP|的最小值為 ()A.22 B.C.3 D.2(3)正方形ABCD的兩個(gè)頂點(diǎn)A,B在直線x+y-4=0上,另兩個(gè)頂點(diǎn)C,D分別在直線2x-y-1=0,4x+y-23=0上,那么正方形ABCD的邊長(zhǎng)為.

【規(guī)律提煉】直線的方程及其應(yīng)用主要考查直線的傾斜角、直線與直線的位置關(guān)系、點(diǎn)到直線的距離等問題,一般比較簡(jiǎn)潔,屬簡(jiǎn)潔題.測(cè)題1.已知0<x<22,0<y<22,且M=(2-x)2+y2+x2+(2A.22 B.23C.2 D.422.將直線l:y=2x+1繞點(diǎn)A(1,3)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)45°得到直線l',則直線l'的方程為 ()A.2x-y+1=0 B.x-y+2=0C.3x-2y+3=0 D.3x+y-6=0圓的方程及應(yīng)用2(1)若圓x2+y2-4x+2y+a=0與x軸、y軸均有公共點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 ()A.(-∞,1] B.(-∞,0] C.[0,+∞) D.[5,+∞)(2)如圖M5-13-1,現(xiàn)有邊長(zhǎng)均為1的正方形、正五邊形、正六邊形及半徑為1的圓各一個(gè),在水平桌面上無滑動(dòng)滾動(dòng)一周,它們的中心的運(yùn)動(dòng)軌跡長(zhǎng)度分別為l1,l2,l3,l4,則()圖M5-13-1A.l1<l2<l3<l4 B.l1<l2<l3=l4C.l1=l2=l3=l4 D.l1=l2=l3<l4【規(guī)律提煉】求圓的方程常用待定系數(shù)法,詳細(xì)有兩條途徑:一是用一般式,二是用標(biāo)準(zhǔn)式.還有一些隱形圓問題也值得留意,可以通過以下方法來確定:(1)利用圓的定義或圓的幾何性質(zhì)確定隱形圓.(2)在平面上給定相異兩點(diǎn)A,B,設(shè)點(diǎn)P在同一平面上且滿意|PA|=λ|PB|,當(dāng)λ>0且λ≠1時(shí),點(diǎn)P的軌跡是個(gè)圓,我們稱這個(gè)圓為阿波羅尼斯圓.(3)已知兩定點(diǎn)A,B,動(dòng)點(diǎn)P滿意PA·PB=λ,確定隱形圓.(4)已知兩定點(diǎn)A,B,動(dòng)點(diǎn)P滿意|PA|2+|PB|2是定值,確定隱形圓.測(cè)題1.已知圓C經(jīng)過兩點(diǎn)A(0,2),B(4,6),且圓心C在直線l:2x-y-3=0上,則圓C的方程為 ()A.x2+y2-6y-16=0 B.x2+y2-2x+2y-8=0C.x2+y2-6x-6y+8=0 D.x2+y2-2x+2y-56=02.已知圓C與直線l:x+y+2=0和圓M:x2+y2+12x+12y+54=0都相切,則半徑最小的圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A.(x+2)2+(y+2)2=2 B.(x-2)2+(y-2)2=2C.(x-4)2+(y-4)2=4 D.(x+4)2+(y+4)2=43.已知圓O:x2+y2=1和A-12,0,若定點(diǎn)B(b,0)b≠-12和常數(shù)λ滿意對(duì)圓O上隨意一點(diǎn)M,都有|MB|=λ|MA|(λ>0且λ≠1),則λ=,△MAB面積的最大值為.

直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系3(1)若過點(diǎn)P(3,1)的直線l是圓C:(x-23)2+y2=4的一條對(duì)稱軸,將直線l繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°得到直線l',則直線l'被圓C截得的弦長(zhǎng)為 ()A.4 B.23 C.2 D.1(2)過直線x+y+2=0上一點(diǎn)P作圓C:(x-3)2+(y+1)2=16的兩條切線,切點(diǎn)分別為A(x1,y1),B(x2,y2),若y22-y12=(x1-x2)(x1+x2-2),則|PA|=A.8 B.45 C.413 D.10(3)[2024·全國(guó)卷Ⅰ]已知☉M:x2+y2-2x-2y-2=0,直線l:2x+y+2=0,P為l上的動(dòng)點(diǎn).過點(diǎn)P作☉M的切線PA,PB,切點(diǎn)為A,B,當(dāng)|PM|·|AB|最小時(shí),直線AB的方程為 ()A.2x-y-1=0 B.2x+y-1=0C.2x-y+1=0 D.2x+y+1=0【規(guī)律提煉】直線與圓的位置關(guān)系既可以從幾何的角度來探究,又可以從方程的角度來解決一些度量問題,體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的思想.對(duì)這類問題的考查,一般會(huì)涉及弦長(zhǎng)、距離的計(jì)算、圓的切線、圓與圓的位置關(guān)系、圓的幾何性質(zhì)等,解答此類問題,“圓的特征直角三角形”“垂徑定理”“切線三角形”等是關(guān)鍵.測(cè)題1.如圖M5-13-2,已知A(2,0),B(1,1),C(-1,1),D(-2,0),CD是以O(shè)D為直徑的圓上的一段圓弧,CB是以BC為直徑的圓上的一段圓弧,BA是以O(shè)A為直徑的圓上的一段圓弧,三段弧構(gòu)成曲線W.下列關(guān)于曲線W的說法中,正確的個(gè)數(shù)為 ()①曲線W與x軸圍成的封閉圖形的面積為2π;②曲線W上共有5個(gè)整點(diǎn)(橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn));③CB所在圓與BA所在圓的公共弦所在直線的方程為x-y=0.圖M5-13-2A.0 B.1 C.2 D.32.已知直線y=-x被圓M:x2+y2+Ey=0(E<0)截得的弦長(zhǎng)為22,且圓N的方程為x2+y2-2x-2y+1=0,則圓M與圓N的位置關(guān)系為 ()A.相交 B.外切 C.相離 D.內(nèi)切3.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知直線l:y=kx+2與圓C:(x-1)2+y2=9相交于A,B兩點(diǎn),過點(diǎn)A,B分別作圓C的切線l1,l2,直線l1與l2交于點(diǎn)P,則線段PC長(zhǎng)度的最小值是.

第13講直線與圓真知真題掃描1.B[解析]因?yàn)檫^點(diǎn)(2,1)的圓與兩坐標(biāo)軸都相切,所以可設(shè)圓心的坐標(biāo)為(a,a)(a>0),則圓的半徑為a.由(a-2)2+(a-1)2=a2,解得a=1或a=5,所以圓心的坐標(biāo)為(1,1)或(5,5).因?yàn)辄c(diǎn)(1,1)到直線2x-y-3=0的距離為|-2|5=255,點(diǎn)(5,5)到直線2x-y-3=0的距離為|2|5=2552.A[解析]設(shè)圓心為C(a,b),則☉C:(x-a)2+(y-b)2=1.因?yàn)閳AC過點(diǎn)(3,4),所以(3-a)2+(4-b)2=1,所以圓心C的軌跡是以A(3,4)為圓心,1為半徑的圓,所以圓心C到原點(diǎn)O的距離的最小值為|AO|-1=5-1=4.故選A.3.D[解析]設(shè)直線l與曲線y=x相切于點(diǎn)(x0,x0)(x0≥0),因?yàn)閥'=12x,所以直線l的方程是y-x0=12x0(x-x0),即x-2x0y+x0=0,又直線l與圓x2+y2=15相切,所以|x0|1+(2x0)2=|x0|4.A[解析]由題意知A(-2,0),B(0,-2),|AB|=22.圓心(2,0)到直線x+y+2=0的距離為|2+0+2|2=22.設(shè)點(diǎn)P到直線AB的距離為d,圓(x-2)2+y2=2的半徑為r,則d∈[22-r,22+r],即d∈[2,32],又△ABP的面積S△ABP=12|AB|·d=2d,所以△ABP面積的取值范圍是[25.33-233[解析]方法一:由題意可得,圓心(0,0)和(4,0)到直線kx-y+b=0的距離都是1,則|b|k2+1=1,|4k+b|k2+1=1,得|b|=|4k+b|.若b=4k+b,則k=0,舍去;若-b=4k+b方法二:如圖所示,兩圓都與直線相切,則Rt△ODB≌Rt△ACB,則B(2,0),AB=2,又AC=1,所以∠ABC=30°,k=tan30°=33.所以直線方程為y=33(x-2),所以b=-6.105[解析]因?yàn)镻A=PB,CA=CB,所以PC⊥AB.設(shè)C到AB的距離為d,則0<d<6,易知當(dāng)P,C在AB同側(cè),且P到AB的距離大于d時(shí),△PAB的面積S能取到最大值,所以S=12×236-d2×(d+1)=(36-d2)(d+1)2.令f(d)=(d+1)2(36-d2),0<d<6,則f'(d)=-2(d+1)(2d+9)(d-4).由f'(d)>0,得0<d<4,由f'(d)<0,得4<d<6,則f(d)在(0,4)上單調(diào)遞增,在(4,考點(diǎn)考法探究小題1例1(1)D(2)B(3)22或142[解析](1)由已知得tanα=2,則sin(π-α)sinπ2+α=sinαcosα=sinαcosαsin2α+cos2(2)由題意知,當(dāng)OP垂直于直線x-y+2=0時(shí),|OP|取得最小值,最小值為|2|12+(-(3)由題可設(shè)直線CD的方程為x+y+m=0(m≠-4),由2x-y-1=0,x+由4x+y-23=0,x+∴|CD|=223|m+∵直線AB與直線CD間的距離d=|m∴223|m+11|=|m+4|2,解得m=-8或m=-32,則|CD|=22或142,即正方形ABCD的邊長(zhǎng)為【自測(cè)題】1.D[解析](2-x)2+y2表示點(diǎn)(x,y)到A(2,0)的距離,x2+(2-y)2表示點(diǎn)(x,y)到B(0,2)的距離,(2-x)2+(22-y)2表示點(diǎn)(x,y)到C(2,22)的距離,(22-x)當(dāng)P在線段AC(不包含端點(diǎn))上時(shí),(2-x)當(dāng)P在線段BD(不包含端點(diǎn))上時(shí),x2+(2∴當(dāng)P為線段AC與BD的交點(diǎn)時(shí),M取得最小值,最小值為|AC|+|BD|=42,故選D.2.D[解析]設(shè)直線l:y=2x+1的傾斜角為α,則tanα=2.由題知直線l'的斜率k=tan(45°+α)=1+21-2=-3,所以直線l'的方程為y-3=-3(x-1),即3x+y-6=0,小題2例2(1)A(2)B[解析](1)將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程得(x-2)2+(y+1)2=5-a,由于該圓與x軸、y軸均有公共點(diǎn),故5-a>0,5-a≥2,5-a≥1,(2)由題意可知,它們的中心滾動(dòng)一周的運(yùn)動(dòng)軌跡都是圓,設(shè)圓的半徑分別為r1,r2,r3,r4,則由題意可知,r1=22,r2=12sin36°∈22,1,r3=1,r4=1,得r1<r2<r3=r因?yàn)閘1=2πr1,l2=2πr2,l3=2πr3,l4=2πr4,所以l1<l2<l3=l4,故選B.【自測(cè)題】1.C[解析]因?yàn)榫€段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(2,4),直線AB的斜率為6-24-0=1,所以線段AB的垂直平分線方程為y-4=-(x-2),即y=6-x,與直線l的方程聯(lián)立,得圓心坐標(biāo)為(3,3).因?yàn)閳AC的半徑r=(3-0)2+(3-2)2=10,所以圓C的方程為(x-3)2+(y-3)2=10,2.A[解析]由題得圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x+6)2+(y+6)2=18,則圓心為M(-6,-6),半徑r=32,點(diǎn)M到直線l:x+y+2=0的距離d=|-6-6+2|設(shè)四個(gè)選項(xiàng)中圓的圓心分別為點(diǎn)A,B,C,D,明顯以B和C為圓心的圓不行能既與圓M相切又與直線l相切,而圓D與圓M和直線l都不相切,只有圓A與圓M和直線l都相切.故選A.3.234[解析]設(shè)M(x,y),由|MB|=λ|MA|,得(x-b)2+y2=λ2x+122+y2,整理得x2+y2-2b+λ21所以2b+易知當(dāng)M的坐標(biāo)為(0,1)或(0,-1)時(shí),S△MAB取得最大值,最大值為12×1×32=小題3例3(1)B(2)A(3)D[解析](1)由題意知,點(diǎn)P在圓C上,且圓心C在直線l上,所以|PC|=2.如圖,設(shè)l'與圓C交于P,Q兩點(diǎn),線段PQ的中點(diǎn)為H,連接HC,則在Rt△PHC中,|PH|=|PC|cos30°=3,故直線l'被圓C截得的弦長(zhǎng)為2|PH|=23.故選B.(2)連接AB,PC,AC,取AB的中點(diǎn)Q,易知C(3,-1),設(shè)E(1,0),由y22-y12=(x1-x2)(x1+x2-2),得y2-y1x2-x1·y1+y22x1+x22-1=-1,即kAB·kEQ=-1,∴AB⊥EQ,∴P,C,E三點(diǎn)共線∴|PA|=|PC|2-16=80-(3)連接AM,BM,由題知☉M的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-1)2+(y-1)2=4.設(shè)|PM|=t,則|PA|=t2-4.∵四邊形APBM的面積S=|PA|·|AM|=12|AB|·|PM|,∴|AB|=2