2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第10章概率專題訓(xùn)練含解析新人教A版必修第二冊

PAGE專題強(qiáng)化訓(xùn)練(五)概率(建議用時(shí)：40分鐘)一、選擇題1．一個(gè)人打靶時(shí)連續(xù)射擊兩次，事務(wù)“至少有一次中靶”的互斥事務(wù)是()A．至多有一次中靶 B．兩次都中靶C．只有一次中靶 D．兩次都不中靶D[射擊兩次的結(jié)果有：一次中靶；兩次中靶；兩次都不中靶，故至少一次中靶的互斥事務(wù)是兩次都不中靶．]2．從某班學(xué)生中隨意找出一人，假如該同學(xué)的身高小于160cm的概率為0.2，該同學(xué)的身高在[160,175](單位：cm)內(nèi)的概率為0.5，那么該同學(xué)的身超群過175cm的概率為()A．0.2 B．0.3C．0.7 D．0.8B[因?yàn)楸囟ㄊ聞?wù)發(fā)生的概率是1，所以該同學(xué)的身超群過175cm的概率為1－0.2－0.5＝0.3，故選B．]3．圍棋盒子中有多粒黑子和白子，已知從中取出2粒都是黑子的概率為eq\f(1,7)，都是白子的概率是eq\f(12,35)，則從中隨意取出2粒恰好是同一色的概率是()A．eq\f(1,7)B．eq\f(12,35)C．eq\f(17,35) D．1C[設(shè)“從中取出2粒都是黑子”為事務(wù)A，“從中取出2粒都是白子”為事務(wù)B，“隨意取出2粒恰好是同一色”為事務(wù)C，則C＝A∪B，且事務(wù)A與B互斥．所以P(C)＝P(A)＋P(B)＝eq\f(1,7)＋eq\f(12,35)＝eq\f(17,35).即隨意取出2粒恰好是同一色的概率為eq\f(17,35).]4．打靶時(shí)甲每打10次，可中靶8次；乙每打10次，可中靶7次．若兩人同時(shí)射擊一個(gè)目標(biāo)，則他們都中靶的概率是()A．eq\f(3,5)B．eq\f(3,4)C．eq\f(12,25)D．eq\f(14,25)D[由題意知甲中靶的概率為eq\f(4,5)，乙中靶的概率為eq\f(7,10)，兩人打靶相互獨(dú)立，同時(shí)中靶的概率為eq\f(4,5)×eq\f(7,10)＝eq\f(14,25).]5．若某公司從五位高校畢業(yè)生甲、乙、丙、丁、戊中錄用三人，這五人被錄用的機(jī)會(huì)均等，則甲或乙被錄用的概率為()A．eq\f(2,3)B．eq\f(2,5)C．eq\f(3,5)D．eq\f(9,10)D[由題意知，從五位高校畢業(yè)生中錄用三人，試驗(yàn)的樣本空間Ω＝{(甲，乙，丙)，(甲，乙，丁)，(甲，乙，戊)，(甲，丙，丁)，(甲，丙，戊)，(甲，丁，戊)，(乙，丙，丁)，(乙，丙，戊)，(乙，丁，戊)，(丙，丁，戊)}，共10個(gè)樣本點(diǎn)，其中“甲與乙均未被錄用”包含的樣本點(diǎn)有(丙，丁，戊)，共1個(gè)，故其對立事務(wù)“甲或乙被錄用”包含的樣本點(diǎn)有9個(gè)，所求概率P＝eq\f(9,10).]二、填空題6．“鍵盤俠”一詞描述了部分網(wǎng)民在現(xiàn)實(shí)生活中膽小怕事、自私自利，卻習(xí)慣在網(wǎng)絡(luò)上大放厥詞的一種現(xiàn)象．某地新聞欄目對該地區(qū)群眾對“鍵盤俠”的認(rèn)可程度進(jìn)行調(diào)查：在隨機(jī)抽取的50人中，有14人持認(rèn)可看法，其余持反對看法，若該地區(qū)有9600人，則可估計(jì)該地區(qū)對“鍵盤俠”持反對看法的有________人．6912[在隨機(jī)抽取的50人中，持反對看法的頻率為1－eq\f(14,50)＝eq\f(18,25)，則可估計(jì)該地區(qū)對“鍵盤俠”持反對看法的有9600×eq\f(18,25)＝6912(人)．]7．在3張獎(jiǎng)券中有一、二等獎(jiǎng)各1張，另1張無獎(jiǎng)．甲、乙兩人各抽取1張，兩人都中獎(jiǎng)的概率是________．eq\f(1,3)[設(shè)中一、二等獎(jiǎng)及不中獎(jiǎng)分別記為1,2,0，那么甲、乙抽獎(jiǎng)結(jié)果有(1,2)，(1,0)，(2,1)，(2,0)，(0,1)，(0,2)，共6種．其中甲、乙都中獎(jiǎng)有(1,2)，(2,1)，共2種，所以P(A)＝eq\f(2,6)＝eq\f(1,3).]8．用兩種不同的顏色給圖中三個(gè)矩形隨機(jī)涂色，每個(gè)矩形只涂一種顏色，則相鄰兩個(gè)矩形涂不同顏色的概率是________．eq\f(1,4)[由于只有兩種顏色，不妨將其設(shè)為1和2，若只用一種顏色有111；222.若用兩種顏色有122；212；221；211；121；112.所以共8個(gè)樣本點(diǎn)．又相鄰兩個(gè)矩形顏色各不相同的有2種，故所求概率為eq\f(1,4).]三、解答題9．對一批U盤進(jìn)行抽檢，結(jié)果如下表：抽出件數(shù)a50100200300400500次品件數(shù)b345589次品頻率eq\f(b,a)(1)計(jì)算表中次品的頻率；(2)從這批U盤中隨意抽取一個(gè)是次品的概率約是多少？(3)為保證買到次品的顧客能夠剛好更換，要銷售2000個(gè)U盤，至少需進(jìn)貨多少個(gè)U盤？[解](1)表中次品頻率從左到右依次為0.06,0.04，0.025，0.017,0.02,0.018.(2)當(dāng)抽取件數(shù)a越來越大時(shí)，出現(xiàn)次品的頻率在0.02旁邊搖擺，所以從這批U盤中隨意抽取一個(gè)是次品的概率約是0.02.(3)設(shè)須要進(jìn)貨x個(gè)U盤，為保證其中有2000個(gè)正品U盤，則x(1－0.02)≥2000，因?yàn)閤是正整數(shù)，所以x≥2041，即至少需進(jìn)貨2041個(gè)U盤．10．某中學(xué)組織了一次數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)水平模擬測試，學(xué)校從測試合格的男、女生中各隨機(jī)抽取100人的成果進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，分別制成了如圖所示的男生和女生數(shù)學(xué)成果的頻率分布直方圖．(注：分組區(qū)間為[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100])(1)若得分大于或等于80認(rèn)定為優(yōu)秀，則男、女生的優(yōu)秀人數(shù)各為多少？(2)在(1)中所述的優(yōu)秀學(xué)生中用分層隨機(jī)抽樣的方法抽取5人，從這5人中隨意選取2人，求至少有一名男生的概率．[解](1)由題可得，男生優(yōu)秀人數(shù)為100×(0.01＋0.02)×10＝30，女生優(yōu)秀人數(shù)為100×(0.015＋0.03)×10＝45.(2)因?yàn)闃颖救萘颗c總體中的個(gè)體數(shù)的比是eq\f(5,30＋45)＝eq\f(1,15)，所以樣本中包含的男生人數(shù)為30×eq\f(1,15)＝2，女生人數(shù)為45×eq\f(1,15)＝3.設(shè)抽取的5人分別為A，B,C,D，E，其中A，B為男生，C,D，E為女生，從這5人中隨意選取2人，試驗(yàn)的樣本空間Ω＝{(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(C，D)，(C，E)，(D，E)}，共10個(gè)樣本點(diǎn)．事務(wù)“至少有一名男生”包含的樣本點(diǎn)有：(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，共7個(gè)樣本點(diǎn)，故至少有一名男生的概率為P＝eq\f(7,10)，即選取的2人中至少有一名男生的概率為eq\f(7,10).11．拋擲兩枚質(zhì)地勻稱的硬幣，A＝{第一枚為正面對上}，B＝{其次枚為正面對上}，則事務(wù)C＝{兩枚向上的面為一正一反}的概率為()A．0.25 B．0.5C．0.75 D．0.375B[P(A)＝P(B)＝eq\f(1,2)，P(eq\x\to(A))＝P(eq\x\to(B))＝eq\f(1,2).則P(C)＝P(Aeq\x\to(B)＋eq\x\to(A)B)＝P(A)P(eq\x\to(B))＋P(eq\x\to(A))P(B)＝eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＝0.5，故選B．]12．連擲兩次骰子分別得到點(diǎn)數(shù)m，n，則向量(m，n)與向量(－1,1)的夾角θ>90°的概率是()A．eq\f(5,12)B．eq\f(7,12)C．eq\f(1,3)D．eq\f(1,2)A[∵向量(m，n)與向量(－1,1)的夾角θ＞90°，∴(m，n)·(－1,1)＝－m＋n<0，∴m>n.樣本點(diǎn)總共有6×6＝36(個(gè))，符合要求的有(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，…，(5,4)，(6,1)，…，(6,5)，共1＋2＋3＋4＋5＝15(個(gè))．∴P＝eq\f(15,36)＝eq\f(5,12)，故選A．]13．現(xiàn)有7名數(shù)理化成果優(yōu)秀者，分別用A1，A2，A3，B1，B2，C1，C2表示，其中A1，A2，A3的數(shù)學(xué)成果優(yōu)秀，B1，B2的物理成果優(yōu)秀，C1，C2的化學(xué)成果優(yōu)秀．從中選出數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)成果優(yōu)秀者各1名，組成一個(gè)小組代表學(xué)校參與競賽，則A1和B1不全被選中的概率為________．eq\f(5,6)[從這7人中選出數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)成果優(yōu)秀者各1名，試驗(yàn)的樣本空間為Ω＝{(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)，(A1，B2，C1)，(A1，B2，C2)，(A2，B1，C1)，(A2，B1，C2)，(A2，B2，C1)，(A2，B2，C2)，(A3，B1，C1)，(A3，B1，C2)，(A3，B2，C1)，(A3，B2，C2)}，共12個(gè)樣本點(diǎn)，設(shè)“A1和B1不全被選中”為事務(wù)N，則其對立事務(wù)eq\x\to(N)表示“A1和B1全被選中”，由于eq\x\to(N)＝{(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)}，所以P(eq\x\to(N))＝eq\f(2,12)＝eq\f(1,6)，由對立事務(wù)的概率計(jì)算公式得P(N)＝1－P(eq\x\to(N))＝1－eq\f(1,6)＝eq\f(5,6).]14．甲、乙兩組各四名同學(xué)的植樹棵數(shù)如下，甲：9,9,11,11，乙：X,8,9,10，其中有一個(gè)數(shù)據(jù)模糊，無法確認(rèn)，以X表示．(1)假如X＝8，求乙組同學(xué)植樹棵數(shù)的平均數(shù)和方差；(2)假如X＝9，分別從甲、乙兩組中隨機(jī)選取一名同學(xué)，求這兩名同學(xué)的植樹總棵數(shù)為19的概率．[解](1)當(dāng)X＝8時(shí)，乙組四名同學(xué)的植樹棵數(shù)分別是8,8,9,10，故eq\o(x,\s\up7(－))＝eq\f(8＋8＋9＋10,4)＝eq\f(35,4)，s2＝eq\f(1,4)×eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(8－\f(35,4)))eq\s\up12(2)×2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(9－\f(35,4)))eq\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(10－\f(35,4)))eq\s\up12(2)))＝eq\f(11,16).(2)當(dāng)X＝9時(shí)，記甲組四名同學(xué)分別為A1，A2，A3，A4，他們植樹的棵數(shù)依次為9,9,11,11；乙組四名同學(xué)分別為B1，B2，B3，B4，他們植樹的棵數(shù)依次為9,8,9,10.分別從甲、乙兩組中隨機(jī)選取一名同學(xué)，試驗(yàn)的樣本空間Ω＝{(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A1，B4)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A2，B4)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，B3)，(A3，B4)，(A4，B1)，(A4，B2)，(A4，B3)，(A4，B4)}，共16個(gè)樣本點(diǎn)．設(shè)“選出的兩名同學(xué)的植樹總棵數(shù)為19”為事務(wù)C，則事務(wù)C中包含的樣本點(diǎn)有(A1，B4)，(A2，B4)，(A3，B2)，(A4，B2)，共4個(gè)．故P(C)＝eq\f(4,16)＝eq\f(1,4).15．市民李先生居住在甲地，工作在乙地，他的小孩就讀的小學(xué)在丙地，三地之間的道路狀況如圖所示．假設(shè)工作日不走其他道路，只在圖示的道路中來回，每次在路口選擇道路是隨機(jī)的．同一條道路去程與回程是否堵車相互獨(dú)立．假設(shè)李先生早上須要先開車送小孩去丙地上學(xué)，再返回經(jīng)甲地趕去乙地上班．假設(shè)道路A，B，D上下班時(shí)間來回出現(xiàn)擁堵的概率都是eq\f(1,10)，道路C，E上下班時(shí)間來回出現(xiàn)擁堵的概率都是eq\f(1,5)，只要遇到擁堵上學(xué)和上班的都會(huì)遲到．(1)求李先生的小孩按時(shí)到校的概率；(2)李先生是否有七成把握能夠按時(shí)上班？[解](1)因?yàn)榈缆稤，E上班時(shí)間來回出現(xiàn)擁堵的概率分別是eq\f(1,10)和eq\f(1,5)，所以從甲到丙出現(xiàn)擁堵的概率是eq\f(1,2)×eq\f(1,10)＋eq\f(1,2)×eq\f(1,5)＝eq\f(3,20)，所以李先生的小孩能夠按時(shí)到校的概率是1－eq\f(3,20)＝eq\f(17,20).(2)由(1)知，甲到丙沒有出現(xiàn)擁堵的概率是eq\f(17