2024-2025高中數(shù)學(xué)第二章平面向量2.1平面向量的實(shí)際背景及基本概念學(xué)案含解析新人教A版必修4

PAGE4-2.1[基礎(chǔ)鞏固](25分鐘，60分)一、選擇題(每小題5分，共25分)1．下列物理量：①質(zhì)量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度；⑧功．其中不是向量的有()A．1個B．2個C．3個D．4個解析：一個量是不是向量，就是看它是否同時具備向量的兩個要素：大小和方向．由于速度、位移、力、加速度都是由大小和方向確定的，所以是向量；而質(zhì)量、路程、密度、功只有大小而沒有方向，所以不是向量．答案：D2．下列命題中，正確命題的個數(shù)是()①單位向量都共線；②長度相等的向量都相等；③共線的單位向量必相等；④與非零向量a共線的單位向量是eq\f(a,|a|).A．3B．2C．1D．0解析：依據(jù)單位向量的定義，可知①②③明顯是錯誤的，對于④，與非零向量a共線的單位向量是eq\f(a,|a|)或－eq\f(a,|a|)，故④也是錯誤的．答案：D3．下列命題中，正確的是()A．|a|＝|b|?a＝bB．|a|>|b|?a>bC．a(chǎn)＝b?a∥bD．|a|＝0?a＝0解析：由零向量的定義，可知D選項(xiàng)是正確的，故選D.答案：D4．如圖，等腰梯形ABCD中，對角線AC與BD交于點(diǎn)P，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在兩腰AD，BC上，EF過點(diǎn)P，且EF∥AB，則()A.eq\o(AD,\s\up10(→))＝eq\o(BC,\s\up10(→))B.eq\o(AC,\s\up10(→))＝eq\o(BD,\s\up10(→))C.eq\o(PE,\s\up10(→))＝eq\o(PF,\s\up10(→))D.eq\o(EP,\s\up10(→))＝eq\o(PF,\s\up10(→))解析：由平面幾何學(xué)問知，eq\o(AD,\s\up10(→))與eq\o(BC,\s\up10(→))方向不同，故eq\o(AD,\s\up10(→))≠eq\o(BC,\s\up10(→))；eq\o(AC,\s\up10(→))與eq\o(BD,\s\up10(→))方向不同，故eq\o(AC,\s\up10(→))≠eq\o(BD,\s\up10(→))；eq\o(PE,\s\up10(→))與eq\o(PF,\s\up10(→))的模相等而方向相反，故eq\o(PE,\s\up10(→))≠eq\o(PF,\s\up10(→)).eq\o(EP,\s\up10(→))與eq\o(PF,\s\up10(→))的模相等且方向相同，∴eq\o(EP,\s\up10(→))＝eq\o(PF,\s\up10(→)).答案：D5．若|eq\o(AB,\s\up10(→))|＝|eq\o(AD,\s\up10(→))|且eq\o(BA,\s\up10(→))＝eq\o(CD,\s\up10(→))，則四邊形ABCD的形態(tài)為()A．正方形B．矩形C．菱形D．等腰梯形解析：由eq\o(BA,\s\up10(→))＝eq\o(CD,\s\up10(→))，知AB＝CD且AB∥CD，即四邊形ABCD為平行四邊形．又因?yàn)閨eq\o(AB,\s\up10(→))|＝|eq\o(AD,\s\up10(→))|，所以四邊形ABCD為菱形．答案：C二、填空題(每小題5分，共15分)6．如圖，已知正方形ABCD的邊長為2，O為其中心，則|eq\o(OA,\s\up10(→))|＝________.解析：因?yàn)檎叫蔚膶蔷€長為2eq\r(2)，所以|eq\o(OA,\s\up10(→))|＝eq\r(2).答案：eq\r(2)7.如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，E，F(xiàn)分別是AD與BC的中點(diǎn)，則在以A、B、C、D四點(diǎn)中的隨意兩點(diǎn)為始點(diǎn)和終點(diǎn)的全部向量中，與向量eq\o(EF,\s\up10(→))方向相反的向量為________．解析：因?yàn)锳B∥EF，CD∥EF，所以與eq\o(EF,\s\up10(→))平行的向量為eq\o(DC,\s\up10(→))，eq\o(CD,\s\up10(→))，eq\o(AB,\s\up10(→))，eq\o(BA,\s\up10(→))，其中方向相反的向量為eq\o(BA,\s\up10(→))，eq\o(CD,\s\up10(→)).答案：eq\o(BA,\s\up10(→))，eq\o(CD,\s\up10(→))8．給出下列命題：①若eq\o(AB,\s\up10(→))＝eq\o(DC,\s\up10(→))，則A、B、C、D四點(diǎn)是平行四邊形的四個頂點(diǎn)；②在?ABCD中，肯定有eq\o(AB,\s\up10(→))＝eq\o(DC,\s\up10(→))；③若a＝b，b＝c，則a＝c；④若a∥b，b∥c，則a∥c.其中全部正確命題的序號為________．解析：eq\o(AB,\s\up10(→))＝eq\o(DC,\s\up10(→))，A、B、C、D四點(diǎn)可能在同一條直線上，故①不正確；在?ABCD中，|eq\o(AB,\s\up10(→))|＝|eq\o(DC,\s\up10(→))|，eq\o(AB,\s\up10(→))與eq\o(DC,\s\up10(→))平行且方向相同，故eq\o(AB,\s\up10(→))＝eq\o(DC,\s\up10(→))，故②正確；a＝b，則|a|＝|b|，且a與b方向相同；b＝c，則|b|＝|c|，且b與c方向相同，則a與c長度相等且方向相同，故a＝c，故③正確；對于④，當(dāng)b＝0時，a與c不肯定平行，故④不正確．答案：②③三、解答題(每小題10分，共20分)9．在如圖的方格紙(每個小方格的邊長為1)上，已知向量a.(1)試以B為起點(diǎn)畫一個向量b，使b＝a；(2)畫一個以C為起點(diǎn)的向量c，使|c|＝2，并說出c的終點(diǎn)的軌跡是什么．解析：(1)依據(jù)相等向量的定義，所作向量b應(yīng)與a同向，且長度相等，如下圖所示．(2)由平面幾何學(xué)問可作滿意條件的向量c，全部這樣的向量c的終點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)C為圓心，2為半徑的圓，如下圖所示．10．一輛汽車從A點(diǎn)動身向西行駛了100千米到達(dá)B點(diǎn)，然后又變更了方向向北偏西40°走了200千米到達(dá)C點(diǎn)，最終又變更方向，向東行駛了100千米到達(dá)D點(diǎn)．(1)作出向量eq\o(AB,\s\up10(→))，eq\o(BC,\s\up10(→))，eq\o(CD,\s\up10(→))；(2)求|eq\o(AD,\s\up10(→))|.解析：(1)如圖所示．(2)由題意，易知eq\o(AB,\s\up10(→))與eq\o(CD,\s\up10(→))方向相反，故eq\o(AB,\s\up10(→))與eq\o(CD,\s\up10(→))共線，即AB∥CD.又|eq\o(AB,\s\up10(→))|＝|eq\o(CD,\s\up10(→))|，所以四邊形ABCD為平行四邊形．所以|eq\o(AD,\s\up10(→))|＝|eq\o(BC,\s\up10(→))|＝200(千米)．[實(shí)力提升](20分鐘，40分)11．如圖，在正六邊形ABCDEF中，點(diǎn)O為其中心，則下列推斷錯誤的是()A.eq\o(AB,\s\up10(→))＝eq\o(OC,\s\up10(→))B.eq\o(AB,\s\up10(→))∥eq\o(DE,\s\up10(→))C．|eq\o(AD,\s\up10(→))|＝|eq\o(BE,\s\up10(→))|D.eq\o(AD,\s\up10(→))＝eq\o(FC,\s\up10(→))解析：由題圖可知，|eq\o(AD,\s\up10(→))|＝|eq\o(FC,\s\up10(→))|，但eq\o(AD,\s\up10(→))、eq\o(FC,\s\up10(→))不共線，故eq\o(AD,\s\up10(→))≠eq\o(FC,\s\up10(→))，故選D.答案：D12．給出下列三個條件：①|(zhì)a|＝|b|；②a與b方向相反；③|a|＝0或|b|＝0，其中能使a∥b成立的條件是________．解析：由于|a|＝|b|并沒有確定a與b的方向，即①不能夠使a∥b成立；因?yàn)閍與b方向相反時，a∥b，即②能夠使a∥b成立；因?yàn)榱阆蛄颗c隨意向量共線，所以|a|＝0或|b|＝0時，a∥b能夠成立．故使a∥b成立的條件是②③.答案：②③13．飛機(jī)從A地按北偏西15°的方向飛行1400km到達(dá)B地，再從B地按南偏東75°的方向飛行1400km到達(dá)C地，那么C地在A地什么方向上？C地距A地多遠(yuǎn)？解析：如圖所示，eq\o(AB,\s\up10(→))表示飛機(jī)從A地按北偏西15°方向飛行到B地的位移，則|eq\o(AB,\s\up10(→))|＝1400km.eq\o(BC,\s\up10(→))表示飛機(jī)從B地按南偏東75°方向飛行到C地的位移，則|eq\o(BC,\s\up10(→))|＝1400km.所以eq\o(AC,\s\up10(→))為飛機(jī)從A地到C地的位移．在△ABC中，AB＝BC＝1400km，且∠ABC＝75°－15°＝60°，故△ABC為等邊三角形，所以∠BAC＝60°，AC＝1400km.所以C地在A地北偏東60°－15°＝45°方向上，距離A地1400km.14．如圖，在△ABC中，已知向量eq\o(AD,\s\up10(→))＝eq\o(DB,\s\up10(→))，eq\o(DF,\s\up10(→))＝eq\o(EC,\s\up10(→))，求證：eq\o(AE,\s\up10(→))＝eq\o(DF,\s\up10(→)).證明：由eq