新課程2024高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第七章立體幾何第1講空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征及其直觀圖學(xué)案含解析

PAGE第七章立體幾何第1講空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征及其直觀圖[考綱解讀]1.相識柱、錐、臺、球及其簡潔組合體的結(jié)構(gòu)特征，并能運用這些特征描述現(xiàn)實生活中簡潔物體的結(jié)構(gòu).2.會用斜二測畫法畫出簡潔空間圖形的直觀圖．(重點、難點)[考向預(yù)料]本講是高考考查的內(nèi)容之一．預(yù)料2024年本講內(nèi)容不會單獨考查.1．多面體的結(jié)構(gòu)特征名稱棱柱棱錐棱臺圖形底面相互eq\o(□,\s\up3(01))平行且eq\o(□,\s\up3(02))全等多邊形相互eq\o(□,\s\up3(03))平行側(cè)棱eq\o(□,\s\up3(04))平行且相等相交于eq\o(□,\s\up3(05))一點，但不肯定相等延長線交于eq\o(□,\s\up3(06))一點側(cè)面形態(tài)eq\o(□,\s\up3(07))平行四邊形eq\o(□,\s\up3(08))三角形eq\o(□,\s\up3(09))梯形2．旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征名稱圓柱圓錐圓臺球圖形母線相互平行且相等，eq\o(□,\s\up3(01))垂直于底面相交于eq\o(□,\s\up3(02))一點延長線交于eq\o(□,\s\up3(03))一點—軸截面全等的eq\o(□,\s\up3(04))矩形全等的eq\o(□,\s\up3(05))等腰三角形全等的eq\o(□,\s\up3(06))等腰梯形eq\o(□,\s\up3(07))圓3．直觀圖(1)畫法：常用eq\o(□,\s\up3(01))斜二測畫法．(2)規(guī)則①原圖形中x軸、y軸、z軸兩兩垂直，直觀圖中，x′軸與y′軸的夾角為45°(或135°)，z′軸與x′軸(或y′軸)eq\o(□,\s\up3(02))垂直．②原圖形中平行于坐標軸的線段，直觀圖中仍eq\o(□,\s\up3(03))平行于坐標軸．平行于x軸和z軸的線段在直觀圖中保持原長度eq\o(□,\s\up3(04))不變，平行于y軸的線段的長度在直觀圖中變?yōu)樵瓉淼膃q\o(□,\s\up3(05))一半．1．概念辨析(1)棱柱的側(cè)棱都相等，側(cè)面都是全等的平行四邊形．()(2)有一個面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體是棱錐．()(3)棱臺各側(cè)棱的延長線交于一點．()(4)夾在圓柱的兩個平行截面間的幾何體還是旋轉(zhuǎn)體．()(5)菱形的直觀圖仍是菱形．()答案(1)×(2)×(3)√(4)×(5)×2．小題熱身(1)如圖所示，在三棱臺A′B′C′－ABC中，沿A′BC截去三棱錐A′－ABC，則剩余的部分是()A．三棱錐B．四棱錐C．三棱柱D．組合體答案B解析剩余的部分是四棱錐A′－B′C′CB.(2)用斜二測畫法畫一個水平放置的平面圖形的直觀圖為如圖所示的一個正方形，則原來的圖形是()答案A解析由斜二測畫法的原理可知．(3)如圖，長方體ABCD－A′B′C′D′被截去一部分，其中EH∥A′D′，則剩下的幾何體是________，截去的幾何體是________．答案五棱柱三棱柱題型一空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征下列結(jié)論正確的個數(shù)是________．①有兩個平面相互平行，其余各面都是平行四邊形的多面體是棱柱；②棱錐的側(cè)棱長與底面多邊形的邊長相等，則此棱錐可能是六棱錐；③有兩個平面相互平行，其余各面都是梯形的多面體是棱臺；④直角三角形繞其任一邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體都是圓錐；⑤若在圓柱的上、下底面的圓周上各取一點，則這兩點的連線是圓柱的母線．答案0解析①③④錯誤，反例分別見下面三個圖．②錯誤，若六棱錐的全部棱長都相等，則底面多邊形是正六邊形．由幾何圖形知，若以正六邊形為底面，側(cè)棱長必定要大于底面邊長．⑤錯誤，平行于軸的連線才是母線．識別空間幾何體的兩種方法(1)定義法：緊扣定義，由已知構(gòu)建幾何模型，在條件不變的狀況下，變換模型中的線面關(guān)系或增加線、面等基本要素，依據(jù)定義進行判定.(2)反例法：通過反例對結(jié)構(gòu)特征進行辨析，要說明一個結(jié)論是錯誤的，只要舉出一個反例即可.(2024·青島模擬)以下三個命題：①以直角梯形的一腰所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體是圓臺；②圓柱、圓錐、圓臺的底面都是圓面；③一個平面截圓錐，得到一個圓錐和一個圓臺.其中正確命題的個數(shù)為()A.0B．1C．2D．3答案B解析由圓臺的定義可知①錯誤，②正確．對于命題③，只有平行于圓錐底面的平面截圓錐，才能得到一個圓錐和一個圓臺，③錯誤.題型二空間幾何體的綻開圖問題1．紙制的正方體的六個面依據(jù)其方位分別標記為上、下、東、南、西、北．現(xiàn)在沿該正方體的一些棱將正方體剪開，外面朝上展平，得到如圖所示的平面圖形，則標“△”的面的方位是()A.南B．北C.西D．下答案B解析如圖所示的正方體，要綻開成要求的平面圖，必需剪開棱BC，使正方形BCC1B1向東的方向綻開．剪開棱D1C1，使正方形DCC1D1向北的方向綻開．剪開棱A1B1，使正方形ABB1A1向南的方向綻開，然后綻開，則標“△2.已知圓錐的表面積為a，且它的側(cè)面綻開圖是一個半圓，則這個圓錐的底面直徑是()A.eq\f(a,2)B.eq\f(\r(3πa),3π)C.eq\f(2\r(3πa),3π)D.eq\f(2\r(3a),3π)答案C解析設(shè)圓錐的底面半徑為r，母線長為l，由題意知2πr＝πl(wèi)，所以l＝2r，則圓錐的表面積S表＝πr2＋eq\f(1,2)π(2r)2＝a，所以r2＝eq\f(a,3π)，所以2r＝eq\f(2\r(3πa),3π).求解綻開圖問題的關(guān)鍵及留意事項求解立體圖形綻開圖問題的關(guān)鍵是弄清原有的性質(zhì)改變與否．應(yīng)留意：(1)點的改變，點與點的重合及點的位置改變；(2)長度、角度等幾何度量的改變.如圖所示是一個無蓋的正方體盒子綻開后的平面圖，A，B，C是綻開圖上的三點，則在正方體盒子中，∠ABC的值為()A.30°B．45°C.60°D．90°答案C解析還原成正方體后如圖所示，由正方體的性質(zhì)可知，△ABC為正三角形，故∠ABC＝60°.題型三空間幾何體的直觀圖(2024·桂林模擬)已知正三角形ABC的邊長為a，那么△ABC的直觀圖△A′B′C′的面積為()A.eq\f(\r(3),4)a2B.eq\f(\r(3),8)a2C.eq\f(\r(6),8)a2D.eq\f(\r(6),16)a2答案D解析如圖(1)所示的是△ABC的實際圖形，圖(2)是△ABC的直觀圖.由圖(2)可知A′B′＝AB＝a，O′C′＝eq\f(1,2)OC＝eq\f(\r(3),4)a，在圖(2)中作C′D′⊥A′B′于點D′，則C′D′＝eq\f(\r(2),2)O′C′＝eq\f(\r(6),8)a.∴S△A′B′C′＝eq\f(1,2)A′B′·C′D′＝eq\f(1,2)×a×eq\f(\r(6),8)a＝eq\f(\r(6),16)a2.故選D.條件探究將本例中的條件變?yōu)椤啊鰽BC的直觀圖△A1B1C1是邊長為a的正三角形”，則△ABC答案eq\f(\r(6),2)a2解析如圖(1)所示的是△ABC的直觀圖，圖(2)是△ABC的實際圖形.在圖(1)中作C1D1∥y1軸，交x1軸于點D1，在圖(2)中作CD⊥x軸，交x軸于點D，設(shè)C1D1＝x，則CD＝2x.在△A1D1C1中，由正弦定理eq\f(a,sin45°)＝eq\f(x,sin120°)，得x＝eq\f(\r(6),2)a，∴S△ABC＝eq\f(1,2)AB·CD＝eq\f(1,2)×a×eq\r(6)a＝eq\f(\r(6),2)a2.用斜二測畫法畫直觀圖的技巧(1)在原圖形中與x軸或y軸平行的線段在直觀圖中仍舊與x′軸或y′軸平行.(2)原圖中不與坐標軸平行的直線段可以先畫出線段的端點再連線.(3)原圖中的曲線段可以通過取一些關(guān)鍵點，作出在直觀圖中的相應(yīng)點，然后用平滑曲線連接.(2024·福州調(diào)研)已知等腰梯形ABCD，上底CD＝1，腰AD＝CB＝eq\r(2)，下底AB＝3，以下底所在直線為x軸，則由斜二測畫法畫出的直觀圖A′B′C′D′的面積為________.答案eq\f(\r(2),2)解析如圖所示，圖(1)是