空間中直線、平面的平行課件-2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）選擇性必修第一冊

1.4.1.2空間中直線、平面的平行第1章

空間向量與立體幾何

1.空間中點(diǎn)、直線和平面的向量表示(1)點(diǎn)→點(diǎn)+位置向量(2)線→點(diǎn)+方向向量(3)平面→點(diǎn)+法向量2.求平面的法向量的步驟：復(fù)習(xí)問題1：生活中有很多線線平行，線面平行，面面平行的建筑，比如左下圖上海世博會的中國館，右下圖是加拿大館，我們肯定不能僅憑眼睛判斷建筑的各個面之間是否平行。導(dǎo)入

下圖是武漢大學(xué)校門，校門上部的下邊線與柱子垂直,我們就能知道下邊線與地面平行。這是為什么呢?導(dǎo)入我們知道，直線的方向向量和平面的法向量是確定空間中的直線和平面的關(guān)鍵量，那么是否能用這些向量來刻畫空間直線、平面的平行、垂直關(guān)系呢?首先來看平行的問題.【思考】由直線與直線、直線與平面或平面與平面的平行關(guān)系，可以得到直線的方向向量、平面的法向量間的什么關(guān)系?如圖(1)所示，設(shè)分別是直線l1,l2的方向向量，由方向向量的定義可知，如果兩條直線平行，那么它們的方向向量一定平行，反過來，如果兩條直線的方向向量平行，那么這兩條直線也平行，所以l1l2(1)(1)直線與直線平行探究新知(2)直線與平面平行如圖(2)所示，設(shè)是直線l的方向向量，是平面α的法向量，則(3)平面與平面平行如圖(3)所示，設(shè)分別是平面α,β的法向量，則αl(2)mα(3)βPmn探究新知

例1、用向量方法證明面面平行的判定定理.證明:設(shè)平面α的法向量為n,直線a,b的方向向量分別為u,v.已知：如圖，求證：

abP因為所以因為所以對任意點(diǎn)Q∈β，存在x,y∈R，使得所以，向量n也是平面β的法向量.故從而例題鞏固例2、在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝3，AD＝4，AA1＝2，點(diǎn)M在棱BB1上，且BM＝2MB1，點(diǎn)S在DD1上，且SD1＝2SD，點(diǎn)N，R分別為A1D1，BC的中點(diǎn)，求證：MN∥RS.CDA1B1C1D1ABSRMN∴MN＝RS，∴MN∥RS，又∵R?MN，∴MN∥RS.法一：設(shè)AB＝a，AD＝b，AA1＝c，例題鞏固CDA1B1C1D1ABxyzSRNM法二：如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系,∴MN＝RS.∴MN∥RS.∵M(jìn)?RS，∴MN∥RS.探究新知

練習(xí)1、已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，四面體OABC中，A，B，C的坐標(biāo)分別為A(0,3,5)，B(1,2,0)，C(0,5,0)，若直線AD∥BC且AD交坐標(biāo)平面Ozx于點(diǎn)D，求點(diǎn)D的坐標(biāo)．練習(xí)練習(xí)或0＝－(x－1)，2＝－(y－2)，－5＝－z.所以x＝1，y＝4，z＝－5或x＝1，y＝0，z＝5.故D點(diǎn)坐標(biāo)為(1,4，－5)或(1,0,5)．

例3、如圖，在正方體ABCD

–A1B1C1D1中，E,F分別是面AB1，面A1C1的中心.求證:EF//平面ACD1.ADCBA1D1C1B1F?E?∴EF//平面ACD1.例題鞏固解練習(xí)3、長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=4，BC=3，CC1=2，線段B1C上是否存在點(diǎn)P，使得A1P∥平面ACD1.xyz坐標(biāo)法例題鞏固利用空間向量證明線面平行的三種方法方法一：證明直線的方向向量與平面內(nèi)任意兩個不共線的向量共面，即可用平面內(nèi)的一個基底表示；方法二：證明直線的方向向量與平面內(nèi)某一向量共線，轉(zhuǎn)化為線線平行，利用線面平行判定定理得證；方法三：先求直線的方向向量，然后求平面的法向量，證明直線的方向向量與平面的法向量垂直．總結(jié)例4、如圖所示，平面PAD⊥平面ABCD，四邊形ABCD為正方形，△PAD是直角三角形，且PA＝AD＝2，E，F(xiàn)，G分別是線段PA，PD，CD的中點(diǎn)．求證：平面EFG∥平面PBC．BACDPEFG[證明]

因為平面PAD⊥平面ABCD，ABCD為正方形，△PAD是直角三角形，且PA＝AD，所以AB，AP，AD兩兩垂直，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD，AP所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)，E(0,0,1)，F(xiàn)(0,1,1)，G(1,2,0)．xyz例題鞏固例題鞏固

練習(xí)2、如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，O為底面ABCD的中心，P是DD1的中點(diǎn)，設(shè)Q是CC1上的點(diǎn)，問：當(dāng)點(diǎn)Q在什么位置時，平面D1BQ∥平面PAO?CDA1B1C1D1ABPOQ如圖所示，分別以DA，DC，DD1所在直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，在CC1上任取一點(diǎn)Q，連接BQ，D1Q．練習(xí)CDA1B1C1D1ABPOQxyz即AP∥BQ，同理可得AP∥平面D1BQ，PO∩AP于點(diǎn)P,有平面PAO∥平面D1BQ，即當(dāng)點(diǎn)Q為CC1的中點(diǎn)時，平面D1BQ∥平面PAO．例題鞏固()故當(dāng)Q為CC1的中點(diǎn)時，平面D1BQ∥平面PAO．設(shè)平面PAO的法向量為n1＝(x，y，z)，取x＝1，則n1＝(1,1,2)．設(shè)平面D1BQ的法向量為n2＝(x，y，z)，取z＝1，則n2＝(m,1－m,1)．要使平面D1BQ∥平面PAO，需滿足n1∥n2，2、利用向量解決探索性問題的方法對于探索性問題，一般先假設(shè)存在，利用空間坐標(biāo)系，結(jié)合已知條件，轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程是否有解的問題．若有解滿足題意，則存在；若沒有滿足題意的解，則不存在．小結(jié)

1.已知向量a＝(2,4,5)，b＝(3，x，y)分別是直線l1，l2的方向向量，若l1∥l2

，則()√鞏固練習(xí)2.(多選)若直線l的方向向量為a，平面α的法向量為n，能使l∥α的是()A.a＝(1,0,0)，n＝(0，－2,0)

B.a＝(1,3,5)，n＝(1,0,1)C.a＝(0,2,1)，n＝(－1,0，－1)

D.a＝(1，－1,3)，n＝(0,3,1)解

若l∥α，則a·n＝0.而A中a·n＝0，

B中a·n＝1＋5＝6，

C中a·n＝－1，

D中a·n＝－3＋3＝0.√√當(dāng)堂檢測

2鞏固練習(xí)3.已知直線l∥平面ABC，且l的一個方向向量為a＝(2，m,1)，A(0,0,1)，B(1,0,0)，C(0,1,0)，

則實數(shù)m的值是______.解

∵l∥平面ABC，∴(2，m,1)＝x(1,0，－1)＋y(0,1，－1)＝(x，y，－x－y)，－34.已知平面α的法向量是(2,3，－1)，平面β的法向量是(4，λ，－2)，若α∥β，則λ的值是()解

∵α∥β，∴α的法向量與β的法向量也互相平行.√當(dāng)堂檢測

DABCEF

5.如圖,在四面體ABCD中,E是BC的中點(diǎn).直線AD上是否存在點(diǎn)F,使得AE//CF?當(dāng)堂檢測

ABCDEF此方程組無解當(dāng)堂檢測

3.已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2,E,F分別是BB1,DD1的中點(diǎn),求證:(1)FC1∥平面ADE;(2)平面ADE∥平面B1C1F.證明:(1)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系