江蘇省常州市某中學(xué)2025屆高三年級上冊開學(xué)摸底檢測數(shù)學(xué)試題（含答案）

江蘇省常州市金壇第一中學(xué)2025屆高三上學(xué)期開學(xué)摸底檢測數(shù)學(xué)試

題

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求

的。

1.已知集合4={-3,-1,0,1,2,3,4},QRB={x\x<0或久>3],則AnB=()

A.0B.{-3,-1,0,4}C.{2,3}D.{0,123}

2.若p”og2(a-1)<1,q：3a-1<9,貝！Jp是［的()條件

A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要

3.已知復(fù)數(shù)z滿足Q-=4-3。則|z|=()

A.3/2B.3C.2/3D.2/5

4.已知幕函數(shù)/(%)=x4~m(meN+且znH4)為奇函數(shù)，且在區(qū)間(0,+8)上遞增，則加等于()

A.1B.2C.1或3D.3

5.如圖是一個圓臺的側(cè)面展開圖，若兩個半圓的半徑分別是1和2,則該圓臺的體積是()

7/27TD7737r

12

6.已知+y)=cos(x—y),tanx+tany=3,貝+y)=()

A.-3B.-2C.3D.2

1

a%2

7.若函數(shù)“X)=2-+4x-21nx有兩個不同的極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()

A.(0,2)B.(0,1)C.(-00,1)D.(2,+8)

8.在回力BC中，內(nèi)角所對的邊分別為a,b,c,b=2gasin=fosinX,。是13aBe的外心，AO-

瓦:=6,貝旭ABC的面積為()

A.2/21B.6C.2AAyD.673

二、多選題：本題共3小題，共15分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。

9.已知定義在R上的函數(shù)/Xx),對任意eR有/■(久+y)=久)+f(y),其中/'⑴=：；當(dāng)x>0時(shí)，

f(x)>0,則()

A"(x)為R上的單調(diào)遞增函數(shù)

B.f(x)為奇函數(shù)

C.若函數(shù)/(X)為正比例函數(shù)，則函數(shù)g(x)=管在x=。處取極小值

D.若函數(shù)/'(x)為正比例函數(shù)，則函數(shù)h(x)=/(%)-2sinx-1只有一個非負(fù)零點(diǎn)

10.如圖所示，在長方體2BCD-41%的。1中，點(diǎn)E是棱CCi上的一個動點(diǎn),若平面BE%與棱力公交于點(diǎn)

F,下列命題中真命題是()

A.四棱錐a-BEDiF的體積恒為定值；

B.四邊形BED/是平行四邊形；

C.當(dāng)截面四邊形BE/F的周長取得最小值時(shí)，滿足條件的點(diǎn)E至少有兩個;

D.若D1ECDC=P,D/nn4=Q,貝!jp、B、Q三點(diǎn)共線.

11.已知3>0,函數(shù)/'(久)=COS(3X+看)，下列選項(xiàng)正確的有()

A.若/(X)的最小正周期T=I，則3=4

B.當(dāng)3=2時(shí)，函數(shù)f(x)的圖象向右平移看后得到g(x)=cos2x的圖象

C.若/(%)在區(qū)間&兀)上單調(diào)遞增，則3的取值范圍是K,看

D.若/(久)在區(qū)間［0,兀］上有兩個零點(diǎn)，則3的取值范圍是§

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.已知sin6+*)=富則當(dāng)注21L.

13.在本次考試的8道單選題中，你前桌的小張同學(xué)對其中5道題有思路，3道題完全沒有思路，假設(shè)有思路

的題能做對的概率為沒有思路的題僅能隨機(jī)猜，你恰好看到了他一道題的答案，這個答案是正確的概

率為-

14.設(shè)函數(shù)/(%)=(%-a)ln(x+b),若f(%)>0,且ab>0,則2+，的最小值為.

四、解答題：本題共5小題，共60分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

15.(本小題12分)

已知五=(sin%,cos%),b=(2V"^cos%,—2cos%),c=(—cosx,3sinx).

(1)若行—3與1共線，求sin2汽；

(2)若函數(shù)/(X)=3彳，求函數(shù)/O)在區(qū)間上的最大值，以及相應(yīng)的x的值.

16.(本小題12分)

在回ABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知2ccosB-bcosA-acosB=0.

(1)求8；

(2)若團(tuán)ABC外接圓的周長為苧兀，求團(tuán)ABC周長的取值范圍.

17.(本小題12分)

如圖，四棱錐P—48CD中，P41底面2BCD,AD//BC,AB=4。=AC=3,PA=8C=4,M,N分別為線

段力。,PC上一點(diǎn)，AM=2MD.

(1)若N為PC的中點(diǎn)，證明：MN〃平面P2B；

(2)求直線4N與平面CMN所成角的正弦值的最大值.

18.(本小題12分)

在某次世界乒乓球錦標(biāo)賽的團(tuán)體比賽中，中國隊(duì)將對陣韓國隊(duì).比賽實(shí)行5局3勝制，根據(jù)以往戰(zhàn)績，中國

隊(duì)在每一局中獲勝的概率都是'

(1)求中國隊(duì)以3:0的比分獲勝的概率；

(2)求中國隊(duì)在先失1局的前提下獲勝的概率；

(3)假設(shè)全場比賽的局?jǐn)?shù)為隨機(jī)變量X,在韓國隊(duì)先勝第一局的前提下，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望E(X).

19.(本小題12分)

已知函數(shù)/'(久)=2(mx—Inx)+e—2

(1)討論/(x)的單調(diào)性；

omx

(2)當(dāng)6＞0時(shí)，若關(guān)于％的不等式/(%)＞不■在區(qū)間(0,+8)上有解，求?n的取值范圍；

(3)證明：￡￡=2高＞?522,neN*).

參考數(shù)據(jù)：ln2?0.693.

參考答案

1.D

2.A

3.A

4.C

5.B

6.A

7.4

8.D

9.ABD

1Q.ABD

U.AC

12.—6V-3

13—

16

14.2/1+2

15.⑴

由題意,得五—b=(sinx-2V3cosx,3cosx).

,五一b與3共線，c=(—cosx,3sinx),

(sinx—2V_3cosx)x3sinx+3cos2x=0,

化簡，M6V_3sinxcosx=3(sin2x+cos2x)-3,

sin2x=2smxcosx=—.

(2)

由題意，得/'(久)=a-b=2V-3sinxcosx—2cos2x=y/~3sm2x—(1+cos2x)

=V-3sin2x—cos2x—1=2sin-1.

二當(dāng)2久一.=5即久=狎，函數(shù)取得最大值,

???函數(shù)/⑺在區(qū)間［0用上的最大值為1,此時(shí)x的取值為9

16.⑴

因?yàn)?ccosB-bcosA-acosB=0,

由正弦定理得2sinCcosB=sinBcosX+cosBsinZ=sinC,

因?yàn)閟inCHO,所以cosB='

因?yàn)锽e(0,兀).所以B=,

(2)

因?yàn)榛谹BC外接圓的周長為苧兀，所以團(tuán)ABC外接圓的直徑為警，

由正弦定理得號=等，則6=^x噂=2,

s\nB332

由余弦定理得4—a2+c2—2accosB=(a+c)2—3ac,

因?yàn)?ac=(a+c)2—4<3x,所以;(a+c)2<4,即a+cW4,

當(dāng)且僅當(dāng)a=c時(shí)，等號成立，

又因?yàn)閍+c>6=2,所以2<a+cW4,則4<a+b+c<6.

故團(tuán)ABC周長的取值范圍為(4,6]；

綜上，BW，回力8c周長的取值范圍為(4,6].

17.(1)

證明：由已知前=2而得4M=2,取BP的中點(diǎn)T,連接27,TN,

由N為PC的中點(diǎn)知TN〃BC,

1

TN=^BC=2.XAD//BC,故TN〃4M,且TN=AM,

.?.四邊形力MNT為平行四邊形，.?.”可〃”，

???ATu平面P28,MN仁平面P48,

MN〃平面P4B.

(2)

取BC的中點(diǎn)E,連接4E,建立如圖所示的空間坐標(biāo)系4一久yz.

4(0,0,0),M(0,2,0),C(，^2,0),P(0,0,4),

不妨設(shè)麗=ACP,Ae[0,1],

則而=前+4方=(AA5,2,0)+2(-75,-2,4)=(AA5-752,2-2A,4Z),

CN=(一屆，-24,44)而=(一五,0,0)

設(shè)平面CMN的一個法向量為元=(x,y,z),

(n-CM=0^(x=0

In-CN=0-2y+4z=O'

取y=2,則元=(0,2,1).

設(shè)直線4V與平面CMN所成角為

\AN-n\44

sin0=

\AN\\n\<5xJ9(1-A)2+16A2門x]25乃—182+9

___________4_____________VT

0、25x(￡)2-18x葛+9

故直線4V與平面CMN所成角的正弦值的最大值為容.

18.⑴

設(shè)中國隊(duì)以3：0的比分獲勝的事件為力，因中國隊(duì)在每一局中獲勝的概率都是今故事件力的概率為:

P⑷嗚3喑

(2)

設(shè)中國隊(duì)在先失一局的前提下獲勝的事件為B,則有兩類情況：

①中國隊(duì)連勝3局(4:1獲勝)記為事件當(dāng)，則其概率為：P(BI)=GY=1^；

②中國隊(duì)在2到4局中勝2局，再勝第5局(3:2獲勝)記為事件&,則其概率為：「(4)=戲x停丫

\4/44

81

256；

因當(dāng)與B2是互斥事件，故P(B)=P(B]U殳)=Pg+P02)=得+裊=培；

(3)

由題意知X=3,4,5,貝!]P(X=3)=0丫=1；

\^/1O

nr^311,/3\333

P(X=4)=Cx—x—Kx—+(—)=—,

)72444\4764

P(X=5)=C"優(yōu)中"“停)晨知黨,

所以X的分布列為:

X345

13327

p

166464

所以X的數(shù)學(xué)期望為:E(X)=3x》4x||+5*”箸?

19.解：⑴/⑺的定義域?yàn)?0,+8).

f(x)=2m-1=2(m；T).

①當(dāng)m<0時(shí)，ff(x)<0恒成立，??./(%)在(0,+8)上單調(diào)遞減；

②當(dāng)相>0時(shí)，當(dāng)%>，時(shí)，/'(%)>0，當(dāng)0V%V'時(shí)，/'(%)V0，

???/(X)在(0,2)上單調(diào)遞減，在+8)上單調(diào)遞增，

綜上可得：當(dāng)機(jī)40時(shí)，/(%)在(0,+8)上單調(diào)遞減；

當(dāng)機(jī)>0時(shí)，f(x)在(0,6上單調(diào)遞減，在(，,+8)上單調(diào)遞增.

mx

⑵由題意知關(guān)于無的不等式彳p——2mx+21nx-(e-2)<0在(0,+8)上有解,

即e?nxTn%—2(jnx—Inx)—(e—2)<0在(0,+8)上有解,

又m>0,由(1)可知久=，時(shí)，即(nt%—lnx)min=1+Inm,

令t=mx—Inx,貝！R>1+Inm,

則——2t—(e—2)<0在te[1+Inm,+8)上有解，

令h(t)=e'-2t-(e-2),貝！)"(t)=e'—2,

令h/(t)=0,得t=ln2,

所以，當(dāng)tvln2時(shí),hf(t)<0,當(dāng)t>ln2時(shí),h!(t)>0,

即。在(-81n2)上