山東省濟南市章丘區(qū)某校2023-2024學(xué)年八年級上學(xué)期9月月考數(shù)學(xué)試題（解析版）

絕密★啟用前

2023-2024學(xué)年度第一學(xué)期

章丘雙語學(xué)校八年級數(shù)學(xué)學(xué)情調(diào)研

注意事項：

1.答題前填寫好自己的姓名、班級、考號等信息；

2.請將答案正確填寫在答題卡上.

第I卷（選擇題）

一、選擇題（本題共10小題，每題4分，共40分）

1.在0.2,3%，7,61010010001（相鄰兩個1之間o的個數(shù)依次加1）,我，近中，無理數(shù)有

（）個.

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【解析】

【分析】此題主要考查了無理數(shù)的定義，其中初中范圍內(nèi)學(xué)習(xí)的無理數(shù)有：兀，2人等；開方開不盡的

數(shù)；以及像0.101001000L.,等有這樣規(guī)律的數(shù).無理數(shù)就是無限不循環(huán)小數(shù).理解無理數(shù)的概念，一定

要同時理解有理數(shù)的概念，有理數(shù)是整數(shù)與分數(shù)的統(tǒng)稱.即有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)是有理數(shù)，而無限不

循環(huán)小數(shù)是無理數(shù).由此即可判定選擇項.

【詳解】解：T是分數(shù)，屬于有理數(shù)；

羽=二，是整數(shù)，屬于有理數(shù)；

0.2是有限小數(shù)，屬于有理數(shù)；

無理數(shù)有：3開，后,6.1010010001...（相鄰兩個I之間0的個數(shù)依次加1）共3個.

故選：B

2.下列四組數(shù)據(jù)不能作為直角三角形的三邊長的是（）

A.6、8、10B.5、12、13C.12、18、22D.9、12、15

【答案】C

【解析】

【分析】利用勾股定理的逆定理即可求解.

【詳解】A...?6?+8'=101.?.此三角形為直角三角形，故選項錯誤；

B...?52+13=13、.?.此三角形為直角三角形，故選項錯誤；

c.h.?.此三角形不是直角三角形，故選項正確；

D.V92+12:=15、.?.此三角形為直角三角形，故選項錯誤.

故選c.

【點睛】此題考查勾股定理的逆定理，解題關(guān)鍵在于運用勾股定理的逆定理即可.

3.計算0的結(jié)果是（）

A.6B.而C.2D.母

【答案】D

【解析】

【詳解】試題分析：冊一心=2也一尤=后,故選D.

考點：二次根式的加減法.

4.一個直角三角形的三邊長分別是6cm、8cm、xcm,則x的值為（）

A.100B.10C.10或2cD.100或28

【答案】C

【解析】

【詳解】分析：根據(jù)勾股定理的內(nèi)容，兩直角邊的平方和等于斜邊的平方，分兩種情況進行解答.

詳解：分兩種情況進行討論：

①兩直角邊分別為6c7九，8cm,由勾股定理得：+'=io（cm）；

②一直角邊為6%—斜邊為8c7",由勾股定理得：x=優(yōu)"-G=271（cm）;

故選C.

點睛：本題考查了利用勾股定理解直角三角形的能力，當(dāng)已知條件中沒有明確哪是斜邊時，要注意

討論，一些學(xué)生往往忽略這一點，造成丟解.

5.已知的三邊分別為服b、c,下列條件中，不能判定△星°為直角三角形的是（）

A./4=N3+NCBObe=3：4：5

c.乙4：42C=345D,62=a3+c2

【答案】c

【解析】

【分析】本題考查勾股定理的逆定理的應(yīng)用，三角形內(nèi)角和定理.判斷三角形是否為直角三角形，已知三

角形三邊的長，只要利用勾股定理的逆定理加以判斷即可.根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可分析出A、C的正

誤；根據(jù)勾股定理逆定理可分析出B、D的正誤.

【詳解】解：A,7ZA=ZB+ZC,Z^+_5+_C=lS0°,

：,4=90°,

二.A期C為直角三角形，故此選項不合題意；

B、.??53=3、4）

.能構(gòu)成直角三角形，故此選項不合題意；

C、設(shè)N4=3x。,ZB=4x°,NC=5x°,

3x+4x+5x=180,

解得：x=15,

則5X0=75。，

:AR5c不是直角三角形，故此選項符合題意；

D、,.,b2=a2+c2,

能構(gòu)成直角三角形，故此選項不符合題意.

故選：c.

6.下列說法不正確的是（）

1±1_

A.25的平方根是5B.-9是81的一個平方根；

C.0.2的算術(shù)平方根是0.02；D.V-27=-3

【答案】c

【解析】

【分析】根據(jù)平方根立方根的定義即可判斷.

11

----±—

【詳解】A.25的平方根是-5,正確；

B.-9是81的一個平方根，正確

歷=直

C.0.2的算術(shù)平方根是5,故錯誤；

D.A/-27=-3,正確，

故選c.

【點睛】此題主要考查平方根立方根的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟知平方根立方根的性質(zhì)特點.

7.下列各組數(shù)中，互為相反數(shù)的一組是（）

A.-2與J（-2）B.和以二§C.2與二D.HI和二

【答案】A

【解析】

【分析】本題考查了相反數(shù)的定義，根據(jù)相反數(shù)的定義逐項判斷即可求解,掌握相反數(shù)的定義是解題的關(guān)

鍵.

【詳解】解：A=2,

.?.一2與小-2互為相反數(shù),該選項符合題意；

B>VA/-8=-2,

.?.-2和環(huán)忑相等，該選項不合題意；

1

C、2與？互為倒數(shù)，該選項不合題意；

D、

卜胃和2相等，該選項不合題意；

故選：A.

8.如圖，一根長25m的梯子，斜立在一豎直的墻上，這時梯足距離底端7m.如果梯子的頂端下滑4m,

A.7mB.8mC.9mD.10m

【答案】B

【解析】

【分析】利用勾股定理進行解答，先求出梯子未下滑時頂端距地面的距離，根據(jù)頂端下滑4米，再求出下

滑后梯足距離墻角的距離，便可計算梯足滑動的距離.

【詳解】解：梯子未下滑時頂端距地面的距離：V25:-7:=24m,下滑4機后，梯子頂端距地面24-

4=20機，此時梯足距離墻角的距離：捫=15所,

，15-7=8?”,

故選：B.

【點睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，關(guān)鍵是掌握直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.

9.如圖，三級臺階，每一級的長、寬、高分別為8dm、3dm、2dm.A和B是這個臺階上兩個相對的端

點，點A處有一只螞蟻，想到點B處去吃可口的食物，則螞蟻沿著臺階面爬行到點B的最短路程為

（）

B

A8

A.15dmB.17dmC.20dmD.25dm

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)勾股定理求解出最短路程即可.

,、*即、目%-超心=、秒+i6+9「=17加

【詳解】最短路徑V

故答案為：B.

【點睛】本題考查了利用勾股定理求最短路程的問題，掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵.

10.如圖，將aABC放在正方形網(wǎng)格圖中（圖中每個小正方形的邊長均為1）,點A,B,C恰好在網(wǎng)格圖

中的格點上，那么AABC中BC邊上的高是（）

A

R

MxAo叵

A.2B.4C.5D.Js

【答案】A

【解析】

【詳解】先用勾股定理糖出三角形的三邊，再根據(jù)勾股定理的逆定理判斷出AABC是直角三角形，最后設(shè)

8c邊上的高為h,利用三角形面積公式建立方程即可得出答案.

解：由勾股定理得：

47=/+P=5AB=肝工？=后,BC=卅十?=而,

??.（而＞+（有）'=（如）‘，^AB2+AC2=BC2

.?.△ABC是直角三角形，

設(shè)BC邊上的高為h,

S^C.=-ABAC=-hBC

則22

,ABAC書義書如

h=---------=——=-----

；,BCM2.

故選A.

點睛：本題主要考查勾股理及其逆定理.借助網(wǎng)格利用勾股定理求邊長，并用勾股定理的逆定理來判斷三

角形是否是直角三角形是解題的關(guān)鍵.

第n卷（非選擇題）

二、填空題（本題共6小題，每題4分，共24分）

11.庖的平方根是—.

【答案】±3

【解析】

【分析】根據(jù)算術(shù)平方根、平方根解決此題.

【詳解】解：.?.可=9,

.實數(shù)百的平方根是士±3.

故答案為：±3.

【點睛】本題主要考查算術(shù)平方根、平方根，熟練掌握算術(shù)平方根、平方根是解題的關(guān)鍵.

12.一十的相反數(shù)是—，倒數(shù)是—.

6

【答案】①.6(2).T

【解析】

【分析】根據(jù)相反數(shù)的定義，倒數(shù)的定義分別寫出，然后根據(jù)分母有理化化簡即可求解.

【詳解】一十的相反數(shù)是小,一途的倒數(shù)為一忑一丁

一走

故答案為：T.

【點睛】本題考查了實數(shù)的性質(zhì)，二次根式分母有理化，掌握實數(shù)的性質(zhì)，分母有理化是解題的關(guān)鍵.

13.已知a,b分別是而的整數(shù)部分和小數(shù)部分，則2a->的值為.

【答案】9-而.

【解析】

【分析】先求出相介于哪兩個整數(shù)之間，即可求出它的整數(shù)部分，再用后減去它的整數(shù)部分求出它

的小數(shù)部分，再代入即可.

【詳解】：9<13<16,

,-.3<V13<4,

67=3,6=3,

：.2a-b=2X3-(-3)=6-,而+3=9-而.

故答案為9-病.

【點睛】此題考查的是帶根號的實數(shù)的整數(shù)部分和小數(shù)部分的求法，利用平方找到它的取值范圍是解決此

題的關(guān)鍵.

14.已知一個正數(shù)的平方根是3x-2和5x+6,則這個數(shù)是.

49

【答案】T

【解析】

【分析】根據(jù)正數(shù)的兩個平方根互為相反數(shù)，即可列方程求得X的值，進而求解.

【詳解】解：根據(jù)題意得：3x-2+(5x+6)=0,

解得：x="2,

_2%

則這個數(shù)是(3X-2)2=(2)2=T;

49

故答案是：T.

【點睛】本題主要考查了平方根的定義.注意一個正數(shù)有兩個平方根，它們互為相反數(shù).

15._-如。中，您1=15，=11,高J4D=12,則上期。面積為.

【答案】24或84

【解析】

【分析】本題主要考查了勾股定理，三角形面積，分乙為銳角三角形，AABC為鈍角三角形，兩種

情況討論，分別利用勾股定求出2。和CD的長，進而求出8c的長，再根據(jù)三角形面積計算公式計算面

積即可.

【詳解】解：當(dāng)3c為銳角三角形時，

過點A作也垂足為。，

■：AD1BC,

ZADB=AADC=9Q°,

'：AB=\5,AC=\3,4)=12,

:.BD=JAB)_AD，=V153-123=9,

CD=JAC2-AD2=7133-123=5,

：.BC=BD+CD=9+5=\4,

：Su，=%C^1)=1x14x12=84

11，

當(dāng)AABC為鈍角三角形時，

過點A作力D13C垂足為。，

-ADA.BC,

ZADB=AADC=%°,

vAS=15,.40=13,AD=\2,

：.BD=JAB，-AD)=V152-122=9,

CD=4AC2-AD2=V133-123=5,

BC=BD-CD=9-5=4,

S皿々=1x4x12=24

11,

.'.△ABC的面積為24或84,

故答案為:24或84.

【點睛】本題考查了勾股定理，熟練掌握勾股定理是解題關(guān)鍵.

16.如圖所示，已知448。是腰長為1的等腰直角三角形，以P-t2X3C的斜邊月。為直角邊，畫第2個

等腰Rt—HCD,再以Rt-HCD的斜邊加為直角邊畫第3個等腰RtA4DE……以此類推，第2023個

等腰直角三角形的斜邊長為

【答案】（?

【解析】

【分析】將前3個等腰三角形的斜邊計算出來，然后找出規(guī)律即可求出答案.

【詳解】解:第一個等腰直角三角形的斜邊為Jr+f=J?

何再肝=2=（可

第二個等腰直角三角形的斜邊為

在+y=20=（閭'

第三個等腰直角三角形的斜邊為

第2023個等腰直角三角形的斜邊為'

故答案為：陽.

【點睛】本題考查等腰直角三角形的有關(guān)知識、勾股定理、規(guī)律探究等知識，解題的關(guān)鍵是掌握從特殊得

一般探究規(guī)律題目的方法，利用規(guī)律解決問題.

三、解答題（共8道小題，共計78分）

17.計算：

萬+4匠

（1）/；

⑨+2

kZJ\'f;

（）（2一閭一兩—g）+|>/3-2

【答案】（1）11（2）4

⑶3-6

【解析】

【分析】本題考查了二次根式的混合運算，實數(shù)的運算，零指數(shù)暴，負整數(shù)指數(shù)幕，準(zhǔn)確熟練地進行計算

是解題的關(guān)鍵.

（1）利用二次根式的除法法則以及性質(zhì)，進行計算即可解答；

（2）利用平方差公式，進行計算即可解答；

（3）先化簡各式，然后再進行計算即可解答.

【小問1詳解】

萬+46

解：后

373+873

11百

="7F

=11；

【小問2詳解】

解：（癢⑹心+"）+?

=5-3+2

=4；

【小問3詳解】

（2--73）+y/3-2

解：⑷

=1—（—4）-4+2—>/§■

=1+4—4+2-^3

=o-w

18.解方程:

⑴2（X-1）3=736

⑵t.v-l（3=-27

【答案】（1）x=l+\^或》=1-/

⑵工=-2

【解析】

【分析】本題主要考查了求平方根和求立方根的方法解方程，熟知求立方根和求平方根的方法是解題的關(guān)

鍵.

（1）根據(jù)求平方根的方法解方程即可；

（2）根據(jù)求立方根的方法解方程即可.

【小問1詳解】

解："、-記=病

=3

x-1=+>/3

x=1+后或x=1一技

【小問2詳解】

(x-l)3=-27

x-l=-3

x=-2.

19.已知1的平方根是±3,5a+5-？的算術(shù)平方根是心求為-肪的平方根.

【答案】±4

【解析】

【分析】根據(jù)平方根和算術(shù)平方根的定義即可求出？a+l和5。+二》-2的值，進而求出。和b的值，將。

和b的值代入3a-4b即可求解.

【詳解】解：+1的平方根是±3,5a+26-2的算術(shù)平方根是％

A2a+1=9,5a4-26-2=16,

a=4,b=-l

把a=4,代入3a-4b得：3X4-4X(-1)=16,

3a-4b的平方根為：±JI?=±4.

【點睛】本題主要考查了算術(shù)平方根和平方根，熟練掌握算術(shù)平方根和平方根的定義是解題的關(guān)鍵.注

意：一個正數(shù)有兩個平方根，它們互為相反數(shù).

20.如圖所示的一塊地，已知4D=4米，CD=3米，ADLCD,力5=13米，BC=12米，求這塊地

的面積.

【解析】

【分析】考查了直角三角形面積公式以及勾股定理的應(yīng)用，關(guān)鍵是作出輔助線得到直角三角形.連接

AC,利用勾股定理可以得出工47。和△火3c是直角三角形，的面積減去。的面積就是所求

的面積.

AC=yjAD^+CD2=V43+S3=5（米）

又。.?/(7'+8。2=53+11=133=9)

二AHBC是直角三角形，

=—x5xl2—x3x4=24.

故所求面積=AH8C的面積--4CD的面積22(米“).

答：這塊地的面積為24米2.

21.如圖，將兩個全等的直角三角形按照如下的位置擺放，使點A,E,。在同一條直線上，

乙4=ZZ)=90。，AE=CD=a,AB=ED=b,BE=CE=c,

B

/a3。b--------D

(i)填空：&EC=。，根據(jù)三角形面積公式，可得的面積=；根據(jù)割補法，由梯

形的面積減去陰影部分的面積，可得L3EC的面積=.

(2)求證：a2+b2=c2.

3

2_C32_C

【答案】(1)90,2,2

(2)見解析

【解析】

【分析】(1)根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)以及三角形的面積公式即可得到結(jié)論；

(2)用兩種不同的方法表示梯形即CD的面積，計算化簡后，即可得出

【小問1詳解】

解：：AE=CD=a,AB=ED=b,BE=CE=c,

AABE=￡DEC,

ZABE+AAEB=%°,

zS4￡5+ZD5C=90°,

ZBEC=90°,

=-BECE=-c2

的面積22

由梯形的面積減去陰影部分的面積，可得一8EC的面積

=ga+b)(a+b)-2xa"+2ab+b1')-ab=ga"+b")+ab-ab='c"

2

故答案為：90.2C,-2cC；

【小問2詳解】

證明：：RtA4眼，RtjDEC,

..ZAEB=ADCE,BE=EC=c,

?.?ZD=90。，

..ZDCff+ZDEC=90°,

：,ZAEB+ZJ)EC=%°,

Z5￡C=90°,

■ABEC是等腰直角三角形，

'?,XJCtD=Q&-XAT+'-Jtl.CDJ+ATC,

(AB+CD)ADAEABEDDCBEEC

----------、---------=-----C-----+-----C------+-----。-----

(〃+6)(。+6)_而baca

即2-T+T+-,

.a2+2ab+b2_c3+2ab

*一>10，

:.a2+b2=c2.

【點睛】本題考查了梯形，勾股定理的證明，用兩種不同的方法表示同一個圖形的面積是解決問題的關(guān)

鍵.

22.如圖，小旭放風(fēng)箏時，風(fēng)箏掛在了樹上，他先拉住風(fēng)箏線，垂直于地面，發(fā)現(xiàn)風(fēng)箏線多出1米；把風(fēng)

箏線沿直線BC向后拉5米，風(fēng)箏線末端剛好接觸地面，求風(fēng)箏距離地面的高度AB.

CR

【答案】風(fēng)箏距離地面的高度為12米

【解析】

【分析】設(shè)A8=尤米，則AC=(x+1)米，依據(jù)勾股定理即可得到方程,進而得出風(fēng)

箏距離地面的高度

【詳解】解:設(shè)AB=x米，則AC=(x+1)米，

由圖可得，ZABC=90°,BC=5米，

在MAABC中，=AC2,

即丁+5，=(x+l)：

解得尤=12,

答：風(fēng)箏距離地面的高度AB為12米.

【點睛】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，在應(yīng)用勾股定理解決實際問題時，勾股定理與方程的結(jié)合是解

決實際問題常用的方法，關(guān)鍵是從題中抽象出勾股定理這一數(shù)學(xué)模型，畫出準(zhǔn)確的示意圖.

23.如圖，正方形網(wǎng)格中的每個小正方形的邊長都是1,每個小格的頂點叫做格點.

(1)在圖1中以格點A為端點畫出出=34°=近J記的線段；

(2)在圖2中以格點為頂點畫一個三角形，使三角形三邊長分別為？，力，風(fēng)；

(3)如圖3,點尸，M，N是小正方形的頂點，直接寫出/尸的度數(shù).

【答案】(1)如圖1,見解析；(2)如圖2,見解析；(3)/PNM=4F.

【解析】

【分析】(1)利用網(wǎng)格問題和勾股定理，即可得到答案；

(2)根據(jù)題意，利用網(wǎng)格問題和勾股定理，即可得到答案；

(3)連接PM,由勾股定理，得到PM=MN,則△RWN是等腰直角三角形，即可得到答案.

【詳解】解：(1)如圖1：乩5=/幺°=看AD=y/\0(多種畫法)

(2)如圖2的三角形的邊長分別為尤,而；(多種法畫)

(3)如圖3,連接由勾股定理得尸M=J元,

AXPMN是等腰直角三角形,

：.ZPNM=^^"

BCD

圖1圖2圖3

【點睛】本題考查了勾股定理、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)；熟練掌握勾股定理是解決問題的關(guān)鍵.

24.閱讀下面計算過程.

1_lx（V2-l）_F,

1ix（V3-V5）

石（召-3）-

1.1x（6，）一乒、

75+2（>5+2）（75-2）V

請解決下列問題

]

（1）根據(jù)上面的規(guī)律，請直接寫出，〃+1+6=.

11111

（2）利用上面的解法，請化簡：1+0W+J，、后+J7^98+^99799+7100.

[

（3）你能根據(jù)上面的知識化簡行巨一而嗎？若能，請寫出化簡過程.

【答案】（1）石石一血；（2）9；（3）能，y/n+1+Jn

【解析】

【分析】（1）根據(jù)規(guī)律，分子、分母同時乘分母的有理化因式即可;

（2）將每個式子都分母有理化即可發(fā)現(xiàn)規(guī)律；

（3）分子、分母同時乘分母的有理化因式即可.

1y/r)+1-4n

=yjn+1-石

+1+4r)(Jn+1+y/n\IJr7+1--Jnj

【詳解】解：(1)

故答案為而T一-

------+--------+--------+■…+----------+------------

(2)1+042+^3^+74廊+回799+7100

=心-l+相-企+也-/d--F^99-^98+>/100-499

=10-1

-9

yfn+1+>/w"

=J〃+l+后

1-y/n)(>Jn)

(3)(>/幾+1+

故答案為屈T+g

【點睛】此題考查的是分母有理化，掌握含根號的式子的有理化因式是解決此題的關(guān)鍵.

25.如圖，將矩形45C￡）（AB<AD）沿89折疊后，點C落在點E處，且BE交AD于點R若A8=4,

BC=8.

（1）求的長；

（2）求△OB尸和△￡>￡1/的面積;

(3)求△DBF中/點到8。邊上的距離.

【答案】(1)5；(2)SADBF=10,SADEF=6；(3)E到8。邊上的距離為而.

【解析】

【分析】(1)易證34ED,在直角中，根據(jù)勾股定理就可以求出。F的長；

(2)由折疊的‘性質(zhì)得8E=8C=8,DE=CD=4,ZE=90°,EF=BE-BF=3,SADE"TEF'DE,

S/\DBF=SABDE-S/\DEF即可得出結(jié)果；

(3)由勾股定理得出2。的長，設(shè)廠到8。邊上的距離為/z,則SAOBJTB?/Z,即可得出結(jié)果.

【詳解】(1):四邊形A8C￡>是矩形，：.AD=BC=8,A8=CZ)=4,ZA=90°,AD//BC,

：.ZDBC=ZFDB,由折疊性質(zhì)得：/DBC=/DBE,：.ZFDB=ZFBD,：.BF=FD,設(shè)AP=尤，貝！|

BF=DF=S-X.在RtzXABF中，由勾股定理得：AB2+AF2=BF2,即：42+尤2=(8-無)2,解得：戶3,

：.DF=8-3=5；

(2)由折疊的性質(zhì)得：BE=BC=8,DE=CD=4,Z￡=90°,EF=BE-BF=8-5=3,

1111

==_x_=-x

：.SADEF2EF'DE23X4=6,S^DBF=S^BDE-SADEF2BE-DE-628X4-6=10；

33

(3)BD='JAD^TA?=V8+4=4V5,設(shè)廠到8。邊上的距離為/?,則Sz\DBF=了瓦>〃，即：

=L

1024、Sh,解得://=正，到8。邊上的距離為而.

【點睛】本題考查了折疊的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、勾股定理、三角形面積計算等知識，熟練掌握折疊的性

質(zhì)，運用三角形面積公式計算是解題的關(guān)鍵.

26.據(jù)我國古代《周髀算經(jīng)》記載，公元前1120年商高對周公說，將一根直尺折成一個直角，兩端連接得

到一個直角三角形，如果勾是三，股是四，那么弦就等于五.后人概括為“勾三、股四、弦五”.

(1)觀察：3,4,5；5,12,13；7,24,25；…，小明發(fā)現(xiàn)這些勾股數(shù)的勾都是奇數(shù)，且從3起就沒有

4=1(9-1)5=-(9+1)12=-(25-1)

間斷過，當(dāng)勾?