算法設計與分析 課件 5.1-動態(tài)規(guī)劃引例1-兔子繁殖問題

信息工程大學算法設計與分析動態(tài)規(guī)劃—引例—兔子繁殖國家級實驗教學示范中心計算機學科組規(guī)劃教材算法設計與分析Python案例詳解微課視頻版兔子繁殖問題：

一對兔子從出生后第三個月開始，每月會生一對小兔子。如果兔子只生不死，一月份抱來一對剛出生的小兔子，問一年中每個月各有多少對兔子。F(n)表示第n個月的兔子對數，F(xiàn)(n)=上個月的兔子+本月新出生的兔子F(n-1)F(n-2)斐波納契數列（FibonacciSequence）F(n)=

1 ifn=0or1F(n-1)+F(n-2) ifn>11，1，2，3，5，8，11，19，30，49，……方法一：遞歸實現(xiàn)基于分治的遞歸實現(xiàn)：intF(intn){ if（n==0||n==1）return1; returnF(n-1)+F(n-2);}F(n)=F(n-1)+F(n-2)問題：該方法求解第n項的時間復雜度是多少？單選題。遞歸求解Fibonacci數列第n項的時間復雜度是多少？A.O(n)B.O(n2)C.O(2n)D.O(1)方法一：遞歸實現(xiàn)F(n)F(n-1)F(n-2)F(n-2)F(n-3)F(n-3)F(n-4)F(n-3)F(n-4)F(n-4)F(n-5)F(n-4)F(n-5)F(n-5)F(n-6)F(n)F(n-1)F(n-2)F(n-2)F(n-3)F(n-3)F(n-4)F(n-3)F(n-4)F(n-4)F(n-5)F(n-4)F(n-5)F(n-5)F(n-6)T(n)=T(n-1)+T(n-2)+1=O(2n)F(n)=F(n-1)+F(n-2)思考：時間復雜度高的原因是什么？原因：存在大量的重復計算。方法二：帶記憶的遞歸實現(xiàn)（備忘錄）去除重復計算的方法：保存計算結果/*A[i]表示第i個月的兔子對數，初始化為0*/intA[MAXSIZE]={0};intF(intn){

if(n==0||n==1)A[n]=1;elseif(A[n]==0)A[n]=F(n-1)+F(n-2);returnA[n];}T(n)=O(n)方法三：遞推實現(xiàn)intF(intn){

A[0]=A[1]=1;for(inti=2;i<=n;i++)A[i]=A[i-1]+A[i-2];returnA[n];}月份12345678兔子數1123581321A[8]A[6]A[7]+依然在內存T(n)=O(n)方法四：遞推實現(xiàn)（消除數組）intF(intn){a=1,b=1,c=0；for(inti=3;i<=n;i++){c=a+b;a=b;b=c;}returnc;}第i次計算abc第i+1次計算abc斐波那契數列的時空復雜度分析實現(xiàn)：方法一

方法二方法三

方法四

時間復雜度：O(2n)O(n)O(n)空間復雜度：O(1)O(n)O(1)O(n)O(n)

（遞歸）

（備忘錄）

（遞推）

（空間優(yōu)化的遞推）從兔子繁殖問題引出斐波那契數列，并就該問題討論多種求