算法設計與分析 課件 10.3.2-綜合應用-最短路徑問題-迪杰斯特拉算法

信息工程大學算法設計與分析綜合應用—最短路徑問題迪杰斯特拉算法國家級實驗教學示范中心計算機學科組規(guī)劃教材算法設計與分析Python案例詳解微課視頻版

給定帶權有向圖G=(V,E)，其中每條邊的權值是非負數(shù)，u稱為源點；圖G的頂點編號為1~n(1≤n≤100)。求從u到G中所有其余頂點的最短路徑長度。50102060100301012534uu1u2…uk-1ukuk+1vuu1u2…uk-1ukuk+1uu1uu1u2…最短路徑長度遞增迪杰斯特拉(Dijkstra)提出：按最短路徑長度遞增的次序，依次產(chǎn)生每個點的最短路徑。最短路徑問題滿足最優(yōu)子結(jié)構性質(zhì)：u到v的最短路徑包含u到該路徑上其它各點的最短路徑。邊的權值為非負判斷題。Dijkstra算法按路徑長度遞增的次序依次產(chǎn)生源點到各點的最短路徑。A.錯誤

B.正確uu1u2…uk-1ukuk+1vuu1u2…uk-1ukuk+1uu1uu1u2…最短路徑長度遞增Dijkstra提出：按最短路徑長度遞增的次序，依次產(chǎn)生每個點的最短路徑。進一步可知：第一條最短路徑：直達其他：利用已得到最短路徑的點，求未知點的最短路徑集合集合SS’S中的點表示已找到該點的最短路徑S’中的點表示未找到最短路徑的點1.將圖中點分成兩個集合：S和S’;集合集合SS’1.將圖中點分成兩個集合：S和S’；2.計算從源點u出發(fā)，經(jīng)S中點到S’中各點的最短路徑長度；集合集合SS’1.將圖中點分成兩個集合：S和S’；2.計算從源點u出發(fā)，經(jīng)S中點到S’中各點的最短路徑長度；3.從S’中選擇距離最短的點v加入S中，并從S’中移除該點，同時更新S’中點的最短距離；集合S集合S’1.將圖中點分成兩個集合：S和S’；2.計算從源點u出發(fā)，經(jīng)S中點到S’中各點的最短路徑長度；3.從S’中選擇距離最短的點v加入S中，并從S’中移除該點，同時更新S’中點的最短距離；4.重復第3步，直到S’為空。算法需要的數(shù)據(jù)結(jié)構：1.對各點所處集合的狀態(tài)進行標記，使用數(shù)組s；2.需要存儲S’中各點的距離，使用數(shù)組dist；3.記錄點的前驅(qū)，使用數(shù)組pre；初始時，先將源點u放入S。對u之外的每個頂點v，令dist[v]為邊<u,v>的權或+∞；不斷地做貪心選擇來擴充S，直到所有頂點均進入S。貪心策略：如果頂點v不屬于S，且dist[v]值最小，則優(yōu)先選擇v。當v加入S后，需調(diào)整尚未進入S的點的dist和pre。算法結(jié)束時，dist[i]就是u到點i的最短距離。迭代Svdist[2]pre[2]dist[3]pre[3]dist[4]pre[4]dist[5]pre[5]初始1101+∞-1301100111,22101602301100121,2,4410150430190431,2,4,3310150430160341,2,4,3,5550102060100301012534迭代Svdist[2]pre[2]dist[3]pre[3]dist[4]pre[4]dist[5]pre[5]初始1101+∞-1301100111,22101602301100121,2,4410150430190431,2,4,3310150430160341,2,4,3,55選擇題。根據(jù)下表，源點1到點5的最短路徑長度和最短路徑是（）。A.60,1-5

B.60,1-3-5C.60,1-4-3-5/*graph表示圖的鄰接矩陣，u表示源點，n表示頂點總數(shù)*/voidDijkstra(int**graph,intu,intn){ints[MaxSize],i=0;memset(s,0,sizeof(s));s[u]=1;for(i=1;i<=n;i++){dist[i]=graph[u][i];pre[i]=-1;}i=1;while(i<n){v為

滿足s[v]==0&&dist[v]最小的點;s[v]=1;i++;for(對每個相鄰于v的頂點k){

if

（(s[k]==0)&&

(dist[v]+graph[v][k]<dist[k])）{

dist[k]=dist[v]+graph[v][k]); pre[k]=v; }}/*endfor*/}/*endwhile*/}時間復雜度：O(n2)/*借助優(yōu)先隊列實現(xiàn)迪杰斯特拉算法*/#include<iostream>#include<cstring>#include<queue>usingnamespacestd;#defineMaxSize101typedefstruct{intno;/*no表示頂點的編號，從1開始*/intdist=0x3f3f3f3f;/*dist表示長度，初值為一個較大的值*/intprev=0;/*prev表示源點到該點的最短路徑中該點的前驅(qū)頂點的編號*/intflag=0;/*flag=0表示源點到該點的最短路徑還未求出*/}vertex;structcomp{/*定義優(yōu)先隊列的排序規(guī)則*/booloperator()(vertexa,vertexb){returna.dist>b.dist;}};/*函數(shù)功能：dijkstra算法求解單源最短路徑*//*參數(shù)說明：n表示圖中頂點總數(shù)，graph表示圖的鄰接矩陣*//*a存儲頂點信息，u表示源點編號*/voiddijsktra(intn,intgraph[][MaxSize],vertexa[],intu){priority_queue<vertex,vector<vertex>,comp>p;/*定義優(yōu)先隊列*/inti=0;a[u].dist=0;/*設置源點到它自身的最短路徑長度為0*/p.push(a[u]);/*源點加入優(yōu)先隊列*/intt=0;vertexv;while(!p.empty()){v=p.top();/*取dist最小的頂點*/p.pop();/*dist最小的頂點出隊*/t=v.no;a[t].flag=1;/*出隊頂點的最短路徑已得到*/ ……}借助優(yōu)先隊列優(yōu)化算法時間復雜度O(|V|log|V|)單選題。

Dijkstra算法求解單源最短路徑，適用于（）。 A.權值為非負 B.權值為負 C.權值無要求Q：迪杰斯特拉算法為什么需要“邊的權值為非負數(shù)”