2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：復(fù)數(shù)（學(xué)生版）

考點(diǎn)33復(fù)數(shù)(3種核心題型+基礎(chǔ)保分練+綜合提升練+拓

展沖刺練)

m【考試提醒】

1.通過(guò)方程的解，認(rèn)識(shí)復(fù)數(shù).

2.理解復(fù)數(shù)的代數(shù)表示及其幾何意義，理解兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的含義.

3.掌握復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，了解復(fù)數(shù)加、減運(yùn)算的幾何意義.

ill【知識(shí)點(diǎn)】

1.復(fù)數(shù)的有關(guān)概念

⑴復(fù)數(shù)的定義：形如。+歷(a,bGR)的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，其中.是復(fù)數(shù)Z的實(shí)部,

是復(fù)數(shù)z的虛部，i為虛數(shù)單位.

⑵復(fù)數(shù)的分類(lèi)：

復(fù)數(shù)z=a+6i(a,6GR)

［實(shí)數(shù)(b0),

［虛數(shù)(60)(當(dāng)a0時(shí)為純虛數(shù)).

(3)復(fù)數(shù)相等:

a+6i=c+dic(a,b,c,dGR).

(4)共輾復(fù)數(shù):

a+歷與c+di互為共軌復(fù)數(shù)臺(tái)(a,b,c,dGR).

(5)復(fù)數(shù)的模：

向量OZ的模叫做復(fù)數(shù)z=a+歷的模或絕對(duì)值，記作或,即團(tuán)=|a+

Z?i|=(a,6WR).

2.復(fù)數(shù)的幾何意義

⑴復(fù)數(shù)z=a+歷(a,bGR)DEE贈(zèng)fa復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z(a,b).

(2)復(fù)數(shù)z=a+歷(a,bCR)DS強(qiáng)平面向量OZ.

3.復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算

⑴復(fù)數(shù)的加、減、乘、除運(yùn)算法則：

設(shè)2i=a+bi,Z2=c+di(a,b,c,d￡R),貝U

①力口法：zi+z2=(a+bi)+(c+di)=：

②減法：z\一Z2=(a+bi)—(c+di)—：

③乘法：z\*Z2=(Q+bi)?(c+di)=：

…zia~\-bi(a+bi)(。一di)

④除法：一=^—=——-_______________(c+diWO).

Z2c-vd\(c+di)(c—di)

⑵幾何意義：復(fù)數(shù)加、減法可按向量的平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行.

如圖給出的平行四邊形OZ1ZZ2可以直觀地反映出復(fù)數(shù)加、減法的幾何意義,

—?----?

即OZ=，Z1Z2=.

【常用結(jié)論】

l+i.1-i

1.(1士i)2=±2i；

1+i

2.—6+ai=i（a+6i）（a,bGR）.

3.i4"=l,j4?+i=i,i4?+2=—1,i4,,+3=—i（；?eN）.

4.i4?+i4?+1+i4?+2+i4n+3=0（/7eN）.

5.復(fù)數(shù)z的方程在復(fù)平面上表示的圖形

（l）aW|z|W6表示以原點(diǎn)O為圓心，以。和6為半徑的兩圓所夾的圓環(huán);

⑵|z—（a+歷）|=&?0）表示以（a,b）為圓心，r為半徑的圓

羯【核心題型】

題型一復(fù)數(shù)的概念

解決復(fù)數(shù)概念問(wèn)題的方法及注意事項(xiàng)

⑴復(fù)數(shù)的分類(lèi)及對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置問(wèn)題都可以轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部應(yīng)該滿足的條件問(wèn)題,

只需把復(fù)數(shù)化為代數(shù)形式，列出實(shí)部和虛部滿足的方程（不等式）組即可.

（2）解題時(shí)一定要先看復(fù)數(shù)是否為a+歷伍，b￡R）的形式，以確定實(shí)部和虛部.

【例題1］（2。24?四川?模擬預(yù)測(cè)）已知復(fù)數(shù)"土一產(chǎn)為虛數(shù)單位），則，的虛部為

1.1.

A.B.c.—1D.—i

2222

【變式1］（2024?遼寧?三模）已知復(fù)數(shù)z在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為（加,1）,若iz〉-2,則實(shí)數(shù)加

的值為（）

A.0B.-1C.1D.1或-1

【變式2］（2023?江蘇?三模）設(shè)z為復(fù)數(shù)（i為虛數(shù)單位），下列命題正確的有（）

A.若zeR,貝!Jz=zB.若z'eR，則zeR

C.若（l+i）z=l-i,則忖=1D.若z2+l=0,則z=i

【變式3］（2024?山東日照?二模）設(shè)機(jī)eR,i為虛數(shù)單位.若集合/={1,2加+（加-1）”，

B={0,1,2）,且N=貝.

題型二復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算

（1）復(fù)數(shù)的乘法：復(fù)數(shù)乘法類(lèi)似于多項(xiàng)式的乘法運(yùn)算.（2）復(fù)數(shù)的除法：除法的關(guān)鍵是分子分

母同乘以分母的共機(jī)復(fù)數(shù).

【例題2】（2024?湖北?模擬預(yù)測(cè)）已知復(fù)數(shù)2=。+歷（a,beR,i為虛數(shù)單位），若忖=1且

|z-i|=l,則|z-2i|=（）

A.2B.V3C.41D.1

【變式1］（2024?山東?模擬預(yù)測(cè)）已知復(fù)數(shù)z滿足目=1,M|z-l|=|z+i|,則z2=（）

A.1B.-1C.iD.-i

【變式2］（2024?福建福州?三模）已知復(fù)數(shù)4/2滿足：,+叫+卜「閩=4,%-2i|=l,

則（）

A.LI的最小值是1B.目的最大值是2

C.三的最大值是3D.［石-2』的最大值是4

【變式3】2024?湖南,模擬預(yù)測(cè)汨知i是復(fù)數(shù)的虛數(shù)單位，且早=。+歷（。,6eR）,貝|。+6

的值為.

題型三復(fù)數(shù)的幾何意義

由于復(fù)數(shù)、點(diǎn)、向量之間建立了——對(duì)應(yīng)的關(guān)系，因此可把復(fù)數(shù)、向量與解析幾何聯(lián)系在一

起，解題時(shí)可運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法，使問(wèn)題的解決更加直觀

【例題3】（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）如圖，復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的向量為應(yīng)，且|z-i|=5,則向量應(yīng)

在向量而上的投影向量的坐標(biāo)為（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【變式2](2024,湖南長(zhǎng)沙?二模)在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)句和句對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為42,則

【變式3](23-24高三上?江蘇鹽城?階段練習(xí))已知函數(shù)/(x)=asin2x+cos2x,且

71

(1)求函數(shù)〃X)的解析式;

(2)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，復(fù)數(shù)Z[=-2-4i,Z2=-2+〃/)i在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為A,B,求

△045面積的取值范圍.

【課后強(qiáng)化】

【基礎(chǔ)保分練】

一、單選題

1.（2024?湖南衡陽(yáng)?模擬預(yù)測(cè)）已知復(fù)數(shù)4=1-歷伍eR）在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在直線

x+y-l=0上，則復(fù)數(shù)Z2=6+i在復(fù)平面對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在（）

A.實(shí)軸正半軸B.實(shí)軸負(fù)半軸C.虛軸正半軸D.虛軸負(fù)半軸

2.（2024?河南?三模）已知i為虛數(shù)單位，"2=（）

O-O

A.1+iB.1-iC.-1+iD.-1-i

3.（2024?黑龍江雙鴨山?模擬預(yù)測(cè)）已知復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為（T1）,則三=

Z

（）

A.2iB.iC.-iD.-2i

4.（2024?吉林長(zhǎng)春,模擬預(yù)測(cè)）已知z=0+i），則2的虛部為（）

一1-i

A.2iB.-2iC.-2D.2

二、多選題

5.（2024?湖南?二模）已知i為虛數(shù)單位，下列說(shuō)法正確的是（）

A.若復(fù)數(shù)z=生，貝

1-1

B.若匕1|〉匕2]，則

C.若Z2=o,則

Z?Z2

D.復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為z,若|z+i|+|z-i|=2,則點(diǎn)Z的軌跡是一個(gè)橢圓

6.（2024?廣東廣州?模擬預(yù)測(cè)）已知復(fù)數(shù)句，z2,下列結(jié)論正確的有（）

A.歸一區(qū)同+聞B.若4-馬＞0,則㈤＞"|

C.若＜-Z2[K]ZI+4,則Z「Z2=0D.若Z]=l+i,Z2則五為純虛數(shù)

Z2

三、填空題

7.（2024?山西?三模）己知復(fù)數(shù)0+2i）-%（3-i）在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限，則實(shí)數(shù)

m的取值范圍是.

8.（2024?四川成都?模擬預(yù)測(cè)）設(shè)z=2-i,則吐的虛部為_(kāi)________.

z1

9.2024?甘肅張掖?模擬預(yù)測(cè)）已知復(fù)數(shù)z=i+2i2+3i3+---+2O23i2023,則z的虛部為.

四、解答題

10.（2022,湖南?模擬預(yù)測(cè)）國(guó)際數(shù)學(xué)教育大會(huì)（ICME）是世界數(shù)學(xué)教育規(guī)模最大、水平最

高的學(xué)術(shù)性會(huì)議，第十四屆大會(huì)將在上海召開(kāi)，其會(huì)標(biāo)如圖，包含若許多數(shù)學(xué)元素，主畫(huà)面

是非常優(yōu)美的幾何化的中心對(duì)稱圖形，由弦圖、圓和螺線組成，主畫(huà)面標(biāo)明的ICME—14下

方的"===="是用中國(guó)古代八進(jìn)制的計(jì)數(shù)符號(hào)寫(xiě)出的八進(jìn)制數(shù)3744,也可以讀出

其二進(jìn)制碼（0）11111100100,換算成十進(jìn)制的數(shù)是〃，求（l+i）2"及［號(hào)）的值.

r

71

11.（2023,安徽蕪湖?模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)/（x）=asin2x+cos2x,且〃x）4/

⑴求“X）的最大值;

⑵從①②中任選一個(gè)作答.若選擇多個(gè)分別作答.按第一個(gè)解答計(jì)分.

①A為函數(shù)"X）圖象與x軸的交點(diǎn)，點(diǎn)B,C為函數(shù)“X）圖象的最高點(diǎn)或者最低點(diǎn)，求

△ABC面積的最小值.

②。為坐標(biāo)原點(diǎn)，復(fù)數(shù)句=-2-4i,4=-2+/（根在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為A,B,求

△048面積的取值范圍.

【綜合提升練】

一、單選題

?2?

-1+1

1.（2024?湖北武漢?模擬預(yù)測(cè)）設(shè)復(fù)數(shù)z=，則三的虛部是（)

-1-i3

A.1B.-1C.iD.-i

2.（2024?河北?模擬預(yù)測(cè)）+>0,6/GR,則()

A.。=1B.Q=±1

C.a<-l^a>lD.a>\

已知z=罟，則z+z』5=（

3.（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）)

A.iB.—iC.1+iD.1-i

Z2

4.（2024?江西?模擬預(yù)測(cè)）在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù)Z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為（1,-1）,則()

l-2i

A.UiC.21D.2+公

B.

55555555

（2。24?四川成都?模擬預(yù)測(cè)）復(fù)數(shù)z=苫在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于虛軸上，則實(shí)數(shù)“

5.

的值為（

A.1B.2C.-1D.-2

1+i

6.（2024?山西運(yùn)城?三模）設(shè)2=，貝Uz=（）

l+i2+i5

A.1-iB.1+iC.-1-iD.-1+i

（2024?陜西西安?模擬預(yù)測(cè)）已知i是虛數(shù)單位，若2="是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)。=（）

7.

2+1

A.-2B.2C.D

2-I

8.（2024?黑龍江齊齊哈爾?三模）復(fù)平面內(nèi)。三點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為1-i,2-i,3+i,

若四邊形/3C。為平行四邊形，則點(diǎn)。對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為（）

A.2B.2+iC.1D.1+i

二、多選題

9.（2024?江蘇南通,模擬預(yù)測(cè)）已知句，Z2都是復(fù)數(shù)，下列正確的是（）

A.右Zy=z2，則z/2￡RB.右z/2￡R,則Z]=z]

C.若㈤則z；=z；D.若z；+z；=0,則㈤="|

10.（2024,廣東江門(mén),一模）下列說(shuō)法正確的是（）

A.z-z=|z|2,zeC

B.i2024=-l

c.若匕1=1,zee,貝”Z-2|的最小值為1

D.若-4+3i是關(guān)于x的方程x2+0x+q=O（，qeR）的根，貝l]/=8

IL（2024?河南?三模）在復(fù)平面內(nèi)，設(shè)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為A,B,

若E_L赤，貝1k可能是（）

A.2iB.1-V3iC.73+iD.73-i

三、填空題

12.（2023?天津南開(kāi)?一模）i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)?胃=.

13.（2024?遼寧葫蘆島?二模）已知復(fù)數(shù)z滿足（z-i）（l-i）=2,則目的值為.

14.（2024?福建廈門(mén)?三模）復(fù)數(shù)z滿足z+彳=2,zz=4,貝U|z—彳|=.

四、解答題

15.（2021?上海浦東新?模擬預(yù)測(cè)）已知關(guān)于x得二次方程：

x2+（2+i）x+4ab+（2a-b）i=0（。,6eR）.

⑴當(dāng)方程有實(shí)數(shù)根時(shí)，求點(diǎn)（。*）的軌跡方程;

（2）求方程實(shí)數(shù)根的取值范圍.

16.（2022?浙江?模擬預(yù)測(cè)）在正三棱臺(tái)。48-。4月中，AO/8是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形,

\AB\,兀

且//=2.已知|。勾=5,ZOCH=~,D,b分別是線段03,的中點(diǎn)，當(dāng)直線G"

上一動(dòng)點(diǎn)C在射線。。1上時(shí)，|。?=1,tan/C44=行.

⑴證明：OCL平面445

⑵求直線GH與平面4BB4所成角的正弦值;

⑶連接。，C8,已知點(diǎn)C在平面0/8投影是G，平面。是一個(gè)分別以D4,。。作為x,

了軸的復(fù)平面，2=￡?￡.當(dāng)。4，。8時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出z的虛部（不要求寫(xiě)出過(guò)程）.

17.（2021?上海?模擬預(yù)測(cè)）已知關(guān)于x的方程--3*-34=0（“€尺）的虛數(shù)根為占、x2.

（1）求聞+卜|的取值范圍;

（2）若上-引=1,求實(shí)數(shù)。的值.

18.(2021?黑龍江大慶?模擬預(yù)測(cè))已知復(fù)數(shù)2=加-i(〃?eR),且z-(l+3i)為純虛數(shù)(［是

z的共軌復(fù)數(shù)).

(1)設(shè)復(fù)數(shù)4=?二，求㈤；

(2)復(fù)數(shù)^在復(fù)平面對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，求實(shí)數(shù)4的取值范圍.

19.(2024?安徽蚌埠?模擬預(yù)測(cè))對(duì)于無(wú)窮數(shù)列旬,…我們稱

=與"=%+午+*尤2+...+,無(wú)"+...(規(guī)定0!=1)為無(wú)窮數(shù)列｛%｝的指數(shù)型母函

〃=0〃?L?

n

8]Y2Y

數(shù).無(wú)窮數(shù)列1，1，…，1,…的指數(shù)型母函數(shù)記為e(x)=Z-/=l+x+=；+…+1+…，

n=0n\2!n\

它具有性質(zhì)e(x)e(j)=e(x+y).

(1)證明：e(-x)=；

e(x)

、x-'(-1)*2kiX~X”、、Ef口口/、e(LX)+e(—IX).

⑵記c(x)=￡萬(wàn)二X=1-陽(yáng)+了+…+(-l)為穴+….證明：c(x)=----------------(其中I

k=o(2A-)!2!4!(24)!2

為虛數(shù)單位)；

X

⑶以函數(shù)為指數(shù)型母函數(shù)生成數(shù)列｛紇｝，

YyRRR

1

=B0+Blx+^-x+-+^-x"+■■■.其中紇稱為伯努利數(shù).證明:

e(x)-1〃=o加2!n\

4=一;.且當(dāng)印=0(斤=1,2,3,…).

【拓展沖刺練】

一、單選題

1.（2024?浙江溫州,二模）已知zeC,則"eR"是"zeR"的（）

A.充分條件但不是必要條件B.必要條件但不是充分條件

C.充要條件D.既不是充分條件也不是必要條件

2.（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）已知i為虛數(shù)單位，且復(fù)數(shù)1°24=6,則下列說(shuō)法中正確的是

（）.

A.復(fù)數(shù)z為實(shí)數(shù)B.i2024=i

C.復(fù)數(shù)z為純虛數(shù)D.z=-6i

2024

3.（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）已知復(fù)數(shù)z滿足：（l+i）Z=2+3i（i為虛數(shù)單位），則彳在復(fù)平

面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

4.（2024?遼寧葫蘆島?一模）設(shè)4，Z2為復(fù)數(shù)，則下列命題正確的是（）

A.若Z]+Z2>0,則

B.若2必2=0,則Z]=0且Z2=0

C.若㈤=%|,則z；=z；

D.^\Z-Z,\=\Z-Z2\,且Z]WZ2，貝”在復(fù)平面對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在一條直線上

二、多選題

5.（2024?遼寧丹東?二模）已知復(fù)數(shù)百的虛部與zZ的實(shí)部均為2,則下列說(shuō)法正確的是（）

A.Z1是虛數(shù)

B.若[zj=|zj=2,則Z[=Z2

C.若Z]=[,則4與Z?對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱

D.若是純虛數(shù)，則㈤=團(tuán)

6.（2024?山東青島,一模）已知復(fù)數(shù)z,下列說(shuō)法正確的是（）

A.若z-7=0,貝！]z為實(shí)數(shù)B.z2+z2=0,貝!]z=^=0

C.割z-i|=l,貝『z|的最大值為2D.若|z-iHz|+l,則z為純虛數(shù)

三、填空題

7.（2024?上海普陀?二模）已知復(fù)數(shù)z=l+i,其中i為虛數(shù)單位，則彳