2025年江西省撫州市高考數(shù)學(xué)模擬試卷（附答案解析）

2025年江西省撫州市高考數(shù)學(xué)模擬試卷

一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符

合題目要求的）

1.（5分）集合/={a,a2+l,1},B={2a},若3U4則實(shí)數(shù)0=（）

1

A.-1B.07D.1

2.(5分)已知ae(0,n),cosa=IO,則tana=()

1

A.3B.-C--D.-3

3J3

1

3.（5分）在等差數(shù)列{斯}中，46=3,則。5+。8-可。9二（）

A.2B.3C.4D.5

4.（5分）甲、乙、丙、丁、戊共5名同學(xué)進(jìn)行演講比賽，決出第1名到第5名的名次.已知甲和乙都不

是第1名，且丙和丁的名次相鄰，則5人的名次排列可能有（）種不同的情況.

A.18B.24C.36D.48

5.（5分）已知〃=3歷7,人=4仇6,c=5ln5,d=6ln4,則在「/-臼，這6

個(gè)數(shù)中最小的是（）

A.\b-a\B.\c-b\C.\d-b\D.\c-a\

6.（5分）在三棱錐尸-/5。中，AC=BC=PC=2,且尸C_L平面/5C,過點(diǎn)尸作截面分別交

AC,BC于點(diǎn)、E,F,且二面角尸-環(huán)-。的平面角為60°,則所得截面尸￡尸的面積最小值為（）

482

A.-B.-C.-D.1

333

7.（5分）0和1是計(jì)算機(jī)中最基本的數(shù)字，被稱為二進(jìn)制數(shù)字.若數(shù)列{神}滿足：所有項(xiàng)均是0或1,當(dāng)

且僅當(dāng)〃=5左±1（其中左為正整數(shù)）時(shí)，an=\,其余項(xiàng)為0.則滿足2M七=的+做+…+斯=20

的最小的正整數(shù)〃=（）

A.50B.51C.52D.53

8.（5分）已知?jiǎng)狱c(diǎn)M在拋物線￡：y2=2px（p>0）上，點(diǎn)N（-分0）,O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若cos乙OMN=緝,

且直線2x+y+l=0與△兒WO的外接圓相切，則p=（）

5544,4,5

A.-B.7或,C.或;；D.2或

445592

二、多項(xiàng)選擇題（本大題共3個(gè)小題，每小題6分，共18分，在每個(gè)給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題

目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分）

第1頁（共19頁）

（多選）9.（6分）隨機(jī)變量X,y分別服從正態(tài)分布和二項(xiàng)分布，即X~N（2,1）,y~B（4,51）,貝IJ（）

11

A.P（X42）=/B.E（X）=E（DC.D（X）=DCY）D.P（Y=1）=

（多選）10.（6分）正方體/BCD-/向Ci￡>i的棱長為2,球。1和球。2的球心Q,。2都在線段上,

球。1,球02外切，且球。1,球。2都在正方體的內(nèi)部（球可以與正方體的表面相切），記球。1和球

。2的半徑分別為H，廠2,則（）

A.ACilBiC

B.當(dāng)九=1時(shí)，-2的最大值是國—1

C.門+廠2的最大值是3—8

D.球。1和球。2的表面積之和的最大值是6n

（多選）11.（6分）已知/（x,y,n）=x2n+y2n-11,定義方程/（x,y,n）=0表示的是

平面直角坐標(biāo)系中的“方圓系”曲線，記&表示“方圓系”曲線n）=0所圍成的面積，則（）

A."方圓系"曲線/'（x,y,1）=0是單位圓

B.S2<4

C.｛%｝是單調(diào)遞減的數(shù)列

1

D.“方圓系”曲線/（x,乃2）=0上任意一點(diǎn)到原點(diǎn)的最大距離為24

二、填空題

12.（5分）已知z（1+，）=2+43則復(fù)數(shù)z=.

13.（5分）已知函數(shù)/（x）的定義域是R,/弓+久）=/6-久），/（x）4/（6-x）=0,當(dāng)■時(shí)，f

（x）=4x-2x2,則/（2024）=.

14.（5分）如圖，四邊形48CD由△/BC和△ZCD拼接而成，其中N/C3=90°,ZAD0900,若/C

與8。相交于點(diǎn)E,ZACD=30°,AD=2,NC=2舊，且tan/R4O=萼，則△?）￡■的面積S

四、解答題（共77分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）

15.（13分）已知數(shù)列｛斯｝的首項(xiàng)ai=l,設(shè)⑥=2%，且｛瓦,｝的前"項(xiàng)和&滿足：3sl=與+1-2.

第2頁（共19頁）

（1）求數(shù)列｛即｝的通項(xiàng)公式即；

A-1114

（2）Tn=a\+a^---一2，求證：—+―+???+-<-.

TiT2Tn3

16.（15分）黨的十八大以來，全國各地區(qū)各部門持續(xù)加大就業(yè)優(yōu)先政策實(shí)施力度，促進(jìn)居民收入增長的

各項(xiàng)措施持續(xù)發(fā)力，居民分享到更多經(jīng)濟(jì)社會(huì)發(fā)展紅利，居民收入保持較快增長，收入結(jié)構(gòu)不斷優(yōu)化，

隨著居民總收入較快增長，全體居民人均可支配收入也在不斷提升.下表為重慶市20142022年全體居

民人均可支配收入，將其繪制成散點(diǎn)圖（如圖1）,發(fā)現(xiàn)全體居民人均可支配收入與年份具有線性相關(guān)

關(guān)系.（數(shù)據(jù)來源于重慶市統(tǒng)計(jì)局2023-05-06發(fā)布）.

年份20142015201620172018201920202021

2022

全體居183522011022034241532638628920308243380335666

民人均

可支配

收入

（元）

全年居民可人均可支配收入

40000

?

35000?

30000?

250004

20000

15000

10000

5000

0

20132014201520162017201820192020202120222023

圖1

（1）設(shè)年份編號(hào)為x（2014年的編號(hào)為1,2015年的編號(hào)為2,依此類推），記全體居民人均可支配收

入為y（單位：萬元），求經(jīng)驗(yàn)回歸方程y=法+a（結(jié)果精確到0.01）,并根據(jù)所求回歸方程，預(yù)測2023

年重慶市全體居民人均可支配收入；

（2）為進(jìn)一步對(duì)居民人均可支配收入的結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析，某分析員從2014?2022中任取3年的數(shù)據(jù)進(jìn)行

分析，將選出的人均可支配收入超過3萬的年數(shù)記為X,求隨機(jī)變量X的分布列與數(shù)學(xué)期望.

參考數(shù)據(jù)：XLi%=2403,遇%=133.39.

參考公式：對(duì)于一組數(shù)據(jù)（“1,VI）,（M2>V2）,…，（?n，Vn）,其回歸直線方程V=+a的斜率和截

第3頁（共19頁）

距的最小二乘估計(jì)分別為/?=￡自(%］劉合,a=石一阿

%=1Vui-u)

17.(15分)如圖，在正四棱臺(tái)45。。-4歷。01中，45=2451=4.

(1)求證：平面48CQ_L平面4CC14；

(2)若直線歷。與平面4CG4所成角的正切值為打，求二面角的正弦值.

6

1

⑻(17分)已知。(-2,。)，C2⑵。)，動(dòng)點(diǎn)尸滿足PG與尸C2的斜率之積為定值丁

(1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡r的方程;

(2)過點(diǎn)“(4,0)的直線/與曲線「交于4,3兩點(diǎn)，且/,2均在y軸右側(cè)，過點(diǎn)/作直線/'：x

=1的垂線，垂足為。.

(i)求證：直線50過定點(diǎn)；

(ii)求△M3。面積的最小值.

19.(17分)集合4=",=2"+2'+2。，0<a<b<c,a,b,cGN),將集合/中的元素按由小到大的順序排

列成數(shù)列｛斯｝,即<21=7,02=11，數(shù)列｛斯｝的前"項(xiàng)和為

(1)求。3，。4，。5；

(2)判斷672,2024是否是｛斯｝中的項(xiàng)；

(3)求。120，S35-

第4頁(共19頁)

2025年江西省撫州市高考數(shù)學(xué)模擬試卷

參考答案與試題解析

一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符

合題目要求的）

1.（5分）集合Z={〃，?2+1,1},B={2a},若8G4,則實(shí)數(shù)a=（）

1

A.-1B.0C.-D.1

2

【解答】解：因?yàn)?/p>

故2〃口,

①當(dāng)2Q=Q2+1時(shí)，解得4=1,則/={1,2,1},故4=1不成立；

②當(dāng)2q=q時(shí)，4=0,則/={0,1,1},故4=0不成立；

③當(dāng)2〃=1時(shí)，即a=9,則/=弓，1},5={1},故。=*成立，故。=去

故選：C.

2.（5分）已知aC（0,n）,cosa=~則tana=（）

11

A.3B.-C.-4D.-3

33

【解答】解：因?yàn)閍C（0,7i）,

故sina=V1—cos2a=Jl—（-^y^）2=

故選：B.

3.（5分）在等差數(shù)列{斯}中，46=3,則的+。8-@。9=（）

A.2B.3C.4D.5

【解答】解：因?yàn)?6=3,令{劭}的公差為力

115

貝?。?5+。8—至———d+CL（j+2d—w（口6+3d）——W=5.

故選：D.

4.（5分）甲、乙、丙、丁、戊共5名同學(xué)進(jìn)行演講比賽，決出第1名到第5名的名次.已知甲和乙都不

是第1名，且丙和丁的名次相鄰，則5人的名次排列可能有（）種不同的情況.

A.18B.24C.36D.48

第5頁（共19頁）

【解答】解：根據(jù)題意，將丙和丁看成一個(gè)整體,

分4種情況分析:

①丙和丁的整體分別為第1、2名,有/4=12種情況,

②丙和丁的整體分別為第2、3名，第一名只能為戊,甲和乙分別為第4、5名，有和度=4種情況,

③丙和丁的整體分別為第3、4名，第一名只能為戊,甲和乙分別為第2、5名，有掰掰=4種情況;

④丙和丁的整體分別為第4、5名，第一名只能為戊,甲和乙分別為第2、3名，有A淵=4種情況;

則有12+4+4+4=24種情況.

故選：B.

5.（5分）已知a=3S6=4歷6,c=5加5,d=61nT則在他-a|,|c-臼，口-c|,口-加，口-a|,|c-a|這6

個(gè)數(shù)中最小的是（）

A.\b-a\B.\c-b\C.\d-b\D.\c-a\

【解答】解：a=3>Inl,6=4加6,c=5加5,d=6l"4,

貝U歷。=歷3?加7,Inb=ln4'ln6,Inc=ln5'ln5,Ind=ln4'ln6,貝Ud=b,故口-6|=0,

又-a|>0,|c-b|>0,M-c|>0,|c-a|>0,\d-a|>0,

故最小值是口-臼.

故選：C.

6.（5分）在三棱錐尸-N3C中，AC=BC=PC=2,SLACLBC,尸C_L平面/8C,過點(diǎn)尸作截面分別交

AC,BC于點(diǎn)、E,F,且二面角尸-EF-C的平面角為60°,則所得截面PEF的面積最小值為（）

482

A.-B.—C.-D.1

333

【解答】解：過P做尸G,跖，垂足為G,連接CG,

則由三垂線定理可得：EFLCG,

所以/PGC即為二面角角P-E尸-C的平面角，即/尸GC=60°,

因?yàn)镻C=2,

所以在三角形尸即中，斜邊M邊上的高為PG=竽，CG=粵,

設(shè)C￡=x,CF=y,則EF=JN+〈2,

在三角形CE尸中，x-y---Jx2+y2>可得到xyN9

1473/----------8

所以三角形尸￡尸的面積為5x飛一xyjx2+y2=xy>-,

8

故截面尸石尸面積的最小值為］

第6頁（共19頁）

故選：B.

7.（5分）0和1是計(jì)算機(jī)中最基本的數(shù)字，被稱為二進(jìn)制數(shù)字.若數(shù)列｛即｝滿足：所有項(xiàng)均是0或1,當(dāng)

且僅當(dāng)"=5左土1（其中左為正整數(shù)）時(shí)，斯=1,其余項(xiàng)為0.則滿足四=的+a?+…+%=20

的最小的正整數(shù)〃=（）

A.50B.51C.52D.53

【解答】解：由題意可知。1=。2=。3=。5=0,。4=1,且。5斤+1=。5k+4=1,。5k+2=a5k+3=a5k+5=。，k€

N*,

即+=1

（.a5fc+l+a5k+2+a5fc+3+a5fc+4+a5k+5=2，

當(dāng)左=10時(shí)，。51=。54=1,。52=。53=。55=0，

由于20=1+2X9+1,

所以滿足四=20的〃的最小值為51.

故選：B.

8.（5分）已知?jiǎng)狱c(diǎn)河在拋物線E：f=28；（？>0）上，點(diǎn)N（—§,0）,O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若cos/OMN=竽,

且直線2x+y+l=0與△AWO的外接圓相切，貝！|p=（）

55444

A.-B.二或二C.二或二D.2或二

445592

【解答】解：由拋物線方程氏，=2癖（0>0）,設(shè)圓心C（xo,加，半徑為及，.?.無°=一務(wù)在AMNO

P

ON7

中，由正弦定理得.…=窿=2R,

sin乙OMNV5

5

：足=浮，"o=±JR2—（等）2=±J*p）2—（與）2=±%

又：圓C與直線2x+y+l=0相切，圓心到直線的距離d=R,

當(dāng)必=5時(shí)，則圓心到直線的距離d==*=R=字，解得「=當(dāng)y0=一號(hào)時(shí)，則圓

第7頁（共19頁）

心到直線的距離d==昆蕾=R=學(xué)，解得p=卷或-4(舍)，綜上p=苫或

ZZ

V2+1V5Dy

故選：C.

二、多項(xiàng)選擇題(本大題共3個(gè)小題，每小題6分，共18分，在每個(gè)給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題

目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得。分)

(多選)9.(6分)隨機(jī)變量X,y分別服從正態(tài)分布和二項(xiàng)分布，即X~N(2,1)，丫?B(4,9，貝卜)

11

A.P(X42)=/B.E(X)=E(X)C.D(X)=D(X)D.P(Y=1)=J

【解答】解：因?yàn)殡S機(jī)變量X,y分別服從正態(tài)分布和二項(xiàng)分布，即X~N(2,1),y?B(4,

根據(jù)正態(tài)分布的定義得P(X4“)=小故/正確；

E(X)=p=2,E(y)=4x*=2,故￡(X)=E(K),故8正確；

D(X)=o2=l,。(丫)=4x/玄=1,故。(X)=D(Y),故C正確；

P(y=1)=或(抒=/故。錯(cuò)誤.

故選：ABC.

(多選)10.(6分)正方體的棱長為2,球。i和球。2的球心。，。2都在線段上,

球。1,球。2外切，且球5,球。2都在正方體的內(nèi)部(球可以與正方體的表面相切)，記球。1和球

。2的半徑分別為門，/2,則()

A.ACxLBxC

B.當(dāng)71=1時(shí)，-2的最大值是b—1

C.廠1+「2的最大值是3—百

12

D.球。和球。的表面積之和的最大值是6Tt

【解答】解：根據(jù)正方體的性質(zhì)得：B1CLBC1,BiCLAB,

所以囪平面ADC\B,

因?yàn)镹Ciu平面

所以NCiLBC,故/正確；

設(shè)球Q與球02的半徑分別為門，r2,

因?yàn)楣ぁ?=百勺，。。2=次72，O\O2=r\+n,

當(dāng)門=1時(shí)，球。1與正方體內(nèi)切，當(dāng)。2與正方體的三個(gè)面相切時(shí)半徑投最大，

此時(shí)滿足1+百+Q+V3r2=2V3,

第8頁(共19頁)

解得「2=2-百，故3錯(cuò)誤；

對(duì)任意的球。1,球。2與正方體的三個(gè)面相切時(shí)半徑ri最大，

故當(dāng)球。1,球。2都與正方體的三個(gè)面相切時(shí)門+/2取最大值，

即+y/3r1+萬+也丫2=2V3,

解得+72=3-V3,

故門+72的最大值是3-百，故選項(xiàng)C正確；

由選項(xiàng)3和選項(xiàng)C知，門+也取最大值3-百，

此時(shí)2一河《勺41,

r222

則47rM+2)=4兀督+47r(3—V3—r1)—4?r[2r1—2(3—V3)rx+(3—V3)],

看成關(guān)于門的二次函數(shù)，其對(duì)稱軸為q=3-百￡[2-百，1],

所以關(guān)于門的二次函數(shù)在[2-8，1]上是減函數(shù)，

所以當(dāng)門=2-舊時(shí)取得最大值，

即4*2+r22)max=(32-16V3)7T,故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.

故選：AC.

(多選)11.(6分)已知/(x,y,n)—x^+y2''-1(w>1,MGZ),定義方程/(X,y,")=0表示的是

平面直角坐標(biāo)系中的“方圓系”曲線，記S”表示“方圓系”曲線n)=0所圍成的面積，則()

A.“方圓系”曲線/(x,y,1)=0是單位圓

B.S2<4

c.{S八是單調(diào)遞減的數(shù)列

第9頁(共19頁)

D.“方圓系”曲線/(%,y,2)=0上任意一點(diǎn)到原點(diǎn)的最大距離為24

【解答】解：對(duì)于4：f(x,y,n)=x2n+y2n-11,HGZ),

所以/(x,y,1)=0對(duì)應(yīng)曲線是一1=0表示單位圓，故力正確；

對(duì)于5：/(x,y,2)=0對(duì)應(yīng)的曲線是i=o,

故-l4x4l,-iWyWl,且慟=1與6=1不能同時(shí)取等號(hào)，

故S2<4,故5正確；

對(duì)于C：f(x,y,n)=0對(duì)應(yīng)的曲線/〃+刀2九=1,

令W=|『\y\n=\y'I，因?yàn)榍€(/)2+3)2=1,

11

則田=\x]n9且[訓(xùn)=\y]n,

f(x,y,n-1)=02)對(duì)應(yīng)的曲線，“-2+爐〃-2=],

令網(wǎng)"一1=|『I，\y\n~1=\yr\,因?yàn)榍€(/)2+(，)2=1,

11

貝!J|%|=\x]n=l,且|y|=|y1E,

1111

又既伊》|%1口，|y伊》W1口且等號(hào)不能同時(shí)取得，

故%故｛S〃｝是單調(diào)遞增的，故。不正確；

對(duì)于。：/(x,y,2)=0對(duì)應(yīng)的曲線是d+y"1=0,

假設(shè)曲線上任意一點(diǎn)P(xo,/)，則焉+yj=l,

令/=cosa,y2=sina(0<a<j),

貝！Jd?=%o+7o=sina+cosa=y/2sin(a+^)<V2,

1

故d4a=24,故。正確.

故選：ABD.

二、填空題

12.(5分)已知z(1+力=2+43則復(fù)數(shù)z=3+i.

【解答】解：由題意可得,z(1+z)(1-z)—(2+4/)(1-z)j即2z=6+2i,則z=3+i.

故答案為：3+z.

QQQ

13.(5分)已知函數(shù)/(x)的定義域是R,/(2+%)=/(訝一％)，/(x)tf(6-x)=0,當(dāng)。時(shí)，

(x)=4x-2x2,則/(2024)=2.

【解答】解：因?yàn)?(*+久)=/(冷一%),

第10頁(共19頁)

即f(x)=f(3-x),

所以/(2)=/(l)且y=/(x)關(guān)于x=稱對(duì)稱，

又f(%)V(6-x)=0,

即f(3+x)+f(3_x)=0,

故f(x+3)=-f(x),

所以f(x+6)=-f(x+3)=f(x),

所以函數(shù)y=/(x)的周期為6,

則/(2024)=f(337X6+2)=/(2)=/(1)=2.

故答案為：2.

14.（5分）如圖，四邊形45CQ由△ZBC和拼接而成，其中N4C5=90°,ZADC>90°,若4C

0V3

與BD相交于點(diǎn)E,ZACD=30°,40=2,AC=2g且tanZBAD=七,則的面積S=_—

【解答】解：在△/CD中，由正弦定理得,所以sin/4DC=幽察”

sinZ.ACDsinZ-ADC

2V3sm30°_V3

2=亍

由NADC>90°,得NADC=120°.所以/D/C=180°-/4CD-NADC=30°,

由NZMC=/4Cr>,得DC=/O=2,

-x/n/A3/34曰,tanZ,BAD-tan30°—一百色

由tanZBAD=—F—,得tanZBAC=tan(Z-BAD—Z.DACJ)=-r--—力71n+~^7^=—777=-T==N

5'l-\-tanz.BAD-tan30^_|_3V3XV36

因?yàn)?C_L3C,所以2C=/C?tan/B/C=l,

由SADCE^S&ECB=SADCB，可得5,CD-CEs譏30°+—CE-BC——CD-BCsinl20°,

得CE=^,可得S^CDE=gCD-CEs譏30°=字.

故答案為：一V3.

4

四、解答題（共77分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）

15.（13分）已知數(shù)列｛斯｝的首項(xiàng)m=l,設(shè)6n=2血，且｛兒｝的前"項(xiàng)和S,滿足：3Sn=bn+i-2.

第11頁（共19頁）

（1）求數(shù)列｛劭｝的通項(xiàng)公式斯；

-1114

（2）令A(yù)〃---匕3及-2，求證：―+―+,,?+-<-.

TiT2Tn3

【解答】解：（1）因?yàn)椤?=1,bn=2%

所以bi=2,

因?yàn)?Sn=bn+i-2,

所以3S〃j=瓦-2,心2,

故〃22時(shí)，兩式相減得，3bn=bn+l-bn，即-=4,

bn

因?yàn)?2=361+2=8,即=%

故數(shù)列｛為｝是以2為首項(xiàng)，以4為公比的等比數(shù)列，

所以劣=2X4〃F=22〃F,

所以an=2n-1；

證明：（2）由（1）得，.=41+44+…+。3久-2=（1+6]5）.=（3〃-2）n,

,,111111

當(dāng)n，2時(shí)，—=------V-7-----T=-（----—一）,

Tnn（3n—2）3n（n—1）3n—1n

1iiiiii414

所以—+—+…+—VI+?。?一5+亍一5-|-----z-------）=i一5—〈手

72Tn3223n—1n33n3

16.（15分）黨的十八大以來，全國各地區(qū)各部門持續(xù)加大就業(yè)優(yōu)先政策實(shí)施力度，促進(jìn)居民收入增長的

各項(xiàng)措施持續(xù)發(fā)力，居民分享到更多經(jīng)濟(jì)社會(huì)發(fā)展紅利，居民收入保持較快增長，收入結(jié)構(gòu)不斷優(yōu)化，

隨著居民總收入較快增長，全體居民人均可支配收入也在不斷提升.下表為重慶市20142022年全體居

民人均可支配收入，將其繪制成散點(diǎn)圖（如圖1）,發(fā)現(xiàn)全體居民人均可支配收入與年份具有線性相關(guān)

關(guān)系.（數(shù)據(jù)來源于重慶市統(tǒng)計(jì)局2023-05-06發(fā)布）.

年份20142015201620172018201920202021

2022

全體居183522011022034241532638628920308243380335666

民人均

可支配

收入

（元）

第12頁（共19頁）

全年居民可人均可支配收入

40000

?

35000

?

30000

250001

20000

15000

10000

5000

0

20132014201520162017201820192020202120222023

圖1

（1）設(shè)年份編號(hào)為X（2014年的編號(hào)為1,2015年的編號(hào)為2,依此類推），記全體居民人均可支配收

入為y（單位：萬元），求經(jīng)驗(yàn)回歸方程y=取+a（結(jié)果精確到0.01）,并根據(jù)所求回歸方程，預(yù)測2023

年重慶市全體居民人均可支配收入；

（2）為進(jìn)一步對(duì)居民人均可支配收入的結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析，某分析員從2014~2022中任取3年的數(shù)據(jù)進(jìn)行

分析，將選出的人均可支配收入超過3萬的年數(shù)記為X,求隨機(jī)變量X的分布列與數(shù)學(xué)期望.

參考數(shù)據(jù)：%%=24.03,今遇y=133.39.

參考公式：對(duì)于一組數(shù)據(jù)(〃1,VI),(M2,V2),…，(un,V”)，其回歸直線方程U=0〃+仇的斜率和截

距的最小二乘估計(jì)分別為0=X之1(%］正)合廣動(dòng),a=v-pii.

【解答】解：⑴由題意得元=，x(1+2+…+9)=5,y=%=/x24.03=2.67,

(%—利=16+9+4+1+0+1+4+9+16=60,

一元)(%一為=￡：=遇%-9雙=133.39-24.03X5=13.24,

,v9_

,,/,；1(%―%)(%—V)1324”-1324

故b=-------------—=0.22,a=y-b-x^2.67-x5-1.57,

工乙(%；—x)2560760

故回歸方程為y=0.22X+1.57,

又2023年的年份編號(hào)為10,將x=10代入y=0.22x+1.57,

得y=3.77,即預(yù)測2023年重慶市全體居民人均可支配收入為3.77萬元;

（2）由圖表知，人均可支配收入超過3萬的年份有3年，

故X的可能取值為0,1,2,3,

Ijlllprv__C6_20prx_1）__45prx_2、_曳1_18

則P（X-O）一德一旗，P（X-1）一可一前，p（X-2）一可一函’

第13頁（共19頁）

Cl1

P（X=3）力的,

故隨機(jī)變量x的分布列為:

X0123

P2045181

84848484

故E（X）=OX翁+含+2滯+3X焉=1.

17.（15分）如圖，在正四棱臺(tái)48CD-/121cbDi中，/2=2/1囪=4.

（1）求證：平面/8CD_L平面NCCi/i；

（2）若直線81C與平面/CCi/i所成角的正切值為經(jīng)，求二面角3-CCi-N的正弦值.

6

【解答】解：（1）證明：在正四棱臺(tái)/BCD-NiBiCiA中，4B=24Bi=4,

延長441,BBi,CCi,交于點(diǎn)P,連接交/C于

由正四棱臺(tái)定義可知，四條側(cè)棱交于點(diǎn)P,且四棱錐尸-/BCD為正四棱錐,

:.PA=PB=PC=PD,?.,點(diǎn)。分別為NC,3。的中點(diǎn)，

：.PO±AC,POLBD,"：ACHBD=O,AC,BDu平面48。

第14頁（共19頁）

，PO_L平面ABCD,丁尸Ou平面ACCiAi，

，平面/CCiNiJ_平面ABCD,二平面N5C￡>_L平面ACCiAi；

(2)由(1)知ON,OB,OP兩兩垂直，

—>—>—>

...以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以CM,OB,0P為X軸，了軸，Z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖,

設(shè)棱臺(tái)的高為人則C(—2/，0,0),%(0,V2,h),B(0,2企，0),如(一魚，0,h),

平面/CCi/1的法向量為茄=(0,1,0),

—>

B1C=(-2V2,-V2,-h),

V3

1/直線BiC與平面ACCiAi所成角的正切值為l，

6

由同角三角函數(shù)關(guān)系式得：

1

直線BiC與平面ACCxAx所成角的正弦值為〒

』(圾2+⑹2

_V2_1

則sin。=解得〃=4,

|尉?|8；C|-V/i2+10-713,

T->

；.BC=（—2魚，-2V2,0）,幽=（0,-VL4）,

設(shè)平面3CCY81的法向量為￡=(x,y,z),

則,BC?n——2V2x—2^2y-0

-n-V2y+4z=0

令z=l,則￡=（一2魚，2vL1）,

2/2

cos（m,

|m|-|n|而

第15頁(共19頁)

:二面角的取值范圍為[0,TT],

由同角三角函數(shù)關(guān)系式得：

二面角B-CCi-A的正弦值為11—(等)2=嗜.

1

18.(17分)已知G(-2,0),Q(2,0),動(dòng)點(diǎn)尸滿足尸Ci與尸。2的斜率之積為定值不

(1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡r的方程；

(2)過點(diǎn)“(4,0)的直線/與曲線「交于4,3兩點(diǎn)，且N,B均在y軸右側(cè)，過點(diǎn)工作直線/'：x

=1的垂線，垂足為。.

(i)求證：直線過定點(diǎn)；

(ii)求AMBD面積的最小值.

【解答】(1)解：設(shè)動(dòng)點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(x,>),(yWO),

1

由動(dòng)點(diǎn)P滿足PC\與PC2的斜率之積為定值了，

4

得kpcj=備.3=居=/

變形得T~y2=i(y0),

故動(dòng)點(diǎn)P的軌跡「的方程為了—y2=i(y。o)；

4

(2)(z)證明：如圖，

設(shè)/：x=my+4,聯(lián)立-y=l(y。。),

4

得Cm2-4)y2+Smy+n=0,

設(shè)/(xi，y0,B(X2,?)，:.D(1,yi).

第16頁(共19頁)

7n2-4W0

A=64m2—48(m2—4)=16m2+192>0

結(jié)合題意有4—8m

12

…=E〈O

解得-2<冽<2,且2冽yi>2=~3

又直線BD的方程為y-乃=勺空(x-1),

“21

令y=0,則X=1一月(-2—1)=及一％2yl=-二、。2+二—4月

'y2-yiy2-yiy^-yx

or

_z(yi+y2)+y2-4%_282_y。_g

―72-71-72-yi-2'

故直線過定點(diǎn)T(|,0)；

(z7)解:由題意知|MT|=4—|=1,

1Q

故△MB。的面積為S^MBD—\MT\,|yi—721—4仇—VTX

匕