2024屆廣東省大灣區(qū)普通高中畢業(yè)年級聯(lián)合模擬考試（一）數(shù)學(xué)試題

2024屆廣東省大灣區(qū)普通高中畢業(yè)年級聯(lián)合模擬考試（一）

數(shù)學(xué)試題

一、單選題

1.設(shè)集合/={x|-x2+4x-3>o},8={x|2<x44},則4口3=()

A.{x|2<x<3}B.{x|x<l或x>2}

C.{x|3<x<4}D.{x|l<x<4}

2.復(fù)數(shù)z滿足z=(z+2)i,則z=()

A.1+iB.1-iC.-1+iD.-1-i

3.5位同學(xué)報名參加兩個課外活動小組,每位同學(xué)限報其中的一個小組，則不同報名

方法有()

A.10種B.20種C.25種D.32種

4.己知向量之=（2,-1）,S=（l,1）,則￡在B上的投影向量為（）

A.（T-1）B.mC.D.（1,1）

5.已知數(shù)列{〃/為等差數(shù)列，S〃為其前〃項和，2+%=%+%，則S7=（）

A.2B.7C.14D.28

6.已知=是奇函數(shù)，則。=（）

A.2B.-1C.1D.-2

22

7.已知雙曲線C:鼻--、=1（。>1）的右焦點為尸，過點尸作直線/與C交于4,3兩

點，若滿足|/同=3的直線/有且僅有1條，則雙曲線C的離心率為（）.

V14D.包或2

D.---------C.2

,亍22

8.已知直三棱柱48C-44。的側(cè)棱長為2,AB1BC,48=3C=2.過48、的

中點￡、尸作平面。與平面四GC垂直，則所得截面周長為（）

A.2V2+V6B.72+276C.3V2+V6D.3V2+2V6

二、多選題

試卷第1頁，共4頁

Y

9.下列圖象中，函數(shù)/（x）=——的圖象可能是（）

x+a

10.新冠肺炎疫情期間，某地為了了解本地居民對當(dāng)?shù)胤酪吖ぷ鞯臐M意度，從本地居民

中隨機(jī)抽取若干居民進(jìn)行評分（滿分為100分），根據(jù)調(diào)查數(shù)據(jù)制成如圖所示的頻率分

布直方圖，已知評分在［80,100］內(nèi)的居民有180人.則以下說法正確的是（）

A.a=0.025

B.調(diào)查的總?cè)藬?shù)為4000

C.從頻率分布直方圖中，可以估計本次評測分?jǐn)?shù)的中位數(shù)大于平均數(shù)

D.根據(jù)以上抽樣調(diào)查數(shù)據(jù)，可以認(rèn)為該地居民對當(dāng)?shù)胤酪吖ぷ鞯臐M意度符合，評分

低于65分的居民不超過全體居民的20%”的規(guī)定

11.已知直線八2辰-2了-切=0與拋物線C:y2=20x（0>O）相交于A,8兩點，點

是拋物線C的準(zhǔn)線與以為直徑的圓的公共點，則下列結(jié)論正確的是（）

試卷第2頁，共4頁

A.2=2B.k=-2

C.△M48的面積為56D.\AB\=5

12.已知函數(shù)=則()

Inx

A.〃3)<〃2)

3

B.當(dāng)x>l時,/(x)〉/

99

C.存在％o〉l,當(dāng)X>%0時，麗

D.若直線y=+卜與y=/(x)的圖象有三個公共點，則0〈左<；

三、填空題

13.若角a的終邊在第四象限，且cosi=：,則tan[(-a[=.

14.某圓錐的側(cè)面展開圖是面積為3萬，圓心角為g的扇形，則該圓錐的軸截面的面積

是.

82

15.已知數(shù)列｛%｝的前8項1,1,2,3,5,10,13,21,令/(x)=Z(x-q),則〃x)

i=l

的最小值點X=.

16.已知尸(x,y)為函數(shù)y=犬+|■圖象上一動點，則::;1的最大值為.

四、解答題

17.已知銳角。BC的三個內(nèi)角/,B,C的對邊分別為a,b,c,且滿足

b=5,c=4,sinB-.

16

⑴求cos/;

⑵若前=2灰,求4。的長.

18.已知數(shù)列｛%｝和也｝滿足：%=1,冊+bn=%,an-bn=A(X為常數(shù)，且

Xw1).

⑴證明：數(shù)列低｝是等比數(shù)列；

⑵若當(dāng)〃=3和"=4時，數(shù)列｛%｝的前〃項和S“取得最大值，求S”的表達(dá)式.

19.有兩個盒子，其中1號盒子中有3個紅球，2個白球；2號盒子中有6個紅球，4

個白球.現(xiàn)按照如下規(guī)則摸球.從兩個盒子中任意選擇一個盒子，再從盒中隨機(jī)摸出2

試卷第3頁，共4頁

個球，摸球的結(jié)果是一紅一白.

(1)你認(rèn)為較大可能選擇的是哪個盒子?請做出你的判斷，并說明理由；

(2)如果你根據(jù)(1)中的判斷，面對相同的情境，作出了5次同樣的判斷，記判斷正確

的次數(shù)為X,求X的數(shù)學(xué)期望(實際選擇的盒子與你認(rèn)為較大可能選擇的盒子相同時,

即為判斷正確).

20.如圖，平行六面體48cz的體積為6,截面/CG4的面積為6.

⑴求點8到平面/CG4的距離；

⑵若AB=AD=2,ABAD=60°,A4=A,求直線BDX與平面CCQQ所成角的正弦值.

21.已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點，焦點在x軸上，離心率為:，右焦點到右頂點的距

離為1.

⑴求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程，

(2)若動直線/與橢圓C有且僅有一個公共點，試問，在x軸上是否存在兩定點，使其到

直線/的距離之積為定值?若存在，求出兩定點坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

22.梨曼猜想是解析數(shù)論里的一個重要猜想，它被很多數(shù)學(xué)家視為是最重要的數(shù)學(xué)猜想

之一.它與函數(shù)=(X>O,S>1,s為常數(shù))密切相關(guān)，請解決下列問題.

(1)當(dāng)l<s?2時，討論了(X)的單調(diào)性；

⑵當(dāng)s>2時；

①證明/(無)有唯一極值點；

②記〃無)的唯一極值點為g(s),討論g(s)的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論.

試卷第4頁，共4頁

參考答案:

1.A

【分析】根據(jù)一元二次不等式解法可得/={x[l<x<3},利用交集運算可得結(jié)果.

【詳解】解不等式一x2+4x-3>0可得/={x〃<x<3},

又8={x|2<x44},

可得/n8={x[2<x<3}.

故選：A

2.C

【分析】根據(jù)題意，得到復(fù)數(shù)z=《L,結(jié)合復(fù)數(shù)的運算法則，即可求解.

1-1

2i2i-(l+i)

【詳解】由數(shù)z滿足z=(z+2)i,可得z=「=7rK=-1+i.

故選：C.

3.D

【分析】由分步乘法原理計算.

【詳解】由題意，每個同學(xué)有2種選擇，故不同報名方式為25=32.

故選：D

4.C

【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合投影向量的意義求解作答.

【詳解】向量4=(2,-1),6=(1,1),則a?A=2xl+(-l)xl=l,|b|=Vl2+12=V2,

所以“在B上的投影向量為=(',《),

|b|\b\222

故選：C

5.C

【分析】由等差數(shù)列的性質(zhì)與前〃項和公式求解，

【詳解】由題意得知+%=%+6，則的=2,而s’=7(%;%)=7%=14,

故選：C

6.A

【分析】根據(jù)奇函數(shù)的定義，即可求解參數(shù)。的值.

答案第1頁，共16頁

【詳解】因為函數(shù)是奇函數(shù)，所以滿足〃-x)=-r(x),

-xx(a-l)xx

即^—=一一—,化簡為=一--,得=4=2,

e“_[e"_ll-e21eax-1

此時〃x)=￡三，函數(shù)的定義域為(-e,O)U(O,+動，成立.

故選：A

7.B

【分析】根據(jù)/有且僅有1條得出其斜率為0或斜率不存在，分別計算〃后檢驗.

【詳解】若直線/的斜率存在且不為0,根據(jù)雙曲線的對稱性，此時滿足|/卻=3的直線/的

個數(shù)為偶數(shù)，所以直線/的斜率為0或斜率不存在.

當(dāng)直線/的斜率為。時，A,8為雙曲線的左、右頂點，由|/同=2。=3,得雙曲線C的方程

x2_y2_2x—5

為：~9~T=,易得，過點尸的通徑長為Y=：<3,所以滿足|“修=3的直線有3條,

44萬

不符合題意；

當(dāng)直線1的斜率不存在時,此時AB為雙曲線過點尸的通徑,則=2(」T)=3,解得“=2

(。=舍去)，此時雙曲線實軸長為4,因為4>3,所以滿足以a=3的直線只有1條，

符合題意.

此時，a=2,c=V7,離心率為立.

2

綜上所述，雙曲線C的離心率為立.

2

故選：B

8.C

【分析】確定平面。與各棱的交點位置，計算出截面各邊邊長，由此可得出所得截面周長.

【詳解】如下圖所示，取/C的中點J,連接8J,取的。，連接?！?取4cl的中點

K,連接K7、B\K,

答案第2頁，共16頁

AB=BC,J為/C的中點，則

_L平面28C,2/<=平面/2。，，8/1_/4，

?■?ACoAA^A,：,BJ1平面AAjQC,

?;D、E分別為4/、48的中點，則。E//A7且DE=g8J,r.DE_L平面44cC,

OEu平面DEF,所以，平面。跖_L平面N4cC，

所以，平面。即為平面。E尸，設(shè)平面。交及q于點/,

在直棱柱ABC-4耳G中，AAXHCCX且刊=CCX,

所以，四邊形44CC為平行四邊形，.../0/4G且/c=4G，

???/、K分別為NC、4cl的中點，；.47//4K且4/=&K,

所以，四邊形441仃為平行四邊形，4且仃=/4,

BBJ/他旦BB、=AA、，；.KJ//BB、旦KJ=BB、,所以，四邊形8與0為平行四邊形,

DEHBJ,DEU平面BB^KJ,BJu平面BB[KJ,：.DE〃平面BB[KJ,

設(shè)平面cn平面B81KJ=FG,?.?/)￡(=平面a,所以，DE//FG,FGHBJ,

-：BF//GJ,所以，四邊形MGJ為平行四邊形，可得GJ=3期」K/,

22

所以，G為K/的中點，

延長。G交4G于點〃，?1-DJHKH,所以，ADJG=ZHKG,ZJDG=ZKHG,

答案第3頁，共16頁

又?：JG=KG,所以，LDJG券LHKG,：.HK=DJ=gAJ=gKG，:.H為KQ的中點、,

因為平面ABC//平面4AG,平面aA平面ABC=DE,平面aQ平面44G=IH,：.DEHIH,

vDEHBJ,BJUB.K,DEHIH,，TH//用K,/./為與G的中點，

VABIBC,AB=BC=2,則AC工記=2亞,

,.■J為4C的中點，：.BJ=-AC=y/2,則?！?1以=正，同理由=正，

2222

因為直棱柱48C-48c的棱長為2,尸為的中點，，臺尸瓦=1,

由勾股定理可得EF=J8尸2+臺爐=拒,同理可得小=及，

,:KJHBB、旦KJ=BB、=2,3耳_1_平面/8C,_L平面A8C,

■.,/。<=平面/5。，AKJ1AC,

???G、。分別為《7、的中點，則GJ=[K/=1,DJ,AJ力,

222

由勾股定理可得。G=jDr+G72=",同理GH=".

22

因止匕，截面的周長為DE+/H+￡F+〃+O”=Jx2+V^x2+C=30+V^.

2

故選：C.

【點睛】思路點睛本題考查直棱柱截面多邊形周長的計算，在畫幾何體的截面，關(guān)鍵是畫

截面與幾何體各面的交線，此交線只需兩個公共點即可確定，作圖時充分利用幾何體本身提

供的面面平行等條件，可以更快地確定交線的位置.

9.CD

【分析】對〃x）分離常數(shù)可得：/（x）=l,轉(zhuǎn)化為反比例函數(shù)的形式，利用函數(shù)圖

x+a

像的變換可判斷選項.

【詳解】解：〃6=上=1一一—,貝故排除AB；

x+ax+a

當(dāng)a>0時，圖像關(guān)于（-。1）對稱，且當(dāng)x>-。時，/（%）在（-。,+8）上單調(diào)遞增，則D有可

能；

當(dāng)"。時，圖像關(guān)于對稱，且當(dāng)x>-a時，“X）在（-。,+8）上單調(diào)遞減，則C有可能

故選：CD.

答案第4頁，共16頁

【點睛】關(guān)鍵點點睛：f(x)=工,分母決定定義域，分子決定單調(diào)性；當(dāng)6>0時，在各

x+a

自區(qū)間單調(diào)遞減；當(dāng)6<0時，在各自區(qū)間單調(diào)遞增.

10.ACD

【分析】根據(jù)給定的頻率分布直方圖，結(jié)合頻率分布直方圖的性質(zhì)，概率的計算方法，以及

中位數(shù)、平均數(shù)的計算公式，逐項判定，即可求解.

【詳解】由頻率分布直方圖的性質(zhì)，RTW(0.002+0.004+0.014+0.035+a)x10=1,

即10x(0.075+a)=l,解得。=0.025,所以A正確；

1QQ

設(shè)總共調(diào)查了〃人,W—=(0.035+0.025)x10,

n

解得〃=300,即調(diào)查的總?cè)藬?shù)為300人，所以B錯誤；

中位數(shù)位于區(qū)間［80,90］,設(shè)中位數(shù)為小，

貝［)0.025x10+(90—加)x0.035=0.5,解得拉=寧，

由頻率分布直方圖知各段的頻率分別為0.02,0.04,0.14,0.20,0.35,0.25,

設(shè)平均數(shù)為于，

貝丘=45x0.02+55x0.04+65x0.14+75x0.2+85x0.35+95x0.25=80.7.

CQQ

可得〒>80.7,所以C正確；

由評分在［40,70］的居民占調(diào)查總?cè)藬?shù)的20%,所以評分低于65分的居民不超過全體居民的

20%,所以D正確.

故選：ACD.

11.ABD

【分析】求出拋物線C的準(zhǔn)線方程，可求得〃的值，可判斷A；利用點差法可求得線段

的中點坐標(biāo)，根據(jù)勾股定理列等式可求得上的值，可判斷B；利用拋物線的焦點弦長公式以

及三角形的面積公式可判斷C、D.

【詳解】由題意知，拋物線C的準(zhǔn)線為x=-l,即5=1，解得P=2,故A正確；

因為p=2,所以拋物線C的方程為：V=4x,其焦點為尸(1,0),

又直線/:2區(qū)-2歹-切=0,即昨Mx-1),所以直線/恒過拋物線的焦點尸(1,0),

設(shè)點工(再,必)，B(x2,y2),因為A,8兩點在拋物線C上，

答案第5頁，共16頁

聯(lián)立方程'；=兩式相減可得，=-^―=k,

〔試=4X2，占一無2M+%

2

設(shè)4B的中點為0(%,%),則%=不，因為點。(%,%)在直線/上，

k

解得％>1,所以點。。+1,'是以為直徑的圓的圓心，

由拋物線的定義知，圓0的半徑「="=土土爐^=2『=2+2.

222k

因為|刎丁k+2)+(河",所以住+2)+(河=住+2),解得上=-2,

故B正確;

因為人=-2,所以M即=5,直線/為y+2(x-l)=0,由點到直線的距離公式可得，點M到

直線/的距離為"=

所以心小|/用='義石、5=也，故C錯誤，D正確.

￡^MAD2??22

故選：ABD.

12.AC

?

【分析】利用In8<ln9轉(zhuǎn)化可判斷A；取特殊值可判斷B；構(gòu)造函數(shù)g(?-lnx(x>l)

利用導(dǎo)數(shù)可判斷C；利用導(dǎo)數(shù)研究/(X)的圖象，結(jié)合圖象舉反例可判斷D.

【詳解】對于A,易知〃到=1匚的定義域為xe(O,l)U(l,+W,

Inx

32

由于In8<ln9,所以31n2<2ln3,因此一<一，故/⑶<〃2),A正確;

m3m2

/、己？]33

對于B,由于/(/)=裊=$2,而62尸=小，

1-111_12

因為e<4,則//yBPe2>-,所以<e2xe?=e?,

e22

因此/(5)=裊=3d<卜2尸=”，故B錯誤；

X組1

對于當(dāng)時，由——>100故而、

C,x>lInX>0,vX,xY>imnx—

令g(x)=)-lnx(x>l),則g")=彳。。：。。

令g'(x)<0,得xe(l,102。。)，令g，(x)>0,得xe(IO?。。,+oo),

答案第6頁，共16頁

故g(x)在(1,10200)單調(diào)遞減，在(10200,+00)單調(diào)遞增，

且易知g(1040°)=104-4001nl0>104-400*3>0,

99

故存在X。=1()4。。>1,當(dāng)尤>Xo時，而，故c正確；

對于D,因為〃句=嬴的定義域為xe(0,l)U(l,+8),則=。)=而了

令/'(x)<0,得0<》<1或1<_￥<6；令((x)>0,得x>e；

又當(dāng)0<x<l時，lnx<0,則/(x)=4<。，且/(e)=F=e,

InxIne

所以/(X)的大致圖象如下:

所以該直線經(jīng)過第一二三象限，不經(jīng)過第四象限，

顯然，此時直線>=丘+[-左卜與y=〃x)的圖象不可能有三個交點，故D錯誤.

故選：AC

【點睛】方法點睛：利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)零點問題的方法：

(1)直接法：先對函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的方法求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值，根據(jù)函數(shù)的基

本性質(zhì)作出圖象，然后將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象與x軸的交點問題，突出導(dǎo)數(shù)的工具作用，體

現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想和分類討論思想的應(yīng)用；

(2)構(gòu)造新函數(shù)法：將問題轉(zhuǎn)化為研究兩函數(shù)圖象的交點問題；

(3)參變量分離法：由/(x)=0分離變量得出〃=g(x),將問題等價轉(zhuǎn)化為直線>與函

數(shù)>=g(x)的圖象的交點問題.

答案第7頁，共16頁

13.7

3

【分析】利用同角三角函數(shù)之間的基本關(guān)系可求得tana=-再利用兩角差的正切公式代

4

入計算可得結(jié)果.

4I------------

【詳解】由cosa=y可得sina=±J1-cos2a-I

33

又角a的終邊在第四象限，可得=?即=一"

兀1+3

1-tana十4r

----------=——-=7.

1+tana】_。

~4

14.2&

【分析】由題意先計算出母線長,再可求出底面半徑，從而可求出圓錐的高，進(jìn)而可求出軸

截面的面積

【詳解】設(shè)圓錐的底面半徑為母線長為/,

因為圓錐的側(cè)面展開圖是面積為3萬，圓心角為方■的扇形,

10jr

所以看尸=3萬，解得/=3，

「、tC2乃，

因為2勿二彳/,

27r

所以hr-x3,得r=1,

所以圓錐的高為人==T=2行,

所以圓錐的軸截面的面積是:2r?/7=gx2x20=20,

故答案為：2拒

15.7

【分析】根據(jù)題意求得了(X)=8X2-112X+750,結(jié)合二次函數(shù)運算求解.

【詳解】由題意可得：

8

/(x)=Z(x-《)2=2(x-l)2+(x-2)2+(x-3)2+(x-5)2+(x-10)2+(x-13)2+(x-21)2

z=i

答案第8頁，共16頁

=8x2-112尤+750,

因為無)=8/-112x+750=8(x-7Y+358,且開口向上,

所以/(x)的最小值點x=7.

故答案為：7.

16.V3

百無+y

【分析】由題意把/,\表示成麗=(6,1)與無=(x,.y)的夾角的余弦值的2倍，再由

幾何關(guān)系求得最值可得結(jié)果.

【詳解】設(shè)。(百,1),原點O,則麗=(百,1),OP=(x,y)；

即I2取得最大值;

W+y

33

聯(lián)立直線尸辰與函數(shù)尸/+］可得/-履+廣。,

3

所以4==。,解得％0=-也舍去);

員”

止匕時x=^-,y=3貨?+22

二，所以/22一

22必+歹2139

V4+4

即弋:+y2的最大值為6?

答案第9頁，共16頁

故答案為：V3

y/3x+y

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題關(guān)鍵在于根據(jù)表達(dá)式的特征，將其轉(zhuǎn)化為向量數(shù)量積

的坐標(biāo)表示形式，利用幾何關(guān)系求出最值即可.

1

17.(D-

(2)1251=714

【分析】(1)利用余弦定理，求得邊長，進(jìn)而求得答案；

(2)根據(jù)幾何性質(zhì)以及平面向量的運算，結(jié)合數(shù)量積的性質(zhì)，可得答案.

【詳解】(1)由sin8=迫,0<8〈工得

16216

3

由余弦定理：b1=a2+c2-2accosB,解得Q=6或。=一,(舍)，

所以COS/="十02一"2二L

2bc8

—?1―?

(2)由8￡)=2DC，即。。=§C2,

^AD=AC+CD=AC+^CB=AC+jiAB-AC)=^AB+^AC,

所以詬2△際+3酒%+為」+豈4X5XLAX25=14,

9999989

所以|石|=9

18.(1)證明見解析;

【分析】(1)根據(jù)題意消元可得，b?+l=2b?,即可根據(jù)定義證出；

(2)由(1)知或=。-X)-2"T,從而得出%=(1-4>2"T+"根據(jù)鄰項變號法可知,

%=0,進(jìn)而求出X,得到?！钡谋磉_(dá)式，求出S”.

【詳解】⑴因為4-“=彳,即“=。"-幾，

所以4=%-2=1-2/0,TfiJbn+1=an+l-A=an+bn-A=(an-A)+/>?=2bn,

答案第10頁，共16頁

所以即導(dǎo)=2,即數(shù)列｛"｝是以1-4為首項，2為公比的等比數(shù)歹!J.

un

(2)由(1)知“=。一所以%="+2=(1—X)-2"T+X.

因為當(dāng)"=3和〃=4時，數(shù)列｛?！埃那啊椇蛃,取得最大值，所以為=0,

Q

即8(1_/1)+2=0,解得力=；.

O1

所以見=丁亍'2"，

經(jīng)檢驗，當(dāng)"43時，??>0,當(dāng)“25時，an<0,所以S“先增后減，

在〃=3和〃=4時取得最大值，符合題意.

c81\-2n8I-x

此時Sn=—n~—+2-1-----1-2]=—n—x------=—n—(2—11

777771-277V7

19.(1)選擇1號盒子

(2謗

【分析】(1)計算出1號盒子和2號盒子中摸出一紅一白的概率比較下結(jié)論;

(2)根據(jù)題意得到X~求解.

【詳解】(1)解：設(shè)選擇1號盒子后摸出一紅一白的概率為4,

設(shè)選擇2號盒子后摸出一紅一白的概率為Q,

EnC?38

貝Ul=^f=~5

Jo15

因為P\>Pl，

所以較大可能選擇1號盒子;

9

(2)由貝葉斯公式，選擇1號盒子后猜中的概率尸=T二一r

-Px+-P,I，

2122

由題意得:

Q45

所以研X)=5XF=F

20.(1)1

答案第11頁，共16頁

(2)半

【分析】（1）應(yīng)用等體積法求出點到平面距離；

（2）空間向量法求線面角的正弦值即可.

【詳解】（1）在平行六面體-44中，NBC-48G是三棱柱，

=

^B-ACCXAX~§卜ABC-AiBg§ABCD-AXBXC{DX~，

設(shè)點8到平面/CG4的距離為d,則/Tcc,4=；S/cc/M=；x6d=2,所以d=l,

即點8到平面NCG4的距離為1.

（2）在〃A8CD中，48=40=2,4840=60。，所以48CZ）是菱形，連接3。交/C于。,

則3。=1,

由（1）知點B到平面NCG4的距離為1,所以3。1平面NCG4.

設(shè)點4在直線AC上射影為點H,S“CG4=4c?AH=2出A\H=6,

則48=豆，且80_LAXH,AH=小AA；-4H2=J（遙）'-（后=73,

所以。和〃重合，即4。工/。.

以。為坐標(biāo)原點，0408,04分別為x軸，了軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系,

則5(0,1,0),/(6,0,0),D(0,-l,0),4(0,o,V3),

根據(jù)"=西=(-V3,0,6),方=比=(-73,1,0)，則2(-73,-1,5,

西=(-73,-2,73),設(shè)平面CCRD的一法向量為n=(x,y,z),

.n=-+>/3z=0

,取x=l,則力=(1,百,1),

元=—j3x+y=0

設(shè)直e線3"與平面CCQQ所成角為e,則

昕拓卜鳳26+6V6

BD\\ni710x75

}V

所以直線8。與平面CCQQ所成角正弦值為半.

答案第12頁，共16頁

Z八a

21.⑴工+仁=1

43

(2)存在，(TO),(1,0),理由見解析

【分析】(1)根據(jù)離心率和右焦點到右頂點的距離為1,聯(lián)立方程組即可解得標(biāo)準(zhǔn)方程為

(2)設(shè)出直線/的方程為x二叼+6并與橢圓聯(lián)立，由A=0可得〃=3加2+4,設(shè)出工軸上

兩點坐標(biāo)為&0),(s,0),寫出兩距離之積的表達(dá)式即可得出結(jié)論.

22

【詳解】(1)根據(jù)題意可設(shè)橢圓c的標(biāo)準(zhǔn)方程為=+4=1,

易知禺心率e=—=

又右焦點為(c,0),右頂點為(。,0),可得a-c=l,

解得4=2,C=1,貝U/=/—=3；

即橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為《+己=1.

(2)設(shè)動直線/的方程為x=+6,

假設(shè)在x軸上存在兩定點T(/,0),S(s,0)滿足題意，如下圖所示:

答案第13頁，共16頁

22

可得A=（6叫2-4（3加2+4）（3Z>-12）=0,即/=3?n+4；

易知點7(7,0)到直線x=叩+6的距離4=,點S(s,0)到直線x=町+6的距離

VI+m

y/1+m2

\t-b\卜一同,一斗卜一可產(chǎn)一(5+/)6+543.一(S+￡)6+M

可得[《二VTW,TTw=i+"=―g—=齊1—

3

若3-一(：+9+刈為定值，則需滿足1+1=0,

12b2-i唧=T

[s=1(s=—1

解得I或，,此時4=3滿足題意；

1—I「1

即可得在X軸上存在兩定點(-1,0),(1,0)，使得兩點到直線/的距離之積為3.

22.⑴/⑺在(0,+句上單調(diào)遞減;

(2)①證明見解析；②單調(diào)遞增，證明見解析；

【分析】(1)對函數(shù)〃x)求導(dǎo)，并構(gòu)造函數(shù)Mx)=(s-l-x)-e-(s-l)利用l<