高中數(shù)學(xué)專(zhuān)項(xiàng)復(fù)習(xí)：曲線(xiàn)的切線(xiàn)方程（解析版）

專(zhuān)題02曲線(xiàn)的切線(xiàn)方程

考點(diǎn)一求切線(xiàn)的方程

【方法總結(jié)】

求曲線(xiàn)切線(xiàn)方程的步驟

(1)求曲線(xiàn)在點(diǎn)尸(尤0,加)處的切線(xiàn)方程的步驟

第一步，求出函數(shù)》=大尤)在點(diǎn)x=xo處的導(dǎo)數(shù)值了(尤0)，即曲線(xiàn)y=?x)在點(diǎn)尸。0，凡珀)處切線(xiàn)的斜率；

第二步，由點(diǎn)斜式方程求得切線(xiàn)方程為y—ft,xo)—f(xo)-(x—xo).

(2)求曲線(xiàn)過(guò)點(diǎn)尸(尤o,師)的切線(xiàn)方程的步驟

第一步，設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)P(xi，1Axi))；

第二步，寫(xiě)出過(guò)P(無(wú)1，/Ui))的切線(xiàn)方程為y—/(xi)=Axi)(x—制)；

第三步，將點(diǎn)尸的坐標(biāo)(xo,州)代入切線(xiàn)方程，求出尤1；

第四步，將尤1的值代入方程y-/(xi)=/(xi)(x—xi)可得過(guò)點(diǎn)P(xo，yo)的切線(xiàn)方程.

注意：在求曲線(xiàn)的切線(xiàn)方程時(shí)，注意兩個(gè)“說(shuō)法”：求曲線(xiàn)在點(diǎn)尸處的切線(xiàn)方程和求曲線(xiàn)過(guò)點(diǎn)尸的切線(xiàn)

方程，在點(diǎn)尸處的切線(xiàn)，一定是以點(diǎn)尸為切點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)尸的切線(xiàn)，不論點(diǎn)尸在不在曲線(xiàn)上，點(diǎn)尸不一定是切

點(diǎn).

【例題選講】

2r—1

[例1]⑴(2021?全國(guó)甲)曲線(xiàn)尸二了在點(diǎn)(一1,—3)處的切線(xiàn)方程為.

答案5x—y+2=0解析y=(^￡)』2(x+；+gD=^^,所以JV-I=(_1^2)2=5,所

以切線(xiàn)方程為y+3=5(x+l),即5x—y+2=0.

(2)(2020?全國(guó)I)函數(shù)兀0=/—2x3的圖象在點(diǎn)(1,八1))處的切線(xiàn)方程為()

A.y=—2x—1B.y=—2x+1C.y=2x—3D.y=2x~\-1

答案B解析11)=1—2=—1,切點(diǎn)坐標(biāo)為(1,—1),/(工)=4?—6f,所以切線(xiàn)的斜率為k=f(l)

=4x13—6x12=—2,切線(xiàn)方程為y+l=—2(x—1),即y=~2x+l.

(3)(2018?全國(guó)1)設(shè)函數(shù)1%)=冗3+3—1)/+以.若加)為奇函數(shù)，則曲線(xiàn))=%)在點(diǎn)(0,0)處的切線(xiàn)方

程為()

A.y=~2xB.y=一九C.y=2xD.y=x

答案D解析法一因?yàn)楹瘮?shù)兀外二始+磔-為奇函數(shù)，所以式一%)=—/(x),所以(一x>+

(a—1)(—x)2+a(—%)=—[xi~\~(a—1)x2+ax],所以2(〃-1—0.因?yàn)樗浴?1,所以

所以/(x)=3d+l,所以1(0)=1,所以曲線(xiàn)>=危)在點(diǎn)(0,0)處的切線(xiàn)方程為了=4.故選D.

法二因?yàn)楹瘮?shù)#元)=工3+3—IW+Q%為奇函數(shù)，所以/(—i)+/(i)=o,所以-1+〃一1一〃+(1+〃-1

+。)=0,解得〃=1,此時(shí)/0)=犬3+%(經(jīng)檢驗(yàn)，人幻為奇函數(shù))，所以/(x)=3f+l,所以了(0)=1,所以曲線(xiàn)

y=/U)在點(diǎn)(0，0)處的切線(xiàn)方程為>=%.故選D.

法三易知人%)=必+(〃-1)%+。］,因?yàn)樨ｉT(mén)為奇函數(shù)，所以函數(shù)g(x)=f+(〃一l)x

+〃為偶函數(shù)，所以4—1=0,解得4=1,所以加)=必+居所以了(%)=3爐+1,所以了(0)=1,所以曲線(xiàn)y

=?￥)在點(diǎn)(0,0)處的切線(xiàn)方程為丁=尤故選D.

(4)(2020?全國(guó)I)曲線(xiàn)y=lnx+x+l的一條切線(xiàn)的斜率為2,則該切線(xiàn)的方程為.

答案2x~y=0解析設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(xo,yo),因?yàn)閥=lnx+x+l,所以了=q+1,所以切線(xiàn)的斜率

為;+1=2,解得xo=l.所以yo=ln1+1+1=2,即切點(diǎn)坐標(biāo)為(1,2),所以切線(xiàn)方程為y—2=2。-1),

即2x~y=0.

(5)已知函數(shù)次X)=X1WG若直線(xiàn)/過(guò)點(diǎn)(0,-1),并且與曲線(xiàn)y=/(x)相切，則直線(xiàn)/的方程為.

答案x—y—1=0解析:?點(diǎn)(0,—1)不在曲線(xiàn)“r)=xlnx上，.??設(shè)切點(diǎn)為3),州).又?."z(x)=l+ln

fyo=xolnxo,

x,???直線(xiàn)，的方程為y+l=(l+lnxo)x..,?由,解得%()=1,刃=0.?,?直線(xiàn)》的方程為

〔以十1=(1十(lnxo)xo,

y=x—l,RPx—y—1=0.

(6)(2021?新高考I)若過(guò)點(diǎn)(〃，b)可以作曲線(xiàn)y=e"的兩條切線(xiàn)，則()

A.&b<aB.ea<bC.0<a<ebD.Q<b<ea

答案D解析根據(jù)y=e%圖象特征，y=e］是下凸函數(shù)，又過(guò)點(diǎn)(〃，刀可以作曲線(xiàn)y=e%的兩條切線(xiàn)，

則點(diǎn)(〃，Z?)在曲線(xiàn)的下方且在x軸的上方，得0<Z?<e".故選D.

⑺已知曲線(xiàn)危)=必一%+3在點(diǎn)P處的切線(xiàn)與直線(xiàn)x+2y-l=o垂直，則P點(diǎn)的坐標(biāo)為()

A.(1,3)B.(-1,3)C.(1,3)或(―1,3)D.(1,-3)

答案C解析設(shè)切點(diǎn)尸(X0,加)，/(無(wú))=3/-1,又直線(xiàn)尤+2y—1=0的斜率為一3，V(xo)=3高一1

=2,???焉=1,??.沏=±1,又切點(diǎn)P(M),yo)在y=?x)上，??.”=君一配+3,???當(dāng)xo=l時(shí)，州=3；當(dāng)必=一

1時(shí)，%=3.???切點(diǎn)P為(1,3)或(一1,3).

(8)(2019?江蘇)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A在曲線(xiàn)y=lnx上,且該曲線(xiàn)在點(diǎn)A處的切線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(一e,

—l)(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))，則點(diǎn)A的坐標(biāo)是.

答案(e,1)解析設(shè)〃)，則曲線(xiàn)y=lnx在點(diǎn)A處的切線(xiàn)方程為丁一〃=而(工一根).又切線(xiàn)過(guò)點(diǎn)

(―e,—1),所以有幾+l=(o+e).再由幾=lnm,解得加=e,n=l.故點(diǎn)A的坐標(biāo)為(e,1).

(9)設(shè)函數(shù)7(冗)=爐+(〃一若黃工)為奇函數(shù)，且函數(shù)》=/(%)在點(diǎn)尸(的，?ro))處的切線(xiàn)與直線(xiàn)x

+y=0垂直，則切點(diǎn)尸(沏，?xo))的坐標(biāo)為.

答案(0,0)解析,?"(工)=%3+(〃-1)/+以，.\f(x)=3x1+2(a—\)x+a,又於)為奇函數(shù)，

=~/(%)恒成立，即一始+5一I)—一以=—x3—(〃一1)，一恒成立，C.a—1,/(x)=3x2+1,3焉+1=1,xo

=0,五刈)=0,???切點(diǎn)尸(孫，八刈))的坐標(biāo)為(0,0).

Y—1

(10)函數(shù)y=干在點(diǎn)(0,—1)處的切線(xiàn)與兩坐標(biāo)軸圍成的封閉圖形的面積為()

A.IB.7C.ID.1

oZ

X—1(x~\~1—(x—1),

答案B解析,?，y=x+],**y'~.+丁=.+]2,「?Z=y1%=o=2,?,?切線(xiàn)方程為y~\~1—2(x

—0),即y=2x—1,令x=0,得y=-1；令y=0,得尸;，故所求的面積為:xlx；=；.

(11)曲線(xiàn)y=x1-1wc上的點(diǎn)到直線(xiàn)x~y-2=0的最短距離是.

答案也解析設(shè)曲線(xiàn)在點(diǎn)P(xo,yo)(xo＞O)處的切線(xiàn)與直線(xiàn)X—廠2=0平行，則Vl-=

1

|2x--||=2x0—^~=1..*.xo=l,yo=l,貝J尸(1,1),則曲線(xiàn)Inx上的點(diǎn)到直線(xiàn)x—y—2=0的

Ixx0

最短距離T；二;)2=6

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】

1.設(shè)點(diǎn)尸是曲線(xiàn)y=V—Sx+向上的任意一點(diǎn)，則曲線(xiàn)在點(diǎn)尸處切線(xiàn)的傾斜角a的取值范圍為()

二兀1「5兀、「2兀、「八兀\「2兀、(五5兀一

A.0,2u不,71)B.了,7iIC.0,2JuH，71)D.12，不

1.答案C解析y^Sx2—^,^3,/.tana＞—y/3,又?！闧0,兀)，故一￡0,gu,兀),故

選C.

2.函數(shù)兀x)=e%+：在x=l處的切線(xiàn)方程為.

2.答案y=(e—1)%+2解析f(x)=ex—Af(1)=e—1,又y(l)=e+l,?,?切點(diǎn)為(1,e+1),切

線(xiàn)斜率左=/(l)=e—1,即切線(xiàn)方程為y—(e+l)=(e—1)(%—D，即y=(e—l)x+2.

3.(2019?全國(guó)I)曲線(xiàn)＞=3(，+幻^在點(diǎn)(0,0)處的切線(xiàn)方程為.

3.答案y=3x解析所以曲線(xiàn)在點(diǎn)(0,0)處的切線(xiàn)的斜率

Zr=e°x3=3,所以所求切線(xiàn)方程為y=3尤

4.曲線(xiàn)式彳)=—在點(diǎn)尸(1,八1))處的切線(xiàn)/的方程為()

A.x-\~y—2—0B.2x+y—3—0C.3x+y+2=0D.3x+y—4—0

1—21nx—I-21nx

4.答案D解析因?yàn)樨?=[，所以/(x)=,2，又八1)=1,且了(1)=—3,故所求切線(xiàn)方

程為＞一1=一3(彳一1),即3尤+＞一4=0.

5.(2019?全國(guó)H)曲線(xiàn)y=2sinx+cos無(wú)在點(diǎn)(兀，一1)處的切線(xiàn)方程為()

A.x—y-71—1=0B.2x—y—2兀一1=0

C.2x+y—2兀+1=0D.x~\~y—兀+1=0

5.答案C解析設(shè)y=y(x)=2sinx+cosx,貝U/(x)=2cosx—sinx,.*./(7i)=—2,?,?曲線(xiàn)在點(diǎn)(兀，—1)

處的切線(xiàn)方程為y—(—1)=-2a—7i),即2x+y—2兀+1=0.故選C.

Y

6.(2019?天津)曲線(xiàn)y=cos尤一萬(wàn)在點(diǎn)(0,1)處的切線(xiàn)方程為.

6.答案尸一5+1解析y=-sinx-1,將x=0代入，可得切線(xiàn)斜率為一；.所以切線(xiàn)方程為廠1

=-2x,即，=-5+1?

7.已知於)=(葉號(hào))為奇函數(shù)(其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù))，則曲線(xiàn)y=/(x)在x=0處的切線(xiàn)方程為.

7.答案2x-y=0解析無(wú))為奇函數(shù)，，八-1)+八1)=0,即e+，一E一ae=0,解得。=1,於)=

^(己+5)，；?/(尤)=(e*+!)+x(eX一.?.曲線(xiàn)>=/(尤)在x=0處的切線(xiàn)的斜率為2,又人0)=0,曲線(xiàn)

y=/(x)在x=0處的切線(xiàn)的方程為2x~y=0.

8.己知曲線(xiàn)y=/3上一點(diǎn)尸(2,D，則過(guò)點(diǎn)P的切線(xiàn)方程為.

8.答案3x—3y+2=0或12x—3廠16=0解析設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為Qo,$8),由了二忤汽二%2,得>[尤=尤()

13_8

(ox3項(xiàng)—3

=焉，即過(guò)點(diǎn)尸的切線(xiàn)的斜率為急又切線(xiàn)過(guò)點(diǎn)尸(2,2J,若孫先，則焉=；_0_2,解得xo=-1,此時(shí)

切線(xiàn)的斜率為1;若須=2,則切線(xiàn)的斜率為4.故所求的切線(xiàn)方程是廠當(dāng)=x—2或廠|=4(x—2),即

3x—3y+2=0或12x—3y—16=0.

9.已知函數(shù)7(%)=jdnx,若直線(xiàn)/過(guò)點(diǎn)(0,-1),并且與曲線(xiàn)y=/(x)相切，則直線(xiàn)/的方程為.

9.答案x—y—l=0解析..?點(diǎn)(0,—1)不在曲線(xiàn)/(x)=xlnx上，.,?設(shè)切點(diǎn)為(孫，聲),又?.了(工)=1+

fyo=xolnxo,

hur,???直線(xiàn)/的萬(wàn)程為y+l=(l+lnxo)x..??由,(解得％o=l,州=0.???直線(xiàn)/的萬(wàn)

[yo+l=(l+lnxo)xo,

程為y=x~1,即x~y—1=0.

10.設(shè)函數(shù)2x+/U)lnx,曲線(xiàn)式X)在(1,犬1))處的切線(xiàn)方程是()

A.5x—4=0B.3x—y—2=0C.x—y=0D.%=1

10.答案A解析因?yàn)榘擞?=/&f一2x+/(l)lnx,所以y(x)=4自無(wú)-2+匕4L.令x=/導(dǎo)了(1)=4自

x/—2+軟1),即式1)=1.又八2,所以/自=3,所以了(1)=4自―2+八1)=6—2+1=5.所

以曲線(xiàn)在點(diǎn)(1,八1))處的切線(xiàn)方程為y—1=5(了-1),即5x—y—4=0.

11.我國(guó)魏晉時(shí)期的科學(xué)家劉徽創(chuàng)立了“割圓術(shù)”，實(shí)施“以直代曲”的近似計(jì)算，用正”邊形進(jìn)行“內(nèi)外夾逼”

的辦法求出了圓周率兀的精度較高的近似值，這是我國(guó)最優(yōu)秀的傳統(tǒng)科學(xué)文化之一.借用“以直代曲”

的近似計(jì)算方法，在切點(diǎn)附近，可以用函數(shù)圖象的切線(xiàn)近似代替在切點(diǎn)附近的曲線(xiàn)來(lái)近似計(jì)算.設(shè)

=ln(l+x),則曲線(xiàn)>=段)在點(diǎn)(0,0)處的切線(xiàn)方程為，用此結(jié)論計(jì)算ln2022-ln2021~.

11.答案丫=尤2021解析函數(shù)五尤)=ln(l+x),則了(無(wú))=丁上,/(0)=1,八0)=0,...切線(xiàn)方程為y=x.

In2022-ln2021=ln(^l+2021),根據(jù)以直代曲，x=]右也非常接近切點(diǎn)x=0....可以將x

=忐代入切線(xiàn)近似代替了圖五)，即焉)品〉

12.曲線(xiàn)兀i)=x+lnx在點(diǎn)(1,1)處的切線(xiàn)與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為()

A.2B.|C.；D.(

12.答案D解析f(x)=l+p則/(1)=2,故曲線(xiàn)/(x)=x+lnx在點(diǎn)(1,1)處的切線(xiàn)方程為yT=2(x

-1),即y=2x—1,此切線(xiàn)與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)分別為(0,-1),0),則切線(xiàn)與坐標(biāo)軸圍成的三

角形的面積為:xlxH，故選D.

14

13.已知曲線(xiàn)y=#+].

(1)求曲線(xiàn)在點(diǎn)P(2,4)處的切線(xiàn)方程；

(2)求曲線(xiàn)過(guò)點(diǎn)尸(2,4)的切線(xiàn)方程.

14

13.解析(1);尸(2,4)在曲線(xiàn)>二科+可上，且曠=居

???在點(diǎn)尸(2,4)處的切線(xiàn)的斜率為y1-2=4.

???曲線(xiàn)在點(diǎn)尸(2,4)處的切線(xiàn)方程為》-4=4(工一2),即4%一y一4=0.

(2)設(shè)曲線(xiàn)>=￥+,與過(guò)點(diǎn)尸(2,4)的切線(xiàn)相切于點(diǎn)|x§+￡),則切線(xiàn)的斜率為y[x=xo=焉.

，切線(xiàn)方程為丁一《焉+§=焉(>—刈)，即y=xo-x—|xo+1.

24

丁點(diǎn)尸(2,4)在切線(xiàn)上,?,.4=24一式+?即高一3焉+4=0,+上一4仁+4=0,

.*.%§(xo+1)—4(xo+l)(xo—1)—0,(%o+1)(.^0~2)2=0,解得x()=-1或xo=2,

故所求的切線(xiàn)方程為X—>+2=0或4x-j-4=0.

b

14.設(shè)函數(shù)4尤)=a尤一：曲線(xiàn)>=/(無(wú))在點(diǎn)(2,犬2))處的切線(xiàn)方程為7x—4y—12=0.

(1)求人x)的解析式；

(2)證明曲線(xiàn)7U)上任一點(diǎn)處的切線(xiàn)與直線(xiàn)x=0和直線(xiàn)y=x所圍成的三角形面積為定值，并求此定值.

7

14.解析(1)方程7x—4y—12=0可化為丁=下一3,

1bJ2.2，.=1,3

當(dāng)x=2時(shí)，y=］.又了(乃=“+9，于是jb7解得［=3故兀0=天一7

(2)設(shè)尸(xo,州)為曲線(xiàn)上任一點(diǎn)，

由；/=1+1知曲線(xiàn)在點(diǎn)尸(加以)處的切線(xiàn)方程為y—yo=(l+1)(x—刈)，

即,―/()一￡|=(1+卷)(無(wú)—即).令x=0,得y=_*，

從而得切線(xiàn)與直線(xiàn)x=0的交點(diǎn)坐標(biāo)為(0,-￡).

令尸x,得y=x=2xo,從而得切線(xiàn)與直線(xiàn)尸x的交點(diǎn)坐標(biāo)為(2xo,2加.

所以點(diǎn)尸(%o,yo)處的切線(xiàn)與直線(xiàn)1=0,y=x所圍成的三角形的面積為S=J—~|2刈=6.

乙人o

故曲線(xiàn)y=/(x)上任一點(diǎn)處的切線(xiàn)與直線(xiàn)x=0,y=x所圍成的三角形面積為定值，且此定值為6.

15.(2021?全國(guó)乙)已知函數(shù)兀0=9一_?+依+1.

(1)討論兀0的單調(diào)性；

(2)求曲線(xiàn)y=/(x)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的切線(xiàn)與曲線(xiàn)y=段)的公共點(diǎn)的坐標(biāo).

15.解析(1)由題意知/(x)的定義域?yàn)镽,7(勸=3/—2無(wú)十°,對(duì)于/(*)=0,/=(-2>—4x3a=4(l—3a).

①當(dāng)其時(shí)，但)，(x巨0在R上恒成立，所以式x)在R上單調(diào)遞增；

②當(dāng)時(shí)，令/(x)=0,即Sf-Zx+a：。，解得的=^~3",%2=1+"：",

令/(X)>O,則或第>%2；令［(冗)<0,則％14<X2.

所以/(X)在(一00,即)上單調(diào)遞增，在(即，X2)上單調(diào)遞減，在(X2,+s)上單調(diào)遞增.

綜上，當(dāng)時(shí)，兀￥)在R上單調(diào)遞增；當(dāng)4Vg時(shí)，/U)在(一8,--"1')上單調(diào)遞增,

在『產(chǎn)，i+『巧上單調(diào)遞減,在『界，+，上單調(diào)遞增.

(2)記曲線(xiàn)y=/(x)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的切線(xiàn)為/,切點(diǎn)為尸(M),x^—^+axo+1).

因?yàn)?(%o)=3x§—2%o+a,所以切線(xiàn)I的方程為j—xo+axo+1)=(3^—2xo+tz)(x—xo).

由/過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，得2君一焉一1=0,解得％o=l,所以切線(xiàn)/的方程為y=(l+〃)x.

y=(l+a)x,x=l,x=-l,

由尸X-/+以+1解得.,=1+/

y=-l—a.

所以曲線(xiàn)y=/(x)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的切線(xiàn)與曲線(xiàn)y=/(x)的公共點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,1+a)和(一1,一1一a).

考點(diǎn)二求參數(shù)的值(范圍)

【方法總結(jié)】

處理與切線(xiàn)有關(guān)的參數(shù)問(wèn)題，通常根據(jù)曲線(xiàn)、切線(xiàn)、切點(diǎn)的三個(gè)關(guān)系列出參數(shù)的方程并解出參數(shù)：①

切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)是切線(xiàn)的斜率；②切點(diǎn)在切線(xiàn)上；③切點(diǎn)在曲線(xiàn)上.

注意：曲線(xiàn)上橫坐標(biāo)的取值范圍；謹(jǐn)記切點(diǎn)既在切線(xiàn)上又在曲線(xiàn)上.

【例題選講】

[例1]⑴已知曲線(xiàn)段)=加+向在(1,加))處的切線(xiàn)的斜率為2,則實(shí)數(shù)。的值是.

答案!解析貝!|/(l)=3a+l=2,解得

(2)若函數(shù)於)=lnx+2f—ax的圖象上存在與直線(xiàn)2無(wú)一y=0平行的切線(xiàn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍

是?

答案[2,+oo)解析直線(xiàn)2x—y=0的斜率左=2,又曲線(xiàn)式x)上存在與直線(xiàn)2x—y=0平行的切線(xiàn)，

.\f(x)=F+4x—a=2在(0,+<?)內(nèi)有解，則a=4x+f—2,x>0.又當(dāng)且僅當(dāng)x=/時(shí)

取“=”..,.壯4—2=2.二。的取值范圍是[2,+oo).

(3)設(shè)函數(shù)4OMalnx+bx3的圖象在點(diǎn)(1,一1)處的切線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0,1),則a+6的值為.

伏l)=f%——1(-1

2

答案0解析依題意得了(jOnE+Sbx,于是有1+1即…C解得，1

%/(l)=3^p〔〃+3。=-2,仍=一1,

所以〃+/?=().

(4)(2019?全國(guó)HI)已知曲線(xiàn)y=aex+x\nx在點(diǎn)(1,〃e)處的切線(xiàn)方程為y=2x+b,則()

A.a=e,b=—\B.a=e,b=lC.a=e~i,b=lD.a=e~i,b=~l

答案D解析因?yàn)閥=ae*+lnx+l,所以y[%=i=4e+l,所以曲線(xiàn)在點(diǎn)(1,ae)處的切線(xiàn)方程為y—

fae+l=2,

〃e=(ae+l)(x—1)，即y=(oe+l)x—1,所以彳解得彳

[b=—1,[b=-l.

(5)設(shè)曲線(xiàn)尸罟在點(diǎn)(1,—2)處的切線(xiàn)與直線(xiàn)以+外+c=0垂直，貝哈=()

A.|B.

C.3D.-3

答案B解析由題可得尸(二：)2,所以曲線(xiàn)在點(diǎn)(1,—2)處的切線(xiàn)的斜率為-3.因?yàn)榍芯€(xiàn)與

直線(xiàn)ax+by+c=O垂直，所以一3(一§=—1,解得茶=一女，故選B.

(6)已知直線(xiàn)>=h一2與曲線(xiàn)y=xlnx相切，則實(shí)數(shù)k的值為.

答案l+ln2解析設(shè)切點(diǎn)為(加，mlnrri),y=l+lnx,y[%=冽=l+lnm,Ay—mlnm=(l+lnm)(x—

m),即y=(l+ln加)%—■根，又丁="一2,即女=l+ln2.

[m=2,

(7)已知函數(shù)"x)=x+&，若曲線(xiàn)y=/(x)存在兩條過(guò)(1,0)點(diǎn)的切線(xiàn)，則4的取值范圍是

答案(一oo,—2)U(0,+00)解析/(x)=l—養(yǎng)，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為go,刈+是1，切線(xiàn)的斜率左=/(xo)

=1—奇，切線(xiàn)方程為y_Qo+套)=(1—急)(x—xo),又切線(xiàn)過(guò)點(diǎn)(1,0),即一(xo+看)=(1—a)(1—

xo),整理得2君+2辦0—0=0,：曲線(xiàn)存在兩條切線(xiàn)，故該方程有兩個(gè)解，；./=4a2—8(—a)>0,解得a>0

或a<—2.

(8)關(guān)于x的方程2|x+a|=e，有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為.

答案(1—ln2,+°°)解析由題意，臨界情況為>=2(_￥+°)與y=e"相切的情況，_/=e*=2,則x=

ln2,所以切點(diǎn)坐標(biāo)為(ln2,2),則此時(shí)。=1—ln2,所以只要y=2|x+a|圖象向左移動(dòng)，都會(huì)產(chǎn)生3個(gè)交點(diǎn)，

所以a>l—ln2,即°e(l—ln2,+<x>).

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】

1.若曲線(xiàn)y=xhw在x=l與尤=f處的切線(xiàn)互相垂直，則正數(shù)，的值為.

1.答案e-2解析因?yàn)閥'=lnx+l,所以(lnl+l)(lnt+l)=—1,；.lm=-2,t=eT~.

2.設(shè)曲線(xiàn)y=eg—ln(x+l)在x=0處的切線(xiàn)方程為2x—y+l=0,貝Ua=()

A.0B.1C.2D.3

2.答案D解析,.■j=eax—ln(x+l),.,.y'=aeflX一.二j,...當(dāng)尤=0時(shí)，y'=a~\.\,曲線(xiàn)>=6"工一ln(x

+1)在x=0處的切線(xiàn)方程為2x—y+l=0,：.a~l=2,即a=3.故選D.

3.若曲線(xiàn)_/0)=9一x+3在點(diǎn)尸處的切線(xiàn)平行于直線(xiàn)y=2x—1,則尸點(diǎn)的坐標(biāo)為()

A.(1,3)B.(-1,3)C.(1,3)或(一1,3)D.(1,—3)

3.答案C解析了(尤)=3/一1,令了(尤)=2,則3/—1=2,解得尤=1或尤=一1,3)或(一1,3),

經(jīng)檢驗(yàn)點(diǎn)(1,3),(-1,3)均不在直線(xiàn)y=2x—1上，故選C.

4.函數(shù)八x)=lnx+ax的圖象存在與直線(xiàn)2x—y=0平行的切線(xiàn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

4.答案(一00,2)解析由題意知/(x)=2在(0,+(?)上有解.所以/(x)=：+a=2在(0,+(?)上有解，

則。=2—：.因?yàn)閤>0,所以2—：<2,所以a的取值范圍是(一oo,2).

5.己知函數(shù)?r)=xcosx+asinx在x=0處的切線(xiàn)與直線(xiàn)3x—y+l=0平行，則實(shí)數(shù)a的值為.

5.答案2解析f(x)=cosx+^(—sinx)+acosx=(1+?)cosx—xsinx,.\f(0)=l+a=3,.\a=2.

6.已知函數(shù)外)=%3+依+人的圖象在點(diǎn)(1猶1))處的切線(xiàn)方程為2x—y—5=0,則〃=；b=

=l+〃+/?=2x1—5,

6.答案一1一3解析由題意得了(x)=3f+a,則由切線(xiàn)方程得L解得。=

—1,b=-3.

3

7.若函數(shù)/(x)=QX—嚏的圖象在點(diǎn)(1,犬1))處的切線(xiàn)過(guò)點(diǎn)(2,4),則〃=.

一3

7.答案2解析了(%)=〃+9，/(1)=〃+3,式1)=。-3,故?x)的圖象在點(diǎn)(1,〃一3)處的切線(xiàn)方程為y

一(a—3)=(〃+3)(x—1),又切線(xiàn)過(guò)點(diǎn)(2,4),所以4—(a—3)=〃+3,解得〃=2.

8.若曲線(xiàn)y=e*在％=0處的切線(xiàn)也是曲線(xiàn)y=lnx+b的切線(xiàn)，貝!J〃=()

A.-1B.1C.2D.e

8.答案C解析y=e]的導(dǎo)數(shù)為y=e%,則曲線(xiàn)y=e"在x=0處的切線(xiàn)斜率％=1,則曲線(xiàn)y=e”在x

=0處的切線(xiàn)方程為y—l=x，即y=x+l.設(shè)y=x+l與y=lnx+Z?相切的切點(diǎn)為(徵，m+1).又

則5=1,解得機(jī)=1.所以切點(diǎn)坐標(biāo)為(1,2),則2=b+lnl,得b=2.

9.曲線(xiàn)>=(辦+1戶(hù)在點(diǎn)(0,1)處的切線(xiàn)與x軸交于點(diǎn)(一30),則。=;

9.答案1解析y=e*(ax+l+a),所以y[x=o=l+a,則曲線(xiàn)y=(ar+l)e*在(0,1)處的切線(xiàn)方程為y

=(l+a)x+l,又切線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)為(一；，0),所以0=(l+a)x(—0+l,解得a=l.

10.過(guò)點(diǎn)M(—1,0)引曲線(xiàn)C：y=2x3+or+a的兩條切線(xiàn)，這兩條切線(xiàn)與y軸分別交于A、8兩點(diǎn)，若|MA|

^\MB\,則a=.

10.答案一引解析設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為It3+at+a),\'y'=6x2+a,；.6r+a=”苦，即4d+G/2

=0,解得r=0或，=—|,=.?.兩切線(xiàn)的斜率互為相反數(shù)，即2a+6%(一|)=0,解得a

__27

=~~4'

11.已知曲線(xiàn)C：危)=/—3無(wú)，直線(xiàn)/：y—ax—y[3a,則。=6是直線(xiàn)/與曲線(xiàn)C相切的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必