上海市九年級上學(xué)期數(shù)學(xué)期中模擬試卷01（測試范圍：相似三角形、銳角的三角比）（教師版） 2024-2025學(xué)年九年級數(shù)學(xué)上學(xué)期期中考點大串講（滬教版）

2025學(xué)年九年級上學(xué)期數(shù)學(xué)期中模擬試卷01滿分：150分測試范圍：相似三角形、銳角的三角比一、選擇題:(本大題共6題，每題4分，共24分)1．下列兩個圖形一定相似的是（）A．兩個菱形B．兩個周長相等的直角三角形C．兩個正方形D．兩個等腰梯形【答案】C【知識點】相似多邊形【分析】根據(jù)相似圖形的判斷依據(jù)，對應(yīng)邊的比相等，對應(yīng)角相等，兩個條件必須同時具備，結(jié)合選項，用排除法求解．【詳解】A.兩個菱形，對應(yīng)邊成比例，對應(yīng)角不一定成相等，故不符合題意；B.兩個周長相等的直角三角形，只有一個直角相同，銳角不一定相等，故不符合題意；C.兩個正方形，形狀相同，大小不一定相同，符合相似性定義，故符合題意；D.兩個等腰三角形頂角不一定相等，故不符合題意.故選C.【點睛】此題主要考查了相似多邊形的識別．理解相似多邊形的判斷依據(jù)是解題的關(guān)鍵．2．已知，那么等于（

）A． B． C． D．【答案】A【知識點】比例的性質(zhì)【分析】本題考查了比例的性質(zhì)，設(shè)，代入即可求解．【詳解】解：設(shè)，,故選：A．3．已知α為銳角，，則α等于（）A． B． C． D．【答案】B【知識點】根據(jù)特殊角三角函數(shù)值求角的度數(shù)【分析】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值的知識，解題的關(guān)鍵是熟記特殊角的三角函數(shù)值．根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值直接求解．【詳解】解：∵已知α為銳角，，∴，∴．故選：B．4．下列說法中，正確的是（）A．如果和是相反向量，那么 B．如果和是平行向量，那么C．如果，那么 D．如果（為非零向量），那么【答案】D【分析】根據(jù)向量的定義與性質(zhì)，逐一對選項判斷即可．【詳解】解：A、相反向量的和為零向量，而不是數(shù)字0，故本選項不符合題意；B、平行向量為方向相同或相反，模不一定相等，故本選項不符合題意；C、兩個向量的模相等，不能保證方向相同，故本選項不符合題意；D、兩個向量方向相同，所以是平行向量，故本選項符合題意；答案：D．【點睛】本題考查了平面向量的定義與性質(zhì)，熟練掌握平面向量的定義與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．5．如圖，點、分別在、上，以下能推得的條件是（

）A． B．C． D．【答案】C【知識點】由平行判斷成比例的線段【分析】平行于三角形一邊的直線截其他兩邊或延長線，所得的對應(yīng)線段成比例．如果一條直線截三角形的兩邊（或兩邊的延長線）所得的對應(yīng)線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊．【詳解】解：設(shè)，那么，選項A、B、D、不符合平行線分段成比例定理．如果一條直線截三角形的兩邊（或兩邊的延長線）所得的對應(yīng)線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊．∵，∴．故選：C．【點睛】此題主要考查平行線分線段成比例，解答此題的關(guān)鍵的是明確哪些對應(yīng)線段成比例．學(xué)生初學(xué)，容易出錯．6．如圖，在中，D、E分別是上的點，且，如果，那么（

）

A． B． C． D．【答案】B【知識點】相似三角形的判定與性質(zhì)綜合、利用相似三角形的性質(zhì)求解【分析】此題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握相似三角形的面積比等于相似比的平方是解題的關(guān)鍵．根據(jù)相似三角形的判定定理得到，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)計算即可．【詳解】解：∵，∴，∴，，，，，設(shè)的高為h，，設(shè)為，則為，為，，∴，故選：B．二、填空題:(本大題共12題，每題4分，共48分)7．ABC與DEF相似，∠A＝72°，∠B＝48°，∠F＝60°，則∠E＝．【答案】48°或72°【分析】根據(jù)相似三角形的性質(zhì)解答即可．【詳解】∵ABC與DEF相似，且，∠B≠∠A≠∠F，∴∠E＝∠B或∠E＝∠A，∵∠B＝48°，∠A＝72°∴∠E＝48°或72°，故答案為：48°或72°．【點睛】本題考查相似三角形的性質(zhì)，對應(yīng)角相等是關(guān)鍵．8．在比例尺為的地圖上，量得線段AB兩地距離是，則AB兩地實際距離為．【答案】240【知識點】成比例線段【分析】本題考查比例線段，比例尺的定義，設(shè)實際距離為，根據(jù)比例尺的定義列出方程，然后求解即可得出答案．【詳解】解：設(shè)實際距離為，由題意得：，解得，經(jīng)檢驗，是分式方程的解，故答案為：240．9．已知線段厘米，厘米，如果線段是線段和的比例中項，那么厘米．【答案】【分析】本題考查了比例線段，根據(jù)比例中項的定義得到，然后利用比例性質(zhì)計算即可，解題的關(guān)鍵是理解四條線段、、、，如果其中兩條線段的比（即它們的長度比）與另兩條線段的比相等，，我們就說這四條線段是成比例線段，簡稱比例線段，當(dāng)時，線段是線段和的比例中項．【詳解】∵線段是線段和的比例中項，∴，即，∴，故答案為：．10．在中，，，，則的余切值為．【答案】【知識點】解直角三角形的相關(guān)計算【分析】本題考查的是銳角三角函數(shù)的定義，直接根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義解答即可，熟記銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：在中，，，，∴的余切值．故答案為：．11．已知點P是線段的一個黃金分割點，且，那么的比值為．【答案】【分析】本題考查了黃金分割的定義，熟練掌握黃金分割的定義及黃金比值是解題的關(guān)鍵．根據(jù)黃金分割的定義即可得出答案．【詳解】解：點是線段的黃金分割點，且，，，故答案為：．12．一段公路的坡度為1∶3，某人沿這段公路路面前進100米，他上升的最大高度為．【答案】10米．【分析】已知了坡面長為100米，可根據(jù)坡度比設(shè)出兩條直角邊的長度，根據(jù)勾股定理可列方程求出坡面的鉛直高度，即此人上升的最大高度．【詳解】解：如圖．Rt△ABC中，tanA=，AB=100米．設(shè)BC=x米，則AC=3x米，根據(jù)勾股定理，得：x2+（3x）2=1002，解得x=10（負值舍去）．故答案為：10米．【點睛】此題主要考查學(xué)生對坡度坡角的掌握及勾股定理、三角函數(shù)的運用能力．13．中，，則的內(nèi)接正方形的邊長是．【答案】【知識點】相似三角形的判定與性質(zhì)綜合、根據(jù)正方形的性質(zhì)求線段長【分析】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及正方形的性質(zhì)．根據(jù)正方形的性質(zhì)可得出，進而可得出，設(shè)正方形的邊長為a，則，利用相似三角形的性質(zhì)可得出關(guān)于a的方程，解之即可得出結(jié)論．【詳解】解：如圖，，，，，設(shè)正方形的邊長為a，，，，即，，故答案為：．14．在正方形網(wǎng)格中，的位置如圖所示，則的值為

【答案】【知識點】勾股定理與網(wǎng)格問題、求角的余弦值【分析】本題主要考查余弦函數(shù)的定義和勾股定理，構(gòu)建直角三角形是解題的關(guān)鍵．如圖：作于點D，由網(wǎng)格可得，利用勾股定理求得，再由余弦函數(shù)的定義求解即可．【詳解】解：如圖：作于點D，

則，∴，∴．如圖，在平行四邊形中，E為對角線上一點，設(shè)，，若，則（結(jié)果用含，的式子表示）．【答案】【知識點】向量的線性運算【分析】本題考查了平面向量的知識，解答本題的關(guān)鍵是先確定各線段之間的關(guān)系．先求出，從而可得．【詳解】解：四邊形是平行四邊形，，．是上一點，，，，，故答案為：．16．如圖，，它們依次交直線、于點A、C、E和點B、D、F，與相交于點O，如果，，，，那么的長為．

【答案】【知識點】由平行截線求相關(guān)線段的長或比值【分析】本題考查的是平行線分線段成比例，先利用，證明，再利用，可得，結(jié)合線段的和差，從而可得答案．【詳解】解：∵，∴，∵，，，∴，即，∵，∴，∵，∴即，∴，∴；故答案為：．17．清朝《數(shù)理精蘊》里有一首小詩《古色古香方城池》：今有一座古方城，四面正中都開門，南門直行八里止，腳下有座塔聳立．又出西門二里停，切城角恰見塔形，請問諸君能算者，方城每邊長是幾？如圖所示，詩的意思是：有正方形的城池一座，四面城墻的正中有門，從南門口（點）直行8里有一塔（點），自西門（點）直行2里至點，切城角（點）也可以看見塔，問這座方城每面城墻的長是里．【答案】8【分析】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，正方形的性質(zhì)，設(shè)這座方城每面城墻的長為里，根據(jù)題意得到，，證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【詳解】解：設(shè)這座方城每面城墻的長為里，由題意得，，，，里，里，，，，即，，∴這座方城每面城墻的長為8里，故答案為：8．18．一款閉門器按如圖1所示安裝，支點，分別固定在門框和門板上，門寬，搖臂，連桿，閉門器工作時，搖臂、連桿和長度均固定不變．如圖2，當(dāng)門閉合時，，則的長為cm．如圖3，門板繞點旋轉(zhuǎn)，當(dāng)時，點到門框的距離，則的長為cm．【答案】188【知識點】其他問題（解直角三角形的應(yīng)用）【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，構(gòu)建直角三角形，熟練利用勾股定理及三角函數(shù)是解題的關(guān)鍵．過作，為垂足，利用三角函數(shù)和勾股定理求出、即可求解；連接，作，為垂足，為的對應(yīng)點，設(shè)，分別表示出、、、，用勾股定理即可求解．【詳解】解：過作，為垂足，，，，，，，．故答案：．解：如圖，連接，作，為垂足，為的對應(yīng)點，，∴，，，，設(shè)，則，，由題空1得：，，，又，，即：，整理得：，解得：，（舍去），．故答案：．三、解答題19．計算：．【答案】【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)、零指數(shù)冪、負整數(shù)指數(shù)冪、特殊角的三角函數(shù)值進行運算，即可得到答案．【詳解】＝＝3．【點睛】本題考查了二次根式的化簡、零指數(shù)冪、負整數(shù)指數(shù)冪、特殊角的三角函數(shù)值的混合運算，熟記運算法則和特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．20．已知：且，求的值【答案】，，．【知識點】比例的性質(zhì)【分析】設(shè)，則，，．結(jié)合題意可得出關(guān)于k的方程，解出k的值即可解答．【詳解】解：設(shè)，∴，，．∵，∴，解得：，∴，，．【點睛】本題考查了比例的性質(zhì)．已知幾個量的比值時，常用的解法是：設(shè)一個未知數(shù)，把題目中的幾個量用所設(shè)的未知數(shù)表示出來，實現(xiàn)消元．21．已知，求．【答案】【知識點】由平行截線求相關(guān)線段的長或比值【分析】本題考查了平行線分線段成比例定理；由平行線分線段成比例定理得出是解決問題的關(guān)鍵．由平行線分線段成比例定理得出，即可得出結(jié)論．【詳解】解：∵，，，，．故．22．某中學(xué)開展綜合與實踐活動，小宇所在的小組負責(zé)測量該校附近的山坡的護坡石壩壩頂與壩腳之間的距離，如圖，他們的測量方法如下：小宇將一根長5米的竹竿斜靠在石壩旁，量出竿長1米處米）距離地面的高度米，小組其他同學(xué)測得石壩與地面的傾斜角．請你根據(jù)以上信息，求出石壩壩頂與壩腳之間的距離．（結(jié)果保留一位小數(shù)；參考數(shù)據(jù)：，，【答案】4.2米【分析】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用坡度坡角問題，熟記銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．過點作于，根據(jù)平行線分線段成比例定理定理求出，再根據(jù)正弦的定義求出．【詳解】解：如圖，過點作于，則，∴，米，米，米，，解得：，在中，，，（米），答：石壩壩頂與壩腳之間的距離約為4.2米．23．如圖，已知梯形中，，、分別是AD、的中點，BD與交于點，為BD上一點，．(1)求的值；(2)設(shè)，，如果，那么________，________．(用向量、表示)【答案】(1)(2)，【分析】本題主要考查三角形的中位線定理、相似三角形的判定與性質(zhì)、平面向量；（1）由三角形中位線定理易得為的中位線，進而可得為的中位線，于是；（2）根據(jù)題意可得，根據(jù)三角形法則得出，證，得到，進而，以此即可得到答案．【詳解】（1）解：CD，點為的中點，為的中位線，點為BD的中點，又點為AD的中點，為的中位線，AB，，即（2）解：，，，，，，即，，，故答案為：，．24．如圖，過頂點C作直線與與及中線交于F、E，過D作交于M．(1)若，求的值；(2)求證：．【答案】(1)(2)見解析【分析】本題考查三角形相似的額判定與性質(zhì)．（1）根據(jù)，證明，得到，由，得到，進而得到，求出，即可求解；（2）由（1）知，得到，推出，根據(jù)，證明，得到，推出，即可證明結(jié)論．【詳解】（1）解：，，，，，，，即，的值為；（2）證明：，，即，，，，，點D是中點，，，，即，．25．如圖，RtABC中，，，，P是AB邊上的一個動點．(1)當(dāng)時，求AP的長；(2)當(dāng)CP平分∠ACB時，求點P到BC的距離；(3)過點P作，PQ交邊CB于Q，設(shè)，，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式并寫出