高等數(shù)學(xué)B1（2023-2024-1 ）學(xué)習(xí)通超星期末考試答案章節(jié)答案2024年

高等數(shù)學(xué)B1（2023-2024-1）學(xué)習(xí)通超星期末考試章節(jié)答案2024年/star3/origin/6123e69a041d63c582450933678bd378.png

答案:解由于定義域關(guān)于原點對稱，所以此函數(shù)為奇函數(shù)./star3/origin/518eff959c7f409b04ac441301ef5680.png

答案:解

因為，則，所以./star3/origin/e4fc790d3304b11c2a53bf8ff4abefa9.png

答案:證明

由于函數(shù)在處有.則，即有.

所以，即./star3/origin/41d0a0925d6c55aadae2226d517c75fd.png

答案:解

由于函數(shù)在處增量的線性部分為，即.

而，則.

所以，在處的導(dǎo)數(shù)./star3/origin/6c421108cad35db0443871cd4f9dc4c3.png

答案:解（i）當(dāng)時，

因為，則.而，則.（ii）當(dāng)時，

因為，則.而，則.（iii）當(dāng)時，

因為，則.而，則./star3/origin/38d0804f63dca633fc1421e661e0fb65.png

答案:解

由于；

.

所以

.

在處有，且，則曲線的切線方程為；法線方程為./star3/origin/8c7f28f484898f98ec3ad0fc6416f64d.png

答案:解

方程兩邊對求導(dǎo)，得

.

解得

.

所以

./star3/origin/ff708b3dab0437e0a0e3f9dbf28cdeec.png

答案:解

由于，則

./star3/origin/870e2944984624204b373cffcdab7d26.png

答案:解

.

./star3/origin/e876af8f8143e48bb4d0cc5ddca5e383.png

答案:解

.

./star3/origin/fe951564a0624ca4caefedf45df65d97.png

答案:解

；

./star3/origin/f2e6f97d73d3e2d991c4edd46446fed9.png

答案:解

方程兩邊對求導(dǎo)，得.

（*）將代入方程，有，則.

將，代入方程（*），得.

方程（*）兩邊對求導(dǎo)，得.將，，代入上述方程，得./star3/origin/b6fc8d3b9b089197c74ba0d798197fb6.png

答案:解

由于，且

；

.

所以

./star3/origin/c06c0efff4fd35c81f97b6afa8fa33ca.png

答案:解

，

則

./star3/origin/2c4d3c821ea0080bab9ca172f8343bf4.png

答案:解

由于，則

；

.

所以

，./star3/origin/cfcc5a8f3971b3a8b492fe4ff0ad771a.png

答案:證明

設(shè).由于函數(shù)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且，則在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且.

由羅爾中值定理可知：在內(nèi)至少存在一點，使.因為，且，則

./star3/origin/47bdc022581d9dbeb28069655f84de76.png

答案:證明

設(shè)函數(shù)，則在上連續(xù)可導(dǎo).由于，所以在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo).由拉格朗日中值定理可知：至少存在，使.因為，且，則.所以，即當(dāng)時，有

./star3/origin/3b999cdb98b1949e5bbe8de3cff6f4fa.png

答案:解

由于函數(shù)在內(nèi)連續(xù)且可導(dǎo)，則此函數(shù)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且，由羅爾中值定理可知：在內(nèi)至少存在一點，使.

同理，在內(nèi)至少存在一點，使.在內(nèi)至少存在一點，使.

由于是次多項式，則是次多項式，則至多只有個實根.

綜上所述，方程在內(nèi)有且只有個實根，分別處于，，區(qū)間內(nèi)./star3/origin/afbc1275d7c3ec2feb126e15c883fda5.png

答案:解

顯然在上連續(xù)，且，即在內(nèi)可導(dǎo)，.所以函數(shù)在上滿足羅爾中值定理.

由羅爾中值定理，有，即.解得

./star3/origin/e07d2782a10a9cb18a4c60dc6f2d8bdf.png

答案:解

由于，而

所以/star3/origin/5eceb3a627cf60304708132d8d9382d7.png

答案:解/star3/origin/4afe0721e3d203e0845118821102b5b1.png

答案:解/star3/origin/77d27fcaa2b0c06217f2f9920d73acb8.png

答案:解/star3/origin/be67b759e5c9af7d320727b9d5bc39ba.png

答案:解/star3/origin/d2c8d286f7543df2dd2590cbf250b01f.png

答案:解

如圖

設(shè)的長為米，的長為米.因為與相似，則，所以.且

.

所求的問題是求的最大值.

上述方程對求導(dǎo)，得.令，得.由實際問題可知：當(dāng)時，取最大值，.所以，能通過兩河的木材的最大長度為米./star3/origin/a43a16f8f094f55e7e320b105e4ccd8e.png

答案:證明

當(dāng)時，有，則不等式化為.

設(shè)，有.

當(dāng)時，，所以函數(shù)在上嚴(yán)格單調(diào)增加.于是對，有.故

當(dāng)時，有

.而，所以有

./star3/origin/90b137fd0209e383b58d8747ac6de9d6.png

答案:證明

設(shè)函數(shù).顯然在處有，即是函數(shù)的零點，它是方程的根.

又，則在上嚴(yán)格單調(diào)增加，所以是函數(shù)在上的唯一零點，故方程有唯一根，即方程有且僅有一個實根./star3/origin/1a866e1c04fa1c40723873cb88031800.png

答案:解

由于.設(shè)，得.列表如下

所以此函數(shù)在上單調(diào)增加，在上單調(diào)減少；極大值為，極小值為./star3/origin/6a5f8fad31f96313c70e2c0ea7a5e35b.png

答案:解

此函數(shù)的定義域為.

是此曲線的垂直漸近線；

由于，，

即是此曲線的斜漸近線；

，由，得；

，由，無解.

列表如下：

凸極大

凸

凹極小

凹

極大值為，極小值為.函數(shù)圖像如下：/star3/origin/4d3444da26c4f126ed89e2ffa8be5676.png

答案:解

顯然此曲線有垂直漸近線.又，.所以，此曲線有斜漸近線./star3/origin/6c9fb8025e030a0a269430813f6cc2a1.png

答案:證明

設(shè)函數(shù)，則.于是，對，有.

所以函數(shù)在上嚴(yán)格凹的.故對，且，有

.即

./star3/origin/e80b76f7af5b0f9d11e5277acc776dbf.png

答案:解

由于，.依題意，得解得

./star3/origin/85b21cb1255ada6c563833289c75a788.png

答案:解

由，.設(shè)，得.列表如下：凹拐點凸拐點凹所以，此函數(shù)的凸區(qū)間為，凹區(qū)間為.拐點為與./star3/origin/a78599b3855bffcfd8c46fe49034e142.png

答案:解

設(shè)曲線方程為，則有，且.由于，且，有.于是所求曲線方程為/star3/origin/b5dede246d1f9fe4524a978f0d8c4c1d.png

答案:解/star3/origin/565d5957aa5f0529d71c474afacd3f57.png

答案:解/star3/origin/4005f5cf8218b3306b5a84d691ac5493.png

答案:證明

當(dāng)時，有；當(dāng)時，有

；所以

.于是

./star3/origin/97fa346d9a7320a6f7f0395ea11b92f2.png

答案:解/star3/origin/c2fdbb3a484ce95c48a40decf422e8e4.png

答案:解/star3/origin/f028b0db92d1b560bcb6934840f128c6.png

答案:解/star3/origin/4d6aa79f270809989b8427f60331dcd8.png

答案:解/star3/origin/ce2a7f206dd753da18bdb6c83d4783d6.png

答案:解/star3/origin/4b70e79f76b23dd9f7c906cb2ca0f4c5.png

答案:解

由于，則/star3/origin/cd85fbebde1324b17e0092a10607e602.png

答案:解

設(shè)，則，.所以/star3/origin/ed97c39f1cb9aa0bb2799f97e19cb355.png

答案:解

設(shè)，則，.所以/star3/origin/bd811f3a2a57eac4a2dcfca8b67c1b70.png

答案:解

設(shè)，則，.所以/star3/origin/f490b37a6a2183529256a3fbacafd30a.png

答案:解

設(shè)，則，.所以/star3/origin/ec21a5f0359f7b5dfddde29814dad6bb.png

答案:解

設(shè)，則.所以/star3/origin/1e9d33f5d142591fb0f0530517799f2e.png

答案:解/star3/origin/3a0813ae993591176d03956d293ef6bb.png

答案:解

所以/star3/origin/6f2c73c75e6088c57a13a77886225e45.png

答案:解/star3/origin/33a2835824c7ed21bbbb12fd798fdacc.png

答案:解/star3/origin/eb63b67a6194836052973947539ceec1.png

答案:解

因為函數(shù)在上連續(xù)，由積分中值定理可知：存在，使.由于，則，所以

./star3/origin/56f340bed1c1a4d875dabcbd139f624d.png

答案:證明

設(shè)，則在上連續(xù)，且.由，得.因為，，則對，有.所以

./star3/origin/7c56cf24cbfb6fbb9d406efc4faaf2f2.png

答案:解

兩積分值的大小是.事實上，當(dāng)時，有，即；且函數(shù)與在上均連續(xù)，所以./star3/origin/2aa8797444944b175ae162c524469c6c.png

答案:解

由于定積分的幾何意義是曲線與直線及軸所圍區(qū)域的面積，如圖虛線部分.所求面積為兩直角邊等于的直角三角形的面積之和，即

.

所以

./star3/origin/58e4eb2c6be1393688f7dd46f62972ab.png

答案:解

由于被積函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，則函數(shù)在閉區(qū)間上可積.將區(qū)間等分，各分點為.小區(qū)間的長度為，取.所以，函數(shù)在閉區(qū)間上積分和.

因為，所以./star3/origin/c17422717b88c32d7810bbdefd77f89a.png

答案:證明/star3/origin/7abec92873cc55530c4bdc57732a2030.png

答案:解

由于函數(shù)是偶函數(shù)，則有/star3/origin/8dcfc01112fe3715799141fbfae03097.png

答案:解

由于

所以/star3/origin/c895c95639a489b2252a3a9d7d91b80d.png

答案:解

設(shè)，則，所以/star3/origin/1a306910a42b045ec54f618db75ded0a.png

答案:解/star3/origin/9491a785181eb249f236689def8a6c53.png

答案:解/star3/origin/d34c0996c6121c49e7ab4e8153d6f7ac.png

答案:解/star3/origin/0ffff2382f83b35dd9c9996cf9bdbeed.png

答案:解

方程兩邊對求導(dǎo)，得

.所以./star3/origin/05678c8263715d376b571b3edf130bd1.png

答案:解

所求面積為/star3/origin/7b0a9e49d1cd22ce2a5f382be94360a9.png

答案:解

如圖，曲線與的交點為，

，則所求面積為/star3/origin/32e496fc6d7bf52375f311180f736c10.png

答案:解

如圖，曲線與

的交點為，則

所求面積為/star3/origin/40addb1746b0dcbee7ceb5a639e102a8.png

答案:解

由于是瑕點，且，而，則瑕積分收斂./star3/origin/f0266c8a2e37ce864f003557f6c7a938.png

答案:解

如圖（i）圖形繞軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積為

（ii）圖形繞軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積為/star3/origin/448935f763cac1cf602018041cff9fc6.png

答案:解

由于的周期為，且當(dāng)時，.所以所求曲線段的弧長為/star3/origin/47d256b6f0a376c5ffe8939cc9fa62e7.png

答案:解

由于，則所求弧長為/star3/origin/b9ecdf153dc1c87b9edecfa298efd315.png

答案:解

由牛頓第一定律知：，其中是力，是質(zhì)量，是加速度.

依題意，質(zhì)點的速度為，加速度為，且，是比例常數(shù).所以，所求方程為./star3/origin/d2bb25eb3ea6ac69c247626f5bae7577.png

答案:解

設(shè)曲線為，則曲線上點處的切線方程為.當(dāng)時，；當(dāng)時，.所以，所圍三角形的面積為.故所求的微分方程為/star3/origin/fdd500e7656d739036c419995992d560.png

答案:解

由于

則所以函數(shù)是的解./star3/origin/9f0563cd2e965c7e19a2046aa2f1c4e9.png

答案:解

方程化為，兩邊積分，得.整理得方程的通解為.

又，代入得.所以，所求的特解為./star3/origin/4dd7132c97896cf8eec9f6d5a8723c34.png

答案:解

設(shè)則原方程化為.設(shè)，則，.所以方程轉(zhuǎn)化為

.

分離變量，有，兩邊積分，得

.即.將代入有.所以所求方程的通解為，其中為任意常