浙江省2023年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：特殊三角形 練習(xí)題

浙江省2023年中考備考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)特殊三角形練習(xí)題

一、單選題

1.（2022?浙江衢州?統(tǒng)考模擬預(yù)測）甲骨文是我國的一種古代文字，是漢字的早期形式，下列甲骨文中,

2.（2022?浙江金華??？家荒＃┈F(xiàn)實世界中，對稱現(xiàn)象無處不在，中國方塊字中有些也具對稱性，下列漢

字是軸對稱圖形的是（）

A.蘭B.溪C.日D.子

3.（2022?浙江臺州?統(tǒng)考二模）下列體育運動項目圖標(biāo)中，是軸對稱圖形的是（）.

4.（2022?浙江紹興?一模）將一張圓形紙片對折再對折，得到如下左圖，然后沿著虛線剪開，得到兩部分.其

中一部分展開后的平面圖形是（）

A.B.C.D.

5.（2022?浙江麗水?統(tǒng)考一模）5.（2022?浙江麗水?統(tǒng)考一模）

將一張正方形紙片按如圖步驟①②，沿虛線對折2次，然后沿圖③的虛線剪去一個角，展開鋪平后得到圖

④，若圖③中OC=5C,ZODC=30°,則四邊形ERS”與原正方形紙面積比為（）

A.；B.癢1C.-D.走

244

6.（2022?浙江衢州?統(tǒng)考一模）如圖，/ABC是一個銳角，以點A為圓心，適當(dāng)長度為半徑畫弧，交射線

于點D,E,若/ABC=35o,N3AD=30。，則,D4E的度數(shù)是（）

A.40°B.50°C.60°D.70°

7.（2022?浙江紹興?統(tǒng)考一模）如圖，在/LBC中，鉆=4（7,2。平分/"。交4。于點￡）,ZBDC=75°,

則/A等于（）

8.（2022?浙江金華?校聯(lián)考模擬預(yù)測）性質(zhì)"等腰三角形的三線合一”，其中所指的“線”之一是（）

A.等腰三角形底角的平分線B.等腰三角形腰上的高

C.等腰三角形腰上的中線D.等腰三角形頂角的平分錢

9.（2022?浙江臺州?統(tǒng)考中考真題）如圖，點。在AABC的邊8C上，點P在射線AD上（不與點A,。重

合），連接PB,PC.下列命題中，假命題是（）

12、

D

B

P

A.若AB=AC,ADIBC,則P3=PCB.若PB=PC,AD±BC,則AB=AC

C.若AB=AC,Z1=Z2,則尸3=PCD.若PB=PC,N1=N2,貝UAB=AC

10.（2022?浙江衢州?統(tǒng)考一模）如圖，在AABC中，高AD和BE交于點R添加下列哪個條件（），不

能使得之△8D尸.

B

A.BF=ACB.CD=FDC.440=45。D.ZCBE=60°

二、填空題

11.（2022?浙江臺州?統(tǒng)考一模）根據(jù)光學(xué)中平面鏡光線反射原理，入射光線、反射光線與平面鏡所夾的角

相等.如圖，dP是兩面互相平行的平面鏡，一束光線機通過鏡面。反射后的光線為小再通過鏡面/反

射后的光線為上光線機與鏡面a的夾角的度數(shù)為x°,光線”與光線上的夾角的度數(shù)為V.則x與y之間

的數(shù)量關(guān)系是.

12.（2022?浙江杭州?二模）如圖，把一張長方形紙片A8CD沿環(huán)折疊后，點C,。分別落在C',￡>'的位置

上，EC交于點G.已知NEFG=58。，那么/3￡G=_________度.

13.（2022?浙江衢州?統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知等腰三角形的一個外角為130。，則它的頂角的度數(shù)為.

14.（2022?浙江紹興.一模）等腰三角形一邊長為8,另一邊長為5,則此三角形的周長為.

15.（2022?浙江嘉興?統(tǒng)考中考真題）小曹同學(xué)復(fù)習(xí)時將幾種三角形的關(guān)系整理如圖，請幫他在橫線上—

填上一個適當(dāng)?shù)臈l件.

16.（2022?浙江紹興?統(tǒng)考中考真題）如圖，在AABC中，ZABC=40°,ABAC=80°,以點A為圓心，AC

長為半徑作弧，交射線出于點。，連接。，則NBCD的度數(shù)是.

三、解答題

17.（2022?浙江紹興.統(tǒng)考中考真題）如圖，在AABC中，ZABC=40°,/ACB=90。，AE平分NBAC交

于點E.P是邊BC上的動點（不與8,C重合），連結(jié)AP,將△APC沿AP翻折得△APD,連結(jié)。C,記

ZBCD=a.

AA

備用圖

(1)如圖，當(dāng)尸與E重合時，求a的度數(shù).

⑵當(dāng)P與E不重合時，記/BAD=0,探究a與/的數(shù)量關(guān)系.

18.(2022.浙江溫州.統(tǒng)考二模)如圖，在四邊形A8CD中，ZS4D=90°,AD//BC,DEIAC,垂足為

(1)求證：AABC義ADEA.

⑵若ZACB=40。，求NCDE的度數(shù).

19.(2022?浙江杭州?杭州育才中學(xué)校考模擬預(yù)測)如圖，AABC和ACDE都是等邊三角形，連接AD、BE,

AD與BE交于點F.

⑴求證=

(2)ZBFA=°.

20.(2022?浙江溫州?統(tǒng)考中考真題)如圖，3。是URC的角平分線，DE//BC,交A3于點E.

D

⑴求證：ZEBD=ZEDB.

（2）當(dāng)AB=AC時，請判斷8與ED的大小關(guān)系，并說明理由.

21.（2022?浙江寧波?統(tǒng)考二模）在6x8的正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的頂點稱為格點，已知線段A8,

其中點A在直線上.要求①僅用無刻度直尺；②保留畫圖痕跡.

—

AA

MNM\N

\\\\

BB

（圖1）(圖2)

（1）在圖1中，在直線上找到一點C,作便得/ACB=45。；

（2）在圖2中，在直線上找到一點E,作AABE,使得NEAB=NEBA.

22.（2022?浙江杭州?模擬預(yù)測）如圖，點C、F、E、B在同一直線上，點A、。分別在BC兩側(cè)，AB//CD,

BE=CF,ZA=ZD.

(1)求證：AB=DC；

(2)若AB=CE,ZB=30°,求ND的度數(shù).

23.（2022?浙江寧波?統(tǒng)考一模）圖1為科研小組研制的智能機器，水平操作臺為/,底座固定，高A8

為50cm,始終與平臺/垂直，連桿BC長度為60cm,機械臂CO長度為40cm,點、B,C是轉(zhuǎn)動點，AB,

3C與C。始終在同一平面內(nèi)，張角/ABC可在60。與120。之間（可以達到60。和120。）變化，CO可以繞

點C任意轉(zhuǎn)動.

（圖1）（圖2）

（1）轉(zhuǎn)動連桿BC,機械臂CD,使張角/ABC最大，且CD〃AB,如圖2,求機械臂臂端。到操作臺/的距

離DE的長.

（2）轉(zhuǎn)動連桿BC,機械臂CZ）,要使機械臂端。能碰到操作臺/上的物體則物體M離底座A的最遠距

離和最近距離分別是多少？

24.（2022?浙江溫州?統(tǒng)考二模）如圖是由54個邊長為1的小等邊三角形組成的網(wǎng)格，請按要求畫格點多

邊形（頂點均在格點上）.

圖1圖2

⑴在圖1中畫一個以A3為腰的44BC.

（2）在圖2中畫一個四邊形ABDE,使其中一條對角線長為4,且恰有兩個內(nèi)角為90。.

25.（2022?浙江衢州??？家荒＃┤鐖D，已知/MON=25。，矩形ABCD的邊BC在OM上，對角線ACXON.

（1）求NACD度數(shù)；

（2）當(dāng)AC=5時，求AD的長.（參考數(shù)據(jù)：sin25°=0.42；cos25°=0.91；tan25°=0.47,結(jié)果精確到0.1）

26.（2022.浙江舟山?統(tǒng)考二模）如圖，在RtAABC中，/C=90。，。是邊BC上一點，連接AD并延長至點

E,AD=DE,過點E作EfUBC于點孔連接8E.

E

⑴求證：AADC^AEDF.

(2)若BE=DE,AC=8,C￡)=4,求42的長.

27.(2022?浙江紹興?統(tǒng)考一模)如圖，海岸線上有兩座燈塔A,B,燈塔A位于燈塔8的正東方向，與燈

塔B相距8km.海上有甲、乙兩艘貨船，甲船位于燈塔B的北偏東30。方向，與燈塔8相距的8km的C處；

乙船位于燈塔A的北偏東15。方向，與燈塔A相距6伍m的。處.求：

(1)甲船與燈塔A之間的距離；

⑵兩艘貨船之間的距離.

28.(2022.浙江溫州.統(tǒng)考二模)如圖，在AAB。中，ZDAB^ZDBA,交AD的延長線于點C,

AELAC^BD的延長線于點E.

(1)求證：AADEQABDC.

(2)若CO=2AO=2,求AB的長.

29.(2022?浙江麗水?統(tǒng)考二模)圖，在5x5的方格紙中，線段A2的端點均在格點上，畫出一個AABC,

使AABC的面積為2,點C在格點上.

圖1圖2

(1)在圖1中，畫出"LBC為鈍角三角形.

(2)在圖2中，畫出“WC為直角三角形.

30.(2022?浙江金華?統(tǒng)考一模)如圖，在6x6的方格紙中，每個小正方形的頂點稱為格點，請僅用直尺分

別按要求畫出三個頂點都是格點的三角形(每小題只需畫一個).

（圖1）（圖2）

(1)在圖1中畫△48。，使

（2）在圖2中畫△ABC,使48=石8（7,且/ACB=90。.

31.(2022?浙江麗水?統(tǒng)考一模)己知：如圖，在AABC中，于點。，E為AC上一點，且3尸=AC,

DF=DC.

A

BDC

⑴求證：VBDFmADC；

(2)已知AC=5,DF=3,求AF的長.

32.(2022?浙江溫州?統(tǒng)考一模)如圖，在五邊形ABCDE中，/B=NE=90°,BC=DE,連接AC,AD,

ZACD=ZADC.

D

(1)求證：△TWC/△AED.

(2)若AC"DE,ZACD=65°,求/BAE的度數(shù).

33.(2022?浙江嘉興?一模)已知：如圖，以線段AC為邊在兩側(cè)分別作鈍角三角形A8C和鈍角三角形4DC,

其中NACB和NAC。為鈍角，且NBAC=NZMC,BC=DC.求證：NB=ND.小明的證明過程如下框：

證明：在AABC和△ADC中

AC^AC

<ABAC=ADAC

..[BC=DC

：,AABC名△ADC

NB=ND

小明的證法是否正確？若正確，請在框內(nèi)打“卡；若錯誤，請寫出你的證明過程.

參考答案:

1.D

【詳解】A.是軸對稱圖形，故本選項錯誤；

B.是軸對稱圖形，故本選項錯誤；

C.是軸對稱圖形，故本選項錯誤；

D.不是軸對稱圖形，故本選項正確.

故選D.

2.C

【分析】根據(jù)軸對稱圖形的性質(zhì)判斷即可.

【詳解】由題可知，"日''字是軸對稱圖形，故C正確；

故選：C.

【點睛】本題主要考查了軸對稱圖形的判定，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)準(zhǔn)確判斷是解題的關(guān)鍵.

3.D

【分析】根據(jù)軸對稱的定義進行判斷，若一個圖形沿著某條直線折疊，直線兩邊的部分能夠完全重合，則

該圖形為軸對稱圖形.

【詳解】解：選項D為軸對稱圖形.

故選：D.

【點睛】本題考查了軸對稱，解題的關(guān)鍵是充分理解軸對稱圖形概念.

4.C

【分析】嚴(yán)格按照圖中的方法親自動手操作一下，即可很直觀地呈現(xiàn)出來，也可根據(jù)折痕形成的對角線特

點進行判定.

【詳解】根據(jù)題意知，剪去的紙片一定是一個四邊形，且對角線互相垂直平分.

故選C.

【點睛】本題主要考查學(xué)生的動手能力及空間想象能力，以及菱形的判定.掌握“對角線互相垂直平分的

四邊形是菱形”是解題關(guān)鍵.

5.D

【分析】設(shè)原正方形的邊長為a,根據(jù)圖3中OC=BC,ZC?r>C=30°,得到圖④中的圖形中的線段關(guān)系，

求出四邊形EFG”的面積，即可求解.

【詳解】根據(jù)圖示的方法折疊可知四邊形跳GH為菱形，

:圖③中OC=8C,ZODC=30°,

故在圖④中，可知G為OQ中點，ZOHG=30°,

設(shè)原正方形的面積為a,則PQ=a,S正方形MNQP=22,

故。

OG=1OQ=@a,EG=2OG=3a

242

,/ZOHG=30°

/.HG=20G=乎a,0H=^HG2-OG2=^-a

；.HF=20H="a

2

S四邊形EFGH=^-EGxHF=^a2,

24

.??四邊形EFG”與原正方形紙面積比為3a?：a2=1,

44

故選D.

【點睛】此題主要考查菱形的面積解，解題的關(guān)鍵是熟知折疊的性質(zhì)及含30。的直角三角形的性質(zhì)及菱形

的面積公式.

6.B

【分析1先根據(jù)三角形的外角性質(zhì)可得ZADE=65°,再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得ZAED=ZADE=65°,

然后根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可得.

【詳解】解：,??NA2C=35O,/BAO=30。，

ZADE=ZABC+ZBAD=65°,

由作圖可知，AD=AE,

ZAED=ZADE=65°,

/DAE=180°-ZAED-ZADE=50°,

故選：B.

【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)等知識點，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)是解題

關(guān)鍵.

7.B

【分析】首先根據(jù)角平分線的定義，可得再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理,

可求得/OBC=35。，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)，即可求得.

【詳解】解：是NABC的平分線，

NABD=/DBC,

'：AB=AC,

：./ABC=/ACB=2NDBC,

'：ZDBC+ZACB+ZBDC=180°,ZBDC=75°,

：.3ZDBC+75°=180°,

：.ZDBC=35°,

：.ZABD=35°,

：.ZBAC=ZBDC-ZABD=75°-35°=40°,

故選：B.

【點睛】此題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理及三角形外角的性質(zhì)，結(jié)合圖形準(zhǔn)確找到

相關(guān)角的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵.

8.D

【分析】根據(jù)在等腰三角形中，頂角的角平分線，底邊的中線，底邊的高線，三條線互相重合對各選項進

行判斷即可.

【詳解】解：等腰三角形中三線合一，即在等腰三角形中頂角的角平分線，底邊的中線，底邊的高線，三

條線互相重合.

故選D.

【點睛】本題考查了等腰三角形三線合一的性質(zhì).解題的關(guān)鍵在于熟練掌握三線合一中的三線分別指頂角

的角平分線，底邊的中線，底邊的高線.

9.D

【分析】根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)證明尸。是否是的垂直平分線，判斷即可.

【詳解】因為A8=AC,且得AP是的垂直平分線，所以PB=PC,則A是真命題；

因為PB=PC,且AD_LBC,得AP是的垂直平分線，所以AB=AC,則B是真命題；

因為AB=AC,且N1=N2,得AP是BC的垂直平分線，所以P2=PC,則C是真命題；

因為PB=PC,ABCP是等腰三角形，Z1=Z2,不能判斷AP是BC的垂直平分線，所以A8和AC不一定

相等，則D是假命題.

故選：D.

【點睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)和判定，掌握性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.

10.D

【分析】根據(jù)已知條件可得NA￡>C=NBD產(chǎn)=90。，可得"班'=NZMC,則再添加一條邊相等即可證明

△ADOSABD尸，根據(jù)選項逐項分析判斷即可求解.

【詳解】解：：在“1BC中，AD和BE是2cAe邊上的高，

；.ZADC=NBDF=90。,

：.ZDBF=90°-ZC=ZDAC,

/DBF=NDAC,

A、添力口BF=AC,根據(jù)AAS即可證明△AOC名故該選項正確，符合題意；

B、添加C￡>=FD,根據(jù)AAS即可證明AWC名△BDF,故該選項正確，符合題意；

C、添加440=45。,則△鈿￡）是等腰直角三角形，貝1」9=人￡>,根據(jù)ASA即可證明△ADC短尸，

故該選項正確，符合題意；

D、添加NCFE=60。，不能得到邊相等，無法證明△ADC名△BDF,故該選項不正確，不符合題意.

故選D.

【點睛】本題考查了三角形全等的性質(zhì)與判定，等腰直角三角形的性質(zhì)與判定，掌握全等三角形的性質(zhì)與

判定是解題的關(guān)鍵.

11.2x+y=180

【分析】根據(jù)平面鏡光線反射原理和平行線性質(zhì)即可求得.

【詳解】解：???入射光線、反射光線與平面鏡所夾的角相等，

...反射后的光線力與鏡面a夾角度數(shù)為x。，

：a,4是兩面互相平行的平面鏡，

二反射后的光線w與鏡面/夾角度數(shù)也為無。，

又由入射光線、反射光線與平面鏡所夾的角相等，

反射后的光線人與鏡面月的夾角度數(shù)也為X。，

.,.x°+x°+y°=180°,

2x+y=180.

故答案為：2x+y=180.

【點睛】本題考查了平面鏡光線反射原理和平行線性質(zhì)，掌握反射光線與平面鏡所夾的角相等以及兩直線

平行內(nèi)錯角相等是解題的關(guān)鍵.

12.64

【分析】由題意得AO〃8C,可得/CEF=/EFG=58°,由折疊的性質(zhì)可知NGEF=/CEF=58。，再由鄰補

角的性質(zhì)，即可求解.

【詳解】解：根據(jù)題意得：AD//BC,

/CEF=/EFG=58°,

由折疊的性質(zhì)得：ZGEF=ZCEF=58°,

：.NBEG=18Q0-ZFEC-ZGEF=180°-58°-58°=64°.

故答案為：64°.

13.50°或80。

【分析】等腰三角形的一個外角等于130。，則等腰三角形的一個內(nèi)角為50。，但已知沒有明確此角是頂角

還是底角，所以應(yīng)分兩種情況進行分類討論即可得.

【詳解】???等腰三角形的一個外角為130。，

...與130。相鄰的內(nèi)角為50。，

當(dāng)50°為頂角時，其他兩角都為65。、65。，

當(dāng)50°為底角時，其他兩角為50。、80。，

所以等腰三角形的頂角為50?；?0。，

故答案為50。或80。.

【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理，在解決與等腰三角形有關(guān)的問題，由于等腰

所具有的特殊性質(zhì)，很多題目在已知不明確的情況下，要進行分類討論，才能正確解題.

14.18或21

【詳解】當(dāng)腰為8時，周長為8+8+5=21；

當(dāng)腰為5時，周長為5+5+8=18.

故此三角形的周長為18或21

故答案為18或21.

15.ZA=60°（答案不唯一）

【分析】利用等邊三角形的判定定理即可求解.

【詳解】解：添加/A=60。，理由如下：

?.?△至。為等腰三角形，

.?△ABC為等邊三角形，

故答案為：ZA=60。（答案不唯一）.

【點睛】本題考查了等邊三角形的判斷，解題的關(guān)鍵是掌握三角形的判斷定理.

16.10°或100°

【分析】分兩種情況畫圖，由作圖可知得AC=AD,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理解答即可.

【詳解】解：如圖，點。即為所求；

在AABC中，ZABC=40°,ZBAC=80°,

ZACB=180°-40°-80°=60°,

由作圖可知：AC=AD,

ZACD=ZADC=-(l80°-80°)=50°,

2

.-.ZBCD=ZACB-ZACD=60°-50°=10°；

由作圖可知：AC=AD,

:.ZACD=ZADC,

■.■ZACD+ZADC=ZBAC=80P,

:.ZADC=4Q°,

Z.BCD=180°-ZABC-ZADC=180。-40。-40。=100°.

綜上所述：/BCD的度數(shù)是10?；?00°.

故答案為：10°或100°.

【點睛】本題考查了作圖-復(fù)雜作圖，三角形內(nèi)角和定理，等腰三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握

基本作圖方法.

17.(1)25°

⑵①當(dāng)點P在線段BE上時，2a-^=50°；②當(dāng)點P在線段CE上時，2a+/3=50°

【分析】（1）由/B=40。，ZACB=90°,得/8AC=50。，根據(jù)AE平分NBAC,P與E重合，可得/ACD,

從而a^ZACB-ZACD；

（2）分兩種情況：①當(dāng)點尸在線段上時，可得NAOC=NACD=90o—a,根據(jù)/AZJC+N8AO=

+ZBCD,即可得2a-W=50。:②當(dāng)點尸在線段CE上時，延長AD交BC于點E由ZADC=ZACD=90°-a,

/A。C=/AFC+a=NABC+/BA。+a可得90。-a=40。+a+S，即2a+￡=50°.

【詳解】（1）解：；N（=40。,ZACB=90°,

：.ZBAC=50°,

:尸與E重合，AE平分N2AC,

二。在A8邊上，AELCD,

：.NACD=65°,

，ct=ZACB-ZACD=25°；

(2)①如圖1,當(dāng)點P在線段BE上時,

圖1

"?ZADC=ZACD=90°-a,ZADC+NBAD=ZB+/BCD,

，90°—a+￡=40°+a,

；.2a—￡=50。；

②如圖2,當(dāng)點尸在線段CE上時，

圖2

延長交8C于點R

,/NAOC=ZACD^90°-a,ZADC^ZAFC+a^ZABC+ZBAD+a^4Q°+a+/3,

，90°—a=40°+a+￡,

；.2a+[=50°.

【點睛】本題考查三角形綜合應(yīng)用，涉及軸對稱變換，三角形外角等于不相鄰的兩個內(nèi)角的和的應(yīng)用，解

題的關(guān)鍵是掌握軸對稱的性質(zhì)，能熟練運用三角形外角的性質(zhì).

18.⑴見解析

(2)20°

【分析】(1)根據(jù)AD〃3C,可得NABC=90。，ZDAE=ZACB,再由=即可求證；

(2)根據(jù)△ABC四△DE4,可得AO=AC,ZZMC=ZACB=40°,從而得到NADC=70。，即可求解.

【詳解】(1)證明：：AD〃3C,ZBAD=90°,

ZABC=90°,ZDAE=ZACB,

DE1AC,

ZAED=ZABC=90°

9：DE=AB,

：.Z\ABC^Z\DEA；

(2)解：VAABC^ADEA,

AD=AC,NDAC=Z.ACB—40°,

???ZADC=ZACD,

：.ZADC=10°,

9：DE.LAC,

：.ZADE+ZDAC=90°,

：.ZADE=50°9

：.ZCDE=20°.

【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

19.(1)見解析

(2)60

【分析】(1)由“SAS”可證VACC^V5C￡,可得AD=5￡；

(2)由全等三角形的性質(zhì)可得NCB^=NC4D,由三角形內(nèi)角和定理可求解.

【詳解】(1):△ABC和△CDE都是等邊三角形，

AAC=BC,CD=CE,ZACB=ZECD=6O°,

：.ZACB+ZACE=/ECD+ZACE,

即ZACD=ZBCE,

在ziACD和"(主中，

AC=BC

</ACD=/BCE

CD=CE

：.AACD^ABCE(SAS),

：.AD=BE.

(2)VACD^VBCE,

:.ZCBE=ZCADf

「ZABF+ABAF+ABFA=l^,

：.ZABF+ABAC+ACAD+ABFA=180°,

ZABC+ABAC+ZBFA=180°,

：.ZBFA=60°9

故答案為：60.

【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，證明VACDA5CE

是本題的關(guān)鍵.

20.⑴見解析

⑵相等，見解析

【分析】（1）利用角平分線的定義和平行線的性質(zhì)可得結(jié)論；

（2）利用平行線的性質(zhì)可得NADE=NA￡D,則AD=AE,從而有CD=BE,由（1）得，NEBD=NEDB,

可知BE=DE,等量代換即可.

【詳解】（1）證明：???BD是AABC的角平分線，

ZCBD=ZEBD.

,:DE〃BC,

：.NCBD=/EDB,

工ZEBD=ZEDB.

（2）CD=ED,理由如下：

AB=AC,

：.ZC=ZABC.

DE//BC,

：.ZADE=NCZAED=ZABC,

:.ZADE=ZAED,

***AD=AE,

AAC-AD=AB-AE,即CD=BE.

由（1）得乙EBD=NEDB,

：.BE=ED,

：.CD=ED.

【點睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的定義等知識，熟練掌握平

行與角平分線可推出等腰三角形是解題的關(guān)鍵.

21.⑴見解析;

（2）見解析

【分析】⑴過點2作于點。，再在點。的右側(cè)的MN上取一點C,使OC=OB,點C即為所求的

點；

(2)作線段AB的垂直平分線交MN于點、E,點、E即為所求的點.

(1)

解：如圖：點C即為所求的點

【點睛】本題考查了復(fù)雜作圖，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是利

用數(shù)形結(jié)合思想解決問題.

22.(1)見解析；(2)75°.

【分析】(1)由兩直線平行，內(nèi)錯角相等得到/B=NC,繼而證明△ABF絲(A4S),據(jù)此解題；

(2)由(1)AABF咨Z\CDE得,AB=CD,BF=CE,證明△A8尸是等腰三角形，再根據(jù)三角形內(nèi)角和

180。解題.

【詳解】證明：(1)VAB//CD,

"：BE=CF,

：.BF=CE,

在△48尸和4COE中,

ZA=ZZ)

<ZB=ZC,

BF=CE

:?△ABFQXCDE(AAS),

：.AB=CD；

(2)VAABF^ACDE,

：.AB=CD,BF=CE,

9：AB=CE,ZB=30°,

：.AB=BF,

：.ZA=ZAFB,

???△AB尸是等腰三角形，

...=180。；二)(igo。_30。)=75。,

：.ZD=ZA=15°.

【點睛】本題考查平行線的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、三角形內(nèi)角和的

應(yīng)用等知識，是重要考點，難度較易，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵.

23.(l)Z)E=40cm

(2)最遠距離50V3cm,最近距離106cm

【分析】(1)延長CD交/于點過點B作5CD,垂足為足解MABCR求出CF長，即可求解；

(2)如圖，當(dāng)B、C、2共線，物品M離底座A最遠，距離為A。，解放△A5。],求出AQ長；過點C

作CG，/,垂足為G,解及ACGD],求出。G長，再利用等腰三角形性質(zhì)，得。2G的長，從而可求出AQ

即可求解.

(1)

解：延長CD交/于點過點3作5尸，CD,垂足為足

*：CD//AB,ABU,

：.CD±l.

.,?四邊形為矩形，

：.EF=AB=5Qcm.

又?:ZABC=120°,

：.ZCBF=30°.

：.CF=-BC=-x60=30(cm).

22

DE=EF+CF-C￡>=50+30-40=40(cm).

答：機械臂臂端D到操作臺I的距離DE的長為40cm；

(2)

如圖，當(dāng)8、C、口共線，物品M離底座A最遠，距離為AR,

*.*BC=60cm,CDX=40cm,

BD尸BC+CDi=l00cm,

VAB=50cm,

/.AD]=-AB2=V1002-502=50#>(cm).

/.=g%，

NA￡)/B=30°,即ZB=60°,

如圖，當(dāng)/B=60。，C2=40cm時，物品/離底座A最近，距離為A&.

CD1=CD2=40cm,

/CDQ2=/CD?Di=30°.

過點。作CG，/,垂足為G,

/.CG=gCD尸20cm,

22

???D2G=D1G=QCD；_CG?=V40-20=2073(cm).

DID2=DIG+D2G=40Gcm,

g=*-DR=50A/3-40月=10V3cm.

答：物體M離底座A的最遠距離和最近距離分別是50檔cm和1073cm.

【點睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，結(jié)合題中條件，添加適當(dāng)?shù)妮o助線，構(gòu)造恰當(dāng)直角三角形是解題

的關(guān)鍵.

24.⑴作圖見解析

(2)作圖見解析

【分析】(1)根據(jù)等腰三角形的特征進行作圖即可；

(2)以A或2為固定點，先確定其中一條對角線長為4時的對應(yīng)點，再根據(jù)其中恰有兩個內(nèi)角為90。進行

作圖即可.

【詳解】(1)解：畫法不唯一，如圖1或圖2

/X/\/\Z\:、、：、P；、、：、、

AW\A卜2、、N—

齊??〉

、，

-,、，

?

7X4七工變一△.，'

圖1圖2

(2)解：畫法不唯一，如圖3、圖4、圖5、圖(5、圖7或圖8

甲————K———人

<■——TT——H/、、，9\、，?\、，，、、

_X，、-----，U、----八X___>

/\/fc\z\

可理沁

圣端浮與縣箔,，V

N/、八，丁

'、心七工絲』:、.，''，心逸4

圖3圖4圖5

/?WA

'埒/、?、?、,、滂?、/、號?、，、'、?、?\?\

JF:、E，、，、，、，、?、，G，、，、

番八

噫英東y

蹙方注7

—上心交心/

圖6圖7圖8

【點睛】本題考查了作圖，解題的關(guān)鍵是找準(zhǔn)作圖的突破口,再根據(jù)題目要求進行作圖.

25.(1)25°;(2)2.1.

【詳解】試題分析：(1)延長AC交ON于點E,如圖，利用互余計算出NOCE=65。，再利用對頂角相等

得到NACB=NOCE=65。，再根據(jù)NACD=9（r-NACB即可解決問題；

（2）接著在RtAABC中利用NACB的余弦可計算出BC,然后根據(jù)矩形的性質(zhì)即可得到AD的長.

試題解析：（1）延長AC交ON于點E,如圖，

JZOEC=90°,

在RtAOEC中,

0=25。，

???ZOCE=65°,

.,.ZACB=ZOCE=65°,

JZACD=90°-ZACB=25°

(2),??四邊形ABCD是矩形，

AZABC=90°,AD=BC,

在RtAABC中，VCOSZACB=4S，

AC

.,.BC=AC-cos65°=5x0.42=2.1,

???AD=BC=2.1.

26.⑴見解析

(2)4713

【分析】（1）由“A45”可證AADCMAED產(chǎn)；

（2）由全等三角形的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)可求8=AF=8尸=4,由勾股定理可求解.

【詳解】（1）證明：在A4DC和AEDF中，

ZADC=ZEDF

<ZACD=ZEFD=90°,

AD=DE

/.AADC=^EDF(AAS)；

(2)?:砧DC三KEDF,

：,CD=DF=4,

-.DE=BE,EFIBC,

,-.DF=BF=4,

:.BC=12,

AB=\lAC2+BC2=A/64+144=4而?

【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，證明三角形全等是解題的

關(guān)鍵.

27.(l)8km

(2)2>/10km

【分析】(1)連接AC,可得"RC為正三角形，即可得出答案；

(2)過C作于點H,可得出AAS為等腰直角三角形，再利用勾股定理即可得出答案;

【詳解】(1)解：如圖，連接AC.

?..甲船位于燈塔B的北偏東30。方向

ZABC=60°

VAB=AC=8,ZABC=60°,

.??△ABC為正三角形，

AC=AB=8km,

即甲船與燈塔A之間的距離為8km.

(2)解：過C作CH_LAT>于點

,/za4c=60。，

/.ZCAH=300+15°=45°,

.?.△AS為等腰直角三角形.

AC=8,

AH=CH=40,

又AD=6>/2,

DH=66-4叵=2日

22(『+僅近了=

CD=y]CH+DH=J402A/10.

兩艘貨船之間的距離為2Mkm.

【點睛】此題考查了解直角三角形的應(yīng)用-方向角問題，等邊三角形，勾股定理.作出輔助線構(gòu)造直角三

角形是解題的關(guān)鍵.

28.⑴見解析

(2)6

【分析】(1)通過垂直的定義和對頂角相等進行角度轉(zhuǎn)化，再利用“AS4”得出兩個三角形全等；

(2)根據(jù)斜邊是短直角邊長度兩倍得出NCDB=60。，再求NADB的度數(shù)，從而得出AB的長度.

【詳解】(1)'：BD±BC,AE±AC,

：.ZDAE^ZDBC^9Q0.

?：NDAB=/DBA,

：.AD^BD,

'：ZADE=ZBDC,

：.AADE^/\BDC(ASA)

(2)'：CD=2AD=2,

.".BD=AD=1,

ZDBC=90°,

AZC=30°,BC=VCD2-BD2=>/22-12=V3,

：.ZBDC=6Q°,/DAB=/DBC

：.ZDAB=ZC=30°,

：.AB=BC=4i，

.?.AB的長為班.

【點睛】本題考查了三角形的全等的判定、30。直角三角形特征，掌握這些結(jié)論是解決本題的關(guān)鍵.

29.⑴見解析

(2)見解析

【分析】(1)根據(jù)三角形面積公式，當(dāng)AC=4,8到AC的距離為1時，符合題目要求;

(2)以AB為直徑作圓，其中由勾股定理得C4=&，CB=2V2，48=JQ，由勾股定理的逆定理可得

△ABC是直角三角形，再根據(jù)三角形面積公式計算可得=2,因此圖2中AABC即為所求.

(1)

圖1

由圖知：AC=4,8到AC的距離為1,

?*,\ABC=—x4xl=2,

...AABC即為所求.

(2)

圖2

由圖知：AC=712+12=V2>BC=V22+22=2>/2