2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)數(shù)列中的構(gòu)造問題（學(xué)生版）

培優(yōu)點07數(shù)列中的構(gòu)造問題（3種核心題型+基礎(chǔ)保分練+綜

合提升練+拓展沖刺練）

D1【考試提醒】

數(shù)列中的構(gòu)造問題是歷年高考的一個熱點內(nèi)容，主、客觀題均可出現(xiàn)，一般通過構(gòu)造新的

數(shù)列求數(shù)列的通項公式.

唱【核心題型】

題型一形如即+i=p〃〃+/00型

形式構(gòu)造方法

an+1=pan+q引入?yún)?shù)C,構(gòu)造新的等比數(shù)列｛斯一C｝

1=P^n+9川十。引入?yún)?shù)X,y,構(gòu)造新的等比數(shù)列｛源+切+歹｝

［a］

1—pa〃+q"兩邊同除以夕〃+1,構(gòu)造新的數(shù)n列j

命題點1gW。）

【例題1】（2024?河南?模擬預(yù)測）已知數(shù)列｛%｝滿足一L=：1+：,且出=），則％。u=

an+\$%J4

（）

3IOU21010

B，4而

【變式1］（2024?天津河西三模）若數(shù)列｛%｝滿足則稱｛。,｝為《對奇數(shù)列”.已

知正項數(shù)列也,+1｝為"對奇數(shù)列"，且4=2,則與24=（）

20232024

A.2x32°23B.2c.2D.22025

【變式2］（2022?廣西柳州?三模）已知數(shù)列｛%｝的首項％=1,其前〃項和為E,,若

S,用=2S“+1,則為=.

【變式3］（23-24高三?山東青島?期末）已知數(shù)列｛%,｝的前九項和為邑，％=2,

a,+i=S”+2?

（1）求數(shù)列｛%｝的通項公式;

]3

（2）設(shè)d=,記數(shù)列｛a｝的前〃項和為q,證明看＜“

log2a?-log2a?+2

命題點2a?+1=pa?+qn+c（p^O,l,qNO）

【例題2】（2023?河南鄭州?模擬預(yù)測）在數(shù)列｛%｝中，％=1,?=9,%+2=3%+1-2%-10,則

｛對｝的前〃項和S"的最大值為（）

A.64B.53C.42D.25

【變式1］（20-21高三上?天津濱海新?期中）已知數(shù)列｛%｝滿足％=0,an+l=a?+2n-l,則

數(shù)列｛4｝的一個通項公式為（）

234

A.an=n-lB.an=（M-1）C.an=（n-1）D.an=（M-1）

【變式2】Q024?寧夏石嘴山?三模）已知數(shù)列｛%｝的前，項和為邑，若%=1,見+“用=2〃+1,

則幾=.

【變式3］（2024?湖南邵陽?一模）已知數(shù)列｛%｝的首項為2M+%M=2"+l（〃eN*）,則

“10-?

命題點3a?+1=pa?+q"(p^O,l,夕WOJ)

【例題3】（2022?河南?模擬預(yù)測）在數(shù)列｛%｝中，若％=2,。用=32+2向，則%=（）

51

A.n-2nB.----------

22〃

C.2?3〃一2〃+1D.4?3〃T—2〃+I

【變式1](2024?湖南永州?三模)已知非零數(shù)列｛%｝滿足2%用-2"+2a“=0,則詠=

“2021

()

A.8B.16C.32D.64

【變式2】2024?四川南充?二模）已知數(shù)列｛。,｝,滿足q=1,且anan+i=2"，貝|%.

【變式3］（23-24高三上?湖南婁底?期末）已知數(shù)列｛%｝滿足的=2,凡-a用=2",則可。的值

為.

題型二相鄰項的差為特殊數(shù)列（形如%+i=p%+q%-i）

可以化為恁+l—XIQ“=X2（Q“一1）,其中修，工2是方程N—/一9=0的兩個根，若1是

方程的根，則直接構(gòu)造數(shù)列｛Q〃一斯_1｝,若1不是方程的根，則需要構(gòu)造兩個數(shù)列，采取消

元的方法求數(shù)列｛。〃｝

【例題4】（22-23高三上?湖北?階段練習(xí)）己知S”是數(shù)列｛%｝的前〃項和，且％=4=1,

an=2a?_x+3an_2（H>3）,則下列結(jié)論正確的是（）

A.數(shù)列為等比數(shù)列B.數(shù)列｛“向+2%｝為等比數(shù)列

C.S=^（320-l）31+（-廣

40D.

2

【變式1］（2024?山西晉中?模擬預(yù)測）若數(shù)列｛%｝滿足％=1,2=4,且對任意的

—1111

及wN（〃22）者口有％討_2%+%_］=2,則^~-+—T+-~7+??-+-----7=（）

3If11）1012

42120232024J2024

31f1111012

42120242025J2025

【變式2］（2024高三?全國?專題練習(xí)）己知數(shù)列

｛見｝,%=1,2=2,an+i-5an+4an_i=0（?eN,,?>2）,則｛%｝的通項公式為.

【變式3］（23-24高三上?四川?階段練習(xí)）在數(shù)列｛%｝中，%=1,g=2,a向=3%-2a,i

（〃22,〃eN*）.設(shè)6“=%+]-%.

⑴求證：數(shù)列也｝是等比數(shù)列;

⑵設(shè)，記數(shù)列｛?！埃那啊椇捅?，求證：T<\.

U+2）,力（2+i）n

題型三倒數(shù)為特殊數(shù)列（形如-+1=與二型）

\ran~rsI

1sir1

兩邊同時取倒數(shù)轉(zhuǎn)化為一=一一十一的形式，化歸為與+1=夕與+9型，求出一的表達(dá)式,

an+\panpan

再求an.

【例題5】（2022?浙江?模擬預(yù)測）數(shù)列｛為｝滿足。用=^^（"eN*）,%=1,則下列結(jié)論

錯誤的是（）

211\~

A.一二一+—B."勺卜是等比數(shù)列

。10。3。17

C.［ln-\）an=\D.3a5%7=。49

【變式1］（23-24高三上?山東青島?期末）設(shè)數(shù)列｛%｝的前〃項和為S”，已知

12a

%=不，?！?1=一若1#）,則正整數(shù)上的值為（）

/an+1

A.2024B.2023C.2022D.2021

43aV

【變式2］（2021?全國?模擬預(yù)測）已知數(shù)列｛%｝滿足%=%+i=F，若c“=一,則

a

2。〃+Jn

。*2+…+C“=.

,.48〃

【變式3］（2024?全國?模擬預(yù)測）已知數(shù)列｛?！保氖醉椙覞M足

3a〃十4

⑴求證：數(shù)列｛4｝是等比數(shù)歹U；

n（、

⑵記C”=7+",求數(shù)列｛c,｝的前"項和sn.

1【課后強化】

【基礎(chǔ)保分練】

一、單選題

1.（2022高三上?河南?專題練習(xí)）已知各項均為正數(shù)的數(shù)列｛a?｝滿足a?+1-2n=a?+2〃（"eN*）,

且為>0.若當(dāng)且僅當(dāng)力=3時，”取得最小值，且sin（J%）=0,則符合條件的實數(shù)為組成的

n2

集合中的元素個數(shù)為（）

A.3B.4C.5D.6

2.（2022?全國?模擬預(yù)測）已知數(shù)列｛%｝滿足6=1,記也,='+1，若存在

%'an

m,〃eN*,使得10g，d+10g,"=6,則迦丑的最小值為（）

mn

8101114

A.—B.—C.—D.—

3345

3.（2023?陜西商洛?模擬預(yù)測）已知數(shù)列｛%｝的前”項和為S.,a,=-l,an+l+an=2n+l,

若$向+邑=2399,則〃=（）

A.48B.49C.50D.51

4.（23-24高三上?河北?階段練習(xí)）在數(shù)列｛%｝中，6=1,an+l=a^-3an+t,且%V2,貝|

實數(shù)f的最大值為（）

A.4B.5C.4-\/2D.6

二、多選題

5.（2023?全國?模擬預(yù)測）已知數(shù)列｛。“｝的前〃項和為S",滿足%=La〃+i=2z”+”,則下列

判斷正確的是（）

A.邑=11B.a4=19C.Ss=721D.a9=758

6.（2023?遼寧朝陽?一模）已知數(shù)列｛%｝滿足%=1,且%+1=等工，力eN*,則下列說法正

+1

確的是（）

A.數(shù)列｛%｝為遞減數(shù)列B.0<^<1

fl11

C.陽￡7T，=D.—<Wo<—

101^87J115010

三、填空題

7.Q022?湖南益陽?一模）已知數(shù)列｛%｝中，%=1,%+1=7-一，若"=-7，則數(shù)列入｝

2ana,-L

的前〃項和S“=.

8.（2023?陜西漢中?一模）已知數(shù)列｛%｝滿足：%+]=3%+3用，若%=3,則｛%｝的通項公

式為?

9.（23-24高三下?湖北?階段練習(xí)）已知數(shù)列｛%｝中，^=-,%+1=丁=，〃eN*,則

｛a?an+1｝的前"項和邑=.

四、解答題

10.（2024?陜西西安?二模）已知數(shù)列｛%｝的前"項為S"，an=2n+l,數(shù)列｛4｝為等比數(shù)列,

且出+仇=9,S10+b3=128.

(1)求數(shù)列也｝的通項公式；

(2)設(shè)c?=a?-bn,求數(shù)列｛g｝的前n項和Mn.

11.(2024?全國?模擬預(yù)測)已知數(shù)列｛%｝滿足卬=2,an+1=2an+n.

⑴求證｛%+〃+1｝是等比數(shù)列，并求｛?！埃耐椆?；

(2)設(shè)=，求證：cx+c2-\---\-cn<\.

an+n

【綜合提升練】

一、單選題

L(2023?四川瀘州?三模)已知數(shù)列｛%｝滿足。角=24+2,%=1,則此數(shù)列的通項公式為

()

[l,n=lfl,n=1

A.??=<ciB.a=

[3x2,n>2n[3,n>2

n

C.%=3X2〃T—2D.an=3-2

,、2

2.2023?河南鄭州?模擬預(yù)測)已知數(shù)列｛%｝各項均為正數(shù)，q=3,且有4+產(chǎn)3-—，貝|J%二

an

()

13411

A.-------B.——C.4-----------D.-------+2

2"-l2"-l2"-l2"-l

3.（2023?云南紅河?一模）已知數(shù)列｛〃“｝滿足：ax=9,an+l-an=2n,則%=（）

A.21B.23C.25D.27

+8〃+5

4.（2021?四川綿陽?模擬預(yù)測）設(shè)數(shù)列｛%｝滿足q=3,〃用=3%-4〃，若bn=---------,

%?！?1

且數(shù)列出｝的前〃項和為S”，則（）

L2、42nJ1）L2）

A.n\1---B.-+--------C.n\1+--D.n\1+-~~-

6n+9）36n+9<6n+9Jv6n+9J

5.（22-23高三上?黑龍江哈爾濱?期末）若數(shù)列｛%｝滿足。用=/匚（%*0且

則冬山與詠土L的比值為（）

。2023。2022

11

A.-B.-C.2D.3

32

6.（2024?廣東茂名?一模）數(shù)列｛%｝滿足%=8,。向=看片（〃eN*）,

,若數(shù)列｛4｝是遞減數(shù)列，則實數(shù)X的取值范圍是（）

A?1*[B.1*]C.與+jD.

7.（2023?四川?模擬預(yù)測）在數(shù)列｛%｝中，VneN\且2<%<3,則下列結(jié)

論成立的是（）

A.。2022<。2020B.。2020+“2022>“2021+“2023

C?“2022+“2023<2“2021D.。2023>“2021

,、33a

8.（23-24高三上?江蘇鹽城?階段練習(xí)）已知數(shù)列｛〃/的首項1=y,且%+1=二二，

-+—+—<2025,則滿足條件的最大整數(shù)〃=（）

%a2an

A.2022B.2023C.2024D.2025

二、多選題

9.（21-22高三上?山東聊城?期末）已知數(shù)列｛%｝滿足4=1,%+1=瓷7，則下列結(jié)論正確

的有（）

川為等比數(shù)列

A.

B.｛%｝的通項公式為

C.｛%｝為遞增數(shù)列

的前"項和北=2"2—3〃一4

10.（2023?重慶?模擬預(yù)測）已知數(shù)列｛%｝滿足％=a；-3%+4,q=4,〃eN*,則下列結(jié)

論正確的有（）.

A.數(shù)列｛?！埃沁f增數(shù)列a>4-2"-1

^log2(?,.-2)<2--l

1=1

n.（2024?全國?模擬預(yù)測）已知數(shù)歹U｛%｝滿足。角=。；-2g+2,則下列說法正確的是

（）

A.當(dāng)％=；時，（〃上2）B.若數(shù)列｛對｝為常數(shù)列，則g=2

C.若數(shù)列｛4｝為遞增數(shù)列，貝Uq>2D.當(dāng)%=3時，a?=22n-'+l

12.（2020局二?上海?專題練習(xí)）已知數(shù)列｛%｝滿足a“+i=3a“+4,a,=1,則氏=.

13.（2023?四川樂山■三模）已知數(shù)列｛%｝滿足%+1=2a“+2,%=1,貝！|。”=.

14.（2023?全國?模擬預(yù)測）數(shù)列｛%｝滿足a“+i+4a“_i=4a“（〃22）,ax=l,a2=3,則log2%

的值為.

四、解答題

15.（23-24高三上?云南楚雄?期末）已知數(shù)列｛%｝滿足q=2,a“+]=a“+2"+2"7.

⑴求出，。3；

（2）求%,并判斷｛4-（"1月是否為等比數(shù)列.

16.(23-24高三下,山東?開學(xué)考試)已知數(shù)歹!J｛%｝滿足%=1,。用=?！?2”.

⑴求數(shù)列｛6｝的通項公式；

(2也=(-1)"(a,+?-1),求數(shù)列也｝的前2n項和S2n.

17.(2024?陜西寶雞,一■模)已知數(shù)列｛%｝,若%=1,且。"+1=2<2"+1.

⑴求證：｛%+1｝是等比數(shù)列，并求出數(shù)列｛%｝的通項公式；

(2)若6'="(%+1),且數(shù)列的前項和為其，求證：

2"3也+2」34

18.Q024?山西臨汾?一模)已知數(shù)列｛%｝的首項%=1,且滿足an+1=2an+n-l,等比數(shù)列｛"｝

的首項且滿足

(1)求證：數(shù)列｛氏+6是等比數(shù)列，并求數(shù)列｛%｝的通項公式；

(2)求數(shù)列｛。也｝的前〃項和S.

19.（2024?廣東深圳?模擬預(yù)測）設(shè)數(shù)列｛g｝滿足：%=2,a?+I=2??+4?-4.

⑴求數(shù)列｛%｝的通項公式；

（2）求數(shù)列卜+3%“｝的前〃項和S”.

【拓展沖刺練】

一、單選題

1.21-22高三下?青海玉樹?階段練習(xí)汨知為數(shù)列｛%｝的前"項和，若an+l=2??-2,S2=10,

則｛0“｝的通項公式為（）

2

A.?！?3"-4B.an=2"+2C.an=n"+nD.an=3n-1

2.（20-21高三下?四川成都?期中）已知數(shù)列｛%｝滿足。角=十二，%=1,數(shù)列也｝滿足

4=1,b,-bn_x=-｛n>i）,則數(shù)列"］的最小值為（）.

anI?J

2922I—43

A.――B.—C.2vl3