2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第三章概率單元素養(yǎng)評(píng)價(jià)含解析北師大版必修3

PAGE單元素養(yǎng)評(píng)價(jià)(三)(第三章)(120分鐘150分)一、選擇題(每小題5分,共60分)1.下列事務(wù):①假如a,b是實(shí)數(shù),那么b+a=a+b;②某地1月1日刮西北風(fēng);③當(dāng)x是實(shí)數(shù)時(shí),x2≥0;④一個(gè)電影院某天的上座率超過50%,其中是隨機(jī)事務(wù)的有()A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)【解析】選B.由題意可知①③是必定事務(wù),②④是隨機(jī)事務(wù).2.某班有男生25人,其中1人為班長,女生15人,現(xiàn)從該班選出1人,作為該班的代表參與座談會(huì),下列說法中正確的是 ()①選出1人是班長的概率為QUOTE;②選出1人是男生的概率是QUOTE;③選出1人是女生的概率是QUOTE;④在女生中選出1人是班長的概率是0.A.①② B.①③ C.③④ D.①④【解析】選D.本班共有40人,1人為班長,故①對(duì);而“選出1人是男生”的概率為QUOTE=QUOTE;“選出1人為女生”的概率為QUOTE=QUOTE,因班長是男生,所以“在女生中選班長”為不行能事務(wù),概率為0,故④正確.3.(2024·蚌埠高一檢測(cè))如圖是一個(gè)邊長為3的正方形二維碼,為了測(cè)算圖中黑色部分的面積,在正方形區(qū)域內(nèi)隨機(jī)投擲1089個(gè)點(diǎn),其中落入白色部分的有484個(gè)點(diǎn),據(jù)此可估計(jì)黑色部分的面積為 ()A.4 B.5 C.8 D.9【解析】選B.由題意在正方形區(qū)域內(nèi)隨機(jī)投擲1089個(gè)點(diǎn),其中落入白色部分的有484個(gè)點(diǎn),則其中落入黑色部分的有605個(gè)點(diǎn),由隨機(jī)模擬試驗(yàn)可得:QUOTE≈QUOTE,又S正=9,可得S黑≈QUOTE×9=5.4.(2024·咸陽高一檢測(cè))已知甲,乙,丙三人去參與某公司面試,他們被該公司錄用的概率分別是QUOTE,QUOTE,QUOTE,且三人錄用結(jié)果相互之間沒有影響,則他們?nèi)酥兄辽儆幸蝗吮讳浻玫母怕蕿?()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選B.甲、乙、丙三人都沒有被錄用的概率P1=QUOTE×QUOTE×QUOTE=QUOTE,所以三人中至少有一人被錄用的概率P=1-P1=QUOTE.5.(2024·汕尾高一檢測(cè))影壁,也稱為照壁,古稱蕭墻,是我國傳統(tǒng)建筑中用于遮擋視線的墻壁.如圖是一面影壁的示意圖,該圖形是由一個(gè)正八邊形和一個(gè)正方形組成的,正八邊形的邊長和中間正方形的邊長相等,在該示意圖內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn),則此點(diǎn)取自中間正方形內(nèi)部的概率是 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選A.設(shè)正八邊形的邊長為QUOTEa,則其面積為(2+QUOTE)QUOTEa2+2×QUOTE(2QUOTEa+2a)a=(4QUOTE+4)a2.中間正方形的面積為2a2.此點(diǎn)取自中間正方形內(nèi)部的概率是QUOTE=QUOTE.【補(bǔ)償訓(xùn)練】(2024·唐山高一檢測(cè))《算法統(tǒng)宗》中有一圖形稱為“方五斜七圖”,注曰:方五斜七者此乃言其大略矣,內(nèi)方五尺外方七尺有奇.事實(shí)上,這是一種開平方的近似計(jì)算,即用7近似表示5QUOTE,當(dāng)內(nèi)方的邊長為5時(shí),外方的邊長為5QUOTE,略大于7.如圖所示,在外方內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn),則此點(diǎn)取自內(nèi)方的概率為 ()A.QUOTEB.QUOTEC.QUOTED.QUOTE【解析】選A.由題意可得S內(nèi)方=25,S外方=50,則外方內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn),則此點(diǎn)取自內(nèi)方的概率為QUOTE=QUOTE.6.(2024·清遠(yuǎn)高一檢測(cè))從應(yīng)屆中學(xué)生中選拔飛行員,已知這批學(xué)生體型合格的概率為QUOTE,視力合格的概率為QUOTE,假設(shè)各項(xiàng)標(biāo)準(zhǔn)互不影響,從中任選一名學(xué)生,則該生恰有一項(xiàng)合格的概率為 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選D.兩項(xiàng)都合格的概率為QUOTE×QUOTE=QUOTE,兩項(xiàng)都不合格的概率為QUOTE=QUOTE,故恰有一項(xiàng)合格的概率為1-QUOTE-QUOTE=QUOTE.7.如圖,在一個(gè)棱長為2的正方體魚缸內(nèi)放入一個(gè)倒置的無底圓錐形容器,圓錐的上底圓周與魚缸的底面正方形相切,圓錐的頂點(diǎn)在魚缸的缸底上,現(xiàn)在向魚缸內(nèi)隨機(jī)地投入一粒魚食,則“魚食能被魚缸內(nèi)在圓錐外面的魚吃到”的概率是()A.QUOTE B.QUOTEC.1-QUOTE D.1-QUOTE【解析】選C.P=QUOTE=QUOTE=1-QUOTE.8.小明通過做嬉戲的方式來確定周末的活動(dòng),他隨機(jī)往單位圓內(nèi)投擲一顆彈珠(大小忽視),若彈珠到圓心的距離大于QUOTE,則周末去逛公園;若彈珠到圓心的距離小于QUOTE,則去踢足球;否則,在家看書.則小明周末不在家看書的概率為 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選C.由題意畫出示意圖,如圖所示.表示小明在家看書的區(qū)域如圖中陰影部分所示,則他在家看書的概率為QUOTE=QUOTE,因此他不在家看書的概率為1-QUOTE=QUOTE.9.(2024·濰坊高一檢測(cè))四色猜想是世界三大數(shù)學(xué)猜想之一,其內(nèi)容是:“隨意一張平面地圖只用四種顏色就能使具有共同邊界的國家涂上不同的顏色.”用數(shù)學(xué)語言表示為“將平面隨意地細(xì)分為不相重疊的區(qū)域,每一個(gè)區(qū)域總可以用1,2,3,4四個(gè)數(shù)字之一標(biāo)記,而不會(huì)使相鄰的兩個(gè)區(qū)域得到相同的數(shù)字.”如圖,網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,粗實(shí)線圍成的各區(qū)域上分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4的四色地圖符合四色定理,區(qū)域A和區(qū)域B標(biāo)記的數(shù)字丟失.若在該四色地圖上隨機(jī)取一點(diǎn),則恰好取在標(biāo)記為1的區(qū)域的概率全部可能值中,最大的是 ()A.QUOTE B.QUOTEC.QUOTE D.QUOTE【解析】選C.A,B只能有一個(gè)可能為1,題目求最大,令B為1,則總數(shù)有30個(gè),標(biāo)1的有10個(gè),則概率為QUOTE.10.某中學(xué)舉辦電腦學(xué)問競賽,滿分為100分,80分以上為優(yōu)秀(含80分),現(xiàn)將高一兩個(gè)班參賽學(xué)生的成果進(jìn)行整理后分成5組;第一組[50,60),其次組[60,70),第三組[70,80),第四組[80,90),第五組[90,100],其中第一、三、四、五小組的頻率分別為0.30,0.15,0.10,0.05,而其次小組的頻數(shù)是40,則參賽的人數(shù)以及成果優(yōu)秀的概率分別是 ()A.50,0.15 B.50,0.75C.100,0.15 D.100,0.75【解析】選C.由已知其次小組的頻率是1-0.30-0.15-0.10-0.05=0.40,頻數(shù)為40,設(shè)共有參賽選手x人,則x×0.4=40,所以x=100,成果優(yōu)秀的概率為0.15.11.在區(qū)間[0,1]上隨機(jī)取兩個(gè)數(shù)x,y,記p1為事務(wù)“x+y≥QUOTE”的概率,p2為事務(wù)“|x-y|≤QUOTE”的概率,p3為事務(wù)“xy≤QUOTE”的概率,則 ()A.p1<p2<p3 B.p2<p3<p1C.p3<p1<p2 D.p3<p2<p1【解析】選B.滿意條件的x,y構(gòu)成的點(diǎn)(x,y)在正方形OBCA及其邊界上.事務(wù)“x+y≥QUOTE”對(duì)應(yīng)的圖形為圖①所示的陰影部分;事務(wù)“|x-y|≤QUOTE”對(duì)應(yīng)的圖形為圖②所示的陰影部分;事務(wù)“xy≤QUOTE”對(duì)應(yīng)的圖形為圖③所示的陰影部分.對(duì)三者的面積進(jìn)行比較,可得p2<p3<p1.12.記集合A={(x,y)|x2+y2≤16}和集合B={(x,y)|x+y-4≤0,x≥0,y≥0}表示的平面區(qū)域分別為Ω1,Ω2,若在區(qū)域Ω1內(nèi)任取一點(diǎn)M(x,y),則點(diǎn)M落在區(qū)域Ω2的概率為 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選A.區(qū)域Ω1為圓心在原點(diǎn),半徑為4的圓及其內(nèi)部,區(qū)域Ω2為等腰直角三角形及其內(nèi)部,腰長為4,所以P=QUOTE=QUOTE=QUOTE.二、填空題(每小題5分,共20分)13.(2024·肇慶高一檢測(cè))某頻率分布表(樣本容量為50)不當(dāng)心被損壞了一部分,只記得樣本中數(shù)據(jù)在QUOTE內(nèi)的頻率為0.6,則估計(jì)樣本在QUOTE,QUOTE的數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)之和是________.

分組頻數(shù)345【解析】由于樣本容量為50,故在QUOTE內(nèi)的頻數(shù)為50×0.6=30,故在QUOTE內(nèi)的數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)之和為30-4-5=21.答案:2114.從一副混合后的撲克牌(52張,不含大小王)中隨機(jī)抽取1張,事務(wù)A為“抽得為紅桃K”,事務(wù)B為“抽得為黑桃”,則概率P(A+B)=________.(結(jié)果用最簡分?jǐn)?shù)表示)

【解析】由互斥事務(wù)概率公式得P(A+B)=QUOTE+QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE15.在箱子中裝有十張卡片,分別寫有1到10的十個(gè)整數(shù);從箱子中任取一張卡片,登記它的讀數(shù)x,然后再放回箱子中;其次次再從箱子中任取一張卡片,登記它的讀數(shù)y,則x+y是10的倍數(shù)的概率為________.

【解析】先后兩次取卡片,形成的有序數(shù)對(duì)有(1,1),(1,2),(1,3),…,(1,10),…,(10,10),共計(jì)100個(gè).因?yàn)閤+y是10的倍數(shù),這些數(shù)對(duì)應(yīng)當(dāng)是(1,9),(2,8),(3,7),(4,6),(5,5),(6,4),(7,3),(8,2),(9,1),(10,10)共10個(gè),故x+y是10的倍數(shù)的概率為P=QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE16.在半徑為1的圓的一條直徑上任取一點(diǎn),過這個(gè)點(diǎn)作垂直于直徑的弦,則弦長超過圓內(nèi)接等邊三角形邊長的概率是________.

【解析】記“弦長超過圓內(nèi)接等邊三角形的邊長”為事務(wù)A,如圖所示,不妨在過等邊三角形BCD的頂點(diǎn)B的直徑BE上任取一點(diǎn)F作垂直于直徑的弦,當(dāng)弦為CD時(shí),就是等邊三角形的邊長,弦長大于CD的充要條件是圓心O到弦的距離小于OF,由幾何概型的概率公式得P(A)=QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE三、解答題(共70分)17.(10分)對(duì)某電視機(jī)廠生產(chǎn)的電視機(jī)進(jìn)行抽樣檢測(cè)的數(shù)據(jù)如下:抽取臺(tái)數(shù)501002003005001000優(yōu)等品數(shù)4092192285478954(1)計(jì)算表中優(yōu)等品的各個(gè)頻率;(2)該廠生產(chǎn)的電視機(jī)優(yōu)等品的概率約是多少?【解析】(1)優(yōu)等品的各個(gè)頻率分別為:0.8,0.92,0.96,0.95,0.956,0.954.(2)由以上數(shù)據(jù)可得優(yōu)等品的概率約為0.95.18.(12分)某飲料公司對(duì)一名員工進(jìn)行測(cè)試以便確定其考評(píng)級(jí)別,公司打算了兩種不同的飲料共5杯,其顏色完全相同,并且其中3杯為A飲料,另外2杯為B飲料,公司要求此員工一一品嘗后,從5杯飲料中選出3杯A飲料,若該員工3杯都選對(duì),則評(píng)為優(yōu)秀;若3杯選對(duì)2杯,則評(píng)為良好;否則評(píng)為合格.假設(shè)此人對(duì)A和B兩種飲料沒有鑒別實(shí)力.(1)求此人被評(píng)為優(yōu)秀的概率.(2)求此人被評(píng)為良好及以上的概率.【解析】將5杯飲料編號(hào)為1,2,3,4,5,編號(hào)1,2,3表示A飲料,編號(hào)4,5表示B飲料,則從5種飲料中選出3杯的全部可能狀況為(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5),(2,3,4),(2,3,5),(2,4,5),(3,4,5),共有10種,令D表示此人被評(píng)為優(yōu)秀的事務(wù),E表示此人被評(píng)為良好的事務(wù),F表示此人被評(píng)為良好及以上的事務(wù),則(1)P(D)=QUOTE.(2)P(E)=QUOTE,P(F)=P(D)+P(E)=QUOTE.19.(12分)某保險(xiǎn)公司利用簡潔隨機(jī)抽樣方法,對(duì)投保車輛進(jìn)行抽樣,樣本車輛中每輛車的賠付結(jié)果統(tǒng)計(jì)如表:賠付金額(元)01000200030004000車輛數(shù)(輛)500130100150120(1)若每輛車的投保金額均為2800元,估計(jì)賠付金額大于投保金額的概率;(2)在樣本車輛中,車主是新司機(jī)的占10%,在賠付金額為4000元的樣本車輛中,車主是新司機(jī)的占20%,估計(jì)在已投保車輛中,新司機(jī)獲賠金額為4000元的概率.【解析】(1)設(shè)A表示事務(wù)“賠付金額為3000元”,B表示事務(wù)“賠付金額為4000元”,以頻率估計(jì)概率得P(A)=QUOTE=0.15,P(B)=QUOTE=0.12.由于投保金額為2800元,賠付金額大于投保金額對(duì)應(yīng)的情形是賠付金額為3000元和4000元,所以其概率為P(A)+P(B)=0.15+0.12=0.27.(2)設(shè)C表示事務(wù)“投保車輛中新司機(jī)獲賠4000元”,由已知,樣本車輛中車主為新司機(jī)的有0.1×1000=100(輛),而賠付金額為4000元的車輛中,車主為新司機(jī)的有0.2×120=24(輛),所以樣本車輛中新司機(jī)車主獲賠金額為4000元的頻率為QUOTE=0.24,由頻率估計(jì)概率得P(C)=0.24.20.(12分)在人群流量較大的街道,有一中年人叫賣“送錢”,只見他手拿一黑色小布袋,袋中有3只黃色、3只白色的乒乓球(其體積、質(zhì)地完全相同),旁邊立著一塊小黑板寫道:摸球方法:從袋中隨機(jī)摸出3個(gè)球,若摸得同一顏色的3個(gè)球,攤主送給摸球者5元錢;若摸得非同一顏色的3個(gè)球,摸球者付給攤主1元錢.(1)摸出的3個(gè)球?yàn)榘浊虻母怕适嵌嗌?(2)假定一天中有100人次摸獎(jiǎng),試從概率的角度估算一下這個(gè)攤主一天能賺多少錢?【解析】(1)把3只黃色乒乓球標(biāo)記為A,B,C,3只白色的乒乓球標(biāo)記為1,2,3.從6個(gè)球中隨機(jī)摸出3個(gè)的基本領(lǐng)件為:ABC,AB1,AB2,AB3,AC1,AC2,AC3,A12,A13,A23,BC1,BC2,BC3,B12,B13,B23,C12,C13,C23,123,共20個(gè).事務(wù)E={摸出的3個(gè)球?yàn)榘浊騷,事務(wù)E包含的基本領(lǐng)件有1個(gè),即摸出123,P(E)=QUOTE=0.05.(2)事務(wù)F={摸出的3個(gè)球?yàn)橥活伾珆={摸出的3個(gè)球?yàn)榘浊蚧蛎龅?個(gè)球?yàn)辄S球},P(F)=QUOTE=0.1,假定一天中有100人次摸獎(jiǎng),由摸出的3個(gè)球?yàn)橥活伾母怕士晒烙?jì)事務(wù)F發(fā)生有10次,不發(fā)生90次.則一天可賺90×1-10×5=40,每天可賺40元.21.(12分)為了了解某市工廠開展群眾體育活動(dòng)的狀況,擬采納分層抽樣的方法從A,B,C三個(gè)區(qū)中抽取7個(gè)工廠進(jìn)行調(diào)查,已知A,B,C區(qū)中分別有18,27,18個(gè)工廠.(1)求從A,B,C區(qū)中分別抽取的工廠個(gè)數(shù);(2)若從抽得的7個(gè)工廠中隨機(jī)抽取2個(gè)進(jìn)行調(diào)查結(jié)果的對(duì)比,用列舉法計(jì)算這2個(gè)工廠中至少有1個(gè)來自A區(qū)的概率.【解析】(1)工廠總數(shù)為18+27+18=63,樣本容量與總體中的個(gè)體數(shù)比為QUOTE=QUOTE,所以從A,B,C三個(gè)區(qū)中應(yīng)分別抽取的工廠個(gè)數(shù)為2,3,2.(2)設(shè)A1,A2為在A區(qū)中抽得的2個(gè)工廠,B1,B2,B3為在B區(qū)中抽得的3個(gè)工廠,C1,C2為在C區(qū)中抽得的2個(gè)工廠,在這7個(gè)工廠中隨機(jī)抽取2個(gè),全部可能的結(jié)果有(A1,A2),(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A1,C1),(A1,C2),(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),(A2,C1),(A2,C2),(B1,B2),(B1,B3),(B1,C1),(B1,C2),(B2,B3),(B2,C1),(B2,C2),(B3,C1),(B3,C2),(C1,C2),共有21種.隨機(jī)抽取的2個(gè)工廠至少有1個(gè)來自A區(qū)的結(jié)果(記為事務(wù)X)有(A1,A2),(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A1,C1),(A1,C2),(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),(A2,C1),(A2,C2)共有11種,所以這2個(gè)工廠中至少有1個(gè)來自A區(qū)的概率為P(X)=QUOTE.22.(12分)空氣污染,又稱為大氣污染,是指由于人類活動(dòng)或自然過程引起某些物質(zhì)進(jìn)入大氣中,呈現(xiàn)出足夠的濃度,達(dá)到足夠的時(shí)間,并因此危害了人體的舒適、健康和福利或環(huán)境的現(xiàn)象.全世界