與圓錐曲線相關(guān)的線段和（差）的最值-高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)壓軸題（選擇、填空題）（新高考地區(qū)專用）

專題49與圓錐曲線相關(guān)的線段和(差)的最值

【方法點(diǎn)撥】

1.動(dòng)點(diǎn)尸到兩個(gè)定點(diǎn)A、2距離之和的最小值為|A8|,當(dāng)且僅當(dāng)P、4、8三點(diǎn)共線時(shí)成立，

即|24|+|尸3121AB|；

2.-|AB|^|E4|-|PB|<|AB|.

【典型題示例】

22

例1已知雙曲線^--二=1的右焦點(diǎn)為，P為雙曲線左支上一點(diǎn)，點(diǎn)40,a),WUAPF

42

周長(zhǎng)的最小值為()

A4+72B.4(1+a)C.2(72+76)D.底+3也

【答案】B

【分析】利用定義轉(zhuǎn)化為尸P+PA+4+2&(其中F為雙曲線的左焦點(diǎn))，再利用

PF'+PA>AF',當(dāng)且僅當(dāng)P、4尸，三點(diǎn)共線成立.

【解析】AF=2也,A4尸尸的周長(zhǎng)為/=尸廠+24+4尸=7*+尸4+2應(yīng)

設(shè)尸為雙曲線的左焦點(diǎn)，則由雙曲線定義得PF=PF'+4,故/=PF'+R4+4+2直

又PF'+PANAF'=24i,當(dāng)且僅當(dāng)尸、42三點(diǎn)共線成立

所以此4+4a=4(1+應(yīng))，故AAP尸周長(zhǎng)的最小值為4(1+72).

例2阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學(xué)家，與歐幾里得、阿基米德并稱為亞歷山大時(shí)期數(shù)學(xué)

三巨匠，他對(duì)圓錐曲線有深刻而系統(tǒng)的研究，阿波羅尼斯圓是他的研究成果之一，指的是：

已知?jiǎng)狱c(diǎn)M與兩定點(diǎn)A,2的距離之比為雙彳>0,幾/1),那么點(diǎn)〃的軌跡就是阿波羅尼斯

圓，簡(jiǎn)稱阿氏圓.己知在平面直角坐標(biāo)系中，圓O:Y+y2=4、點(diǎn)A(T,0)和點(diǎn)3(0,1),M

為圓O上的動(dòng)點(diǎn)，則21MAi+1MB|的最小值為.

【答案】V17

【分析】逆用“啊圓”，將2|跖4|中系數(shù)2去掉化為“一條線段”，從而將21MAi+|MB|

化為兩條線段的和，再利用“三點(diǎn)共線”求解.

【解析】因?yàn)榘A的圓心、兩定點(diǎn)共線，且在該直線上的直徑的端點(diǎn)分別是兩定點(diǎn)構(gòu)成線段

分成定比的內(nèi)外分點(diǎn)

所以另一定點(diǎn)必在X軸上，且(—2,0)內(nèi)分該點(diǎn)與A(-L0)連結(jié)的線段的比為2

故該點(diǎn)的坐標(biāo)為(T,0)

設(shè)C(yo)，則圓。：/+丁2=4上任意一動(dòng)點(diǎn)M都滿足|MC|=2|MA|

所以21MAi+|=|MC|+|MB|

又因?yàn)閨MC|+|M2|2|BC|=JT7,當(dāng)且僅當(dāng)M、B、C共線時(shí)，等號(hào)成立

所以21MAi+IMBI的最小值為后.

點(diǎn)評(píng)：

1.已知兩定點(diǎn)、啊圓的圓心三點(diǎn)共線；

2.啊圓的在己知兩定點(diǎn)所在直線上的直徑的兩端點(diǎn)，分別是兩定點(diǎn)構(gòu)成線段分成定比的內(nèi)、

外分點(diǎn).

例3過拋物線C:J=4x的焦點(diǎn)廠的直線/于C交于A,8兩點(diǎn)，則|4目+4逐目取得最小

值時(shí)，|AB|=()

9753

A-B.-C.-D.—

2222

【答案】A

【分析】將如1+4阿］利用定義轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離，|AF|+4忸典=再+4?+5,抓住

王馬=￡=1為定值，運(yùn)用基本不等式解決.

【解析】設(shè)4>i，X),B(x2,j2)

則由拋物線定義得卜同=再+1,忸耳=巧+1

故尸|+4忸耳=3+4蜀葉5,

又因?yàn)槲鞴?==1

根據(jù)基本不等式有|AF|+4忸司=4+4馬+522dxi.4工2+5=9,當(dāng)且僅當(dāng)芭=4々，即

x1=2

<1時(shí)，等號(hào)成立

故|AB|=|A^+怛司=再+勺+2=：.

例4已知以為拋物線Uy?=4%上一點(diǎn)，過拋物線C的焦點(diǎn)P作直線

x+O—l)y=5—2機(jī)的垂線，垂足為N,貝力MF|+|政V|的最小值為

A.272-3B.2應(yīng)-2C.2+0D.3-72

【答案】D

[分析]本題的關(guān)鍵點(diǎn)有二，一是利用拋物線的定義將|MF|轉(zhuǎn)化為點(diǎn)M到準(zhǔn)線x=-1的

距離，這也是遇到拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離、到準(zhǔn)線的距離的一種基本思路；二是發(fā)現(xiàn)

N在一個(gè)“隱圓”上，即利用定線段張直角確定隱圓，最終將所求轉(zhuǎn)化為圓上的動(dòng)點(diǎn)到

直線上點(diǎn)的距離最小來解決.

【解析】由題可得拋物線焦點(diǎn)P(1,0),準(zhǔn)線方程為x=-l,

過點(diǎn)A/作A0與準(zhǔn)線垂直，交于點(diǎn)Z),

直線x+(m—l)y=5—2m整理得m{y+2)=y—x+5,

聯(lián)立卜+2=0可得尸=3即該直線過定點(diǎn)(3,_2),

[y—x+5=0[y=-2

設(shè)P(3,-2),連接FP,取EP中點(diǎn)E,則E(2,-l),|即|=及，

若月V_U,則N在以FP為直徑的圓上，該圓方程為(x-2>+(y+l)2=2,

又由得|A/F|+|MVH"D|+|MV|，

如圖，|M0+|MN|的最小值為圓(無-2>+(y+l)2=2上的點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離的最小值，

過點(diǎn)E作即'與準(zhǔn)線x=-l垂直并交于點(diǎn)O',

與圓E交于點(diǎn)N',與拋物線交于點(diǎn)〃‘，

則|D'N'|即為|MD|+|跖V|的最小值,

即|MD|+|ACV|的最小值為|EZT|-r=3-應(yīng).

故選D.

例5已知點(diǎn)A(4,4)在拋物線y2=4x上，尸是拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)P為直線1=—1上的

動(dòng)點(diǎn)，我們可以通過找對(duì)稱點(diǎn)的方法求解兩條線段之和的最小值，貝|」|。川+|。同的最小值

為()

A.8B.2A/13C.2+741D.V65

【答案】D

【分析】由題意，知拋物線V=4%的焦點(diǎn)尸(L。)，直線x=—1是拋物線V=4%的準(zhǔn)線，

設(shè)廠(1,0)關(guān)于直線1=—1的對(duì)稱點(diǎn)尸(—3,0),|PA|+|PF|=|PA|+|PF|,利用兩點(diǎn)之間線段

最短，可知|B4|+|P4的最小值等于再利用兩點(diǎn)之間的距離即可求解.

【解析】由題意，知拋物線V=4x的焦點(diǎn)廠(L。)，直線x=—1是拋物線V=4%的準(zhǔn)線，

點(diǎn)A(4,4)在拋物線V=4%上，點(diǎn)「為直線％=—1上的動(dòng)點(diǎn)，

設(shè)廠(1,0)關(guān)于直線1=—1的對(duì)稱點(diǎn)尸(—3,0)，作圖如下，

利用對(duì)稱性質(zhì)知：|尸耳=|尸尸'I，則|以|+|尸耳=|網(wǎng)+|PP|.A尸|

即點(diǎn)P在尸'位置時(shí)，|?A|+|P同的值最小，等于

利用兩點(diǎn)之間距離知\AF'\=7(-3-4)2+42=而，則|網(wǎng)+舊刊的最小值為底

故選：D.

本題考查利用對(duì)稱求最短距離，"兩點(diǎn)之間線段最短"，是解決最短距離問題的依據(jù)，在

實(shí)際問題中，常常碰到求不在一條直線上的兩條或三條線段和的最小值問題，解決這類問題,

可借助軸對(duì)稱的性質(zhì)，將不在同一直線上的線段轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)之間的距離問題.

【鞏固訓(xùn)練】

22

1.已知橢圓C：土+上=1的左焦點(diǎn)為尸，點(diǎn)〃在橢圓C上，點(diǎn)N在圓E：

95

(x-2p+y2=i上，則+的最小值為()

A.4B.5C.7D.8

22

2.已知廠是雙曲線^--乙=1的左焦點(diǎn)，4(1,4),尸是雙曲線右支上的一動(dòng)點(diǎn)，0IJ|PF|+|B4|

412

的最小值為.

3.設(shè)P是拋物線產(chǎn)=4x上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，P是拋物線的焦點(diǎn).若8(3,2),則|尸2|十|尸/|的最小值

為.

4.設(shè)P是拋物線J2=4X上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)是拋物線的焦點(diǎn).若8(3,4),則尸3|+尸川的最小值

為.

5.設(shè)尸是拋物線V=4x上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，尸是拋物線的焦點(diǎn).若3(3,2),點(diǎn)P到點(diǎn)4-11)的

距離與點(diǎn)P到直線x=-1的距離之和的最小值為.

6.已知產(chǎn)是橢圓5/+9產(chǎn)=45的左焦點(diǎn)，尸是此橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，A(l,l)是一定點(diǎn)，則照十|尸川

的最大值為，最小值為.

7.已知直線/1:4%—3y+6=0和直線4：X=—1,拋物線V=4%上一動(dòng)點(diǎn)尸到直線乙和直

線12的距離和得最小值為.

8.已知A(3,-1),B(5,-2),點(diǎn)尸在直線x+y=O上，若使|P4|+|PB|取最小值，則點(diǎn)尸

的坐標(biāo)是()

1Q13

A.(1,-1)B.(-1,1)C.(-2,2)D.(―,—)

9.已知A(2,0),B(6,0),|=2,點(diǎn)N在拋物線V=8%上，則|M7V|+g|朋A|的

最小值為

A.6B.2A/5C.5D.2醫(yī)

10.已知點(diǎn)尸(3力，fGR,點(diǎn)M是圓/+。-1)2=/上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N是圓(無—2)2+；/=；上的

動(dòng)點(diǎn)，則『川一IPM的最大值是()

A.小一1B.2C.3D.y[5

11.已知尸為拋物線產(chǎn)=4x上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，。為圓/+(y-4)2=l上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，那么.

點(diǎn)P到點(diǎn)Q的距離與點(diǎn)P到拋物線的準(zhǔn)線距離之和最小值是.

【答案或提示】

1.【答案】B

【解析】易知圓心E為橢圓的右焦點(diǎn)，且a=3,6=J?,c=2,

由橢圓的定義知：|MF|+|VE|=2a=6,所以|MF|=6—|VE|,

所以+|ACV|=6-+|ACV|=6--1肱v|),

要求I"耳+|MN|的最小值，只需求I阿的最大值，顯然M,N,E三點(diǎn)共線時(shí)

|瓶目—|肱V|取最大值，且最大值為1，所以|畫|+|兒0|的最小值為6—1=5.

故選：B.

2.【答案】9

22

【解析】因?yàn)槭请p曲線上—匕=1的左焦點(diǎn)，所以網(wǎng)一4,0),設(shè)其右焦點(diǎn)為H(4,0),則

412

由雙曲線的定義可得IPFI+照|=2a+|P”|+|例N2a+|4H|=4+J(4—l)2+(0-4)2=4+5

=9.

3.【答案】4

【解析】如圖，過點(diǎn)2作2Q垂直準(zhǔn)線于點(diǎn)Q,交拋物線于點(diǎn)Pi，

則|P1Q|=|PF|.1、

則有|尸為+\PF]>\PiB\+|P1Q|=|BQ|=4,

即|PB|+|PF|的最小值為4.

4.【答案】22G

【解析】由題意可知點(diǎn)3(3,4)在拋物線的外部.

；甲8|+|尸目的最小值即為8,尸兩點(diǎn)間的距離,尸(1,0),

：.\PB\+\PF\>\BF\="2+2?=275,

即|P3|+|P曰的最小值為2JS.

5.【答案】

【解析】如圖，易知拋物線的焦點(diǎn)為P(l,0),準(zhǔn)線是》=一1,

由拋物線的定義知點(diǎn)P到直線x=~\的距離等于點(diǎn)P到點(diǎn)F的距離.于是，問題轉(zhuǎn)化為在

拋物線上求一點(diǎn)P,使點(diǎn)P到點(diǎn)4(-1,1)的距離與點(diǎn)P到點(diǎn)尸(1,0)的距離之和最小，顯然,

連接AF與拋物線相交的點(diǎn)即為滿足題意的點(diǎn)，此時(shí)最小值為血-(-I)]?+(0-1)2=75.

點(diǎn)評(píng)：

與拋物線有關(guān)的最值問題，一般情況下都與拋物線的定義有關(guān).“看到準(zhǔn)線想焦點(diǎn)，看

到焦點(diǎn)想準(zhǔn)線”，這是解決與過拋物線焦點(diǎn)的弦有關(guān)問題的重要途徑.

6.【答案】6+6—^2

22

【解析】橢圓方程化為土+乙=1,

95

設(shè)尸1是橢圓的右焦點(diǎn)，則B(2,0),

.,.|AFi|=V2,.-.|B4|+|PF|=|B4|-|PFi|+6,

又一|4尸歸RIITPB國(guó)AB|(當(dāng)尸，A,西共線時(shí)等號(hào)成立)，

：.6-6<|E4|+|PF|<6+6.

7.【答案】2

8.【分析】求出A關(guān)于直線/：x+y=O的對(duì)稱點(diǎn)為C,則P為直線BC與直線I的交點(diǎn)時(shí),

滿足條件，進(jìn)而得到答案.

【解析】如下圖所示：

點(diǎn)A(3,-1),關(guān)于直線/：x+y=O的對(duì)稱點(diǎn)為C(1,-3)點(diǎn)，

由BC的方程為：主工=21鄉(xiāng)，即x-4y-13=0,

41

可得直線BC與直線/的交點(diǎn)坐標(biāo)為：(衛(wèi)，旦)，