2024-2025學(xué)年北京市某中學(xué)高二年級上冊10月練習(xí)數(shù)學(xué)試卷（含詳解）

必/r，、死

數(shù)學(xué)

本試卷共4頁,滿分150分,考試時長120分鐘.考生務(wù)必將答案答在答題紙上,在試卷上作答無效.考試

結(jié)束后，將答題紙交回.

第一部分選擇題（共60分）

一，單選題：本題共12小題,每小題5分，共60分.

1.過"W（若兩點(diǎn)的直線的傾斜角為（）

A.-60°B.60°C.120°D.150°

2.已知直線/經(jīng)過點(diǎn)A（LL2）,8（0,1,0）,平面a的一個法向量為“=（—2,0,—4）,則（）

A.I//aB.I_La

C.luaD./與。相交，但不垂直

3.如圖，平行六面體ABCD—中,E為BC中點(diǎn)，AB=a,AD=b，A4j=c，則DXE=（）

B.ci---b—c

2

CciH—b+cD.—aH—b—c

222

4.設(shè)點(diǎn)A（2,3,-4）在xOy平面上的射影為瓦則網(wǎng)等于（）

A.V29B.5C.2占D.V13

5.在以下4個命題中，不正確的命題的個數(shù)為（）

①右則〃

②若三個向量兩兩共面,則向量共面.

③若｛a,b,c｝為空間的一個基底,則｛a-＞力+c,c+a｝構(gòu)成空間的另一基底.

④卜同M.卜|.

A.1個B.2個C.3個D.4個

6.已知向量,則“（a+=0"是"a=6或a=—6”的（）條件.

A.必要而不充分B.充分而不必要C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

7.已知R4=(2,1,-3),PB=(-1,2,3),PC=(7,6,2)，若尸,A,3,C四點(diǎn)共面，則4()

A.9B.-9C.-3D.3

______uumuum

8.設(shè)ABC。是空間不共面四點(diǎn),且滿足A9AC=0，ACAD=0，A9AD=0,則A3。。是（）

A.銳角三角形B.鈍角三角形C.直角三角形D.不確定

9.布達(dá)佩斯的伊帕姆維澤蒂博物館收藏的達(dá)?芬奇方磚，在正六邊形上畫了具有視覺效果的正方體圖案（如圖1），把三

片這樣的達(dá)?芬奇方磚形成圖2的組合,這個組合表達(dá)了圖3所示的幾何體.若圖3中每個正方體的棱長為1,則點(diǎn)A到

平面QGC的距離是（）

圖1

DT

10.正多面體也稱柏拉圖立體,被譽(yù)為最有規(guī)律的立體結(jié)構(gòu),是所有面都只由一種正多邊形構(gòu)成的多面體（各面都是全

等的正多邊形）.數(shù)學(xué)家已經(jīng)證明世界上只存在五種柏拉圖立體，即正四面體,正六面體,正八面體,正十二面體,正二十

面體.如圖，已知一個正八面體ABCDEF的棱長為2,N分別為棱AD,AC的中點(diǎn)，則直線惻和月欣夾角的余

弦值為（）

。乎Y

11.在棱長為1的正方體ABCD-ABIGA中，點(diǎn)M和N分別是正方形ABCD和351cle的中心,點(diǎn)P為正方體表面

上及內(nèi)部的點(diǎn)，若點(diǎn)尸滿足。r=根04+〃。知+左。/八其中〃2，“，左€1<,且帆+〃+左=1,則滿足條件的所有點(diǎn)「構(gòu)

成的圖形的面積是（）

正73V6A/6

V

12.菱形ABCD的邊長為4,NA=60°,E為48的中點(diǎn)（如圖1），將VADE沿直線。E翻折至一ADE處（如圖

2），連接43,AC,若四棱錐A'-E3CD的體積為4若，點(diǎn)尸為AO的中點(diǎn)，則尸到直線8C的距離為（）

AEBEB

圖1

A/23

第二部分非選擇題（共90分）

二，填空題：本題共6小題,每小題5分，共30分.

13.已知向量。=（一1,2,1）,6=（3.》）,且&//。,則％+>=.

14.已知j,j,k為空間兩兩垂直的單位向量,且a=i+2j-k,b=3i-j+4k,則Q./?=.

15.已知a=（2,—2,3）1=（1,1,一2）,則向量。在向量b上的投影向量的坐標(biāo)為.

17.長方體—A用G2中，4。=441=3,43=4,瓦￡6分別是棱。|2,5。,?！甑闹悬c(diǎn)，“是該長方體的

面ABCD內(nèi)的一個動點(diǎn)（不包括邊界），若直線RM與平面EFG平行,則MBi-MDX的最小值為.

18.如圖，在四棱錐尸―A3CD中，底面ABCD是正方形，上4,底面=A3=LG為PC的中點(diǎn)，M為

△PfiD內(nèi)一動點(diǎn)（不與P,5。三點(diǎn)重合）.給出下列四個結(jié)論：

P

AB

①直線BC與尸。所成角的大小為工②AG，,③GM的最小值為1,④若A"=1,則點(diǎn)〃的軌跡所圍成

432

71

圖形的面積是一.

其中所有正確結(jié)論的序號是

三,解答題：本題共5小題,共60分.解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟.

19.已知空間中三點(diǎn)A(-2,0,2),B(-l,l,2),C(-3,0,3),設(shè)"AB,b=AC.

(1)求.

(2)求向量。與向量b夾角大小.

20.如圖，平行六面體45。。-4片￡2中，以頂點(diǎn)A為端點(diǎn)的三條棱長都是1,

NBADugOo,NDia=NB4A=60°,M為AG與42的交點(diǎn)?設(shè)=c.

(1)用C表示BM,并求|創(chuàng)《的值.

(2)求3M.AG的值.

21.如圖,正方體ABCD-AgGA棱長為2,點(diǎn)E是棱BC的中點(diǎn).

(1)求證：3。1//平面。GE.

(2)若點(diǎn)F是線段BD｝的中點(diǎn),求直線與平面。弓石所成角的正弦值.

22.如圖，在四棱錐P—ABCD中，？0，平面43。。,45〃。。,/4。。=90°,且4)=。0=包＞=245=2.

(1)求證：AB1_平面？AD.

（2）求平面K4D與平面P3C夾角的余弦值.

2

（3）在棱尸3上是否存在點(diǎn)G（6與2,3不重合），使得。G與平面P3c所成角的正弦值為一？若存在，求——的

3PB

值,若不存在，說明理由.

23.學(xué)習(xí)閱讀以下材料，應(yīng)用所學(xué)知識解決下面的問題.

類比于二維空間（即平面），向量?？捎枚行驍?shù)組（《,4）表示，若〃維空間向量。用〃元有序數(shù)組（6，生，…，4）

表示,記為a=（4，%…,qj,對于左eR,任意a=（01，4,-，aJZ?=（4,白,」也），有：

①數(shù)乘運(yùn)算：ka=（kal,ka2,-,kan）.

②加法運(yùn)算：a+Z>=（4+4，出+4,,，4+2）.

③數(shù)量積運(yùn)算：a-b=01bl+a?2+-+a%

④向量的模：問=Ja；+a；+~+a；.

⑤對于一組向量q?=l,2,,,加），若存在一組不同時為零的實(shí)數(shù)尢G=l,2,，加）使得左］4+%/++kmam=O,

則稱這組向量線性相關(guān),否則稱為線性無關(guān).

⑥在〃維向量空間中，基底是一組線性無關(guān)的向量{6,e；,并且在空間中的任意向量a都可以由這組基底線性

表示，即夕=46+%e2++42，其中4,4，,4,是一組實(shí)數(shù).

設(shè)4是〃元集合人={1,2,.,〃}子集，集合&元素的個數(shù)記為|4|,若集合組A，4，,4“同時滿足以下2個條

件，則稱集合組A，4，,4具有性質(zhì)人①⑶為奇數(shù)，其中，=1,2,…,加，②同閭為偶數(shù)，其中

ij=j.

（i）當(dāng)”=3時,集合組4,4，,4具有性質(zhì)R求加的最大值，并寫出相應(yīng)集合組.

（2）當(dāng)”=8時,集合組A，4，,4具有性質(zhì)尸，求加的最大值.

（3）4是〃元集合4={1,2,…㈤的子集，若集合組合，4,…,4具有性質(zhì)P,求P的最大值.

北京十二中2023級高二年級10月練習(xí)

，、憶

數(shù)學(xué)

本試卷共4頁,滿分150分,考試時長120分鐘.考生務(wù)必將答案答在答題紙上,在試卷上作答無效.考試

結(jié)束后，將答題紙交回.

第一部分選擇題（共60分）

一，單選題：本題共12小題,每小題5分，共60分.

1.過"W（若兩點(diǎn)的直線的傾斜角為（）

A.-60°B.60°C.120°D.150°

【答案】B

【分析】先根據(jù)兩點(diǎn)坐標(biāo)求出直線的斜率,再根據(jù)斜率與傾斜角的關(guān)系求出傾斜角.

【詳解】已知直線經(jīng)過4。/）和3（右,4）兩點(diǎn).

根據(jù)直線斜率的計(jì)算公式左（其中（西，必）和（9，％）為直線上兩點(diǎn)的坐標(biāo)）.

4—13仄

所以心=忑口=忑=6

因?yàn)橹本€的斜率左=tanc（戊為傾斜角），己知心=G，即tana=G.

又因?yàn)閮A斜角0°Wa<180?,在這個區(qū)間內(nèi)，滿足tana=6的。=60°.

故選：B.

2.已知直線/經(jīng)過點(diǎn)A（LL2）,8（0,1,0）,平面a的一個法向量為〃=（—2,0,—4）,則（）

A.I//aB.I_La

C.ZczaD」與a相交，但不垂直

【答案】B

【分析】根據(jù)平面&的法向量與直線/的方向向量的關(guān)系即可求解.

【詳解】因?yàn)橹本€/經(jīng)過點(diǎn)A（l,l,2）,6（0,1,0）.

所以A3=（-1,0,-2）,又因?yàn)槠矫鎍的一個法向量為“=（-2,0,-4）.

且”=2AB,所以平面戊的一個法向量與直線/的方向向量平行.

則/J_a.

故選：B.

3.如圖，平行六面體ABCD-A4G2中,E為8C的中點(diǎn)，AD=b，A4]=c,則￡>]￡?=（）

B.a----b—c

2

C.ciH—b+cD.—d—b—c

222

【答案】B

【分析】根據(jù)給定條件,利用空間向量的線性運(yùn)算求解即得.

【詳解】在平行六面體ABCD-44GA中,E為的中點(diǎn).

----11

所以D]E=A+AA+AB+BE=-AD-AAi+ABH—AD=a—b-c.

故選：B

4.設(shè)點(diǎn)A（2,3,-4）在xOy平面上的射影為瓦則網(wǎng)等于（）

A.729B.5C.2A/5D.V13

【答案】D

【分析】先得到6（2,3,。），從而求出OB=（2,3,0）,計(jì)算出模長.

【詳解】點(diǎn)4（2,3,-4）在平面上的射影為5（2,3,0）,03=（2,3,0）.

故煙=A/22+32+02=713.

故選：D

5.在以下4個命題中，不正確的命題的個數(shù)為（）

①右〃?/則〃=

②若三個向量兩兩共面,則向量共面.

③若｛a,b,c｝為空間的一個基底,貝!]｛a-＞力+c,c+a^構(gòu)成空間的另一基底.

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】C

【分析】利用向量的數(shù)量積，向量共面與向量基底的定義和性質(zhì)，結(jié)合特殊向量法,逐一判斷各命題即可得解.

【詳解】對于①,設(shè)Z?=0,〃與c可以為任意向量，因?yàn)椤Χ?。：。，Z?.c=0-c=0-

此時〃?人=/7,但。不一定等于。，所以①不正確.

對于②，例如在墻角處的三條交線對應(yīng)的向量。，。，C.

它們兩兩共面(兩兩垂直)，但是向量。，b,。不共面，所以②不正確.

對于③，假設(shè)b，b+c,C+a共面.

則存在實(shí)數(shù)X,〃使得a—b=2(。+c)+〃(c+〃).

即〃一b=4〃+Xb+(X+〃)c.

〃=1

由｛。，①。｝為基底，所以。不共面，則(%=-1，這個方程組無解.

%+//=0

所以。一人，人+。，c+a不共面，｛a—b,b+e,e+a｝構(gòu)成空間的另一基底,③正確.

對于④，I|=|II。I.

而|Q1=1。IIAIICOS。I(。為〃與匕的夾角).

所以|1=1〃Z?||cos6^||c\^\a\\b\\c\,④不正確.

故不正確的有：①②④，共3個.

故選：C.

6.已知向量a力，則“(a+A>(a—功=0”是或a=—沙”的()條件.

A.必要而不充分B.充分而不必要C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【分析】結(jié)合向量的數(shù)量積,根據(jù)充分必要條件的定義判斷.

【詳解】a=人或。=—b時，。+6=?；??！??=0,貝!1(。+人)，(?！?=0,必要性滿足.

若a=(1,0),b=(0,1),則(a+b)?(a—b)=0,但aW土匕，即充分性不滿足.

故題設(shè)條件關(guān)系為必要不充分條件.

故選：A.

7.已知叢=(2,1,-3),尸5=(-1,2,3),PC=(7,6")，若P,A,8,C四點(diǎn)共面，則4=()

A.9B.-9C.-3D.3

【答案】B

【分析】由已知可得PA,PB,PC共面,根據(jù)共面向量的基本定理，即可求解.

【詳解】由P,A,B,C四點(diǎn)共面,可得PA,PB,PC共面.

/.PC=xPA+yPB=(2x-y.x+2y,-3x+3y)=(7,6,2).

2x-y=rlx=4

<x+2y=6解得<y=1

一3%+3y=2A=—9

故選:B.

【點(diǎn)睛】本題考查空間四點(diǎn)共面的充要條件以及平面向量的基本定理,屬于基礎(chǔ)題.

..--------——-UUUlUUU1

8.設(shè)是空間不共面的四點(diǎn)，且滿足43以。=0,4。&。=0,A-=0，則ABCD是（）

A.銳角三角形B.鈍角三角形C.直角三角形D.不確定

【答案】A

BCBD

【分析】根據(jù)題意，得到=AC—AB,=AD—AB,進(jìn)而求出8C.30=A3?〉0,根據(jù)cosB=

-BC|n.|~BD|［，即可

判斷B的大小，利用上述方法求得。8.。。＞0，。8.。。＞0，即可判斷＜^和D的大小，進(jìn)而可以判斷出三角形的形狀.

...,22

【詳解】BCBD=(AC-AB)(AD-AB)=ACAD-ACAB-ABAD+AB=AB~>0,

BCBD

cosB=MW>0

.?.5為銳角.

同理：￡＞8?￡＞C＞0，C3?C。＞0，。和C都為銳角.

/.ABCD為銳角三角形.

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了平面向量的加減運(yùn)算法則與向量數(shù)量積的運(yùn)算，考查邏輯思維能力和運(yùn)算能力,屬于?？碱}.

9.布達(dá)佩斯的伊帕姆維澤蒂博物館收藏的達(dá)?芬奇方磚，在正六邊形上畫了具有視覺效果的正方體圖案（如圖1），把三

片這樣的達(dá)?芬奇方磚形成圖2的組合,這個組合表達(dá)了圖3所示的幾何體.若圖3中每個正方體的棱長為1,則點(diǎn)A到

平面QGC的距離是（）

圖1

DT

【答案】C

【分析】建立空間直角坐標(biāo)系,求平面QGC的法向量,用點(diǎn)到平面的距離公式計(jì)算即可.

【詳解】建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示:

7

\D

]c,

、眄

Z17一7一L7二也

[/D\/

\/oy

B

x^E

則C(0,2,0),e(l,0,2),G(0,0,2),A(1,1,O),QC=(—1,2,—2),QG=(—1,0,0),AC=(—1,1,0),設(shè)平面QGC的法

n-QC=Q一x—0

向量為"=（%,y,2）,則，，即■ccC，則平面QGC的一個法向量為“=(0,1,1).

n-QG=0—x+2y—2z—U

\n-Ac\正

則點(diǎn)A到平面QGC的距離d='.I1=-y

n\

故選：C

10.正多面體也稱柏拉圖立體,被譽(yù)為最有規(guī)律的立體結(jié)構(gòu)，是所有面都只由一種正多邊形構(gòu)成的多面體（各面都是全

等的正多邊形）.數(shù)學(xué)家已經(jīng)證明世界上只存在五種柏拉圖立體，即正四面體,正六面體,正八面體,正十二面體,正二十

面體.如圖，已知一個正八面體ABCDEF的棱長為2,Al,N分別為棱AD,AC的中點(diǎn)，則直線惻和網(wǎng)0夾角的余

弦值為（）

5R而

A.D.------------

66

叵D系

C.~6~

【答案】D

1一1一一

【分析】根據(jù)題意得到BN=—AC-A3,FM=—-AD-AB,然后由向量的數(shù)量積公式分別求出

22

FM-BN,\FM\,\BN\,結(jié)合向量的夾角運(yùn)算公式,即可求解.

【詳解】如圖所示:

由題意，可得3N=A2V-AB=LAC-AB,FM=FD+DM=BA+DM=--AD-AB.

一「’22

又由正八面體ABCDEF的棱長都是2,且各個面都是等邊三角形.

在△ABD中，由43=?10=2,50=2也，可得482+4￡)2=班)?，所以鉆j_旬，所以

FM-BN=[-^AD-AB}I^AC-AB]

111--2

=——ADAC+-ADAB——ABAC+AB

422

=J-X22-2X2X-+22=J1—2+4=3

V42

FM\=^-^AD-AB^=^AD+ADAB+AB

1X22+0+22=71+0+4=75.

5

2_岳

所以cos(EM,BN，=FMBN

即直線BN和FM夾角的余弦值為邊5

6

故選：D.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：選取適當(dāng)?shù)幕紫蛄緼B,AGA。，由已知條件可以求出它們的模以及兩兩之間的夾角,所以只

需把分解,然后由向量的夾角公式即可求解.

11.在棱長為1的正方體ABC。-AgG。中，點(diǎn)M和N分別是正方形A3CD和35cle的中心,點(diǎn)p為正方體表面

上及內(nèi)部的點(diǎn)，若點(diǎn)尸滿足DP=根ZM+/DM+左DN,其中m,幾次eR,且機(jī)+〃+左=1,則滿足條件的所有點(diǎn)尸構(gòu)

成的圖形的面積是（）

A石RV3rV6n76

A.D.U.D.

2824

【答案】A

【分析】由共面定理得出P,A,M,N共面,正方體中得知截面即為「AC4,然后可計(jì)算面積.

【詳解】因?yàn)?。P=++左DN，機(jī)+〃+左=L

所以P,N四點(diǎn)共面，如圖，易知過AM,N截面是正ACBX.

則由題意可知滿足條件的所有點(diǎn)P構(gòu)成的圖形為正

正方體棱長為1,則正AGA邊長為友.

所以滿足條件的所有點(diǎn)尸構(gòu)成的圖形的面積為@x（加了=@.

42

故選：A.

12.菱形ABCD的邊長為4,NA=60°,E為A2的中點(diǎn)（如圖1），將VADE沿直線翻折至一ADE處（如圖

2），連接A5,AC,若四棱錐A'-EfiCD的體積為4月，點(diǎn)廠為AO的中點(diǎn)，則尸到直線8C的距離為（）

【答案】A

【分析】由已知可證得DEL平面AEB,4石，平面3cDE,所以以E為原點(diǎn)，EB,ED,E4'所在的直線分別為

蒼丁*軸,建立空間直角坐標(biāo)系,利用空間向量求解即可.

【詳解】連接BD,因?yàn)樗倪呅蜛BCD為菱形，且NA=60°,所以△A3。為等邊三角形.

因?yàn)镋為AB的中點(diǎn)，所以。E_ZAB,所以DELEfi.DELA'E.

因?yàn)椤?AE=E,EB,A'Eu平面A'EB，所以DE，平面AEB.

因?yàn)榱庑蜛BCD的邊長為4,所以AB=AO=CD=5C=4,￡>E=2?AE=BE=2.

所以直角梯形BCDE的面積為g義（2+4）x26=6』.

設(shè)四棱錐4—仍。的高為九則;x6四=4/，得〃=2.

所以場=A石，所以AE，平面BCDE.

所以以E為原點(diǎn)，EB,ED,EN所在的直線分別為％,%z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,則

8(0,2,0),C(-2A5,4,0),F(-A5,0,1).

所以BC=(—2g,2,0).

所以c=]-----1=一~—,0,a=FB=(y/3,2,-l)

\BC\I22J

所以卜卜J3+4+1=2^2,a-c=——+1=

所以尸到直線BC的距離為d

第二部分非選擇題（共90分）

二，填空題：本題共6小題,每小題5分，共30分.

13.已知向量。=（-1,2/）"=（3,羽〉）,且。/小則％+丁=.

【答案】-9

【分析】

3Yv

根據(jù)a/",由1=彳=:，求得x，y即可.

【詳解】因?yàn)橄蛄俊?（-1,2,1）,〃=（3,羽y）,且a/4.

廣…3xy

所以一二一二一.

-121

解得x=-6,y=-3.

所以x+y=-9.

故答案為：-9

14.己知i,j,k為空間兩兩垂直的單位向量,S.a=i+2j-k,b=3i-j+4k,a-b=.

【答案】-3

【分析】根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律計(jì)算即可.

rrxrrrrr、rrr

【詳解】a?=1+2j—左）x［z3i—j+4左）=3,2-2j2-4k2=3—2—4=—3.

故答案為：-3.

15.已知a=（2,—2,3）力=（1,1,-2）,則向量。在向量。上的投影向量的坐標(biāo)為.

【答案】（T—1,2）

【分析】根據(jù)投影向量公式計(jì)算即可.

【詳解】因?yàn)閍=（2,-2,3）力=（1,1,一2）.

a-bb_2-2-6。，1，-2）_.

則向量.在向量方上的投影向量為時付―a+1+45+1+4一（''）

故答案為：（-LT2）.

16.已知直線/斜率的取值范圍是卜百,1）,則I的傾斜角的取值范圍是.

【答案】匠）小

【分析】根據(jù)斜率與傾斜角的關(guān)系即可求解.

【詳解】因?yàn)橹本€/斜率的取值范圍是卜6,1）.

7T

所以當(dāng)斜率0W左<1時,傾斜角OWa<一.

4

當(dāng)斜率—6<k<0時,傾斜角—2%"<a<7i.

綜上傾斜角的取值范圍0,（；［等,萬］

故答案為：o..［

【點(diǎn)睛】本題主要考查了直線的斜率，直線的傾斜角，屬于中檔題.

17.長方體—A用G2中，4。=441=3,43=4,瓦￡6分別是棱。|2,5。,?！甑闹悬c(diǎn)，〃是該長方體的

面ABCD內(nèi)的一個動點(diǎn)（不包括邊界），若直線RM與平面EFG平行,則MBi-MDX的最小值為.

【答案】—

4

【分析】作出截面跖G,由平行得出M點(diǎn)軌跡是線段AC,建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)出M點(diǎn)坐標(biāo)，用坐標(biāo)計(jì)算出數(shù)量

積后,結(jié)合二次函數(shù)知識得最小值.

【詳解】解法一：

因?yàn)镋,F,G分別是棱G2，BC,CC1的中點(diǎn),再分別取AB,AA,,片已的中點(diǎn)〃，/J,則過E,F,G三點(diǎn)的截面為六邊

形EGFH",如圖.

連接D,C,CA,AR,則C2//EG,又CD1平面ENG,EGu平面ENG,同理AC//平面EFG.

而ACCD]=C,AC,CDtu平面ACDt.

所以平面ACDt//平面ENG,當(dāng)MeAC時，DXMu平面ACDlt從而D{MII平面EFG.

所以4點(diǎn)軌跡是線段AC.

分別以。4,。。,。。為蒼y*軸建立空間直角坐標(biāo)系,如圖，則2(0,0,3),B/3,4,3),A(3,0,0),C(0,4,0).

在平面ABC。內(nèi)，設(shè)直線AC方程為二+)=1,即設(shè)M(a,4-竺,0),(0<a<3).

343

—?4a4q

則MB】=(3-a,與-,3),MD]=(-a,-4+§,3).

.?,.4a4a25225.25.3.211

MB]?MDX=—a(3—d)+—(-4+—)+9=—a-—a+9=—(a--)+—.

311

所以a=一時，MB,■MD.取得最小值一.

2114

如圖,分別以AD，9方向?yàn)楣?北z軸建立空間直角坐標(biāo)系

可得：E(2,3,3),Fl4,j,olGl4,3,|j,R(0,3,3),4(4,0,3),設(shè)M(x,y,0).

EF=2,—3,FG=0,|,|,DlM=(x,y-3,-3).

設(shè)平面EFG的法向量〃=(%,y,z).

EF?〃二0

則

FG,n=O

3

取y=l,得x=—：,y=l,z=—L即”=一iT?

4

由于直線D、M與平面EFG平行，則RM?〃=0.

33

得：--x+y-3+3=0,BP：y=-x.

4-'4

MB】=(4—x,—y,3),MD〕=(—x,3-y,3).

22

MB1-MDl=(4-j;)-(-x)+(-y)-(3-y)+9=x-4%+y-3y+9.

25025(、2H

-----x+9=r(x-2)+—

416、74

可知：由于x?0,4),當(dāng)x=2時，MB]-町取得最小值，最小值為a?

故答案為：*

18.如圖，在四棱錐尸―ABCD中，底面A5CD是正方形，以J_底面A3CD,B4=A3=1.G為PC的中點(diǎn)，”為

△PfiD內(nèi)一動點(diǎn)(不與P,3,D三點(diǎn)重合).給出下列四個結(jié)論:

①直線BC與PD所成角的大小為工②AG，,③GM的最小值為無，④若AM=正，則點(diǎn)〃的軌跡所圍成

432

TT

圖形的面積是一.

6

其中所有正確結(jié)論的序號是.

【答案】①②④

【分析】根據(jù)異面直線所成的角即可判斷①,根據(jù)空間中的垂直關(guān)系轉(zhuǎn)化即可證明AGL平面PB。，即可求證線線垂直

進(jìn)而判斷②，根據(jù)點(diǎn)到面的距離為最小值,利用等體積法即可求解③,根據(jù)圓的面積即可判斷④.

【詳解】由于5C//AD,所以/PDA即為直線3c與所成的角或其補(bǔ)角.

JT

由于24J_底面ABC。,ADu平面ABCD,所以上4，AD,又E4=AD=1,所以NPD4=—，①正確.

4

由于卓，底面AB。,CDu平面ABCD,所以，CD.

又AT>_LCDPAcAZ)=A,PA,ADu平面PAD

所以CD,平面？AD.

取尸。中點(diǎn)為N,連接N4,NG.

由于G為PC的中點(diǎn)，所以NG//CD,所以NG,平面？AD?Du平面K4Z),則NG,尸。.

又E4=A。=1,尸。中點(diǎn)為N,所以J_AN.

ANcNG=N,AN,NGu平面4VG,所以FD，平面ANG,AGu平面ANG,則PDLAG.

AC±BD,BD±PA,B4cAe=A,B4,ACu平面PAC,所以5D/平面PAC,4Gu平面PAC.

所以J.AG.

PDBD=￡>,P￡>,BDu平面P3D,所以AG，平面,MBu平面PBD.

所以AG故②正確.

當(dāng)GM_L平面PBD時，GM最小,設(shè)此時點(diǎn)G到平面PBD距離為h.

=XX1X1X1

VG-PBD=VD-PBG=^VD-PBC=~VP-DBC=~VP-ABCD--=7T

乙乙IIJ\,乙

=

所以匕-PBD=gspBD

2

由于P￡>=yAD?+PA=舊故APBD為等邊三角形,SPBD=；x后x后義號=5

所以勿PBD——X~~'h——nh=△叵,故③錯誤.

G-PBD32126

由③得點(diǎn)G到平面PBD的距離為軍，不妨設(shè)G在平面PBD的投影為H.

6

所以點(diǎn)C到平面PBD的距離為"

3

由于AC被BD平分,所以A到平面PBD的距離為顯

3

由②知AG±平面尸3。，所以AG三點(diǎn)共線，即A”=@

I-----------_V6

又A"二J，所以=

2~~6

因此點(diǎn)〃的軌跡圍成的圖形是以點(diǎn)”為圓心，以為半徑的圓,所以面積為兀=巴，故④正確.

6

故答案為：①②④

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題考查立體幾何中線面垂直關(guān)系的證明，異面直線所成角和

點(diǎn)到面的距離的求解,截面面積的求解問題,求解點(diǎn)到面的距離的常用方法是采用體積橋的方式,將問題轉(zhuǎn)化為三棱錐

高的問題的求解或者利用坐標(biāo)系，由法向量法求解..

三,解答題：本題共5小題,共60分.解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟.

19.已知空間中三點(diǎn)A（-2,0,2）,B（-l,l,2）,C（-3,0,3）,設(shè)a==AC.

（1）求.

（2）求向量力與向量b夾角的大小.

【答案】（1）1（2）120°

【分析】（1）（2）先求出a和6的坐標(biāo)，再借助坐標(biāo)運(yùn)算,數(shù)量積和夾角坐標(biāo)公式分別計(jì)算兩小問.

【小問1詳解】

已知4(—2,0,2),B(-l,l,2),C(-3,0,3).

a=AB=(-1-(-2),1-0,2-2)=(1,1,0).

6=AC=(-3-(-2),0-0,3-2)=(-1,0,1).

所以a+6=(1+(—l),l+0,0+l)=(0,l,l).

則a<a+6)=(l,L0>(0,Ll)=lx0+lxl+0xl=l.

【小問2詳解】

根據(jù)向量點(diǎn)積公式a/=|a||/?|cos0.

a-b=lx(-l)+lx0+0xl=-l.

Ia|=Vl2+12+02=A/2.

\b|=7(-l)2+02+l2=72.

_a-b-11

則rcos0=---------=—j=~~7==一一.

Ia||Z?IA/2X\/22

所以，=120°.

20.如圖，平行六面體ABC。-4用￡2中，以頂點(diǎn)A為端點(diǎn)的三條棱長都是1,

/BAD=90°,ZDA^=ZBAA1=60°,M為AG與耳。的交點(diǎn).設(shè)AB=a,AD^b,AAi=c.

(2)求3A1.AG的值.

【答案】(1)旦

2

(2)2

【分析】(1)先根據(jù)平行六面體的性質(zhì)找到向量之間的關(guān)系，用a涉］表示出再通過向量模的計(jì)算公式求出

|BM|的值.

UUU

(2)先求出AC一再根據(jù)向量數(shù)量積的運(yùn)算規(guī)則求出3M?AC］的值.

【小問1詳解】

因?yàn)槠叫辛骟wABCD-44G。中，"為AG與8禹的交點(diǎn).

所以“是AC中點(diǎn)，也是中點(diǎn).

又因?yàn)锳B=a,AD=b,AAl=c,且平行六面體中44=AB=a,AlDl—AD-b.

那么3M=g網(wǎng)

因?yàn)锽A——AB=c—d,BC[=BB{+4G=c+b.

—11一1-1

所以5M=_(c—a)+_(c+b)=-Z?——a+c.

2222

|BM|2=(-b-—a+c)2=—b2+—O1+c2-—a-b+c-b-c-a.

22442

因?yàn)?ft4D=90。，所以“2=0,又|Q|=|Z?|=|C|=1,ZDAA,=ZBAA,=60。.

所以c?〃=(??/?=|c||a|cos60°=lxlx—.

22

13Ml2=工*1+工義1+1_工*0+工_4=3,所以|5四|=、￡=逅.

442222\22

【小問2詳解】

因?yàn)锳C；=AB+AD+AA[=a+b+c.

所以BAf.AG=(c—ga+g人)?(a+b+c)

.r-21-1-<1,1,1r1,

=c-a+c-b+c——a2——a-b——a-c+—b-a+—b2+—b-c

222222

111^^11111^

=—l1-1------0+0—x—i1—x-=2.

22222222

21.如圖,正方體ABCD-A4GA棱長為2,點(diǎn)E是棱3c的中點(diǎn).

（1）求證：Bp//平面。GE.

（2）若點(diǎn)F是線段8。的中點(diǎn)，求直線止與平面。GE所成角的正弦值.

【答案】（1）證明見詳解，

⑵—

3

【分析】（1）連接2C,=。，得OE//B2,則根據(jù)線面平行的判定定理即可證明5。//平面。

（2）利用空間向量法,即可求直線。E與平面所成角的正弦值.

【小問1詳解】

連接DC，2。DG=。，連接OE.

o,E分別是D、C,BC的中點(diǎn)，:.OEHBD{.

又BD[U平面DCXE,OE<=平面DCXE.

/.BD}//平面。GE1.

【小問2詳解】

如圖所示，以點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以"所在直線為蒼-Z軸,建立空間直角坐標(biāo)系.

則。(0,0,0),G(0,2,2),￡(1,2,0),5(2,2,0),2(0,0,2),下(1,1,1).

：.DCX=(0,2,2),DE=(1,2,0),OF=(1,1,1)

設(shè)〃=（x,y,z）為平面DC*的一個法向量.

n-DCX=0[2y+2z=0

.二V，令1=2,得〃=(2,—1,1).

n-DE-0x+2y=0

設(shè)直線DF與平面DC]E所成角為e.

|￡)F-zz|

_2-1+1

sin。=

A/6x^/33

故直線DF與平面DC[E所成角的正弦值為正.

3

22.如圖，在四棱錐尸—ABCD中，F(xiàn)D，平面ABC。,AB〃CD,NADC=90°,且AD=CD=PD=2AB=2.

(2)求平面PAD與平面PBC夾角的余弦值.

9pr1

(3)在棱PB上是否存在點(diǎn)G（G與P,8不重合），使得0G與平面P3C所成角的正弦值為一？若存在，求一的

3PB

值,若不存在，說明理由.

【答案】（1）證明過程見解析

8

3)9-

【分析】（1）根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理,結(jié)合線面垂直的判定定理進(jìn)行證明即可.

（2）根據(jù)線面的垂直關(guān)系,建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量平面間夾角公式進(jìn)行求解即可.

（3）利用空間向量線面角夾角公式進(jìn)行求解即可.

【小問1詳解】

因?yàn)?，平面ABCD,ABu平面ABCD.

所以切,鉆.

又因?yàn)锳B〃CD,ZADC=90°.

所以ADSAB,而陽=。*。,「。匚平面巳40.

所以ABJ_平面？AD.

【小問2詳解】

因FD上平面ABCD,AD,CDu平面ABCD.

所以PD，CD,PDJ_A