緊扣解析幾何本質(zhì) 適應(yīng)新高考新變化

摘要：解析幾何是高中數(shù)學(xué)重要的教學(xué)內(nèi)容之一，在高考中占據(jù)較大分值，是考生必爭(zhēng)之地。近四年多省聯(lián)考和高考新課標(biāo)Ⅰ卷、Ⅱ卷中解析幾何試題有較多創(chuàng)新變化之處，尤其是2024年九省聯(lián)考試題、分值和命題方向都有較大調(diào)整。課題組對(duì)近四年多省聯(lián)考與高考解析幾何試題進(jìn)行分析，提出落實(shí)立德樹(shù)人根本任務(wù)、以系統(tǒng)復(fù)習(xí)為抓手建立知識(shí)體系、探尋試題課本根源拓展綜合能力，加強(qiáng)教學(xué)研究緊跟聯(lián)考導(dǎo)向等復(fù)習(xí)建議。關(guān)鍵詞：解析幾何；多省聯(lián)考；試題分析；新高考為適應(yīng)新高考的變化，引導(dǎo)教學(xué)，教育部考試中心廣泛調(diào)研，分別于2021年1月組織了八省聯(lián)考、2023年1月組織了四省聯(lián)考和2024年1月組織了九省聯(lián)考。廣西是2021年進(jìn)入新課程新高考改革的省份，2024年第一屆新高考即將落地，因此廣西招生考試院把2024年1月的九省聯(lián)考舉辦成高考適應(yīng)性演練，要求“全真、全員、全要素、全流程”實(shí)戰(zhàn)演練，確保新高考改革平穩(wěn)落地，幫助考生提前適應(yīng)并熟悉新高考的程序和環(huán)節(jié)，幫助各級(jí)招生考試機(jī)構(gòu)、考點(diǎn)和學(xué)校檢驗(yàn)新高考各項(xiàng)工作流程。近四年的多省聯(lián)考由教育部組織命制語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、外語(yǔ)三科試題，其他科目試題則由各省市組織命題。各學(xué)科聯(lián)考試題以新課程理念為指導(dǎo)思想，重點(diǎn)考查學(xué)科核心素養(yǎng)，檢驗(yàn)各省市教育教學(xué)的效果，目的在于指導(dǎo)教育教學(xué)的改革方向，也將為命制高考試題提供數(shù)據(jù)支撐。特別是2024年1月九省聯(lián)考數(shù)學(xué)學(xué)科的試題結(jié)構(gòu)有較大調(diào)整，引發(fā)廣大師生的強(qiáng)烈關(guān)注，對(duì)2024年高考試題結(jié)構(gòu)是否也會(huì)有相應(yīng)調(diào)整的討論不絕于耳。基于此，本研究以近四年三次聯(lián)考及相應(yīng)年份新課標(biāo)卷數(shù)學(xué)學(xué)科（含Ⅰ卷和Ⅱ卷）解析幾何試題為分析對(duì)象，對(duì)聯(lián)考后的高考備考提出建議。一、試題整體分析解析幾何是高中數(shù)學(xué)重要的知識(shí)內(nèi)容之一，筆者通過(guò)對(duì)近四年三套多省聯(lián)考與相應(yīng)年份高考新課標(biāo)Ⅰ卷、Ⅱ卷試題中以解析幾何為主要考查對(duì)象的試題進(jìn)行梳理和統(tǒng)計(jì)（統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下頁(yè)表1所示），得出以下基本結(jié)論。（一）落實(shí)人才選拔，突出核心素養(yǎng)縱觀近四年聯(lián)考試題與高考全國(guó)卷題解析幾何部分，全面落實(shí)了《中國(guó)高考評(píng)價(jià)體系》對(duì)“一核四層四翼”基本要求［1］?！耙缓恕奔丛囶}的核心功能，是為什么考，即“立德樹(shù)人、服務(wù)選材、引導(dǎo)教學(xué)”，解析幾何難度合理，涵蓋易、中、難不同類(lèi)型題目，具有選拔區(qū)分人才的價(jià)值?！八膶印奔疵}范圍，是考什么，即“核心價(jià)值、學(xué)科素養(yǎng)、關(guān)鍵能力、必備知識(shí)”，解析幾何對(duì)數(shù)學(xué)思維的要求較高，能充分體現(xiàn)學(xué)科素養(yǎng)與關(guān)鍵能力，尤其體現(xiàn)數(shù)學(xué)直觀、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理等數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，是數(shù)學(xué)的重點(diǎn)知識(shí)，需要重點(diǎn)考查?！八囊怼奔疵}方式，是怎么考，即“基本性、綜合性、應(yīng)用性、創(chuàng)新性”，對(duì)解析幾何的考查往往會(huì)涉及平面幾何、向量、解三角形等內(nèi)容，綜合性與應(yīng)用性較強(qiáng)，在試題情境、設(shè)問(wèn)方式上較為新穎和有創(chuàng)新性。（二）覆蓋完整內(nèi)容，結(jié)構(gòu)趨于穩(wěn)定近四年三次多省聯(lián)考與相應(yīng)年份四套高考全國(guó)卷試題中，除2023年四省聯(lián)考略少外，其他年份解析幾何基本穩(wěn)定在4個(gè)題目，即3小1大共27分，占全卷分值比例18.00%，分值占比較高，是重點(diǎn)考查內(nèi)容。即使是在2024年九省聯(lián)考試題結(jié)構(gòu)有較大變化的情況下，分值依舊是27分，占比不變。試題類(lèi)型覆蓋完整，有選擇題、填空題、解答題等多種題型，一般是選擇題2個(gè)，填空題和解答題各1個(gè)。兩個(gè)選擇題不同年份會(huì)靈活處理，或是兩個(gè)單選題，或是一個(gè)單選題一個(gè)多選題，往往一題較易，考查基礎(chǔ)性內(nèi)容，一題適中，考查關(guān)鍵能力和學(xué)科核心素養(yǎng)，兼具選拔區(qū)分功能。曲線模型和情境覆蓋完整，每套試題全面考查直線、圓、橢圓、雙曲線、拋物線等五種曲線，是重點(diǎn)考查內(nèi)容。試題難度覆蓋全面，易中難兼具，往往解答題較難，思維量和計(jì)算量較大，是全卷的壓軸題。（三）關(guān)注基本概念，注重必備知識(shí)根據(jù)《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》（以下簡(jiǎn)稱《課程標(biāo)準(zhǔn)》），在平面解析幾何教學(xué)中，應(yīng)關(guān)注基本概念的形成，知識(shí)的來(lái)源及產(chǎn)生過(guò)程需要“通過(guò)實(shí)例了解幾何圖形的背景”［2］，深刻理解概念和內(nèi)涵。熟悉解析幾何基本概念與必備知識(shí)的聯(lián)系，能“結(jié)合情境清晰地描述圖形的幾何特征與問(wèn)題”，并能建立坐標(biāo)系，運(yùn)用解析的方法分析平面曲線問(wèn)題并解決問(wèn)題。綜合表1所示，近四年多省聯(lián)考與高考全國(guó)卷試題中主要圍繞基本概念與必備知識(shí)進(jìn)行考查，具體體現(xiàn)在以下八個(gè)方面：①直線與圓相切、相交、相離等位置關(guān)系；②橢圓、雙曲線、拋物線的定義及方程；③橢圓和雙曲線焦點(diǎn)三角形為背景的問(wèn)題，④橢圓和雙曲線的離心率等幾何性質(zhì)；⑤拋物線的準(zhǔn)線等幾何性質(zhì)；⑥直線過(guò)定點(diǎn)；⑦點(diǎn)在定直線；⑧距離、弦長(zhǎng)或面積最值。（四）貫穿思想方法，強(qiáng)調(diào)關(guān)鍵能力在全面考查必備知識(shí)和基本概念的同時(shí)，還加強(qiáng)了對(duì)思想方法的考查。解析幾何涉及的思想方法較多，尤其強(qiáng)調(diào)數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想。數(shù)形結(jié)合就是幾何問(wèn)題代數(shù)化，代數(shù)問(wèn)題中找?guī)缀文Ｐ停ㄟ^(guò)數(shù)與形的結(jié)合，簡(jiǎn)化解題過(guò)程，促進(jìn)思維發(fā)展。解析幾何本質(zhì)上是平面幾何問(wèn)題，通過(guò)建立坐標(biāo)系，平面上的點(diǎn)與方程的解對(duì)應(yīng)，利用解析的方法解決平面幾何的問(wèn)題。坐標(biāo)系就是數(shù)形結(jié)合的紐帶，解析幾何可以說(shuō)是數(shù)形結(jié)合的典范。幾何問(wèn)題代數(shù)化后，就轉(zhuǎn)化成了函數(shù)與方程的求解問(wèn)題，因此解析幾何從始至終貫穿數(shù)學(xué)思想方法。關(guān)鍵能力是學(xué)生在面對(duì)新問(wèn)題新情境時(shí)提出問(wèn)題、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，是學(xué)科素養(yǎng)的外在體現(xiàn)。根據(jù)《課程標(biāo)準(zhǔn)》核心素養(yǎng)的要求，高中數(shù)學(xué)重點(diǎn)考查的關(guān)鍵能力有邏輯思維能力、運(yùn)算求解能力、空間想象能力、數(shù)學(xué)建模能力和創(chuàng)新能力。分析以上試題，對(duì)邏輯思維能力有較高要求的試題有2021年八省聯(lián)考第7題、第14題、第21題，2021年新課標(biāo)Ⅰ卷第11題、第21題，2021年新課標(biāo)Ⅱ卷第11題、第20題，2023年四省聯(lián)考第14題、第21題，2023年新課標(biāo)Ⅰ卷第6題、第16題、第22題，2023年新課標(biāo)Ⅱ卷第10題、第15題、第21題，2024年九省聯(lián)考第8題、第18題；對(duì)運(yùn)算求解能力有較高要求的試題有2021年八省聯(lián)考第7題、第21題，2021年新課標(biāo)Ⅰ卷第11題、第21題，2021年新課標(biāo)Ⅱ卷第11題、第20題，2023年四省聯(lián)考第21題，2023年新課標(biāo)Ⅰ卷第16題、第22題，2023年新課標(biāo)Ⅱ卷第15題、第21題，2024年九省聯(lián)考第8題、第18題；對(duì)創(chuàng)新能力有較高要求的試題有2021年八省聯(lián)考第7題、第14題、第21題，2021年新課標(biāo)Ⅰ卷第21題，2021年新課標(biāo)Ⅱ卷第20題，2023年四省聯(lián)考第21題，2023年新課標(biāo)Ⅰ卷第16題、第22題，2023年新課標(biāo)Ⅱ卷第15題、第21題，2024年九省聯(lián)考第8題、第18題。二、命題導(dǎo)向與試題分析（一）開(kāi)放、雙空、不良結(jié)構(gòu)等創(chuàng)新試題為選拔出真正的創(chuàng)新型人才，高考試題也進(jìn)行了創(chuàng)新，重點(diǎn)考查學(xué)生的能力素養(yǎng)和創(chuàng)新能力。高考試題的創(chuàng)新首先體現(xiàn)在呈現(xiàn)方式上。從2019年開(kāi)始，不良結(jié)構(gòu)、雙空、開(kāi)放性問(wèn)題、多選題等多種新穎的試題形式讓大家眼前一亮，但也讓不少考生措手不及。命制這類(lèi)試題是為了反刷題和反套路，引導(dǎo)教師和學(xué)生備考時(shí)減少無(wú)效機(jī)械記憶，關(guān)注概念的本質(zhì)和知識(shí)形成的過(guò)程，提升關(guān)鍵能力和數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)。例1（2021年八省聯(lián)考第14題）若正方形一條對(duì)角線所在直線的斜率為2，則該正方形的兩條鄰邊所在直線的斜率分別為

，

.例2（2023年新課標(biāo)Ⅱ卷第15題）已知直線[l：x-my+1=0]與[⊙C：（x-1）2+y2=4]交于A，B兩點(diǎn)，寫(xiě)出滿足“[△ABC]面積為[85]”的m的一個(gè)值

．評(píng)析：例1有多處創(chuàng)新。首先，試題呈現(xiàn)形式新穎，采用了雙空模式。其次，沒(méi)有明確給出坐標(biāo)系，沒(méi)有給出圖形，對(duì)考生的能力要求很高，考生需要做到心中有圖，心中有數(shù)。最后，解法新穎創(chuàng)新，可以采用直線的方向向量求解，也可以采用直線的夾角公式求解，還可以聯(lián)立對(duì)角線所在直線方程與正方形外接圓的方程，求出正方形四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)。夾角公式雖然不在《課程標(biāo)準(zhǔn)》中，但關(guān)注基本知識(shí)和基本概念的學(xué)生很容易利用正切兩角和差公式推導(dǎo)得到。例2是答案不唯一的開(kāi)放題，并且解題方法靈活創(chuàng)新，有多種求解方法。方法一，以三角形ABC的面積是定值，可以以AB為底，分別求出AB的弦長(zhǎng)和點(diǎn)C到直線AB的距離，進(jìn)一步得到和面積有關(guān)的方程，求出m的值。方法二，用兩邊夾一角的三角形面積公式，利用面積求出圓心角，再得到點(diǎn)C到直線AB的距離，進(jìn)一步得到m的值。方法三，通過(guò)觀察發(fā)現(xiàn)，直線過(guò)定點(diǎn)（-1，0），并且定點(diǎn)在圓上，設(shè)為A，以AC為底，結(jié)合三角形面積為定值，很容易求出點(diǎn)B的縱坐標(biāo)，進(jìn)而得到直線的斜率。（二）從基本概念基本圖形中提升綜合能力《課程標(biāo)準(zhǔn)》明確指出，在平面解析幾何學(xué)習(xí)中，應(yīng)“借助幾何圖形的特點(diǎn)，形成解決問(wèn)題的思路”［2］。橢圓與雙曲線的焦點(diǎn)是最基本的元素，在橢圓和雙曲線上取一點(diǎn)與兩焦點(diǎn)形成的三角形可以稱為焦點(diǎn)三角形，焦點(diǎn)三角形是橢圓和雙曲線中最基本最重要的圖形，緊密結(jié)合了橢圓和雙曲的定義，揭示了概念的本質(zhì)，是日常學(xué)習(xí)中重點(diǎn)研究對(duì)象。教師和學(xué)生需要對(duì)焦點(diǎn)三角形一類(lèi)問(wèn)題歸類(lèi)總結(jié)，提升綜合能力。例3（2024九省聯(lián)考第8題）設(shè)雙曲線[C：][x2a2]-[y2b2=1]（a＞0，b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的直線與C交于A，B兩點(diǎn)，[F1B=F1A]，[F2A?F2B=4a2]，則C的離心率為（

）A.[2]

B.2

C.[5]

D.[7]例4（2021年新課標(biāo)Ⅰ卷第5題）已知[F1]，[F2]是橢圓[C：][x29]+[y24=1]的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)M在C上，則[MF1·MF2]的最大值為（

）A.13

B.12

C.9

D.6例5（2021年八省聯(lián)考第4題）橢圓[x2m2+1]+[y2m2=1]（m＞0）的焦點(diǎn)為[F1]，[F2]，若[∠F1AF2=π3]，則m=（

）A.1

B.[2]C.[3]

D.2評(píng)析：例3至例5這三個(gè)試題類(lèi)型相似，以橢圓或雙曲線的焦點(diǎn)三角形為背景載體，考查橢圓或雙曲線的基本概念和性質(zhì)以及邏輯思維能力、運(yùn)算求解能力和數(shù)形結(jié)合思想，強(qiáng)調(diào)對(duì)知識(shí)的綜合理解和靈活應(yīng)用。焦點(diǎn)三角形與曲線的定義、正余弦定理、向量等平面幾何知識(shí)緊密聯(lián)系，可以延伸考查角的變化、面積的變化、離心率等問(wèn)題。除了焦點(diǎn)三角形是基本圖形，焦點(diǎn)弦、焦點(diǎn)弦三角形、中點(diǎn)弦、頂點(diǎn)三角形等常見(jiàn)圖形也需要?dú)w納整理通性通法，減少盲目刷題。（三）“多想少算”考查理性思維和核心素養(yǎng)例6（2024年九省聯(lián)考第18題）已知拋物線[C：y2=4x]的焦點(diǎn)為F，過(guò)F的直線l交C于A，B兩點(diǎn)，過(guò)F與l垂直的直線交C于D，E兩點(diǎn)，其中B，D在x軸上方，M，N分別為AB，DE的中點(diǎn)．（1）證明：直線MN過(guò)定點(diǎn)；（2）設(shè)G為直線AE與直線BD的交點(diǎn)，求[△GMN]面積的最小值．例7（2023年新課標(biāo)Ⅰ卷第22題）在直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)P到x軸的距離等于點(diǎn)P到點(diǎn)[0，12]的距離，記動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為W．（1）求W的方程；（2）已知矩形ABCD有三個(gè)頂點(diǎn)在W上，證明：矩形ABCD的周長(zhǎng)大于[33]．評(píng)析：例6和例7都是以拋物線為情境模型，考查拋物線與直線的位置關(guān)系、直線過(guò)定點(diǎn)、三角形的面積、弦長(zhǎng)問(wèn)題等。試題靈活性、綜合性強(qiáng)，突出創(chuàng)新思維，直接求解計(jì)算量大，在有限的時(shí)間難以得到正確結(jié)果，能夠有效地選拔出創(chuàng)新人才。例6共17分，分值高，不同于其他年份解析幾何解答題。2024年九省聯(lián)考整套試題結(jié)構(gòu)調(diào)整力度大，減少了題量，增加了思考時(shí)間，讓學(xué)生的能力得到充分展現(xiàn)。第（1）小問(wèn)思路較常規(guī)，但計(jì)算量不小，難度相當(dāng)于歷年高考試題的第（2）小問(wèn)。學(xué)生設(shè)直線AB的方程，利用韋達(dá)定理得到中點(diǎn)M的坐標(biāo)，同理得到N的坐標(biāo)，再得到MN的直線方程，進(jìn)一步得到直線過(guò)定點(diǎn)（3，0）。學(xué)生也可以根據(jù)對(duì)稱性確定定點(diǎn)在x軸上，從而減少計(jì)算量?！岸嘞肷偎恪钡睦砟钤诘冢?）小問(wèn)中體現(xiàn)得淋漓盡致，如果不加思索直接求解點(diǎn)G的坐標(biāo)，再得到三角形GMN的面積，計(jì)算量非常大。但考生如果能在緊張的考試中緩一緩、想一想，跳出思維框架，利用平面幾何的知識(shí)，將三角形GMN的面積轉(zhuǎn)化為四邊形ADMN的面積，問(wèn)題迎刃而解。例7第（1）小問(wèn)得到的方程不是標(biāo)準(zhǔn)拋物線，在解決第（2）小問(wèn)時(shí)，直接求兩相鄰弦長(zhǎng)，計(jì)算量也較大，若考生能等一等、想一想，將拋物線平移，轉(zhuǎn)化為基本圖形，則會(huì)簡(jiǎn)單很多?！岸嘞肷偎恪笔强疾榘渭鈩?chuàng)新能力的重要理念，教師要指導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)適當(dāng)聯(lián)想類(lèi)比、數(shù)形結(jié)合，跳出思維定式，從而求解問(wèn)題。三、復(fù)習(xí)備考建議（一）落實(shí)立德樹(shù)人根本任務(wù)《中國(guó)高考評(píng)價(jià)體系說(shuō)明》明確提出立德樹(shù)人是高考的根本任務(wù)［3］，高考評(píng)價(jià)要堅(jiān)持價(jià)值引領(lǐng)，強(qiáng)化育人功能和積極導(dǎo)向作用。立德樹(shù)人根本任務(wù)需要教師在課程和活動(dòng)中落地，主陣地還是課堂。數(shù)學(xué)教師要強(qiáng)化德育意識(shí)，全面育人，“德智體美勞”五育并舉，不唯智，不唯分。數(shù)學(xué)教人追求真理，不畏困難，勇于探索，敢于質(zhì)疑。數(shù)學(xué)中有大量中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，可以增強(qiáng)學(xué)生愛(ài)國(guó)熱情和民族自信；數(shù)學(xué)中包含大量美的東西，如圖形對(duì)稱美、公式簡(jiǎn)潔美、表述簡(jiǎn)約美、思維靈巧美；數(shù)學(xué)知識(shí)中有很多哲學(xué)道理，如對(duì)立統(tǒng)一、有限包含無(wú)限等。因此，教師在日常教學(xué)中要注意言談舉止，注重言傳身教，堅(jiān)持人才培養(yǎng)和人才選拔的國(guó)家戰(zhàn)略。（二）以系統(tǒng)復(fù)習(xí)為抓手建立知識(shí)體系解析幾何的學(xué)習(xí)過(guò)程就是在坐標(biāo)系下重新學(xué)習(xí)認(rèn)識(shí)直線、圓、橢圓、雙曲線和拋物線，并利用函數(shù)與方程研究幾何性質(zhì)，總體來(lái)說(shuō)就是研究軌跡方程及其性質(zhì)的過(guò)程。在高三備考復(fù)習(xí)教學(xué)中，教師要重視系統(tǒng)復(fù)習(xí)，要求學(xué)生歸納類(lèi)比，完成知識(shí)遷移，完善知識(shí)網(wǎng)絡(luò)體系。例如，“一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到一個(gè)定點(diǎn)的距離為定值”，遷移至“一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和為定值”，再延伸至“一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之差為定值”的軌跡。垂徑定理是圓的重要性質(zhì)，教師要引導(dǎo)學(xué)生對(duì)比聯(lián)想橢圓和雙曲線是否具有類(lèi)似的性質(zhì)。通過(guò)系統(tǒng)類(lèi)比，學(xué)生既能整體認(rèn)識(shí)各種曲線的關(guān)系，建立知識(shí)體系，又能獲得通性通法，減少機(jī)械刷題，關(guān)注本質(zhì)，淡化技巧。（三）探尋試題課本根源拓展綜合能力教師在復(fù)習(xí)備考中，常常將課本置于一邊而不顧，實(shí)際上教材例題、習(xí)題、課后閱讀材料也是復(fù)習(xí)的重要資料。例8（2023年新課標(biāo)Ⅱ卷第10題）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線y=[-3（x-1）]過(guò)拋物線[C：y2=2px]（p