福建省泉州市德化第一中學(xué)2023-2024學(xué)年高三5月四校聯(lián)考數(shù)學(xué)試題

福建省泉州市德化第一中學(xué)2023-2024學(xué)年高三5月四校聯(lián)考數(shù)學(xué)試題注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若，，，點C在AB上，且，設(shè)，則的值為（）A． B． C． D．2．已知拋物線的焦點為，準(zhǔn)線與軸的交點為，點為拋物線上任意一點的平分線與軸交于，則的最大值為A． B． C． D．3．已知復(fù)數(shù)，則的虛部為（）A．－1 B． C．1 D．4．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入，，則輸出的值為（）A．0 B．1 C． D．5．在“一帶一路”知識測驗后，甲、乙、丙三人對成績進(jìn)行預(yù)測．甲：我的成績比乙高．乙：丙的成績比我和甲的都高．丙：我的成績比乙高．成績公布后，三人成績互不相同且只有一個人預(yù)測正確，那么三人按成績由高到低的次序為A．甲、乙、丙 B．乙、甲、丙C．丙、乙、甲 D．甲、丙、乙6．已知向量與向量平行，，且，則（）A． B．C． D．7．復(fù)數(shù)（）．A． B． C． D．8．如圖所示，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為，粗線畫出的是某多面體的三視圖，則該幾何體的各個面中最大面的面積為（）A． B． C． D．9．若復(fù)數(shù)（是虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限10．已知分別為雙曲線的左、右焦點，過的直線與雙曲線的左、右兩支分別交于兩點，若，則雙曲線的離心率為（）A． B．4 C．2 D．11．設(shè)，則復(fù)數(shù)的模等于()A． B． C． D．12．觀察下列各式：，，，，，，，，根據(jù)以上規(guī)律，則（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知橢圓與雙曲線有相同的焦點、，其中為左焦點.點為兩曲線在第一象限的交點，、分別為曲線、的離心率，若是以為底邊的等腰三角形，則的取值范圍為________.14．設(shè)P為有公共焦點的橢圓與雙曲線的一個交點，且，橢圓的離心率為，雙曲線的離心率為，若，則______________.15．在中，，，，則__________．16．若點為點在平面上的正投影，則記.如圖，在棱長為1的正方體中，記平面為，平面為，點是線段上一動點，.給出下列四個結(jié)論：①為的重心；②；③當(dāng)時，平面；④當(dāng)三棱錐的體積最大時，三棱錐外接球的表面積為.其中，所有正確結(jié)論的序號是________________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在三棱柱中，，，，且.（1）求證：平面平面；（2）設(shè)二面角的大小為，求的值.18．（12分）已知橢圓，左、右焦點為，點為上任意一點，若的最大值為3，最小值為1.（1）求橢圓的方程；（2）動直線過點與交于兩點，在軸上是否存在定點，使成立，說明理由.19．（12分）已知函數(shù)，．（1）當(dāng)時，討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若，當(dāng)時，函數(shù)，求函數(shù)的最小值．20．（12分）如圖，在四棱柱中，底面為菱形，.（1）證明：平面平面；（2）若，是等邊三角形，求二面角的余弦值.21．（12分）已知等差數(shù)列和等比數(shù)列的各項均為整數(shù)，它們的前項和分別為，且，.（1）求數(shù)列，的通項公式；（2）求；（3）是否存在正整數(shù)，使得恰好是數(shù)列或中的項？若存在，求出所有滿足條件的的值；若不存在，說明理由.22．（10分）每年的寒冷天氣都會帶熱“御寒經(jīng)濟(jì)”，以交通業(yè)為例，當(dāng)天氣太冷時，不少人都會選擇利用手機(jī)上的打車軟件在網(wǎng)上預(yù)約出租車出行,出租車公司的訂單數(shù)就會增加.下表是某出租車公司從出租車的訂單數(shù)據(jù)中抽取的5天的日平均氣溫(單位：℃)與網(wǎng)上預(yù)約出租車訂單數(shù)(單位：份)；日平均氣溫（℃）642網(wǎng)上預(yù)約訂單數(shù)100135150185210（1）經(jīng)數(shù)據(jù)分析，一天內(nèi)平均氣溫與該出租車公司網(wǎng)約訂單數(shù)（份）成線性相關(guān)關(guān)系，試建立關(guān)于的回歸方程，并預(yù)測日平均氣溫為時,該出租車公司的網(wǎng)約訂單數(shù)；（2）天氣預(yù)報未來5天有3天日平均氣溫不高于，若把這5天的預(yù)測數(shù)據(jù)當(dāng)成真實的數(shù)據(jù)，根據(jù)表格數(shù)據(jù)，則從這5天中任意選取2天，求恰有1天網(wǎng)約訂單數(shù)不低于210份的概率.附：回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計分別為：

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】

利用向量的數(shù)量積運(yùn)算即可算出．【詳解】解：，，又在上，故選：【點睛】本題主要考查了向量的基本運(yùn)算的應(yīng)用，向量的基本定理的應(yīng)用及向量共線定理等知識的綜合應(yīng)用．2、A【解析】

求出拋物線的焦點坐標(biāo)，利用拋物線的定義，轉(zhuǎn)化求出比值，，求出等式左邊式子的范圍，將等式右邊代入，從而求解．【詳解】解：由題意可得，焦點F（1，0），準(zhǔn)線方程為x＝?1，

過點P作PM垂直于準(zhǔn)線，M為垂足，

由拋物線的定義可得|PF|＝|PM|＝x＋1，

記∠KPF的平分線與軸交于

根據(jù)角平分線定理可得，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，，綜上：．故選：A．【點睛】本題主要考查拋物線的定義、性質(zhì)的簡單應(yīng)用，直線的斜率公式、利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵．考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．3、A【解析】

分子分母同乘分母的共軛復(fù)數(shù)即可.【詳解】，故的虛部為.故選：A.【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，考查學(xué)生運(yùn)算能力，是一道容易題.4、A【解析】

根據(jù)輸入的值大小關(guān)系，代入程序框圖即可求解.【詳解】輸入，，因為，所以由程序框圖知，輸出的值為.故選：A【點睛】本題考查了對數(shù)式大小比較，條件程序框圖的簡單應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.5、A【解析】

利用逐一驗證的方法進(jìn)行求解.【詳解】若甲預(yù)測正確，則乙、丙預(yù)測錯誤，則甲比乙成績高，丙比乙成績低，故3人成績由高到低依次為甲，乙，丙；若乙預(yù)測正確，則丙預(yù)測也正確，不符合題意；若丙預(yù)測正確，則甲必預(yù)測錯誤，丙比乙的成績高，乙比甲成績高，即丙比甲，乙成績都高，即乙預(yù)測正確，不符合題意，故選A．【點睛】本題將數(shù)學(xué)知識與時政結(jié)合，主要考查推理判斷能力．題目有一定難度，注重了基礎(chǔ)知識、邏輯推理能力的考查．6、B【解析】

設(shè)，根據(jù)題意得出關(guān)于、的方程組，解出這兩個未知數(shù)的值，即可得出向量的坐標(biāo).【詳解】設(shè)，且，，由得，即，①，由，②，所以，解得，因此，.故選：B.【點睛】本題考查向量坐標(biāo)的求解，涉及共線向量的坐標(biāo)表示和向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，考查計算能力，屬于中等題.7、A【解析】試題分析：，故選A.【考點】復(fù)數(shù)運(yùn)算【名師點睛】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運(yùn)算的法則是進(jìn)行復(fù)數(shù)運(yùn)算的理論依據(jù)，加減運(yùn)算類似于多項式的合并同類項，乘法法則類似于多項式的乘法法則，除法運(yùn)算則先將除式寫成分式的形式，再將分母實數(shù)化.8、B【解析】

根據(jù)三視圖可以得到原幾何體為三棱錐，且是有三條棱互相垂直的三棱錐，根據(jù)幾何體的各面面積可得最大面的面積．【詳解】解：分析題意可知，如下圖所示，該幾何體為一個正方體中的三棱錐，最大面的表面邊長為的等邊三角形，故其面積為，故選B．【點睛】本題考查了幾何體的三視圖問題，解題的關(guān)鍵是要能由三視圖解析出原幾何體，從而解決問題．9、A【解析】

將整理成的形式，得到復(fù)數(shù)所對應(yīng)的的點，從而可選出所在象限.【詳解】解：，所以所對應(yīng)的點為在第一象限.故選:A.【點睛】本題考查了復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算，考查了復(fù)數(shù)對應(yīng)的坐標(biāo).易錯點是誤把當(dāng)成進(jìn)行計算.10、A【解析】

由已知得，，由已知比值得，再利用雙曲線的定義可用表示出，，用勾股定理得出的等式，從而得離心率．【詳解】.又，可令，則.設(shè)，得，即，解得，∴,,由得，，，該雙曲線的離心率.故選：A.【點睛】本題考查求雙曲線的離心率，解題關(guān)鍵是由向量數(shù)量積為0得出垂直關(guān)系，利用雙曲線的定義把雙曲線上的點到焦點的距離都用表示出來，從而再由勾股定理建立的關(guān)系．11、C【解析】

利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算法則進(jìn)行化簡,再由復(fù)數(shù)模的定義求解即可.【詳解】因為,所以,由復(fù)數(shù)模的定義知,.故選:C【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算法則和復(fù)數(shù)的模;考查運(yùn)算求解能力;屬于基礎(chǔ)題.12、B【解析】

每個式子的值依次構(gòu)成一個數(shù)列，然后歸納出數(shù)列的遞推關(guān)系后再計算．【詳解】以及數(shù)列的應(yīng)用根據(jù)題設(shè)條件，設(shè)數(shù)字，，，，，，，構(gòu)成一個數(shù)列，可得數(shù)列滿足，則，，．故選：B．【點睛】本題主要考查歸納推理，解題關(guān)鍵是通過數(shù)列的項歸納出遞推關(guān)系，從而可確定數(shù)列的一些項．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

設(shè)，由橢圓和雙曲線的定義得到，根據(jù)是以為底邊的等腰三角形，得到，從而有，根據(jù)，得到，再利用導(dǎo)數(shù)法求的范圍.【詳解】設(shè)，由橢圓的定義得，由雙曲線的定義得，所以，因為是以為底邊的等腰三角形，所以，即，因為，所以，因為，所以，所以，即，而，因為，所以在上遞增，所以.故答案為：【點睛】本題主要考查橢圓，雙曲線的定義和幾何性質(zhì)，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.14、【解析】設(shè)根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)可得,根據(jù)雙曲線的幾何性質(zhì)可得，,即故答案為15、1【解析】

由已知利用余弦定理可得，即可解得的值．【詳解】解：，，，由余弦定理，可得，整理可得：，解得或（舍去）．故答案為：1．【點睛】本題主要考查余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．16、①②③【解析】

①點在平面內(nèi)的正投影為點，而正方體的體對角線與和它不相交的的面對角線垂直，所以直線垂直于平面，而為正三角形，可得為正三角形的重心，所以①是正確的；②取的中點，連接，則點在平面的正投影在上，記為，而平面平面，所以，所以②正確；③若設(shè)，則由可得，然后對應(yīng)邊成比例，可解，所以③正確；④由于，而的面積是定值，所以當(dāng)點到平面的距離最大時，三棱錐的體積最大，而當(dāng)點與點重合時，點到平面的距離最大，此時為棱長為的正四面體，其外接球半徑，則球，所以④錯誤.【詳解】因為，連接，則有平面平面為正三角形，所以為正三角形的中心，也是的重心，所以①正確；由平面，可知平面平面，記，由，可得平面平面，則，所以②正確；若平面，則，設(shè)由得，易得，由，則，由得，，解得，所以③正確；當(dāng)與重合時，最大，為棱長為的正四面體，其外接球半徑，則球，所以④錯誤.故答案為：①②③【點睛】此題考查立體幾何中的垂直、平行關(guān)系，求幾何體的體積，考查空間想象能力和推理能力，屬于難題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析；（2）.【解析】

（1）要證明平面平面，只需證明平面即可；（2）取的中點D，連接BD，以B為原點，以，，的方向分別為x，y，z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，分別計算平面的法向量為與平面的法向量為，利用夾角公式計算即可.【詳解】（1）在中，，所以，即.因為，，，所以.所以，即.又，所以平面.又平面，所以平面平面.（2）由題意知，四邊形為菱形，且，則為正三角形，取的中點D，連接BD，則.以B為原點，以，，的方向分別為x，y，z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，.設(shè)平面的法向量為，且，.由得取.由四邊形為菱形，得；又平面，所以；又，所以平面，所以平面的法向量為.所以.故.【點睛】本題考查面面垂直的判定定理以及利用向量法求二面角正弦值的問題，在利用向量法時，關(guān)鍵是點的坐標(biāo)要寫準(zhǔn)確，本題是一道中檔題.18、（1）（2）存在；詳見解析【解析】

（1）由橢圓的性質(zhì)得，解得后可得，從而得橢圓方程；（2）設(shè)，當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)為，代入橢圓方程，整理后應(yīng)用韋達(dá)定理得，代入＝0由恒成立問題可求得．驗證斜率不存在時也適合即得．【詳解】解：（1）由題易知解得，所以橢圓方程為（2）設(shè)當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)為與橢圓方程聯(lián)立得，顯然所以因為化簡解得即所以此時存在定點滿足題意當(dāng)直線斜率不存在時，顯然也滿足綜上所述，存在定點，使成立【點睛】本題考查求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓相交問題中的定點問題，解題方法是設(shè)而不求的思想方法．設(shè)而不求思想方法是直線與圓錐曲線相交問題中常用方法，只要涉及交點坐標(biāo)，一般就用此法．19、（1）見解析（2）的最小值為【解析】

（1）由題可得函數(shù)的定義域為，，當(dāng)時，，令，可得；令，可得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，令，可得；令，可得或，所以函數(shù)在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，恒成立，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增．綜上，當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，函數(shù)在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增．（2）方法一：當(dāng)時，，，設(shè)，，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號．當(dāng)時，設(shè)，則，所以，設(shè)，，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，，所以存在，使得，所以當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，因為，，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號．所以當(dāng)時，函數(shù)取得最小值，且，故函數(shù)的最小值為．方法二：當(dāng)時，，，則，令，，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，又，所以存在，使得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，因為，所以當(dāng)時，恒成立，所以當(dāng)時，恒成立，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以函數(shù)的最小值為．20、（1）證明見解析（2）【解析】

（1）根據(jù)面面垂直的判定定理可知，只需證明平面即可．由為菱形可得，連接和與的交點，由等腰三角形性質(zhì)可得，即能證得平面；（2）由題意知，平面，可建立空間直角坐標(biāo)系，以為坐標(biāo)原點，所在直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸，再分別求出平面的法向量，平面的法向量，即可根據(jù)向量法求出二面角的余弦值．【詳解】（1）如圖，設(shè)與相交于點，連接，又為菱形，故，為的中點.又，故.又平面，平面，且，故平面，又平面，所以平面平面.（2）由是等邊三角形，可得，故平面，所以，，兩兩垂直.如圖以為坐標(biāo)原點，所在直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系.不妨設(shè)，則，，則，，，，，，設(shè)為平面的法向量，則即可取，設(shè)為平面的