人教版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第三冊(cè)第六章 計(jì)數(shù)原理 章末單元測(cè)試（含解析）

人教版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第三冊(cè)第六章計(jì)數(shù)原理章末單元測(cè)試（原卷版）

一、單選題（每題只有一個(gè)選項(xiàng)為正確答案，每題5分，8題共40分）

1.（2020?全國(guó)高二單元測(cè)試）若且a<20,則（27—a）（28-a）…（34—a）等于（）

2.（2020?全國(guó)高二課時(shí)練習(xí)）下列問(wèn)題屬于排列問(wèn)題的是（）

①?gòu)?0個(gè)人中選2人分別去種樹(shù)和掃地；

②從10個(gè)人中選2人去掃地；

③從班上30名男生中選出5人組成一個(gè)籃球隊(duì)；

④從數(shù)字5,6,7,8中任取兩個(gè)不同的數(shù)作為log,b中的底數(shù)與真數(shù)

A.①④B.①②C.④D.①③④

3.（2020?全國(guó)高二單元測(cè)試）用數(shù)字1,2,3,4,6可以組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的五位偶數(shù)有（）

A.48個(gè)B.64個(gè)

C.72個(gè)D.90個(gè)

（2020?貴州省黎平縣第三中學(xué)高二期末）x的展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為（

D.-10

5.（2020?三門(mén)峽市外國(guó)語(yǔ)高級(jí)中學(xué)高二期中）如圖，小圓圈表示網(wǎng)絡(luò)的結(jié)點(diǎn)，結(jié)點(diǎn)之間的連線表示它們

有網(wǎng)相聯(lián).連線標(biāo)注的數(shù)字表示該段網(wǎng)線單位時(shí)間內(nèi)可以通過(guò)的最大信息量，現(xiàn)從結(jié)點(diǎn)8向結(jié)點(diǎn)/傳遞信

息，信息可以分開(kāi)沿不同的路線同時(shí)傳遞，則單位時(shí)間內(nèi)傳遞的最大信息量為（）

6.（2021?廣東）（x-iy（x+2）展開(kāi)式中含爐項(xiàng)的系數(shù)為（）

A.25B.5C.-15D.-20

7.（2020?廣東佛山市）將編號(hào)為1,2,3,4,5,6,7的小球放入編號(hào)為1,2,3,4,5,6,7的七個(gè)

盒子中，每盒放一球，若有且只有三個(gè)盒子的編號(hào)與放入的小球的編號(hào)相同，則不同的放法種數(shù)為（）

A.315B.640C.840D.5040

8.（2020?南昌市八一中學(xué)高二月考）2020年初，湖北成為全國(guó)新冠疫情最嚴(yán)重的省份，面臨醫(yī)務(wù)人員不

足和醫(yī)療物資緊缺等諸多困難，全國(guó)人民心系湖北，志愿者紛紛馳援.現(xiàn)有四名志愿者醫(yī)生被分配到/、2、

C、。四所不同的鄉(xiāng)鎮(zhèn)醫(yī)院中，若每所醫(yī)院都要分配一名醫(yī)生，則醫(yī)生甲恰好分配到/醫(yī)院的概率為（）

1111

A.—B.-C.—D.一

12643

二、多選題（每題有多個(gè)選項(xiàng)為正確答案，每題5分，4題共20分）

9.（2020?江蘇揚(yáng)州市）在（a-b廠的展開(kāi)式中，系數(shù)最大的項(xiàng)是第（）項(xiàng).

A.8B.9C.10D.11

6

10.（2020?江蘇省太湖級(jí)中學(xué)IWI二期中）設(shè)（2x+1），=a。+q（x+1）+出（％+1）-++6Z6（x+1）?下

列結(jié)論正確的是（）

A.%—%+電—%+=36B.=100

C.%,%，%，，％,中最大的是D.當(dāng)x=999時(shí)，（2x+1）6除以2000的余數(shù)是1

11.（2020?江蘇宿遷市）對(duì)于（a+b）"（〃eN*）展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)下列結(jié)論正確的是（）

B-M+CK

C.當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)，C；+C：+C；+...+C：=2"D.-1

12.（2020?湖南）關(guān)于二項(xiàng)式［z-jj的展開(kāi)式，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

A.展開(kāi)式所有的系數(shù)和為1B.展開(kāi)式二項(xiàng)式的系數(shù)和為32

C.展開(kāi)式中不含x3項(xiàng)D.常數(shù)項(xiàng)為120

三、填空題（每5分，4題共20分，雙空題第一空2分，第二空3分）

2019

13.（2020?蘇州新草橋中學(xué)高二期中）若（1-2X）2°I9=4+為x++（z2019x（xeJ?）,則

及+fi+L+靛的值為-

14.（2020?河北石家莊市）現(xiàn)有紅、黃、藍(lán)三種顏色，對(duì)如圖所示的正五角星的內(nèi)部涂色（分割成六個(gè)不

同部分），要求每個(gè)區(qū)域涂一種顏色且相鄰部分（有公共邊的兩個(gè)區(qū)域）的顏色不同，則不同的涂色方案有

種.（用數(shù)字作答）.

15.（2020?新疆）若（a+x）（l+x）4的展開(kāi)式關(guān)于x的系數(shù)和為64,則展開(kāi)式中含丁項(xiàng)的系數(shù)為.

16.（2020?浙江臺(tái)州市?高二期中）在二項(xiàng)式（x+4］的展開(kāi)式中第3項(xiàng)與第7項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，5

項(xiàng)的系數(shù)為;各項(xiàng)系數(shù)之和為.（用數(shù)字作答）

四、解答題（17題10分，其余每題12分，共70分）

17.（2020?遼寧高二期末）在①只有第八項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，②奇數(shù)項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)之和為4,，③各項(xiàng)系

數(shù)之和為4",這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中，若問(wèn)題中的左存在，求左的值；若左不存在，

說(shuō)明理由.

，是否存在整數(shù)左，使得？是展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)？

注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答給分.

18.（2020?防城港市）5個(gè)男同學(xué)和4個(gè)女同學(xué)站成一排

（1）4個(gè)女同學(xué)必須站在一起，有多少種不同的排法?

（2）任何兩個(gè)女同學(xué)彼此不相鄰，有多少種不同的排法?

（3）其中甲、乙兩同學(xué)之間必須有3人，有多少種不同的排法?

（4）男生和女生相間排列方法有多少種？

19.（2020?全國(guó)高二單元測(cè)試）按照下列要求，分別求有多少種不同的方法？（用數(shù)字作答）

（1）6個(gè)不同的小球放入4個(gè)不同的盒子；

（2）6個(gè)不同的小球放入4個(gè)不同的盒子,每個(gè)盒子至少一個(gè)小球；

（3）6個(gè)相同的小球放入4個(gè)不同的盒子,每個(gè)盒子至少一個(gè)小球；

（4）6個(gè)不同的小球放入4個(gè)不同的盒子，恰有1個(gè)空盒.

20.（2018?天津靜海區(qū)）在（2x-3團(tuán)"的展開(kāi)式中，求:

（1）二項(xiàng)式系數(shù)的和；

（2）各項(xiàng)系數(shù)的和；

（3）奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和與偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和；

（4）奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)和與偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)和；

（5）x的奇次項(xiàng)系數(shù)和與x的偶次項(xiàng)系數(shù)和.

21.(2020?湖北潛江市)已知數(shù)列｛4｝的首項(xiàng)為1,令/(〃)=%&+電0；++a“C：(nwN*).

(1)若｛%｝為常數(shù)列，求/(〃)的解析式；

(2)若｛%｝是公比為3的等比數(shù)列，試求數(shù)列｛3/(")+1｝的前〃項(xiàng)和

22.(2020?江蘇全國(guó))在楊輝三角形中，從第2行開(kāi)始，除1以外，其它每一個(gè)數(shù)值是它上面的兩個(gè)數(shù)值

之和，該三角形數(shù)陣開(kāi)頭幾行如圖所示.

第。行1

第I行11

第2行I2I

第3行1331

第4行146$I

革5行I510105(

第6行1615201561

(1)在楊輝三角形中是否存在某一行，使該行中三個(gè)相鄰的數(shù)之比是3：4：5?若存在，試求出是第幾行；

若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

(2)己知n,r為正整數(shù)，且n2r+3.求證：任何四個(gè)相鄰的組合數(shù)C,C1C",C”不能構(gòu)成等差數(shù)列.

人教版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第三冊(cè)第六章計(jì)數(shù)原理章末單元測(cè)試（解析版）

一、單選題（每題只有一個(gè)選項(xiàng)為正確答案，每題5分，8題共40分）

1.（2020?全國(guó)高二單元測(cè)試）若a6M，且a<20,則（27—a）（28—a）…（34—a）等于（）

A-B.

C.D.蜀

【答案】D

【解析】十一“=」：4一（27-a）（28-a）...（34-a）.故選:D

（34-0-8）!

2.（2020?全國(guó)高二課時(shí)練習(xí)）下列問(wèn)題屬于排列問(wèn)題的是（）

①?gòu)?0個(gè)人中選2人分別去種樹(shù)和掃地；

②從10個(gè)人中選2人去掃地；

③從班上30名男生中選出5人組成一個(gè)籃球隊(duì)；

④從數(shù)字5,6,7,8中任取兩個(gè)不同的數(shù)作為log,b中的底數(shù)與真數(shù)

A.①④B.①②C.④D.①③④

【答案】A

【解析】排列的概念：從〃個(gè)元素中取加（加<〃）個(gè)元素，按照一定順序排成一列，

由題可知：①④中元素的選取有順序，②③中元素的選取無(wú)順序，

由此可判斷出：①④是排列問(wèn)題，故選：A.

3.（2020?全國(guó)高二單元測(cè)試）用數(shù)字1,2,3,4,6可以組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的五位偶數(shù)有（）

A.48個(gè)B.64個(gè)

C.72個(gè)D.90個(gè)

【答案】C

【解析】滿足條件的五位偶數(shù)有：H?團(tuán)=3x4x3x2x1=72.故選：C.

1丫

4.(2020?貴州省黎平縣第三中學(xué)高二期末）X1-的展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為（)

A.-5B.5C.10D.-10

【答案】C

51」

【解析】由題得二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)為。X1廣’（——y=（—iyc）2

令—」所以所求常數(shù)項(xiàng)為；

gr=—1,.=2.xC=10.故選:C.

5.（2020?三門(mén)峽市外國(guó)語(yǔ)高級(jí)中學(xué)高二期中）如圖，小圓圈表示網(wǎng)絡(luò)的結(jié)點(diǎn)，結(jié)點(diǎn)之間的連線表示它們

有網(wǎng)相聯(lián).連線標(biāo)注的數(shù)字表示該段網(wǎng)線單位時(shí)間內(nèi)可以通過(guò)的最大信息量，現(xiàn)從結(jié)點(diǎn)5向結(jié)點(diǎn)/傳遞信

息，信息可以分開(kāi)沿不同的路線同時(shí)傳遞，則單位時(shí)間內(nèi)傳遞的最大信息量為（）

A.26B.24C.20D.19

【答案】D

【解析】依題意，首先找出/到5的路線，

①單位時(shí)間內(nèi)從結(jié)點(diǎn)/經(jīng)過(guò)上面一個(gè)中間節(jié)點(diǎn)向結(jié)點(diǎn)8傳遞的最大信息量，從結(jié)點(diǎn)/向中間的結(jié)點(diǎn)傳出12

個(gè)信息量，在該結(jié)點(diǎn)處分流為6個(gè)和5個(gè)，此時(shí)信息量為11；再傳到結(jié)點(diǎn)B最大傳遞分別是4個(gè)和3個(gè)，

此時(shí)信息量為3+4=7個(gè).

②單位時(shí)間內(nèi)從結(jié)點(diǎn)/經(jīng)過(guò)下面一個(gè)中間結(jié)點(diǎn)向結(jié)點(diǎn)B傳遞的最大信息量是12個(gè)信息量，在中間結(jié)點(diǎn)分流

為6個(gè)和8個(gè)，但此時(shí)總信息量為12（因?yàn)榭偣仓挥?2個(gè)信息量）；再往下到結(jié)點(diǎn)B最大傳遞7個(gè)但此時(shí)

前一結(jié)點(diǎn)最多只有6個(gè)，另一條路線到最大只能傳輸6個(gè)結(jié)點(diǎn)所以此時(shí)信息量為6+6=12個(gè).

③綜合以上結(jié)果，單位時(shí)間內(nèi)從結(jié)點(diǎn)方向結(jié)點(diǎn)/傳遞的最大信息量是3+4+6+6=19個(gè).

故選：D.

6.（2021?廣東）（x-iy（x+2）展開(kāi)式中含爐項(xiàng)的系數(shù)為（）

A.25B.5C.-15D.-20

【答案】C

【解析】展開(kāi)式通項(xiàng)4+1=（-,

令5一廠=2可得r=3,令5—〃=1可得尸=4；

??.含/項(xiàng)的系數(shù)為：C；-2C；=T5.故選：C.

7.（2020?廣東佛山市）將編號(hào)為1,2,3,4,5,6,7的小球放入編號(hào)為1,2,3,4,5,6,7的七個(gè)

盒子中，每盒放一球，若有且只有三個(gè)盒子的編號(hào)與放入的小球的編號(hào)相同，則不同的放法種數(shù)為（）

A.315B.640C.840D.5040

【答案】A

【解析】有三個(gè)盒子的編號(hào)與放入的小球的編號(hào)相同有C：=35種放法，

剩下的4個(gè)小球放入與小球編號(hào)不同的盒子有=9種放法，

所以有且只有三個(gè)盒子的編號(hào)與放入的小球的編號(hào)相同，則不同的放法種數(shù)為35x9=315種，

故選：A

8.（2020?南昌市八一中學(xué)高二月考）2020年初，湖北成為全國(guó)新冠疫情最嚴(yán)重的省份，面臨醫(yī)務(wù)人員不

足和醫(yī)療物資緊缺等諸多困難，全國(guó)人民心系湖北，志愿者紛紛馳援.現(xiàn)有四名志愿者醫(yī)生被分配到/、2、

四所不同的鄉(xiāng)鎮(zhèn)醫(yī)院中，若每所醫(yī)院都要分配一名醫(yī)生，則醫(yī)生甲恰好分配到/醫(yī)院的概率為（）

1111

A.—B.-C.—D.一

12643

【答案】C

【解析】基本事件總數(shù)〃==24,醫(yī)生甲恰好分配到到A醫(yī)院包含的基本事件個(gè)數(shù)加=/；=6,

加6I

所以醫(yī)生甲恰好分配到/醫(yī)院的概率為夕=了=五=4.故選：C.

二、多選題（每題有多個(gè)選項(xiàng)為正確答案，每題5分，4題共20分）

9.（2020?江蘇揚(yáng)州市）在（a-人廠的展開(kāi)式中，系數(shù)最大的項(xiàng)是第（）項(xiàng).

A.8B.9C.10D.11

【答案】BD

【解析】（a-b廠的二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)為展開(kāi)式共19項(xiàng)，其中第10項(xiàng)的二項(xiàng)式系

數(shù)最大，但展開(kāi)式的系數(shù)為負(fù)數(shù)，第9項(xiàng)和第11項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)即系數(shù)相等且最大，故選：BD

6

10.（2020?江蘇省太湖IWJ級(jí)中學(xué)IWJ二期中）設(shè)（2x+1），=a。+q（x+1）+%（x+1）?++ct6（x+1）,下

列結(jié)論正確的是（）

A.CIQ-q+a,—%+%=3B.。2+。3=10°

D.當(dāng)x=999時(shí)，(2x+1,除以2000的余數(shù)是1

c.aA,a2,a3,,%,中最大的是4

【答案】ABD

6626

[解析】由(2x+1)=(2(x+1)-1)，=[1-2(x+1)]=a0+aA(x+1)+a2(x+1)++a6(x+1)，

23

得a°=Cla.=2C>2=2C>3=2C；，&=24&%=丁比%=外，

所以%—%+a,—%+/=S',故A正確；

23

a2+a3=2Cg+2Cg=100,故B正確；

aA,a2,a3,,%,中最大的是%，故C錯(cuò)誤；

當(dāng)x=999時(shí)，x+l=1000,aA,a2,%，&能被200。整除，所以Qx+l)，除以2000的余數(shù)是1,故D

正確；

故選:ABD

11.(2020?江蘇宿遷市)對(duì)于(a+b)"(〃eN*)展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)下列結(jié)論正確的是()

A.C：=C：mB.C：+C：T=C3

C.當(dāng)"為偶數(shù)時(shí)，C；+C；+C；+...+C；=2"D.Co+Ci+C2++C"=2"T

【答案】ABCD

【解析】選項(xiàng)A：由組合數(shù)的運(yùn)算直接可得C；=￡「"，故選項(xiàng)A正確；

選項(xiàng)B：由楊輝三角直接可得C；+C；T=￡Z，故選項(xiàng)B正確；

選項(xiàng)C：二項(xiàng)式展開(kāi)式中，令a=6=1,不論〃為奇數(shù)還是偶數(shù)，都可得q+C：+C；+…+C：=2",故

選項(xiàng)C正確；

選項(xiàng)D：由選項(xiàng)C可知C°+C：+C：+...+C；；=2",故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.

故選：ABC

12.(2020?湖南)關(guān)于二項(xiàng)式-的展開(kāi)式，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是()

A.展開(kāi)式所有的系數(shù)和為1B.展開(kāi)式二項(xiàng)式的系數(shù)和為32

C.展開(kāi)式中不含x3項(xiàng)D.常數(shù)項(xiàng)為120

【答案】BCD

【解析】因?yàn)槎?xiàng)式（f-j）,令X=1可得所有項(xiàng)系數(shù)和為1,

展開(kāi)式中二項(xiàng)式的系數(shù)和為=64，

展開(kāi)式的通項(xiàng)為=C，（6f）=CrJ2），/3,

當(dāng)外=4時(shí)，得常數(shù)項(xiàng)為240；

當(dāng)廠=3時(shí)，可得x3項(xiàng)，所以錯(cuò)誤的應(yīng)選

故選：BCD

三、填空題（每5分，4題共20分，雙空題第一空2分，第二空3分）

2019

13.（2020?蘇州新草橋中學(xué)高二期中）若（l—2x）2°i9=4+4》++?2019x（xeJ?）,貝!!

段+/+L+舞的值為-

【答案】-1

【解析】令等式中x=0得%=1；再令x=；,貝i]ao+]+|f++!!需=0，

所吟+墨++舞=-%=-L故答案為：-1

14.（2020?河北石家莊市）現(xiàn)有紅、黃、藍(lán)三種顏色，對(duì)如圖所示的正五角星的內(nèi)部涂色（分割成六個(gè)不

同部分），要求每個(gè)區(qū)域涂一種顏色且相鄰部分（有公共邊的兩個(gè)區(qū)域）的顏色不同，則不同的涂色方案有

種.（用數(shù)字作答）.

【答案】96

【解析】根據(jù)題意，假設(shè)正五角星的區(qū)域依此為/、B、C、D、E、F,如圖所示:

要將每個(gè)區(qū)域都涂色才做完這件事，由分步計(jì)數(shù)原理，先對(duì)/區(qū)域涂色有3種方法,

B、C、D、E、廠這5個(gè)區(qū)域都與Z相鄰，每個(gè)區(qū)域都有2種涂色方法,

所以共有3x2x2x2x2x2=96種涂色方案.

故答案為：96

15.（2020?新疆）若（a+x）（l+x）4的展開(kāi)式關(guān)于x的系數(shù)和為64,則展開(kāi)式中含丁項(xiàng)的系數(shù)為.

【答案】18

【解析】由題意（4+1）x24=64,解得a=3,（l+x）4展開(kāi)式中父系數(shù)是C：,/的系數(shù)是《，

二所求系數(shù)為C：+3C：=6+12=18.故答案為：18.

16.（2020?浙江臺(tái)州市?高二期中）在二項(xiàng)式［x+工］的展開(kāi)式中第3項(xiàng)與第7項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，子

項(xiàng)的系數(shù)為；各項(xiàng)系數(shù)之和為.（用數(shù)字作答）

【答案】56256

8-r

【解析】由題意得：C；=C：nn=8,7；+1=C；（x）=C"j,

當(dāng)8—2r=—2nr=5；可得斗項(xiàng)的系數(shù)為屐=C；=56,

x

令x=l,可得各項(xiàng)系數(shù)之和為：2'=256.故答案為：56；256.

四、解答題（17題10分，其余每題12分，共70分）

17.（2020?遼寧高二期末）在①只有第八項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，②奇數(shù)項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)之和為4,，③各項(xiàng)系

數(shù)之和為4乜，這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中，若問(wèn)題中的左存在，求左的值；若左不存在，

說(shuō)明理由.

設(shè)二項(xiàng)式,若其展開(kāi)式中,,是否存在整數(shù)左，使得￡是展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)？

注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答給分.

【答案】答案不唯一，見(jiàn)解析.

【解析】若選填條件①，即只有第八項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，即C；最大，由二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)可得，〃=14；

若選填條件③，即各項(xiàng)系數(shù)之和為4蕤，則40=4"，即〃=14；

21-7k

二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)：

由21—7左=0,得左=3.

即存在整數(shù)左=3,使得q是展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)；

若選填條件②，即奇數(shù)項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)之和為47，

則2,T=47=214,AH=15.

(R、15l(tkzq、衣T22-7L

二項(xiàng)式[五+白)展開(kāi)式的通項(xiàng)：Tk=C^-(s[xy44I

22

由22—7左=0,得上=—eZ.

7

即不存在整數(shù)上使得〃是展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng).

18.(2020?防城港市)5個(gè)男同學(xué)和4個(gè)女同學(xué)站成一排

(1)4個(gè)女同學(xué)必須站在一起，有多少種不同的排法？

(2)任何兩個(gè)女同學(xué)彼此不相鄰，有多少種不同的排法？

(3)其中甲、乙兩同學(xué)之間必須有3人，有多少種不同的排法？

(4)男生和女生相間排列方法有多少種？

【答案】(1)17280；(2)43200；(3)302400；(4)2880.

【解析】(1)4個(gè)女同學(xué)必須站在一起，則視4位女生為以整體，

可得排法為用用=17280；

(2)先排5個(gè)男同學(xué)，再插入女同學(xué)即可，所以排法為：

44=43200；

(3)根據(jù)題意可得排法為：=302400■

(4)5個(gè)男生中間有4個(gè)空，插入女生即可，

故有排法4團(tuán)=2880.

19.(2020?全國(guó)高二單元測(cè)試)按照下列要求,分別求有多少種不同的方法？(用數(shù)字作答)

(1)6個(gè)不同的小球放入4個(gè)不同的盒子；

(2)6個(gè)不同的小球放入4個(gè)不同的盒子,每個(gè)盒子至少一個(gè)小球；

(3)6個(gè)相同的小球放入4個(gè)不同的盒子,每個(gè)盒子至少一個(gè)小球；

(4)6個(gè)不同的小球放入4個(gè)不同的盒子，恰有1個(gè)空盒.

【答案】(1)4096(2)1560(3)10(4)2160

【解析】⑴4，=4096；

,「2「201、

⑵+CgH=1560；

、447

(3)C4+4=10；或C；=10；、

+CfZ：=2160.

)

20.（2018?天津靜海區(qū)）在（2x-3y）i°的展開(kāi)式中，求:

（1）二項(xiàng)式系數(shù)的和；

（2）各項(xiàng)系數(shù)的和；

（3）奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和與偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和；

（4）奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)和與偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)和；

（5）x的奇次項(xiàng)系數(shù)和與x的偶次項(xiàng)系數(shù)和.

【答案】（1）1024；（2）1；（3）奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為29，偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為29;（4）奇數(shù)項(xiàng)

1c101_c101_c101c10

的系數(shù)和為匕二，偶數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和為L(zhǎng)上一；（5）x的奇次項(xiàng)系數(shù)和為,x的偶次項(xiàng)系數(shù)和為上二

2222

109s710

[解析】設(shè)(2x-3yy°=aox+a^xy+a2xy+???+?10j,

各項(xiàng)系數(shù)和為%+%+%---a\o>

奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)和為％）+%+…+%o，偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)和為%+為+—+%，

X的奇次項(xiàng)系數(shù)和為％+。3+…+%，X的偶次項(xiàng)系數(shù)和為/+%+…+%0

（1）二項(xiàng)式系數(shù)的和為C；o+C：o+。］+…+c=210=1024；

（2）令x=l,J=1,貝?。荩?x1-3xl『°=1=4+4+a2H---Fa10,

所以各項(xiàng)系數(shù)和為1；

（3）奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為量++C［+…+C；；=29,

偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為C；o+C；。+…+C?=29；

(4)由(2)知，a0++a2-I---Fa]o=l①，取x=l,=-1,

貝!J(2xl+3xl)=510=/—%+4—。3+。4—。5+。6—。7+。8—。9+。10②，

①:⑨i_L510

所以奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和/+%+…+%o=舌二十，

偶數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和%+%+…+%=與等==‘；

(5)由(4)知，X的奇次項(xiàng)系數(shù)和為%+%+…+°9=①,②=，

①:⑨1_L510

x的偶次項(xiàng)系數(shù)和為/%+…+%0=；=~~-

21.(2020?湖北潛江市)已知數(shù)列｛%｝的首項(xiàng)為1,令/(〃)=%￡；+aC(〃eN*).

(1)若｛4｝為常數(shù)列，求/(")的解析式；

(2)若｛%｝是公比為3的等比數(shù)列，試求數(shù)列｛3/(“)+1｝的前"項(xiàng)和S”.

【答案】⑴f(n)=2n-l；(2)S0T43T.

【解析】(1)由｛4｝為常數(shù)列，且4=1,

所以/(〃)=&+《++￡；=2"-端=2"-1.

(2)由4是公比為3的等比數(shù)列，且%=1,所以4=%/I=3"T,

所以/(〃)=C：+3C；+32C；++3y,

所以3/(〃)+1=3。：+32。；+33《++3"C；+l=(l+3)"=4",

4(1_4叫4

由等比數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式，可得S=」_____1=3(4"-1).

"1-43、