2024-2025學(xué)年人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)重難點(diǎn)專練：一元二次方程（60題）（原卷版）

一元二次方程易錯(cuò)必刷題型專訓(xùn)

（60題20個(gè)考點(diǎn)）

【易錯(cuò)必刷——元二次方程的定義】（共3小題）

1.（23-24八年級(jí)下?安徽六安?階段練習(xí)）若關(guān)于x的方程（加+1）^^+4》-5=0是一元二次方程，則機(jī)的

值是（）

A.0B.-1C.1D.±1

5x

2.（23-24八年級(jí)下?全國(guó)?假期作業(yè)）下列式子：①2/+X-3;②k匚=2；?t2-m=l-4t-m;④

X+1J

（x+1）2=2（x+l）；⑤辦2+bx+c=0；（6）x2+2x=x2-1;⑦（礦+。+1*=0；⑧Jx+1=x-1.其中一定是

一元二次方程的有（把所有正確選項(xiàng)的序號(hào)都填上）

3.（2022七年級(jí)上?浙江?專題練習(xí)）已知（加2一1）/-（加+Dx+8=0是關(guān)于x的一元一次方程，求代數(shù)式

199（m+x）（x-2m）+m的值.

【易錯(cuò)必刷二一元二次方程的一般形式】（共3小題）

1.（23-24九年級(jí)上?四川遂寧?期末）將一元二次方程5x2-1=4x化成一般形式后，二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系

數(shù)和常數(shù)項(xiàng)分別為（）

A.5、—1、4B.5、4、—1C.5、一4、一1D.5、一1、一4

2.（23-24九年級(jí)上?江蘇揚(yáng)州?期中）把方程（3x-2）（x+1）=8化為ax2+bx+c=0（a>0）的形式為.

3.（22-23九年級(jí)上?廣東惠州?階段練習(xí)）把方程（2/+3）2-2（f-5）2=-41先化成一元二次方程的一般形式,

再寫出它的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng).

【易錯(cuò)必刷三一元二次方程的解】（共3小題）

1.（23-24八年級(jí)下?浙江溫州?期中）若。是關(guān)于x的方程3x2_x-l=0的一個(gè)根，貝U2024-6/+2。的值是

A.2026B.2025C.2023D.2022

2.（23-24八年級(jí)下?吉林長(zhǎng)春?期中）已知X=〃是方程Y+%_1=o的根，則式子3"+3〃+2021的值

為_(kāi)____________

3.（23-24九年級(jí)上?北京海淀?期中）已知加是方程％2_工_2=0的根，求代數(shù)式加（加-1）+5的值.

J【易錯(cuò)必刷四一元二次方程的解的估算】（共3小題）

1.（23-24八年級(jí)下?浙江杭州?階段練習(xí)）已知/一3》+1=0,依據(jù)下表，它的一個(gè)解的范圍是（）

X2.52.62.72.8

-3x+1-0.25-0.040.190.44

A.2.5<x<2.6B.2.6<x<2.7C.2.7<x<2.8D.不確定

2.（23-24八年級(jí)下?江蘇蘇州?期中）觀察表格，一元二次方程一一2x-1.1=0的一個(gè)解的取值范圍

是.

X1.31.41.51.61.71.81.9

%22x—1.1-0.71-0.54-0.35-0.140.090.340.61

3.（23-24九年級(jí)上?山西呂梁?階段練習(xí)）閱讀與思考：

下面是小華求一元二次方程的近似解的過(guò)程.

如圖，這是一張長(zhǎng)8cm、寬6cm的矩形紙板，將紙板四個(gè)角各剪去一個(gè)同樣大小的正方形，可制成一個(gè)底

面積是12cm2的無(wú)蓋長(zhǎng)方體紙盒.小華在做這道題時(shí)，設(shè)剪去的正方形邊長(zhǎng)為xcm,列出關(guān)于x的方程

（8-2x）（6-2x）=12,整理得/一7x+9=0.

他想知道剪去的邊長(zhǎng)到底是多少，下面是他的探索過(guò)程.

探索方程的解:

第一步：

X-1012

x2-7x+9179

因此：<X<,

第二步：

X1.51.61.71.8

x2-7x+90.750.36-0.01-0.36

因此：<X<.

（1）請(qǐng)你幫助小華完成表格中未完成的部分，并寫出X的范圍；

（2）通過(guò)以上探索，請(qǐng)直接估計(jì)出x的值.（結(jié)果保留一位小數(shù)）

j【易錯(cuò)必刷五直接開(kāi)平方法】（共3小題）

1.（23-24八年級(jí)下?廣西梧州?期中）已知方程（x-2）2=0的解也是方程x?-2加x+l=O的一個(gè)解，則優(yōu)的值

是（）

54

A.2B.-2C.-D.-

45

2.（23-24八年級(jí)下?安徽淮北?階段練習(xí)）方程（x+5）2-16=0的解是.

3.（23-24八年級(jí)下?全國(guó)?假期作業(yè)）用直接開(kāi)平方法解下列方程：

（"-9=0

（2）3/-54=0.

3【易錯(cuò)必刷六配方法】（共3小題）

1.（2024?山東聊城?二模）用配方法解一元二次方程無(wú)2+6才+3=0時(shí)，將它化為（無(wú)+加”的形式，則加-"

的值為（）

A.3B.0C.-1D.-3

2.（23-24八年級(jí)下?山東煙臺(tái)?期中）把關(guān)于x的一元二次方程K-8x+c=0配方，得（x-加尸=11,貝。

c+m=.

3.（23?24八年級(jí)下?安徽亳州?期中）解方程：X2-2X-3=1.

3【易錯(cuò)必刷七配方法的應(yīng)用】（共3小題）

1.（23-24八年級(jí)上?福建泉州?期中）閱讀材料：數(shù)學(xué)課上，老師在求代數(shù)式/一4》+5的最小值時(shí)，利用公

式/+2M+62=5+6）2,對(duì)式子作這樣的變形：/+4x+5=》2+4x+4+l=（x+2）2+1,H^j（x+2）2>0,

所以（x+2『+121,當(dāng)x=-2時(shí)，（x+2『+l=l,因此/+4x+5的最小值是1.類似地，代數(shù)式一f+6x+4

有（）

A.最小值為-9B.最小值為-5

C.最大值為5D.最大值為13

2.（23-24九年級(jí)上?山東青島?期中）我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了利用配方法解一元二次方程，其實(shí)配方法還有其它重

要應(yīng)用.

例如：求代數(shù)式-+4X+5的最小值？解答過(guò)程如下：

解：X2+4X+5=X2+4X+4+1=（X+2）2+1.

v(x+2)2>0,

.?.當(dāng)x=-2時(shí)，(龍+2)2的值最小，最小值是0,

.-.(X+2)2+1>1,

.?.當(dāng)(x+2)2=0時(shí)，(x+2y+l的值最小，最小值是1,

.-.x2+4x+5的最小值為1.

根據(jù)上述方法，可求代數(shù)式/一6苫+12當(dāng)苫=時(shí)有最(填“大”或“小”)值，為.

3.(21-22八年級(jí)上?內(nèi)蒙古赤峰?期末)仔細(xì)閱讀材料，再嘗試解決問(wèn)題：完全平方式

222

a±2ab+b=(a±b)以及的值為非負(fù)數(shù)的特點(diǎn)在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中有廣泛的應(yīng)用.比如：已知孤丁滿足

x2-2x+y2+6y+]0=0,求與、的值.我們可以這樣處理：

解：?.?10=9+1(拆項(xiàng))，

_2x+1)+(y2+6y+9)=0,

??.(x-1)2+(>>+3)2=0(配方)，

Xv(x-l)2>0,(y+3)2>0,

x-1=0,y+3=0,

———3

上面主要是采用了拆項(xiàng)后配成完全平方式的方法，再利用非負(fù)數(shù)的性

質(zhì)來(lái)解決問(wèn)題.

請(qǐng)利用拆項(xiàng)配方解題思路，解答下列問(wèn)題：

(1)若x2+4x++5=0,則x=,y~；

(2)已知x,_V滿足5x2-49+/一6工+9=0,求狀，y的值；

(3)直接寫出4+2x-J的最大值.

劣【易錯(cuò)必刷八根據(jù)判別式判斷一元二次方程根的情況】(共3小題)

1.(23-24九年級(jí)下?云南昆明?階段練習(xí))已知關(guān)于x的一元二次方程，-5x+5=O的根的情況，下列說(shuō)法

正確的是()

A.有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根B.有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根

C.沒(méi)有實(shí)數(shù)根D.無(wú)法確定

2.(23-24九年級(jí)上?西藏林芝?期末)一元二次方程，+2工-1=0根的判別式的值為.

3.（2023?貴州黔東南?一模）已知：關(guān)于x的一元二次方程/+〃7x=2-7〃,

（1）把這個(gè)方程化成一元二次方程的一般形式；

（2）求證：無(wú)論"2取何值，這個(gè)方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.

$【易錯(cuò)必刷九根據(jù)一元二次方程根的情況求參數(shù)】（共3小題）

1.（2024?安徽六安?一模）關(guān)于x的一元二次方程一一2》-后=0有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根，則左的取值范圍是

（）

A.k<-lB.k>-lC.k>\D.左>-1且左20

2.（2024?江蘇南京?三模）若關(guān)于x的方程近2-6x-9=0有實(shí)數(shù)根，則上的取值范圍是.

3.（2024?四川南充一模）關(guān)于x的一元二次方程無(wú)2-（2左-1）》+/_2=0有實(shí)數(shù)根.

（1）求左的取值范圍;

（2）如果后是符合條件的最大整數(shù)，且一元二次方程（小-1）無(wú)2+工+加-3=0與方程/_（2"1卜+公_2=0有

一個(gè)相同的根，求此時(shí)〃?的值.

/【易錯(cuò)必刷十公式法】（共3小題）

1.（23-24八年級(jí)下?安徽安慶?期中）若關(guān)于x的一元二次方程的根為尤=4±J（-4）2-4x1x（-2）,則這個(gè)方

2x1

程是（）

A.f+4x-3=0B.f-4x-l=0C.x2+4x-5=0D.x2—4x—2=0

2.（23-24七年級(jí)下?安徽馬鞍山?期中）如果關(guān)于x的一元二次方程辦2+樂(lè)+。=（）（02（））有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且

其中一個(gè)根比另一個(gè)根大1,那么稱這樣的方程為“鄰根方程”.例如，一元二次方程/+x=0的兩個(gè)根是

再=0,x2=-l,則方程/+x=o是“鄰根方程”.若關(guān)于X的方程辦2+6x+1=0（。>0）是“鄰根方程”，令

t=\Qa-b2,貝l|f的最大值是.

a3b-ab3（a>b）

3.（23-24八年級(jí)下?安徽阜陽(yáng)?期中）對(duì)于實(shí)數(shù)a,b,定義新運(yùn)算"#"：a#b=\}i,例如：

—+—（a<b）

[ab''

4#2,因?yàn)?>2,所以4#2=43*2-4x23=96.

（1）求（-2）#（-5）的值;

（2）若占，%是一元次方程/-5尤-6=0的兩個(gè)根，求國(guó)#工2的值.

今【易錯(cuò)必刷十一因式分解法】

1.（23-24八年級(jí)下?安徽亳州?期中）關(guān)于x的一元二次方程x（x-2）=2-x的根是（）

A.-1B.0C.1和2D.-1和2

2.（2024?江西萍鄉(xiāng)?二模）已知-2是關(guān)于x的一元二次方程x'+fcc-6=0的一個(gè)根，則這個(gè)方程的另一個(gè)根

為.

3.（2024八年級(jí)下?浙江?專題練習(xí)）有一個(gè)直角三角形，它的兩邊長(zhǎng)是方程/_（2左+3勿+左2+3后+2=0的

兩根，且第三條邊長(zhǎng)為5,求左的值？

j【易錯(cuò)必刷十二換元法】（共3小題）

1.（23-24八年級(jí)下?浙江金華?階段練習(xí)）已知關(guān)于x的方程“（無(wú)+加『+6=0的解是否=-2,x2=\（a,m,

b均為常數(shù)，QW0）,那么方程a（2x+冽+1）2+6=0的解是（）

。13

A.石=-2,%=1B.再=0,9=~~

C.玉=-3,9=3D.無(wú)法求解

2.（2024?上海徐匯?三模）如果實(shí)數(shù)x滿足一+乙一21了+4]-1=0,那么x+工的值是______.

XXJX

3.（23-24八年級(jí)下?黑龍江哈爾濱?階段練習(xí)）閱讀下面的材料，回答問(wèn)題：

解方程/一5/+4=0,這是一個(gè)一元四次方程，根據(jù)該方程的特點(diǎn)，它的解法通常是:

設(shè)那么無(wú)4=必，于是原方程可變?yōu)楸匾?了+4=0①，解得乂=1,%=4.

當(dāng)＞=1時(shí)，/=1,x=±l；

當(dāng)y=4時(shí)，x2=4,x=±2；

;■原方程有四個(gè)根：％=1,x2=—I,x3=2,x4=—2.

這一方法，在由原方程得到方程①的過(guò)程中，利用“換元法”達(dá)到降次的目的，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化思想.

⑴方程X4-X2-6=0的解為.

⑵仿照材料中的方法，嘗試解方程（/+4-4（/+x）-12=0.

31易錯(cuò)必刷十三一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系】

1.（2024?內(nèi)蒙古呼和浩特?二模）若abwl,且有5/+2024。+9=0,及96?+20246+5=0,貝的值是

b

（）

2.（23-24八年級(jí)下?浙江嘉興?期末）已知關(guān)于x的一元二次方程辦2+（a+2）x+l=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根

西,三，且西＜1＜%,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為.

3.（2024?山東濰坊?二模）已知X],々是關(guān)于x的一元二次方程Y+2x-左=0的兩根.

（1）求人的取值范圍；

⑵若再+3x2=0,求左的值.

$【易錯(cuò)必刷十四構(gòu)造一元二次方程解決問(wèn)題】（共3小題）

1.（2024?內(nèi)蒙古呼和浩特二模）若加1,且有5/+2。240+9=。，及胡+2。2詠5=。，則獅值是

（）

2.（2024?四川內(nèi)江?二模）已知實(shí)數(shù)。，6滿足=^+1=56,則白+:=______

ab

3.（23-24八年級(jí)下?廣西賀州?期中）閱讀材料：

材料：關(guān)于x的一元二次方程辦2+區(qū)+。=0伍/0）的兩個(gè)實(shí)數(shù)根%1,々和系數(shù)。，b,c有如下關(guān)系:

bc

Xy+%2=----，再％=一；

aa

根據(jù)上述材料，結(jié)合你所學(xué)的知識(shí)，完成下列問(wèn)題：

⑴類比：1元二次方程2#+3尤-1=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為勿，n,則m+〃=_；mn=_.

（2）應(yīng)用：己知一元二次方程2x2+3x-l=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為小，"，求/+〃2的值；

（3）提升:已知實(shí)數(shù)s,，滿足2s2+3s-1=0,2?+3/—1=0且sW,求---的值.

st

【易錯(cuò)必刷十五傳播問(wèn)題】（共3小題）

1.（23-24八年級(jí)下?浙江杭州?期中）流行性感冒傳染迅速，若有一人感染，經(jīng)過(guò)兩輪傳染后共有100人患

病，設(shè)每輪傳染中平均一人傳染了x人，可列出的方程是（）

A.(x+1)2=100B.l+(x+l)2=100

C.x+x(l+x)=100D.1+x+x2=100

2.（2024?重慶大渡口?二模）初三某班同學(xué)互贈(zèng)紀(jì)念卡片，若每?jī)蓚€(gè)同學(xué)均互贈(zèng)一張，最終贈(zèng)送卡片共1892

張，設(shè)全班共有x人，根據(jù)題意，可列方程為—.

3.（22-23九年級(jí)下?吉林長(zhǎng)春?階段練習(xí)）有兩人患了流感，經(jīng)過(guò)兩輪傳染后共有242人患了流感，每輪傳

染中平均一個(gè)人傳染了幾個(gè)人？

劣【易錯(cuò)必刷十六增長(zhǎng)率問(wèn)題】（共3小題）

1.（2024年黑龍江省龍東地區(qū)部分學(xué)校中考四模數(shù)學(xué)試題）2024龍年春晚主題為“龍行矗雕（da）,欣欣家

國(guó)”，“篇”這個(gè)字引發(fā)一波熱門關(guān)注.據(jù)記載，“醯”出自第一部楷書字典《玉篇》，“龍行矗?！毙稳蔟堯v飛的

樣子，昂揚(yáng)而熱烈.某服裝店購(gòu)進(jìn)一款印有“■”字圖案的上衣，據(jù)店長(zhǎng)統(tǒng)計(jì)，該款上衣1月份銷售量為150

件，3月份銷售量為216件，則該款上衣銷售量的月平均增長(zhǎng)率為（）

A.20%B.22%C.25%D.26%

2.（23-24九年級(jí)下?重慶?期中）某縣開(kāi)展老舊小區(qū)改造，2020年投入此項(xiàng)工程的專項(xiàng)資金為1000萬(wàn)元，

2021、2022年投入資金一共為3440萬(wàn)元.設(shè)該縣這兩年投入老舊小區(qū)改造工程專項(xiàng)資金的年平均增長(zhǎng)率為

x,根據(jù)題意，可列方程為.

3.（2024八年級(jí)下?浙江?專題練習(xí)）2022年冬奧會(huì)在北京順利召開(kāi)，冬奧會(huì)吉祥物冰墩墩公仔爆紅.據(jù)統(tǒng)

計(jì)冰墩墩公仔在某電商平臺(tái)1月份的銷售量是5萬(wàn)件，3月份的銷售量是7.2萬(wàn)件.

（1）若該平臺(tái)1月份到3月份的月平均增長(zhǎng)率都相同，求月平均增長(zhǎng)率是多少？

（2）市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，某一間店鋪冰墩墩公仔的進(jìn)價(jià)為每件60元，若售價(jià)為每件100元，每天能銷售20件，

售價(jià)每降價(jià)1元，每天可多售出2件，為了推廣宣傳，商家決定降價(jià)促銷，同時(shí)盡量減少庫(kù)存，若使銷售

該公仔每天獲利1200元，則售價(jià)應(yīng)降低多少元？

【易錯(cuò)必刷十七營(yíng)銷問(wèn)題】（共3小題）

1.（23-24九年級(jí)下?山東淄博?期中）某連鎖超市購(gòu)進(jìn)一款年貨大禮包，經(jīng)調(diào)研發(fā)現(xiàn)，當(dāng)該款大禮包每盒的

售價(jià)為49元時(shí)，每天可售出150盒，每盒的售價(jià)每降低1元，每天的銷量增加20盒，要使該款大禮包每天

的銷售額達(dá)到6000元，每盒的售價(jià)應(yīng)降低多少元？若設(shè)該款大禮包每盒降價(jià)x元，則可列方程為（）

A.（49-x）1150+型］=6000B.（49+x）1150+型］=6000

C.（49+x）（150+20x）=6000D.（49一x）（l50+20x）=6000

2.（2024?廣東佛山?一模）香云紗作為廣東省佛山市特產(chǎn)，中國(guó)國(guó)家地理標(biāo)志產(chǎn)品，是世界紡織品中唯一用

純植物染料染色的絲綢面料，被紡織界譽(yù)為“軟黃金”，在某網(wǎng)網(wǎng)店，香云紗連衣裙平均每月可以銷售120件,

每件盈利200元.為了盡快減少庫(kù)存，決定降價(jià)促銷，通過(guò)市場(chǎng)調(diào)研發(fā)現(xiàn)，每件每降價(jià)20元，則每月可多售

出30件.如果每月要盈利2.88萬(wàn)元，則每件應(yīng)降價(jià)元.

3.（23-24八年級(jí)下?安徽安慶?期中）某水果商店經(jīng)銷一種名為“陽(yáng)光玫瑰”水果，現(xiàn)進(jìn)行春日促銷，原價(jià)每

千克50元，連續(xù)兩次降價(jià)后每千克32元，若每次下降的百分率相同.

（1）求每次下降的百分率；

（2）若每千克盈利10元，每天可售出250千克，經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，在進(jìn)貨價(jià)不變的情況下，商場(chǎng)決定采取適

當(dāng)?shù)臐q價(jià)措施，若每千克漲價(jià)1元，日銷售量將減少10千克，現(xiàn)該商場(chǎng)要保證每天盈利3000元，且要盡

快減少庫(kù)存，那么每千克應(yīng)漲價(jià)多少元？

A【易錯(cuò)必刷十八與圖形有關(guān)的問(wèn)題】（共3小題）

I.（23-24八年級(jí)下?浙江溫州?期中）如圖，一張長(zhǎng)寬比為5:3的長(zhǎng)方形紙板，剪去四個(gè)邊長(zhǎng)為5cm的正方

形，用它做一個(gè)無(wú)蓋的長(zhǎng)方體包裝盒.要使包裝盒的容積為200cm3（紙板的厚度略去不計(jì)），問(wèn)這張長(zhǎng)方形

紙板的長(zhǎng)與寬分別為多少厘米？若設(shè)這張矩形紙板的長(zhǎng)為5x厘米，則由題意可列出的方程是（）

_王5cm

A.5（5x+10）（3x+10）=200B.5（5x-5）（3x-5）=200

c.5（5x+10）（3x-10）=200D.5（5x-10）（3x-10）=200

2.（23-24八年級(jí)下?浙江?期中）如圖是一塊長(zhǎng)方形菜地4BCD,AB=am,AD=bm,面積為Sn?.現(xiàn)將邊

N8增加1m,邊AD增加2m,若有且只有一個(gè)。的值，使得到的長(zhǎng)方形面積為2sm?,則S的值是.

3.（23-24八年級(jí)下?山東濟(jì)寧?期中）如圖，要修建一個(gè)長(zhǎng)方形雞場(chǎng)，雞場(chǎng)的一邊靠墻（墻長(zhǎng)為18米），其

余三邊用竹籬笆，籬笆的總長(zhǎng)度為35米，圍成長(zhǎng)方形雞場(chǎng)的四周不能有空隙.

墻

（1）若要圍成雞場(chǎng)的面積為150平方米，則雞場(chǎng)的長(zhǎng)和寬各應(yīng)為多少米?

（2）圍成雞場(chǎng)的面積能達(dá)到160平方米嗎？如果能，寫出計(jì)算過(guò)程，如果不能，說(shuō)明理由.

J【易錯(cuò)必刷十八動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題】（共3小題）

1.（23-24九年級(jí)上?河北廊坊?期末）如圖，在中，AC=50m,BC=40m,/C=90。，點(diǎn)尸從點(diǎn)/

開(kāi)始沿NC邊向點(diǎn)C以2m/s的速度勻速移動(dòng)，同時(shí)另一點(diǎn)。由C點(diǎn)開(kāi)始以3m/s的速度沿著射線勻速移

動(dòng)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng).當(dāng)△PC0的面積等于300m2時(shí)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為（）

C.5秒或20秒D.不確定

2.（23-24九年級(jí)上?河南南陽(yáng)?階段練習(xí)）如圖，在AABC中，ZC=90°,NC=8cm,BC=6cm,點(diǎn)尸從點(diǎn)/

出發(fā)沿NC邊向點(diǎn)C以lcm/s的速度移動(dòng)，點(diǎn)。從C點(diǎn)出發(fā)沿C8邊向點(diǎn)8以2cm/