2024-2025學(xué)年南昌市某中學(xué)高三數(shù)學(xué)上學(xué)期10月考卷及答案解析

南昌十九中2024-2025學(xué)年上學(xué)期10月月考

數(shù)學(xué)試卷

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.

?2?

-1+1

Z二a"-

1.設(shè)復(fù)數(shù)T-i,則z的虛部是()

A.1B.-1C.iD.-i

【答案】A

【解析】

【分析】由i2=—1對(duì)式子進(jìn)行化簡，再根據(jù)除法規(guī)則，分母實(shí)數(shù)化即可.

1+i(l+i)(l+i)

【詳解】z二------------=-1,則==心虛部是1.

-1+i(I)(l+i)

故選:A.

2.已知函數(shù)/(x)和g(x)的導(dǎo)函數(shù)/'(x)、g'(x)圖象分別如圖所示，則關(guān)于函數(shù)y=g(x)-/(x)的判

斷正確的是()

A.有3個(gè)極大值點(diǎn)B.有3個(gè)極小值點(diǎn)

C.有1個(gè)極大值點(diǎn)和2個(gè)極小值點(diǎn)D.有2個(gè)極大值點(diǎn)和1個(gè)極小值點(diǎn)

【答案】D

【解析】

【分析】

根據(jù)題中圖像可知，/'(x)、g'(x)的圖像有三個(gè)不同交點(diǎn)，其交點(diǎn)橫坐標(biāo)按從小到大的順序，依次記為

多、與，%3,其中％=0；結(jié)合題中函數(shù)圖像，判定函數(shù)＞=g(x)-/(x)的單調(diào)性，進(jìn)而可得極值點(diǎn).

【詳解】由題中圖像可知，/'(x)、g'(x)的圖像有三個(gè)不同交點(diǎn)，其交點(diǎn)橫坐標(biāo)按從小到大的順序，依

次記為X]、&，》3，其中％=0,

由圖像可得，當(dāng)x<X]時(shí)，g'(x)>f'(x),即y'=g'(x)—/'(x)〉O,則函數(shù)y=g(x)—/(X)單調(diào)遞

增；

當(dāng)王<彳<0時(shí)，g'(x)</'(x),即y'=g'(x)-/'(x)<0,則函數(shù)y=g(x)—/(x)單調(diào)遞減；

當(dāng)0<%<當(dāng)時(shí)，g'(x)>/'(x)，即y'=g'(x)-/'(x)〉0，則函數(shù)了=g(x)—/(x)單調(diào)遞增；

當(dāng)x〉》3時(shí)，g'(x)<f'(x),即y'=g'(x)—/'(x)<0,則函數(shù)y=g(x)—/(x)單調(diào)遞減；

所以y=g(x)-/(x)有兩個(gè)極大值點(diǎn)多和；有一個(gè)極小值點(diǎn)0.

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)函數(shù)圖像與原函數(shù)之間的關(guān)系，考查極值點(diǎn)個(gè)數(shù)的判定，屬于基礎(chǔ)題型.

3.若命題“九句1,3],辦2+(”2卜-2>0”是假命題，則x不能等于()

2

A.-1B.0C.1D.-

3

【答案】C

【解析】

【分析】轉(zhuǎn)化為命題的否定“\/。€[1,3],辦2+(4-2)》-2?0”為真命題.用關(guān)于。的一次函數(shù)來考慮，即

可解.

【詳解】根據(jù)題意，知原命題的否定“Vae[l,3],辦2+(a-2)x-2<0”為真命題.

令f(a)=(x2+x)a-2x-2,｛雋二。：二。解得r<》(g.

故選:C.

4.若函數(shù)/(x)=sin(2x+0)(0<°<兀)向左正移。個(gè)單位后在區(qū)間0,1上單調(diào)遞增，則0=

()

71717127t

A.-B.-C.-D.--

3263

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)圖象平移規(guī)律、函數(shù)的單調(diào)性可得答案.

【詳解】函數(shù)/(x)=sin(2x+9)向左平移。個(gè)單位后為/(x+0)=sin(2x+30),

?7C

當(dāng)xe0,-時(shí),2x+3°e[30,7i+3°],

???/(x+0)=sin(2x+3°)單調(diào)遞增,

7T兀2左兀

——+2Ml<30-------1--------<(p

所以2

(keZ),即《63（A：eZ）,

兀兀2斤兀

兀+30?2左兀+,(p<-—+----

63

可得/=一:+^^（左wZ）,

xx7C

又0</<兀，.

故選：B.

%+V

5.若sinx+cosx=2A/2COS~+—sin——―,則tany=)

A.-2B.2C.-1D.1

【答案】C

【解析】

【分析】由sinx+cosx=V2sin[=^+31+與上，結(jié)合兩角和的正弦公式可得

（24J2

.x+vn)x-v\x+y7t].x-y_

sm-----+—cos---:——cos-----—+—sin-----=0,求解即可.

I24J2I24J2

【詳解】因?yàn)閟inx+cosx=J5sin|x+火|=J^sin%+'V+—+--丫

.................I4J{242

3"字+淮寧+缶.亨+小左小叱,

兀、x-y(x+y71>).x-y八

所以sm----—+—cos------cos----—+—sin-----=0,

<24J2(24j2

即sE號(hào)+；一行卜而y+；=0,

所以/=碗_：■(左eZj,tany=-l.

故選：C.

6.已知函數(shù)/（x）=2cos（（yx+9）-百（。>0,0</<]）在x=0處的切線斜率為一①，若/（x）在

（0,兀）上只有一個(gè)零點(diǎn)毛，則。的最大值為（）

【答案】B

【解析】

JT

【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，由/'(o)=-G求出。，由X的取值范圍求出GX+：的范圍，再根據(jù)/(%)在

6

1ITT7rl

(0,兀)上只有一個(gè)零點(diǎn)/得到——＜COTt+-＜——,即可求出。的取值范圍，從而得解.

666

【詳解】由題意得，/'(x)=-20sin(0x+e),則/'(0)=—20sin0=-。，

即sin°=L,又0＜夕＜巴，解得。=巴，.?./(x)=2cosf0x+巴］—G,

226I6J

由/(x)=0得cos(0x+&］=且，vxe(0,7r),0＞0,二ox+me但,0%+鄉(xiāng)］,

I6J26166J

又COS巴=4^，；/(x)在(0,71)上只有一個(gè)零點(diǎn)玉)’.＜胸+VV,

62666

解得*＜?！?,二。的最大值為2.

3

故選：B.

7.如圖，在V4SC中，ZACB^90°,AC=BC=1,。是C3邊的中點(diǎn)，過點(diǎn)。作CE_LZ。于點(diǎn)

E,延長CE交48于點(diǎn)尸，則5尸=()

\3RGC6D6

JJ.---LJ.

4233

【答案】C

【解析】

【分析】設(shè)刀=彳冠，依題意可得9.赤=0,根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律求出4,從而得到面=

【詳解】方法一：設(shè)萬=2翦，.??加?麗=0,

又。是C5邊的中點(diǎn)，所以石=；(%+而)，

國+珂?(赤—可=0,...國+碼.(a次—可=0,

■■(A-1)AB-AC+2AB~-AC~=0，

?.AC=BC=1,ZACB=90°,所以AS=7FTF=/，且//6C=45°,

~AC=1>~AB=2>AB-AC=1X42X^=1，

2

代入得(2-l)+24—1=0,解得4=3,

-.AF=-AB,：.BF=-AB=-.

333

方法二：因?yàn)镹/C6=90。，AC=BC=1,所以V4SC為等腰直角三角形,

又因?yàn)镹C=1,為中線，所以BC=1,CD=BD=-,

2

所以AD=JNC2+CQ2=,2=手.

因?yàn)镃EL4D,所以NCEQ=90°,

1X1「

所以ND-C￡=ZC-CZ),即CEJ[?)=—=半,

ADV55

過點(diǎn)尸作交C5于點(diǎn)〃，所以/加3=90。，

DEFH

因?yàn)閠an/FC8=——=——，沒FH=HB=x,則C〃=l—x,

CECH

V5

所以平=丁匚，解得x='，???8/=克?

V51-x33

5

A

DH

故選：C

8.已知V4BC是邊長為4百的正三角形，點(diǎn)尸是V48C所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，且滿足

|Q+而+而|=3,則|刀|的最小值是()

8

A.1B.2C.3D.-

3

【答案】C

【解析】

【分析】可由重心的性質(zhì)結(jié)合向量運(yùn)算得到點(diǎn)尸的軌跡，再結(jié)合圓上的點(diǎn)到圓外定點(diǎn)的距離最小值為圓心

到定點(diǎn)減半徑得到；亦可建立適當(dāng)平面直角坐標(biāo)系，借助向量的坐標(biāo)運(yùn)算結(jié)合圓的性質(zhì)得解.

【詳解】法一：設(shè)V48C的重心為G,則方+而+而=就+?+M+3百=3百，

?.?|ZP+5?+CP|=3,：.\GP\=I,點(diǎn)P的軌跡是以G為圓心，1為半徑的圓,

又匹卜gx(x4G=4，.,?網(wǎng)的最小值是|畫—1=3.

法二：以NC所在直線為x軸，以ZC中垂線為N軸建立直角坐標(biāo)系，

則/-26,0),網(wǎng)0,6),。(26,01

設(shè)尸(x,y),|萬+而+可|=3,即,(3%+26—0—2G『+伽—6)2=3,

化簡得/+(y_2)2=1,，點(diǎn)P的軌跡方程為x2+(y-2)2=l,

設(shè)圓心為G,G(0,2),由圓的性質(zhì)可知當(dāng)/尸過圓心時(shí)|彳耳最小，

又|ZG|="+(2國=4，故|刀|得最小值為HG|—1=4—1=3.

二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，若只有兩

個(gè)正確選項(xiàng)，則選對(duì)一個(gè)得3分，選對(duì)兩個(gè)得6分；若有三個(gè)正確選項(xiàng)，則選對(duì)一個(gè)得2

分，選對(duì)兩個(gè)得4分，全部選對(duì)的得6分，有選錯(cuò)的得0分.

9.已知函數(shù)=3)e"則().

A.函數(shù)/(x)在點(diǎn)(0,—3)處的切線方程是3x+y+3=0B.函數(shù)/(x)的遞減區(qū)間為(—3,1)

C.函數(shù)/(x)存在最大值和最小值D.函數(shù)/(x)=a有三個(gè)實(shí)數(shù)解，則。40,6廠)

【答案】ABD

【解析】

【分析】求得/'(x)=(x-l)(x+3)e",求得尸(0),利用導(dǎo)數(shù)進(jìn)而得到函數(shù)的的單調(diào)性與極值，畫出函數(shù)

的圖象，結(jié)合圖象，逐項(xiàng)求解判定，即可得結(jié)論.

【詳解】由/0)=(公一3)1,得/'(x)=2xe”+(x2—3)eX=(x—2)(x+3)eX,

所以廣(0)=(0—1)(0+3)e°=—3,又/(0)=(02-3)e°=-3,

所以函數(shù)/(x)在點(diǎn)(0,-3)處的切線方程是y+3=-3(x-0),

即3x+.v+3=0,故A正確；

令/'(x)<0,可得(x—2)(x+3)e*<0,解得—3<x<l；

令/(x)>0,解得x<—3或x>l,

所以函數(shù)/(x)在(-3,1)上單調(diào)遞減，在(-<?,-3)和(1,+8)上單調(diào)遞增，

且〃—3)=6/，/(l)=-2e,

當(dāng)Xf-00時(shí)，/(X)0,

作出函數(shù)的圖形，如圖所示，可得A、B正確;

所以/(x)min=/(l)=—2e，無最大值，故C錯(cuò)誤;

若方程/(x)=。有三個(gè)實(shí)數(shù)解,即N=/(x)與歹=。的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn),

可得(0,66一3),故D正確.

.故選：ABD.

10.下列四個(gè)命題為真命題的是().

A.已知向量方=(cosa,sina),3=(2,1),則卜一同的最大值為豆+1

B.若向量2=(5,0),3=(2/)，則,在B上的投影向量為(46,26)

C.若a=2也,6=4,A=O,要使?jié)M足條件的三角形有且只有兩個(gè)，則可

C_____,、

__.AC

D.若ZO=/l=----+------(2eR),則動(dòng)點(diǎn)。的軌跡一定通過V45C的重心

\AB\smBUCsinC

【答案】AD

【解析】

【分析】把模平方轉(zhuǎn)化為數(shù)量積運(yùn)算，然后結(jié)合三角恒等變換求最大值判斷A,根據(jù)投影向量的概念計(jì)算

判斷B,利用正弦定理判斷C,令邊8c中點(diǎn)為。，確定力-一+「，?二是與石平行的向量,由

\AB\smBL4CsinC

此可確定結(jié)論，從而判斷D.

【詳解】對(duì)于A,忖一同=J(cos?-2)2+(sin?-1)2=j6-4cosa-2sina,

1.121

貝i]6—4cosa-2sina=6-cosa+—^sina,令sin分=-j=,cos￡=

V5)

則卜一q=V6-4cos?-2sin?=小5-2石sin(tz+j3)+l,

當(dāng)sin(tz+￡)=—l時(shí)，B一可取最大，最大值為6+1，故A正確;

a-b；*10-、、，AC、

對(duì)于B,直接根據(jù))在B上的投影向量聲2,1=4,2,故B錯(cuò)誤;

b

ah

對(duì)于C,根據(jù)正弦定理可求得-----=-----，所以bsin4=〃sin5<〃〈b,

sinAsinB

所以sinZ<3=10，且Z<8,0<A<-,可求得故C錯(cuò)誤;

b223

令邊8c中點(diǎn)為。，則方+就=2%萬，再根據(jù)正弦定理J~L=I_I,

sinCsinB

所以日,-sin5=j^C^sinC,

(__k\

-nABAC工一而

代入到2。=4尸=]----+產(chǎn)=j--------

45sin8UdsinC4gsin8

因此點(diǎn)。的軌跡在直線上，所以點(diǎn)。的軌跡經(jīng)過重心，故D正確.

故選：AD

11.已知函數(shù)/(x)=sinx,in卜一cos2x,則()

A./(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(兀,0)對(duì)稱

B./(x)的值域?yàn)閇-1,2]

若方程/(x)=-；在(0,加)上有6個(gè)不同的實(shí)根，則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是(177110兀

C.〔丁亍

6

D.若方程［/(x)『—2叭乃+片=1(。eR)在(0,2兀)上有6個(gè)不同的實(shí)根x?=1,2,…,6),則。三毛的

i=l

取值范圍是(0,5兀)

【答案】BCD

【解析】

【分析】根據(jù)/(2兀)=-/(乃是否成立判斷A,利用分段函數(shù)判斷BC,根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性畫出分段函

數(shù)/(x)的圖象，求出的取值范圍，再利用對(duì)稱性判斷D.

【詳解】因?yàn)?(x)=sinx|sinx|-cos2x,

所以f(2K-x)=sin(2兀-x)卜in(2兀-x)-cos2(2兀-x)=-sinx|sinx|-cos2x*-f(x),

所以/（X）的圖象不關(guān)于點(diǎn)（兀,0）對(duì)稱，故A錯(cuò)誤;

當(dāng)sinxNO時(shí)，/(x)=sin2x-^l-2sin2xj=3sin2x-l,

由sinxe[0,1]可得/(x)e[-1,2],

當(dāng)sinx<0時(shí),/(x)=-sin2x-^l-2sin2xj=sin2x-l,

由sinxe[—1,0)可得/(x)e(-l,0],

綜上/(x)e[T,2],故B正確：

11

當(dāng)sinxNO時(shí)，由/(》)=35由7-%一1=-^解得$也%=5，

當(dāng)sinx<0時(shí)，由/(x)=sin?x-1=-,解得sinx=—也，

42

ll2>--ri-tr/、1/(\\,,,-,,,八ri、i兀57i47i57i13JL17兀1On

所以方程/(x)=-二在(0,+0°)上的刖7個(gè)A;頭根分別為:，—，—，—，----，――-----，

46633663

所以“4〈機(jī)4,故C正確；

63

由一2af(X)+。2=1解得/(X)=Q-1或/(X)=Q+1,

“、|3sin2x-l,sinx>0,,”、一

又因?yàn)?（x）=〈.2.，所以根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性可得/（X）圖象如圖所示,

sinx-l,sinx<0

所以/（%）=〃—1有4個(gè)不同的實(shí)根，/（%）=。+1有2個(gè)不同的實(shí)根,

-1<(2-1<0

所以《解得0<1,

0<。+1<2

設(shè)再<々<%3<%4<%5<%6，則再+%4=%2+%3=兀，/+%6=3兀，

66

所以2%=5兀，所以。工”，?的取值范圍是（°，5兀），故D正確.

z=l1=1

故選：BCD.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.已知函數(shù)/（力=11?透（》）=合+左,/（力<8（力，則上的取值范圍為

【答案】k>-2

【解析】

【分析】令尸(x)=/(x)—g(x),然后求導(dǎo)，找到尸(X)最大值，當(dāng)/(x)Wg(x)恒成立時(shí)，尸(X)最大

值小于等于零，解出屋

【詳解】令E(x)=/(x)-g(x)=lnx-ex-^(x>o),

心\1.ex

有尸(x)=-—e=------------,

xx

當(dāng)時(shí)，F(xiàn)'(x)<0,當(dāng)0<x<1時(shí)，F(xiàn)r(x)>0,

ee

所以尸(x)在上單調(diào)遞減，在［o,￡|上單調(diào)遞增，

所以尸(X)在尤=：處取得最大值，為—2—左，

若/(x)<g(x)恒成立，則—2—左40,即左2—2.

故答案為：kN-2.

13.在V/8C中，44=60。，|方心|=2,點(diǎn)。為4B的中點(diǎn)，點(diǎn)￡為CD的中點(diǎn)，若麗=；/，貝ij

AE-AF的最大值為.

13

【答案】—

6

【解析】

【分析】設(shè)罰=Z,k=1,得到左=設(shè)|萬|=兀就=》,再由余弦定理和基本不等式求得

—?—?19

xy<4,得到/￡./尸二石(］盯+8),即可求解.

【詳解】在V45C中，ZA^60°,\BC\=2,點(diǎn)。為4B的中點(diǎn)，點(diǎn)￡為CD的中點(diǎn)，

設(shè)初=*4=3,則通(而+近)=工方+1正=L1+13,

24242

設(shè)卜目=x,ZC=y,

由余弦定理可得4=%2+y2-2盯COS60°=%2+y2_Xy,

因?yàn)椋?+y2>2中，可得4=+y2-中〉中，即中《4,

當(dāng)且僅當(dāng)X=y=2時(shí)取等號(hào),

t—?1—?

又因?yàn)?

___kkki___k___9_______?i___k2i

則9=花+而=益+—前=9+—由―麗)=—運(yùn)+―k=—Z+—B,

333333

------(,k1-1-2—1v1/—2—*-*-*2

則/E./77=+§6)=五(2Q+5a^b+2b)

i51Q117

二—(2x2H—xy+2/)=—(-孫+8)<—(18+8)=—,

122122126

即樂?下的最大值為—.

故答案為：—.

6

14.若函數(shù)/(x+2)為偶函數(shù)，y=g(x+l)-5是奇函數(shù)，且/'(2-x)+g(x)=2,貝1/(2023)=

【答案】-3

【解析】

【分析】根據(jù)抽象函數(shù)的奇偶性、對(duì)稱性、周期性計(jì)算即可.

【詳解】由題意可知/(x)關(guān)于x=2軸對(duì)稱，g(x)關(guān)于(1,5)中心對(duì)稱，

/(2-x)+g(x)=2^>/(2-x)+10-g(2-x)=2^>/(2-x)-g(2-x)=-8,

所以/(x)—g(x)=-8,故/(x)+/(2—x)=—6=/(x)+/(2+x),

所以/(X+2)+/(X+4)=—6=>/(X)=/(X+4),

即7=4是/(x)的一個(gè)正周期,則/(2023)=/(3)=/(1)

由/(2—x)+/(x)=—6n/(—1)+/(3)=-6,且/(-1)=/(3),則41)7,

故答案為：-3

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.己知函數(shù)/(x)=sin10x+￡卜0〉0)在上單調(diào)遞增，在(g，71上單調(diào)遞減，設(shè)(%,。)為

曲線歹=/(x)的對(duì)稱中心.

(1)求/(2%)的值;

(2)記V4SC的角A,B,C對(duì)應(yīng)的邊分別為a,b,c,若cos/=cos/,Z?+c=6,求BC邊上的高

AD長的最大值.

【答案】(1)/(2x0)=--

【解析】

【分析】(1)根據(jù)正弦型函數(shù)的單調(diào)性求出解析式，即可求為,然后代入解析式求解即可;

(2)利用余弦定理得到°2=36-3bc，結(jié)合三角形面積公式和基本不等式求解即可.

【小問1詳解】

因?yàn)?(x)=sin10x+5〉0)在［。,行上單調(diào)遞增，在［彳上單調(diào)遞減，

所以/(0］=1且7》竺，所以a-0+囚=2左兀+四，左eZ,

k3J3362

可知刃二3左+工，keZ,

2

2兀、4兀31(1兀、

又由廠可知0<0?—，所以0=—，故/(x)=sin|7rx+：|,

\(o\322U6J

.171_.71

由一x+一二加兀，meZ,可得x=2加兀——，

263

71

即兀=2加兀一meZ,

f(2x0)=sinx2x0+《］=sin［%+：］=sin12加兀一g+：］=sin12加兀一弓］,

.兀1

=-sm—=——

62

【小問2詳解】

b1+c2-a2_(6+c)2-2bc一a_36-2bc-a

cosA=cosx0=—

化簡得/=36—3bc，因?yàn)?所以幺。=回

222a

所以/￡>2=3??1mh、，5ib+c>2y/bc.所以bc<9,

4a4(36-3/JC)

當(dāng)且僅當(dāng)b=c=3時(shí)取等號(hào),

■=3(姐>2=_3_<_3_=27

所以4(36-3Z)c)J3631，些_3)4,

［瓦7一流」15一V

所以404二一，故40長的最大值為

22

16.已知函數(shù)/(x)=x-xlnx-a.

(1)若曲線y=f(x)在點(diǎn)(i,f(i))處的切線方程為丁=法+2,求實(shí)數(shù)。和b的值；

(2)若函數(shù)/(x)無零點(diǎn)，求。的取值范圍.

【答案】(1)a=-\,6=0

(2)(1,+co)

【解析】

【分析】(1)求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，由/'(1)求出6,再由/(1)求出。；

(2)令/(x)=0可得a=x—xlnx,令g(x)=x—xlnx,利用導(dǎo)數(shù)說明函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最大

值，依題意V=a與y=g(x)無交點(diǎn)，即可求出參數(shù)。的取值范圍.

【小問1詳解】

因?yàn)?(x)=x-xlnx-a,所以=1一a,

又/'(x)=l—(lnx+l)=-Inx,則/'(1)=0,

又曲線y=/(x)在點(diǎn)(1,/。))處的切線方程為y=bx+2,

b=0仿=0

所以〈C，解得〈「

l-a=2[a=-1

【小問2詳解】

令/(%)=0，BPa=x-xlnx，

令g(x)=x-xlnx,則g'(x)=-lnx,

所以當(dāng)0<x<1時(shí)g'(x)〉0,當(dāng)x>1時(shí)g'(x)<0,

所以g(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,+8)上單調(diào)遞減，

則g(x)max=g(D=l'且當(dāng)尤”+°0時(shí)g(x)f-8,

依題意歹=。與y=g（x）無交點(diǎn)，所以?！?,

所以要使函數(shù)/（X）無零點(diǎn)，則。的取值范圍為（L+s）.

17.如圖，已知斜三棱柱4BC—44G的側(cè)面5CG片是菱形，ZB1BC=6Q°,BlB=2,

AlB=AlC=43,ABA.AlC.

B

（1）求證：AB±BC；

（2）求平面/2月與平面23夕夾角的余弦值.

【答案】（1）證明見解析

⑵-

3

【解析】

【分析】（1）利用線面垂直的性質(zhì)定理進(jìn)行證明；

（2）利用垂直關(guān)系建立空間直角坐標(biāo)系，用向量法進(jìn)行求解.

【小問1詳解】

取8c的中點(diǎn)。，連接。4，0耳.

因?yàn)閭?cè)面5CG5]是菱形，NB[BC=60。,所以△男5。是正三角形,

因?yàn)椤Ｊ?c中點(diǎn)，所以BCLOB].

因?yàn)?。?c中點(diǎn)，48=4。，所以

又因?yàn)锳OBX=0,0Axu平面OAXBX,OBXu平面OAXBX,

所以8C，平面片.

因?yàn)?gu平面。4耳，所以

因?yàn)樾比庵鵝8C-44G，所以他〃4耳，所以4SL5C.

【小問2詳解】

AB1

因?yàn)閆8，4CBC,A,CC\BC=C,4cu平面AXBC,BCu平面AXBC,所以N5,平面AXBC,

因?yàn)?t?u平面48C,所以48,4。.

又因?yàn)?。，BC,ABCBC=B,ABu平面ABC,BCu平面ABC,所以4。J_平面ABC.

以。為原點(diǎn)，0心的方向?yàn)閤軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系。-孫z,

則2（-1,1,0）,5（-1,0,0），4（0,0,行）,。（1,0,0）.

所以罰=（0,—1,0）,函=麴=（1,—1,夜），5C=（2,0,0）

設(shè)平面4881的一個(gè)法向量為五=（玉,%,4）,

n-AB=0,-Ji=0，

則—.即

X]一弘+V2Z[=0

n-BBl=0

取X[=后，則h=0,2]=—1,所以為=（也,0,—1）.

設(shè)平面831c的一個(gè)法向量為成=（%,%/2）,

m-BC=0,2X2—0,

則—.即

m-BB[=0,x2-y2+V2Z2=0,

?。?收，則%2=0/2=1,所以應(yīng)=（0,行,1）.

__m-n-11

又cos加,n—]——~r=-；=—7="二—

乂\m\-\n\V3.V33，

所以平面ABB,與平面BByC夾角的余弦值為1.

18.如圖，已知拋物線C：/=2/（夕〉0）上的點(diǎn)R的橫坐標(biāo)為1,焦點(diǎn)為E,S.\RF\=2,過點(diǎn)

尸（-4,0）作拋物線。的兩條切線，切點(diǎn)分別為A、B,。為線段P4上的動(dòng)點(diǎn)，過。作拋物線的切線，切

點(diǎn)為￡(異于點(diǎn)A,B),且直線交線段尸2于點(diǎn)77.

(1)求拋物線C的方程;

(2)試求+忸"I的長是否為定值，若是定值，求出該定值；若不是，請(qǐng)說明理由.

【答案】(1)y2=4x

(2)是定值，4君

【解析】

【分析】(1)根據(jù)拋物線的定義得到即可求出?，從而得解；

(2)設(shè)直線NP：卜=4X+4),聯(lián)立直線與拋物線方程，消元整理，根據(jù)A=0求出左，不妨令直線

y=-(x+4),則直線AP：y=-；(x+4),即可求出4臺(tái)的坐標(biāo)，設(shè)。(2/,7+2),設(shè)直線。〃：

x=m(y-t-2)+2t,聯(lián)立直線與拋物線方程，即可得到點(diǎn)E坐標(biāo)，再求出點(diǎn)”的坐標(biāo)，即可得解.

【小問1詳解】

拋物線C：/=2.(P〉0)的焦點(diǎn)/[5,0)準(zhǔn)線x=4,

貝|]|火刊=1—[言，2,則夕=2,拋物線C的方程為/=4x；

【小問2詳解】

⑴設(shè)直線/P：p=A(x+4),由＜彳,："’,可得左2/+(8左2-4)x+16左2=0,

x

則A=(8左2—4)2—4左2x16左2=0,解得左=土;，

則!f+Q-4)x+4=0,解得x=4,

不妨令直線/P：J=-(x+4),直線AP：y=-；(x+4),

22

則1(4,4),8(4,—4)設(shè)。(27,/+2),fe(-2,2),

設(shè)直線x^m(y-t-2)+2t,

x=m(y-t-2)-^-2t

由<2，可得歹-4my+4mt+Sm-8t=0,

J=4x

由A=(-4機(jī))2—4(4掰f+8掰-8/)=0,可得優(yōu)=/或加=2(舍),

x-tAy-t,2

則￡(/,27),直線DH：x=ty-t2,由＜1，可得"(-2//-2),

y=--(^+4)

xM)=等(4—27+4+27)=4后，為定值.

故H0+忸m=—和|+曷—

19.有編號(hào)為1,2,…，〃的〃個(gè)空盒子（〃22.eN）,另有編號(hào)為1,2,…水的左個(gè)球（24左<〃，左eN）,現(xiàn)

將左個(gè)球分別放入"個(gè)盒子中，每個(gè)盒子最多放入一個(gè)球.放球時(shí)，先將1號(hào)球隨機(jī)放入〃個(gè)盒子中的其中

一個(gè)，剩下的球按照球編號(hào)從小到大的順序依次放置，規(guī)則如下：若球的編號(hào)對(duì)應(yīng)的盒子為空，則將該球

放入對(duì)應(yīng)編號(hào)的盒子由若球的編號(hào)對(duì)應(yīng)的盒子為非空，則將該球隨機(jī)放入剩余空盒子中的其中一個(gè).記上

號(hào)球能放入k號(hào)盒子的概率為尸（〃,左）.

(1)求尸（3,3）；

(2)當(dāng)〃N3時(shí)，求尸（〃,3）；

(3)求尸（〃，左）.

【答案】（1）-

2

/、n—2

(2)-------

n-\

(3)P(n,k)=-------

()〃—左+2

【解析】

【分析】（1）分類討論1號(hào)球放入的盒子應(yīng)用全概率公式即可計(jì)算;

（2）分類討論1號(hào)球放入的盒子應(yīng)用全概率公式即可計(jì)算;

（3）分三類討論1號(hào)球放入的盒子，1號(hào)球放入）（2W/Wk-1）號(hào)盒中等效于將編號(hào)為1,2,…，后-/+1

的球，按照題設(shè)規(guī)則放入編號(hào)為1,2,-J+1的盒中尸（〃—J+1,左一/+1）,做差運(yùn)算可得

尸（〃水）=尸（〃一1,左—1）迭代得出結(jié)論..

【小問1詳解】

1號(hào)球放入1號(hào)盒中的概率為:，此時(shí)2,3號(hào)球分別放入2