2025中考數(shù)學(xué)專項復(fù)習(xí)：一箭穿心與瓜豆原理（最值專題）含答案

2025中考數(shù)學(xué)專項復(fù)習(xí)一箭穿心與瓜豆原

理（最值專題）含答案

箭穿心與瓜豆原理（最值專題）

學(xué)校:姓名：班級：考號：

一、一箭穿心與最值

題目①如圖，矩形中，AB=2,BC=3,以A為圓心，1為半徑畫是。A上一動點，P是BC

上一動點，則PE+PD最小值是（）

A.2B.3C.4D.2V3

題目區(qū)如圖,在矩形ABCD中，AB=2,AD=J7,動點P在矩形的邊上沿A運(yùn)動.當(dāng)點P

不與點A、B重合時，將△ABP沿AP對折，得到△ABT,連接CB',則在點P的運(yùn)動過程中，線段的最

題目區(qū)如圖，。河的半徑為4,圓心河的坐標(biāo)為（5,⑵，點P是。河上的任意一點，且P4PB

與多軸分別交于A、8兩點，若點4、點口關(guān)于原點。對稱，則的最小值為.

題目@如圖，在/\ABC中，AD是5。邊上的中線，8,AC=4V2.

（1）當(dāng)AB=時，ACAD=°；

（2）當(dāng)A4CD面積最大時，則AD=

題目回如圖，。河的半徑為4,圓心河的坐標(biāo)為（6,8）,點P是。河上的任意一點，PALPB,且PA、PB

與多軸分別交于兩點，若點入、點B關(guān)于原點。對稱，則AB的最大值為（）

A.13B.14C.12D.28

題目回點A是半徑為2的。。上一動點，點。到直線上W的距離為3.點P是上一個動點，在運(yùn)動過

程中若=90°,則線段P4的最小值是.

［題目⑶如圖所示，AB為。。的一條弦，點。為。。上一動點，且/BCA=30°,點分別是的

中點，直線ER與。。交于G,H兩點，若。。的半徑為7,求GE+的最大值.

二、瓜豆原理

1目切如圖,在平面內(nèi)，線段=6,P為線段上的動點，三角形紙片CDE的邊CD所在的直線與線

段AB垂直相交于點P,且滿足PC=PA.若點P沿AB方向從點A運(yùn)動到點3,則點E運(yùn)動的路徑長為

［題目團(tuán)如圖，點A,B的坐標(biāo)分別為4(4,0),B(0,4),。為坐標(biāo)平面內(nèi)一動點，且BC=2,點Af為線段AC

的中點，連接OM,當(dāng)取最大值時，點河的縱坐標(biāo)為

題目⑼如圖，已知4(6,0),8(4,3)為平面直角坐標(biāo)系內(nèi)兩點，以點B圓心的。B經(jīng)過原點2軸

于點。，點。為⑷B上一動點，后為40的中點，則線段CE長度的最大值為.

［題目@如圖,在平面直角坐標(biāo)系中，。(0,4),4(3,0),。4半徑為2,P為。A上任意一點，E是PC的中

點，則OE的最小值是.

題目回如圖，在Rt/XABC中,ZABC=90°,AACB=30°,BC=2盜，/\ADC與△AB。關(guān)于AC對稱，點

反廠分別是邊。。、3。上的任意一點,且。豆=。干，跳；、。尸相交于點？,則。？的最小值為()

A.1B.V3C.D.2

［題目回在4ABC中,NACB=90°,AC=4,BC=3,點。是以點人為圓心,半徑為1的圓上一點,連接BD

并取中點A1,則線段CM的長最大為，最小為

題目⑶如圖，在等腰直角三角形ABC中，乙45。=90°,48=5。=4,_?是448。所在平面內(nèi)一點,且滿足

PA±PB,則PC的最大值為

三、新定義

〔題目〔1〕定義：P、Q分別是兩條線段a和b上任意一點，線段PQ長度的最小值叫做線段a與線設(shè)b的“冰雪

距離已知0(0,0),一(1,1),,C(m,n+2)是平面直角坐標(biāo)系中四點.

圖I圖2符用圖

(1)根據(jù)上述定義，完成下面的問題：

①當(dāng)m=2,九=1時，如圖1,線段與線段04的“冰雪距離”是一

②當(dāng)館=2時，線段與線段OA的“冰雪距離”是1,則n的取值范圍是_

⑵如圖2,若點B落在圓心為4半徑為1的圓上，當(dāng)n>1時，線段BC與線段04的“冰雪距離”記為d,

結(jié)合圖象，求d的最小值；

⑶當(dāng)m的值變化時,動線段與線段OA的“冰雪距離”始終為1,線段的中點為M.求點M隨線

段運(yùn)動所走過的路徑長，

一箭穿心與瓜豆原理（最值專題）

學(xué)校：姓名:班級:考號:

一、一箭穿心與最值

版目［］如圖，矩形ABCD中，AB=2,BC=3,以A為圓心，1為半徑畫O4E是。A上一動點，P是BC

上一動點，則PE+PD最小值是（）

C.4D.2V3

【答案】。

【詳解】解:如圖，作點。關(guān)于直線BC的對稱點F,連接AF,交BC于點P,交?4于點E,此時PE+PD

最小，最小值等于AF—AE,

由軸對稱的性質(zhì)得：CF=CD,

?：四邊形ABCD是矩形,AB=2,BC=3,

：.AB=CD=2,AD=BC=3,AADF=9Q°,

：.DF=CD+CF=2CD=4,

：.AF=y/AD2+DF2=V32+42=5,

AE=1,

：.EF=AF-AE=4f

即PE+PD的最小值為4,

故選：C.

題目印如圖,在矩形ABCD中，48=2,人。=，7,動點。在矩形的邊上沿3一。一。一人運(yùn)動.當(dāng)點P

不與點力、B重合時，將/\ABP沿AP對折,得到△AFP,連接CB',則在點P的運(yùn)動過程中，線段CF的最

小值為

1

AD

\

-...

【答案】，IT—2/-2+V1T

【詳解】解:在矩形ABCD中，AB=2,AD=V7,

：.BC=AD=V7,AC=y/BC2+AB2=V7+4=Vil,

如圖所示，當(dāng)點P在BC上時，

,/AB=AB=2,

..?.呂在4為圓心，2為半徑的弧上運(yùn)動,

當(dāng)A,3,。三點共線時，生最短，

此時生=AC—4F=41—2,

當(dāng)點P在。。上時，如圖所示，

此時—

當(dāng)P在AD上時，如圖所示，此時婚＞〃11一2,

綜上所述，C&的最小值為VTT-2,

故答案為：V1T—2.

.

題目區(qū)如圖，。M的半徑為4，圓心”的坐標(biāo)為（5,⑵，點P是。河上的任意一點，PA，且P4PB

與立軸分別交于A、B兩點，若點A、點B關(guān)于原點O對稱,則AB的最小值為.

【詳解】解:如圖所示，連接OP,

：./APB=90°,

40=BO,

：.AB^2PO,

若要使AB取得最小值，則PO需取得最小值，

連接。河，交0M■于點P,當(dāng)點P位于P位置時，OP取得最小值，

過點Af作MQ_L/軸于點Q,

則OQ=5,MQ—12,

在用人/陽口中，根據(jù)勾股定理，得

OM=^OQ^MQ2=V52+122=13,

又??,MP,=4,

???OP=9,

???AB=2OP=18,

故答案為：18.

Ml④如圖，在△4BC中，40是BC邊上的中線，8,4。=472.

（1）當(dāng)AB=AC時，2CAD=°；

（2）當(dāng)AACD面積最大時，則AD=.

【答案】454V3

【詳解】解：（1）當(dāng)4B=A。時，

AD是BC邊上的中線，

：.AD±BC,BD=CD=4：,

：.AD=^AC2-CD2=^,

：./XACD是等腰直角三角形，

/CAD=45°;

（2）在△ACD中，以CD為底，CD=^BC=4,

則當(dāng)CD邊上的高最大時，△力CD面積最大，

如圖，點A在以點。為圓心，AC為半徑的圓上,

故當(dāng)時，高最大，即為AC,

此時AD=y/AC2+CD2=4V3,

故答案為：45,4V3.

［題目回如圖，0M■的半徑為4,圓心”的坐標(biāo)為（6,8）,點P是。河上的任意一點，PALPB,且P4PB

與立軸分別交于A、B兩點，若點A、點B關(guān)于原點。對稱，則AB的最大值為（）

A.13B.14C.12D.28

【答案】。

【詳解】解:連接PO,

?：PA±PB,

：./APB=90°,

,?,點4點B關(guān)于原點O對稱，

:.AO=BO,

:.AB=2PO,

若要使AB取得最大值,則PO需取得最大值，

連接。河,并延長交?？邳cP,當(dāng)點P位于P位置時，OP取得最大值，

過點M作MQ_Lx軸于點。，

則OQ=6、7WQ=8,

OM=10,

又vMPr=r=4,

??.OP=MO+MP=10+4=14,

??.AB=2OP=2xl4=28;

故選：O.

題目回點人是半徑為2的。。上一動點，點。到直線1W的距離為3.點P是小W上一個動點，在運(yùn)動過

程中若/POA=90°,則線段P4的最小值是.

【答案】

【詳解】解：；ZFOA=90°,

PA=VOA2+OP2=V4+OP2,

當(dāng)0P最小時，P4取最小值，

由題意得：當(dāng)OP_LMV時，QP最小，最小值為3,

PA的最小值為：V4+32=V13,

故答案為：63.

〔題目0如圖所示，AB為。。的一條弦，點C為0O上一動點，且/BCA=30°,點E,F分別是AC,的

中點，直線ER與。。交于G,H兩點，若。。的半徑為7,求GE+FH的最大值.

【答案】GE+FH的最大值為號.

【詳解】連結(jié)40,80,

ABCA=30°AABOA=60°

A/\AOB為等邊三角形，AB=7?M

。:點、E,尸分別是AC,的中點

：.EF=^-AB=^-,'：GH為(DO的一條弦

??.GH最大值為直徑14J.GE+EH的最大值為14-工=爭.

二、瓜豆原理

題目工如圖，在平面內(nèi)，線段AB=6,P為線段上的動點，三角形紙片CDE的邊CD所在的直線與線

段AB垂直相交于點P,且滿足PC=PA.若點P沿AB方向從點人運(yùn)動到點B,則點E運(yùn)動的路徑長為

【答案】

【詳解】解:如圖，由題意可知點。運(yùn)動的路徑為線段AC,點、E運(yùn)動的路徑為EE',

由平移的性質(zhì)可知AC'=EE',

在Rt^ABC中，：AB=BC'=6,AABC=90°,

EE'=AC=V62+62=6V2,

故答案為：6蓼.

E'

4C)

題目團(tuán)如圖，點A,B的坐標(biāo)分別為4(4,0),8(0,4),。為坐標(biāo)平面內(nèi)一動點,且BC=2,點河為線段AC

的中點,連接OM,當(dāng)AC取最大值時,點M的縱坐標(biāo)為.

【答案】2+三

【詳解】解:如圖，?.?點C為坐標(biāo)平面內(nèi)一點，BC=2,

.?.c在。B上，且半徑為2,

當(dāng)。在AB的延長線上時，AC最大，

過點。作CD，/軸，

?.?點A,B的坐標(biāo)分別為A(4,0),B(0,4),

.,.04=08=4,

/BOA=90°,

/XBOA是等腰直角三角形，

ZA=45°,AB=y/O^+OB2=472,

AC=BC+AB=2+4V2.

；CD_La;軸，

/\CDA是等腰直角三角形，

：.CD=AD,

?：CD2+AD-=AC'2,即2CE?2=(2+4V2)2,

解得：C?=V2+4,

.??C點的縱坐標(biāo)為2十4,

?.?點M為線段的中點，

點M的縱坐標(biāo)為+2.

故答案為：乎+2.

題目叵如圖，已知46，0)，3(4,3)為平面直角坐標(biāo)系內(nèi)兩點，以點5圓心的。B經(jīng)過原點O,BC，,軸

于點。，點。為。B上一動點，E為AD的中點，則線段CE長度的最大值為.

【詳解】試題解析:如圖所示：取OC的中點F,則F(2,0).連接FB并延長與圓交于點O'.?、?的中點E'.

連接CE'.此時線段CE'的長度就是最大值.

BF=V22+32=V13.

圓的半徑BD=V42+32=5.

W=V13+5.

CE'=杷F=咒+5.

故答案為衛(wèi)胃土&.

題目⑷如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，。（0,4）,A（3,0）,。A半徑為2,P為。A上任意一點，E是PC的中

點，則OE的最小值是.

【答案】1.5.

【詳解】解:如圖，連接AC,取AC的中點H,連接EH,.

?：CE=EP,CH=AH,

：.EH=^-PA=1,

.?.點E的運(yùn)動軌跡是以為圓心半徑為1的圓，

H（1.5,2）,

.-.OH=V22+1.52=2.5,

OE的最小值=OH-EH=2.5—1=1.5,

故答案為：1.5.

題目回如圖，在Rt/\ABC中，2ABC=90°,AACB=30°,BC=2A/3,△ADC與AABC關(guān)于AC對稱，點

E、F分別是邊。C、BC上的任意一點，且DE=CF,BE、DF相交于點P,則CP的最小值為（）

?M

D

A.1B.V3C.1-D.2

【答案】。

【詳解】解:連接A。，因為/ACB=30°,所以ZBCD=60°,

因為CB=CD,所以△CBD是等邊三角形，

所以BD=DC?

因為DE=CF,NEDB=ZFCD=60°,

所以/\EDB豈AFCD，所以NEBD=Z.FDC,/￡

因為ZFDC+ABDF=60°,一JL\

所以NEBD+NBDF=60°，所以ABPD=120°,1X7V\\

所以點P在以人為圓心，AD為半徑的弧BD上，

直角△ABC中，/人6?=30°,3。=2，,所以48=2,4。=4,玄/'

所以4P=2BFC

當(dāng)點A,P,。在一條直線上時，CP有最小值，

CP的最小值是AC—AP=4—2=2

故選D

題目封在△ABC中，/力CB=90°,AC=4,BC=3,點。是以點人為圓心,半徑為1的圓上一點，連接BD

并取中點則線段CM的長最大為，最小為.

【答案】32

【詳解】解:作AB的中點E,連接EM、CE.

在直角△48。中，48=乂了西瓦子=5,

E是直角△AB。斜邊48上的中點，

.?.CE="B=2.5.

；M是BD的中點、，E是AB的中點，

.?.ME=]AD=0.5.

?/2.5-0.5WCM<2.5+0.5,即2WCM43.

：.最小值為2,最大值為3,

故答案為：3,2.

版目可如圖，在等腰直角三角形ABC中，/ABC=900,AB=BC=4,P是AAB。所在平面內(nèi)一點，且滿足

PA±PB,則PC的最大值為.

【詳解】解：???PA_LPB,

/APB=90°,

.?.點P在以AB為直徑的圓上，

取的中點，連接CV,如圖，則OC=vW不=2斯,

?.?點P為。。的延長線于OO的交點時，CP最大，

.?.PC的最大值為2瓶+2.

故答案為2函+2.

三、新定義

題目刀定義：P、Q分別是兩條線段a和b上任意一點,線段PQ長度的最小值叫做線段a與線設(shè)b的“冰雪

距離已知0(0,0),4(1,1),,C(m,n+2)是平面直角坐標(biāo)系中四點.

圖I圖2符用圖

⑴根據(jù)上述定義，完成下面的問題：

①當(dāng)m=2,九=1時，如圖1,線段及7與線段04的“冰雪距離”是一

②當(dāng)巾=2時，線段BC與線段OA的“冰雪距離”是1,則n的取值范圍是_

⑵如圖2,若點B落在圓心為4半徑為1的圓上，當(dāng)九＞1