531函數(shù)的單調(diào)性（精講）-2021-2022學(xué)年高二數(shù)學(xué)（人教A版2019選擇性）

5.3.1函數(shù)的單調(diào)性（精講）1．函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系函數(shù)在區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，(1)若，則在區(qū)間內(nèi)是單調(diào)遞增函數(shù)；(2)若，則在區(qū)間內(nèi)是單調(diào)遞減函數(shù)；(3)若恒有，則在區(qū)間內(nèi)是常數(shù)函數(shù)．注意：討論函數(shù)的單調(diào)性或求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的實(shí)質(zhì)是解不等式，求解時(shí)，要堅(jiān)持“定義域優(yōu)先”原則2.求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟（1）確定函數(shù)的定義域（2）求導(dǎo)數(shù)（3）解不等式，（4）結(jié)合定義域下結(jié)論。3．已知函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)范圍(1)已知可導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間D上單調(diào)遞增，則在區(qū)間D上恒成立；(2)已知可導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間D上單調(diào)遞減，則在區(qū)間D上恒成立；(3)已知可導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間D上存在增區(qū)間，則在區(qū)間D上有解；(4)已知可導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間D上存在減區(qū)間，則在區(qū)間D上有解．考點(diǎn)一：求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（不含參）1．已知函數(shù)，則（）A．在上是增函數(shù)B．在和上是增函數(shù)C．在和上是減函數(shù)D．在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)【答案】B【詳解】依題意，由得的定義域?yàn)?，又，即在和上都單調(diào)遞增，所以在和上是增函數(shù).故選：B2．函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是（）A． B． C． D．【答案】C【詳解】的定義域?yàn)?，，所以在區(qū)間上遞減.故選：C3．函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（）A． B． C． D．【答案】D【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，，所以在區(qū)間上，函數(shù)單調(diào)遞增.故選：D4．函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是（）A． B． C． D．【答案】B【詳解】因?yàn)?，定義域?yàn)椋瑒t，令，則，故選：B5．函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（）A． B．C． D．【答案】C【詳解】解：函數(shù)的定義域?yàn)?，由，得，令，得，，解得或（舍去），所以函?shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，故選：C考點(diǎn)二：己知函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求參數(shù)的取值范圍1．若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】B【詳解】依題意在區(qū)間上恒成立，即在區(qū)間上恒成立，令，，在上遞增，，所以.所以的取值范圍是.故選：B2．若函數(shù)是R上的單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】C【詳解】若函數(shù)是上的單調(diào)函數(shù)，只需或恒成立，顯然，不可能恒成立，即只有恒成立，所以，∴.故選：C.3．函數(shù)是R上的單調(diào)增函數(shù)，則a的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】D【詳解】依題意，由于，所以.故選：D4．若函數(shù)在上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】D【詳解】解：由已知得，即,對(duì)于上恒成立，∴，故選：D.5．若函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，則（）A．－12 B．－10 C．8 D．10【答案】A【詳解】＝3x2＋2bx＋c，由題意知，－1<x<3是不等式3x2＋2bx＋c<0的解，∴－1，3是＝0的兩個(gè)根，∴b＝－3，c＝－9，∴b＋c＝－12.故選：A．6．已知函數(shù)，若函數(shù)在上單調(diào)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A． B． C．或 D．或【答案】C【詳解】在區(qū)間上單調(diào)，，或，即或恒成立，設(shè)，，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，函數(shù)的值域是，所以或.故選：C考點(diǎn)三：存在單調(diào)區(qū)間問(wèn)題1．函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在單調(diào)遞增區(qū)間，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B．C． D．【答案】C【詳解】由題意得，，因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間內(nèi)存在單調(diào)遞增區(qū)間，所以存在使得成立，即.故選:C2．已知函數(shù)在區(qū)間上存在單調(diào)遞增區(qū)間，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】A【詳解】∵函數(shù)在區(qū)間上存在單調(diào)增區(qū)間，∴函數(shù)在區(qū)間上存在子區(qū)間使得不等式成立，，設(shè)，則或，即或，得或，則；故選：A．3．若函數(shù)在上存在單調(diào)遞減區(qū)間，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】B【詳解】因?yàn)樵谏洗嬖趩握{(diào)遞減區(qū)間，所以在上有解，所以當(dāng)時(shí)有解，而當(dāng)時(shí)，，（此時(shí)），所以，所以的取值范圍是.故選：B.4．函數(shù)在上存在單調(diào)遞增區(qū)間，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】B【詳解】，，由題意可知，存在，使得，即存在，使得，二次函數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，則.故選：B.考點(diǎn)四：不單調(diào)問(wèn)題1．函數(shù)在上不單調(diào)，則的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】A【詳解】求導(dǎo)可得，由，可得，所以的最小值為，若要函數(shù)在上不單調(diào)，則，解得，故選：A2．若函數(shù)在上的非單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】B【詳解】若函數(shù)是上非單調(diào)函數(shù)，又，則，.故選：B.3．已知函數(shù)在內(nèi)不是單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】A【詳解】∵，在內(nèi)不是單調(diào)函數(shù)，故在存在變號(hào)零點(diǎn)，即在存在零點(diǎn)，∴.故選：A.4．函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B．C． D．【答案】B【詳解】，如果函數(shù)在區(qū)間[1，2]上單調(diào)，那么a1≥0或，即，解得a≥1或a≤3，所以當(dāng)函數(shù)在區(qū)間[1，2]上不單調(diào)時(shí)，.故選：B5．已知函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】B【詳解】由，①當(dāng)時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，不合題意；②當(dāng)時(shí)，函數(shù)的極值點(diǎn)為，若函數(shù)在區(qū)間不單調(diào)，必有，解得.故選：B．6．若函數(shù)在其定義域上不單調(diào)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A．或 B． C． D．【答案】A【詳解】可得，在其定義域上不單調(diào)等價(jià)于方程有兩個(gè)解，，解得或.故選：A.考點(diǎn)五：求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（含參）1．已知函數(shù)，討論的單調(diào)性.【答案】答案見(jiàn)解析.【詳解】f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)，＝－a，當(dāng)a≤0時(shí)，>0恒成立，所以f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增；當(dāng)a>0時(shí)，則當(dāng)x∈時(shí)，>0；當(dāng)x∈時(shí)，<0，所以f(x)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.2．已知函數(shù).討論的單調(diào)性；【答案】（1）答案見(jiàn)解析；（2）.【詳解】（1）且，∴當(dāng)時(shí)，，遞增；當(dāng)時(shí)：若時(shí)，，遞減；當(dāng)時(shí)，，遞增；∴時(shí)，在上遞增；時(shí)，在上遞減，在上遞增；3．已知函數(shù)（為常數(shù)）,討論函數(shù)的單調(diào)性；【答案】（1）時(shí)，遞增，時(shí)，在遞減，遞增；（2）.【詳解】（1）函數(shù)定義域是，，時(shí)，恒成立，在上是增函數(shù)；時(shí)，時(shí)，，遞減，時(shí)，，遞增．4．已知函數(shù)，.求的單調(diào)區(qū)間；【答案】（1）答案見(jiàn)解析；（2）.【詳解】解：（1）（），①當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；②當(dāng)時(shí)，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；③當(dāng)時(shí)，恒成立，所以在上單調(diào)遞增；④當(dāng)時(shí)，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.5．已知函數(shù)，，討論的單調(diào)性；【答案】當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．【詳解】，，①當(dāng)時(shí)，恒成立，在上單調(diào)遞增，②當(dāng)時(shí)，令，則，令，則，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，綜上：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．6．已知函數(shù)．若，求的單調(diào)區(qū)間．【答案】答案不唯一，具體見(jiàn)解析．【詳解】解：，①當(dāng)時(shí)，當(dāng)，，單調(diào)遞增，當(dāng)，，單調(diào)遞減，當(dāng)，，單調(diào)遞增．②當(dāng)時(shí)，在恒成立，所以在上單調(diào)遞增；③當(dāng)時(shí)，當(dāng)，，單調(diào)遞增，當(dāng)，，單調(diào)遞減，當(dāng)，，單調(diào)遞增，綜上所述，①當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增區(qū)間為，．單調(diào)遞減區(qū)間為；②當(dāng)時(shí)，單調(diào)增區(qū)間為，無(wú)減區(qū)間；③當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為．7．已知函數(shù)，其中，若函數(shù)，討論的單調(diào)性．【答案】見(jiàn)解析【詳解】，則，①當(dāng)時(shí)，在上恒成立，在上單調(diào)遞減；②當(dāng)時(shí)，，令，即，解得；令，即，解得，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；③當(dāng)時(shí)，，令，即，解得；令，即，解得，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．綜上，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．8．已知函數(shù)，討論的單調(diào)性；【答案】分類討論，答案見(jiàn)解析【詳解】，記，當(dāng)時(shí)，，，所以在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，令，所以且，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)