河南省許昌某中學(xué)2024-2025學(xué)年高二年級上冊開學(xué)考試數(shù)學(xué)試卷

20242025學(xué)年高二上學(xué)期開學(xué)檢測

數(shù)學(xué)

注意事項：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名和座位號填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈

后，再選涂其他答案標(biāo)號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡的相應(yīng)位置上。寫在本試卷上無效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一.選擇題（共8小題，每小題5分，共40分，每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。）

1.若復(fù)數(shù)Z滿足（2+3i）Z=i2024+8i2025,則復(fù)數(shù)力在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

2.已知正方體ABCD-A與GR的棱長為2,E,尸分別是棱AD,耳￡上的動點，若正方體ABC。-的外接

球的球心是。1，三棱錐尸-的外接球的球心是。2，則的最大值是（）

A.V2B.—C.@D.逑

244

3.若(/+/=手,tantz=2,則一()

4cosya-p)~smasmp

A.1B.1C.2D.2

4.底面圓周長為2兀，母線長為4的圓錐內(nèi)切球的體積為()

A而71B—C4岳兀D岳五

'5'25'25'25

5.已知函數(shù)〃力=詆。53（。*0,。＞0）,若將函數(shù)y=/（力的圖象向左平移4個單位長度后得到函數(shù)＞=g（x）的

6。

圖象，若關(guān)于X的方程g"）=0在0,—上有且僅有兩個不相等的實根，則實數(shù)。的取值范圍是（）

6.已知圓錐A。在正方體ABC。-A耳G2內(nèi)，AB=2,且AC垂直于圓錐A。的底面，當(dāng)該圓錐的底面積最大時,

圓錐的體積為（）

A.島B.岳C.匝D.叵

22

7.在VABC中，角AB,C的對邊分別為a,b,c,若tanB=-迅力=6忌，則=（）

ac

A.6B.4C.3D.2

8.三棱錐A—BCD滿足5C+AC=SD+AT＞=4,二面角C—AB—O的大小為60。，CD1AB,AB=2?,CD=1,

則三棱錐A-BCD外接球的體積為（）

A70282801兀?287771

A.7兀B.——7iC.-----D.---

3273

二.多選題（共3小題，每題6分，共18分。在每題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對得6分，部

分選對得3分，有選錯的得0分。）

9.已知函數(shù)/（x）=tan（ox-"（o＞0）,則下列說法正確的是（）

A.若/（無）的最小正周期是2兀，則0=1

2

B.當(dāng)/=1時，/（尤）的對稱中心的坐標(biāo)為（際+5，O,eZ）

C.當(dāng)0=2時，/（-善）＜/（年）

D.若/（尤）在區(qū)間信,上單調(diào)遞增，則0＜。＜|

10.某次數(shù)學(xué)考試后，為分析學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，某校從某年級中隨機(jī)抽取了100名學(xué)生的成績，整理得到如圖所示

的頻率分布直方圖.為進(jìn)一步分析高分學(xué)生的成績分布情況，計算得到這100名學(xué)生中，成績位于［80,90）內(nèi)的學(xué)生

成績方差為12,成績位于［90,100）內(nèi)的同學(xué)成績方差為10.則（）

A.67=0.004

B.估計該年級學(xué)生成績的中位數(shù)約為77.14

C.估計該年級成績在80分及以上的學(xué)生成績的平均數(shù)為87.50

D.估計該年級成績在80分及以上的學(xué)生成績的方差為30.25

11.如圖所示，在直三棱柱ABC-A4G中，底面ABC是等腰直角三角形，點。為側(cè)棱B耳上

的動點，“為線段4旦中點.則下列說法正確的是（）

A.存在點。，使得平面

B.AWG周長的最小值為1+3+6

C.三棱錐G-ABC的外接球的體積為走兀

2

D.平面AOC與平面A3c的夾角正弦值的最小值為且

3

三.填空題（共3小題，每題5分，共15分。）

12.已知某圓錐的體積為3兀.側(cè)面展開圖為一個半圓，則該圓錐的內(nèi)切球的體積為

13.意大利畫家達(dá)?芬奇提出：固定項鏈的兩端，使其在重力的作用下自然下垂，那么項鏈所形成的曲線是什么？這

就是著名的“懸鏈線問題”.雙曲余弦函數(shù)，就是一種特殊的懸鏈線函數(shù)，其函數(shù)表達(dá)式為coshx=j二，相應(yīng)的雙

2

曲正弦函數(shù)的表達(dá)式為sinhx=^.設(shè)函數(shù)/（可=當(dāng)二若實數(shù)機(jī)滿足不等式“2根+3）+f（T/）＞o,則相

2coshx

的取值范圍為.

14.在四棱錐尸-ABCD中，底面A8CD是平行四邊形，E是棱研的中點，F(xiàn)在棱8C上，滿足CF=2EB,G在棱

PB上,滿足。，E,F,G四點共面，則器的值為.

四.解答題（共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。）

（14分）15.若函數(shù)“力和g（尤）的定義域相同，值域也相同，則稱〃尤）和g（x）是"同域函數(shù)

⑴判斷函數(shù)y=/-2x與＞=2'-1是否為“同域函數(shù)”，并說明理由;

⑵若函數(shù)〃x）=tanr卜e（-l,3）和8（%）=1080（-/+小+#3＞0,且"1）是"同域函數(shù)"，求。的值.

JT

（15分）16.如圖，在直四棱柱A8CZ）-A4GA中，底面ABCD是邊長為2虎的菱形，M=2,ZBAD=-,E,

產(chǎn)分別為AB,A4的中點.

⑵求四棱柱ABC。-44G2被平面CEF截得的截面周長;

（3）求直線DA與平面CEF所成角的正切值.

(14分)17.已知/'(x)=sin[x+(]cosx+]Sin[2x+(J--—.

⑴求了。)的單調(diào)遞增區(qū)間；

⑵若g(x)=7以-工+/(x-￡)-cosx,xe,求滿足不等式g。)21的x的取值范圍.

V267o44

（16分）18.某市為了創(chuàng)建文明城市，共建美好家園，隨機(jī)選取了100名市民，就該城市創(chuàng)建的推行情況進(jìn)行問卷

調(diào)查，并將這100人的問卷根據(jù)其滿意度評分值（百分制）按照［50,60）,［60,70）,…，［90,100］分成5組，制成如

圖所示頻率分布直方圖.

頻率

而

0.035

0.030

0.010J..............-J-J.-J—

0.005—I

°506070809010°滿意度評分值（分）

⑴求圖中尤的值；

（2）求這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)、平均數(shù)；

（3）已知滿意度評分值在［80,90）內(nèi)的男生數(shù)與女生數(shù)的比為3：2,若在滿意度評分值為［80,90）的人中按照性別采用

分層抽樣的方法抽取5人，并分別依次進(jìn)行座談，求前2人均為男生的概率.

（18分）19.《九章算術(shù)》是我國古代的一部數(shù)學(xué)經(jīng)典著作，在其中一篇《商功》中有如下描述：“斜解立方，得兩

塹堵”，塹堵是底面為直角三角形的直三棱柱.如圖，在塹堵ABC-A4G中，ABYBC,BC=l,AB=0CQ=2,

P為棱AC的中點，。為棱aa的中點.

（1）證明：平面P2C"/平面AB?；

⑵求二面角。--4的正切值;

⑶求CG與平面PBC,所成角的正弦值.

數(shù)學(xué)答案

1.D【詳解】因為(2+3山"2024+蠟?zāi)?

,024+82025

l+8i（l+8i）（2-3i）_

所以Z=----------=----------------------------=2+1

2+3i2+3i（2+3i）（2-3i）

所以三=2-i，所以復(fù)數(shù))在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為(2,T),位于第四象限.

2.C【詳解】如下圖所示:

設(shè)8c的中點為G,AR的中點為8，AEBC的外接圓圓心為M，AEBC的外接圓圓心為N,

易得MG_L3C,NG1BC,

過〃，N分別作平面BCG耳，平面ABC。的垂線，交點即為。2,

又。1為G8的中點，所以當(dāng)MG和NG最小時，。。2取得最大值.

設(shè)MG=d,B[F=a,由MC=MF,可得屋+F=（2—1）?+（1-41,

1r3

整理得d=Z(Q-故當(dāng)a=l,

3

即尸為與G的中點時，MG取得最小值;，

4

3

同理可得NG的最小值也是丁，

4

此時O1,o2,G三點共線，002=OQ-O2G=忘一乎=乎.

3兀

(2\tantana

3.B【詳解】由題意得tan4=tan=—與------=3,

14/3兀

'7l+tan——tan。

4

則sin(a-/)sinacos/3—cosasin/3sinacos[3—cosasm/3tan,1

、cos(i-￡)-sinasin尸cosacos分+sinasin4一sinasin/cosacos尸

4.C【詳解】由題意可知，圓錐的母線/=4,底面半徑〃=1,

根據(jù)題意可作圓錐與其內(nèi)切球的軸截面如圖所示：

A

根據(jù)圓錐和球的對稱性可知，球的截面為圓。，即為等腰VABC的內(nèi)切圓，

即OE_LAC,ADJ.BC,OD=OE,CD=CE,

在RtAAZJC中，AD2+CD2=AC2,由AC=/=4,CD=r=l,貝！=

在RtZXAOE中，AE2+OE2=AO2,BP(AC-C￡)2+OE1=(AD-OD^,

=(715-OE)2,解得0E=半，即內(nèi)切球的半徑氏=半

可得(4-1)2+OE2

34715

故內(nèi)切球體積為小手

=-------71.

25

5.B【詳解】將函數(shù)〃x)=acosg("0,o>0)向左平移三個單位長度后得到函數(shù)尸8⑴,

即g(x)=

LI6Ml6J

兀兀7兀71

Vxe0X+一￡―,——co+—

吟66126

???g(x)=O在0,—上有且僅有兩個不相等的實根,

7兀713兀5兀

——。+一￡解得了W(y<4,

126

即實數(shù)。的取值范圍是—A

6.C【詳解】如圖所示，取48,42。2,￡>6，￡穌48的中點，分別記為M,N,E,F,P,G,

連接BQ,E尸,FP,PG,GM,MN,NE.

根據(jù)正方體的性質(zhì)易知六邊形MVEEPG為正六邊形,

此時AC的中點。為該正六邊形的中心，且AC，平面MNEFPG,

當(dāng)圓錐底面內(nèi)切于正六邊形肱VEEPG時，該圓錐的底面積最大.

設(shè)此時圓錐的底面圓半徑為r,因為4A=6萬=2應(yīng)，所以FP=gBQi=&,

所以r=1~FP=4~,圓錐的底面積S=+=gE,圓錐的高AO=；x/X2=5

所以圓錐的體積丫=工5?40=」義型、代=立兀.

3”322

7.B【詳解】因為6=屈，所以〃=3ac，而"廣=式±2?￡±《=+2,

acacac

2兀i

在VABC中，tanB=—5/3,所以5=：-,故cosB=—

32

由余弦定理得cos八*LJ

代入6?=3ac得，

〃2+C2—3dCa2+/3__￡故4=2,

2aclac2--2ac

it"+2cle+。2Cl2+<72,,--丁五

故-----------=------+2=2+2=4,故B正確.

acac

8.C【詳解】AC=m,AD=n,則BC=4—m,B￡)=4—〃，

因為①.而=（而?通=赤.旗-蔗.南

=|A5|-|AB|COSZBAD-|AC|.網(wǎng)COS/BAC

I2

|AC|2+|AB|2-|BC|2

AC-AB

住H碼叫曙譚2|AC|-|AB|

_|AD|2+|BC|2-|BD|2-|AC|2

一2，

所以而.江小叫…一。解得:m=n,

即AC=AD,BC=BD,可知VABC41ABD,

過C作CE/AS,連接DE,則

可知CE=Z)E,且二面角C-Afi-D的平面角為NCED=60。,

則ACDE為等邊三角形,即CE=DE=1,

設(shè)AE=x,HAC2-AE~=BC2-BE2,

可知點E與點A重合或與點8重合，兩者是對稱結(jié)構(gòu)，不妨取點E與點A重合，

則AC_LAB,ADJ,AB,由ACp|AD=A,AC,A。u平面AC。，則AB_L平面ACD,

且NGLD為二面C-AB-O的平面角，可知AC4D為等邊三角形，

可將三棱錐B-C4D補(bǔ)充直棱柱，如圖所示，

B

公、。1為底面正△ACD的外心，即AOX=%l=g,

A

7a

。為A—3CD的外接球球心，可知OQ//AB,且。。|=g43=0,

則三棱錐A-BCD的外接球半徑R=+=g,

所以外接球的體積丫=3就3=竺叵.

327

9.AD

JT1

【詳解】解:對于A選項,當(dāng)了(X)的最小正周期是2兀，即：7=2=2萬，則0=二，故A選項正確；

co2

“x)=tan(x—),所以令=解得：x=g+”，丘Z,所以函數(shù)的對稱

對于B選項，當(dāng)69=1時,

v76262

中心的坐標(biāo)為符等,0)伏￡Z),故B選項錯誤;

對于C選項，當(dāng)0=2時，/(X)=tan(2x-",/^―=tan|^2x^-=tan^-yj=,

了修卜tan(2哼*)=tan嗡=tan'黑，由于y=tanx在單調(diào)遞增，故/卜圖＞/(第，故c選項錯誤;

對于D選項，令一三+k兀＜SX-j＜1+k兀,kwZ,解得：一二+且＜》＜?+且所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為：

2623a)co3a)co

71kjl,71

----+——<—

nkn27rkn3co①3

一+——,一+一,keZ,因為/(%)在區(qū)間年兀上單調(diào)遞增，所以,keZ,解得:

?ia)co?)a)o2萬kjr、

——+——>71

、3。CD

2__jrTT27r3235

—1+3k<a)<—l?左，左eZ,另一"方面，T=—2萬=—,,所以—F,即左4—,又因為<w>0,所以4=0,

3。332326

2

故故D選項正確.

10.BCD

【詳解】A項，在頻率分布直方圖中，所有直方圖的面積之和為1,

貝i](2a+3a+7a+6a+2a)xl0=200a=l,解得a=0.005,故A錯誤;

B項,前兩個矩形的面積之和為(2a+3a)x10=50。=0.25＜0.5

前三個矩形的面積之和為(2a+3a+7a)*10=120a=0.6＞0.5.

設(shè)該年級學(xué)生成績的中位數(shù)為機(jī)，則機(jī)470,80),

根據(jù)中位數(shù)的定義可得。25+(〃L70)x0.035=0.5,解得相。77.14,

所以，估計該年級學(xué)生成績的中位數(shù)約為77.14,故B正確；

C項，估計成績在80分以上的同學(xué)的成績的平均數(shù)為

6"X85+「“x95=87.5分,故C正確；

6a+2a6Q+2a

D項，估計該年級成績在80分及以上的學(xué)生成績的方差為

；［12+(87.5-85)1+；［10+(87.5-95)1=30.25,故D正確.

11.ACD

【詳解】A：由題意知，BC±BBt,BC1AB,又8旦。回=氏8環(huán)ABu平面A41A2,

所以8C_L平面人^耳臺，由A￡>u平面,得BCJ_AO；

當(dāng)。為Bg的中點時，又四邊形胡耳臺為正方形，”為4周的中點，

所以BM_LAD,由=8Cu平面BCM,所以AD_L平面BCK,故A正確;

B：將平面9瓦臺和平面B瓦GC沿B片鋪成一個平面，如圖，連接AG，交2月于。，

此時A、》、G三點共線，AO+CQ取得最小值，即△AG。的周長取得最小值，

又AG=5/萬+/=y/3,AD+C,D>7AC2+C,C2=^5,

所以△AG。的周長的最小值為g+君，故B錯誤；

C：易知VABC中，AB±BC,取AC的中點E,過E作成，平面ABC,如圖

則三棱錐G-A%的外接球的球心必在EF上,且OE==；,

所以球的半徑為R=JOE?+CE=B,其體積為q兀&=a7tx(@)3=@兀，故C正確；

23322

D：易知24,BA,8c兩兩垂直，建立如圖空間直角坐標(biāo)系2-孫z,

則A(l,0,0),4(0,0,1),q(0,1,1),設(shè)D(0,0,a)(0<a<l),

所以西=(-1,1.1),而=(-1,0,0),而=(0.0,1),

易知函=(0,0,1)為平面ABC的一個法向量，設(shè)平面GAO的一個法向量為n=(x,y,z),

n-AC=—x+y+z=0一

則J___,，令z=l,得九=〃,y=a-l,所以元=(。,々一1,1),

n-AD=—x+az=0

?__.?\BBX-nli

—14近

所以小網(wǎng)小阿rv+g）』8xJ|3

當(dāng)且僅當(dāng)a=J時等號成立，設(shè)平面GA。與平面ABC所成角為6,

貝hosOW手，所以sin叫「(壬=*,故D正確.

設(shè)圓錐的底面半徑為「，母線長為/,高為近

因為圓錐的側(cè)面展開圖為半圓，所以側(cè)面展開圖的扇形弧長為兀/=2"，則/=2r,

從而h=J/2—/=,則圓錐的體積V=gnr%=^^兀廠3=3兀，解得廠=J^.

作出圓錐的軸截面，如圖所示，其中圓錐內(nèi)切球的球心為。，半徑為尺內(nèi).

貝IJS.PAB=)x2rx"==；(2/+2r)x4=3為，解得4=1，

44

則該圓錐的內(nèi)切球的體積為］幾用=-K.

13.(-1,3)

【詳解】由題意可知，的定義域為R,

e+e

因為/(-司=￡二=-/(力，所以〃尤)為奇函數(shù).

e+e

xx_i7/、2

因為〃X)P=_"p-=M=1一后’且g(x)=H7在R上為減函數(shù)，

所以由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知/(切=1-苫W在R上為增函數(shù).

又〃2租+3)+/(-＞)＞0,所以〃2根+3)＞外/),

所以＞-2加-3＜0,解得-1＜相＜3.

14.-/0.75

4

如圖，延長。F,交A3的延長線于點。，連接E。，EQ與的交點即為G

理由如下：設(shè)。，E,尸共面。，因ABcDR=Q,則QeaQe平面上4B,

又因afl平面PAB=EG,故及G,Q三點共線，即EQcPB=G.

取AB的中點連接因CF=2FB,由AFBQSAFC。可得80=gc。，

因=gAB=gCD,則8M=8。,又E是棱出的中點，則EM〃依，則得EG=GQ,

111Q

故有8G=—EM,又EM=—PB,所以BG=一尸8,故上=3.

224PB4

15.⑴不是，理由見解析；(2)a=1.

4

【詳解】(1)函數(shù)y=*2—2x與y=2*-l不是"同域函數(shù)”，理由如下：

函數(shù)y=/—2%與y=2r-l的定義域均為R,

由y=x2-2x=(x-l)2-l>-l,可知y=x2-2x的值域為［-1,+℃),

由y=2'-1>一1,可知y=2'-1的值域為(T,+功,

則y-x2-2x與y=2x-l的值域不相同,

所以函數(shù)y=/—2x與y=2「l不是洞域函數(shù)”.

(2)由xe(T,3),得⑶e［0,3),：閔-：，鼻，

因為函數(shù)》=121比在上單調(diào)遞增，所以/(x)=tan(割［-1,+e),

得g(x)的值域為

由題意得一f+,71T+〃>0的解集為(-1,3),

則-1,3是關(guān)于x的方程一f+rwc+n=o的兩個解，

得一1x3二一/得〃二3，所以g(x)=l°g，，(-x2+2x+3),(a>0,且

易得0<-Y+2x+3=-（*-1）2+444,

當(dāng)。>1時，函數(shù)"10g0％是增函數(shù)，則g（尤）=log“（-/+2x+3）的值域為（-e,log.4],不符合題意.

當(dāng)0<a<l時，函數(shù)y=log。%是減函數(shù)，貝!）8（彳）=1。8。（-*2+2》+3）的值域為口（峪114,+8）,

所以log“4=-l,得a=；

16.⑴證明見解析（2）3+30+排⑶叵

7

7T

【詳解】（1）因為四邊形ABCD是菱形，ZBAD=-,E為A3的中點，所以DE上AB,

在直四棱柱A8CZ）-44GA中，平面AB4A~L平面ABCZ）,

因為平面48與API平面ABCE>=AB,DEu平面ABCD,所以DE_L平面"片片，

因為u平面ABB^,所以DELBE，

因為四邊形ABAA是矩形，AB=20，M=2,E,尸分別為A3,用的中點,

所以tan/AEF=tanZEB.B=等，所以/AEF=ZEBtB,

TTTT

因為NEB[B+NB]EB=萬,所以NAE尸+/耳65=不，

所以/呻所以瓦E,

因為OEr|￡F=E,且DE,E/u平面￡>E尸，所以耳石，平面。跖.

（2）因為斯//平面CDRG，

所以平面CEF與平面CDD&的交線與跖平行，所以交線為CD、,

連接CR,DtF,CE,

則四棱柱ABCD-44c2被平面CEF截得的截面為四邊形EFD\C,

CD\=Jcr>2+￡>D；=優(yōu)+4=2右,EF=^CD[=73,

DtF={ADj+AF?=屈T=3,

因為DESAB,所以DE=〃02_通=巫,

因為DE/CD,所以CE=Jdf+DE?=拒，

所以四邊形屏AC的周長為3+3石+&W.

(3)過點。作OG^CE,垂足為G,連接RG,

因為。A_L平面ABC￡>,CEu平面ABC￡>,所以DR_LCE,

因為。GnDR=。，所以CEL平面。RG,

因為CEu平面CEF,所以平面。RG_L平面CEF,

所以點。在平面CEF上的射影必在2G上，所以直線。Q與平面CEF所成角為NDRG,

因為DEJ.CD,DE=&,CD=20,C￡=A/14，

DECDA/6X2A/22742

所以O(shè)G=

所以tan/D〃G=—,即直線DD,與平面CEF所成角的正切值為叵.

DD177

5JLTTTT

17.(1)~—7i+kTi,—+k7t,keZ⑵臣芻

1212J42

fl^ifl也、乖)

【詳解】(1)f(x)=cosx—sinx+-^—cosx+——sin2x+-^—cos2x------

\2272\22J4

1._A/31+cos2x1,_6_A/3

=-sin2xH-----x-------------1—sin2xH-----cos2x-------

422444

=—sin2xH-----cos2x=sin2x+—,

22I3)

717rjr)jrjr

令2kn—<2x+—<2fal+—,kGZ,角星得ku-----<x<kn-\-----,keZ

2321212

57T

所以單調(diào)遞增區(qū)間為-丘?兀+左兀,在'+E,keZ.

(2)由(1)可得g(%)=sinx-cosx+sin2x,

令，=sin%—cosx=及sin(%一；),貝!=1-sin2龍，所以sin2x=l—/

4

所以不等式為-產(chǎn)+/+1N1,得04/<1,SP0<sin(x--)<—

42

由嗎，解得￡<彳4,所以解集為止止］.

L44J4242

18.(l)x=0.020；(2)中位數(shù)半平均數(shù)77(3)奈

【詳解】(1)依題意，得(0.005+x+0.035+0.030+0.01)x10=1,解得x=0.020；

(2)因為(0.005+0.02)x10=0.25<0.5,0.25+0.035x10=0.6>0.5,

所以中位數(shù)在［70,80)間，

設(shè)為加，貝10.25+0—70)x0.035=0.5,解得小=5早40.

7

平均數(shù)55x0.05+65x0.2+75x0.35+85x0.3+95x0.1=77.

(3)依題意，因為滿意度評分值在［80,90)的男生數(shù)與女生數(shù)的比為3：2,

按