高考數(shù)學(xué)專項(xiàng)復(fù)習(xí)：解析幾何（原卷版）

專題09解析幾何專題（數(shù)學(xué)文化）

一、單選題

1.（2022?全國?高三專題練習(xí)）古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼奧斯采用平面切割圓錐的方法來研究圓錐曲線，用垂

直于圓錐軸的平面去截圓雉，得到的截面是圓；把平面再漸漸傾斜得到的截面是橢圓.若用面積為128的矩

形ABCD截某圓錐得到橢圓？，且工與矩形ABCD的四邊相切.設(shè)橢圓？在平面直角坐標(biāo)系中的方程為

=l(tz>ft>0),下列選項(xiàng)中滿足題意的方程為（)

Yb2

D

A.JB.匚匚］C.工+匚11

6416166425616-『左=

2.（2023?全國?高三專題練習(xí)）第24屆冬季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會，將于2022年2月在北京和張家口舉行，北京

冬奧會會徽以漢字“冬”為靈感來源，運(yùn)用中國書法的藝術(shù)形態(tài)，將厚重的東方文化底蘊(yùn)與國際化的現(xiàn)代風(fēng)格

融為一體，呈現(xiàn)出新時(shí)代的中國新形象、新夢想.會徽圖形上半部分展現(xiàn)滑冰運(yùn)動(dòng)員的造型，下半部分表

現(xiàn)滑雪運(yùn)動(dòng)員的英姿.中間舞動(dòng)的線條流暢且充滿韻律，代表舉辦地起伏的山巒、賽場、冰雪滑道和節(jié)日

飄舞的絲帶，下部為奧運(yùn)五環(huán)，不僅象征五大洲的團(tuán)結(jié)，而且強(qiáng)調(diào)所有參賽運(yùn)動(dòng)員應(yīng)以公正、坦誠的運(yùn)動(dòng)

員精神在比賽場上相見.其中奧運(yùn)五環(huán)的大小和間距按以下比例（如圖）：若圓半徑均為12,則相鄰圓圓心

水平距離為26,兩排圓圓心垂直距離為11,設(shè)五個(gè)圓的圓心分別為。1,。2，。3，。4，。5,若雙曲線C以。1，。3為

焦點(diǎn)、以直線為一條漸近線，則C的離心率為（）

12

D.

y

3.（2022春?云南曲靖?高二?？奸_學(xué)考試）加斯帕爾?蒙日（如圖甲）是18~19世紀(jì)法國著名的幾何學(xué)家,

他在研究圓錐曲線時(shí)發(fā)現(xiàn)：橢圓的任意兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)都在同一個(gè)圓上，其圓心是橢圓的中心,

22

這個(gè)圓被稱為“蒙日圓'’（圖乙），則橢圓C:土+匕=1的蒙日圓的半徑為（）

169

4.（2022?全國?高三專題練習(xí)）我們把離心率為變的橢圓稱為“最美橢圓”.己知橢圓C為“最美橢圓”，且

2

以橢圓C上一點(diǎn)P和橢圓兩焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形的面積最大值為4,則橢圓C的方程為（）.

x2?x2y2

AA.—+y2=1B.—+—=1

2-42

5.（2022秋?江蘇南京?高二南京市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）德國數(shù)學(xué)家米勒曾提出最大視角問題，這一問題

一般的描述是：已知點(diǎn)A、3是NMQV的ON邊上的兩個(gè)定點(diǎn)，C是QW邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)C在何處時(shí),

/ACB最大?問題的答案是：當(dāng)且僅當(dāng)AABC的外接圓與邊相切于點(diǎn)C時(shí)，最大.人們稱這一命

題為米勒定理.已知點(diǎn)P,。的坐標(biāo)分別是（2,0）,（6,0）,R是＞軸正半軸上的一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)ZPR。最大時(shí)，點(diǎn)

R的縱坐標(biāo)為（）

A.6B.2C.2道D.4

6.（2022秋?新疆烏魯木齊?高二烏市八中校考期中）德國天文學(xué)家開普勒發(fā)現(xiàn)天體運(yùn)行軌道是橢圓，已知地

球運(yùn)行的軌道是一個(gè)橢圓，太陽在它的一個(gè)焦點(diǎn)上，若軌道近日點(diǎn)到太陽中心的距離和遠(yuǎn)日點(diǎn)到太陽中心

的距離之比為28:29,那么地球運(yùn)行軌道所在橢圓的離心率是（）

A.±B.1C.竺D.工

5925657

7.（2022秋?福建?高二校聯(lián)考期中）幾何學(xué)史上有一個(gè)著名的米勒問題：“設(shè)點(diǎn)M,N是銳角ZAQB的一邊QA

上的兩點(diǎn)，試在。8邊上找一點(diǎn)尸，使得N7WPN最大.”如圖，其結(jié)論是：點(diǎn)尸為過M,N兩點(diǎn)且和射線

相切的圓與射線Q8的切點(diǎn).根據(jù)以上結(jié)論解決以下問題：在平面直角坐標(biāo)系X0V中，給定兩點(diǎn)

M（T,2）,N（1,4）,點(diǎn)尸在x軸上移動(dòng)，當(dāng)取最大值時(shí)，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)是（）

A.1B.-7C.1或-1D.1或-7

8.（2022秋?北京?高二北大附中?？计谀┕?世紀(jì)，古希臘數(shù)學(xué)家梅內(nèi)克繆斯利用垂直于母線的平

面去截頂角分別為銳角、鈍角和直角的圓錐，發(fā)現(xiàn)了三種圓錐曲線.之后，數(shù)學(xué)家亞理士塔歐、歐幾里得、

阿波羅尼斯等都對圓錐曲線進(jìn)行了深入的研究.直到3世紀(jì)末，帕普斯才在其《數(shù)學(xué)匯編》中首次證明：

與定點(diǎn)和定直線的距離成定比的點(diǎn)的軌跡是圓錐曲線，定比小于、大于和等于1分別對應(yīng)橢圓、雙曲線

和拋物線.已知A8是平面內(nèi)兩個(gè)定點(diǎn)，且|AB|=4,則下列關(guān)于軌跡的說法中錯(cuò)誤的是（）

A.到兩點(diǎn)距離相等的點(diǎn)的軌跡是直線

B.到兩點(diǎn)距離之比等于2的點(diǎn)的軌跡是圓

C.到A3兩點(diǎn)距離之和等于5的點(diǎn)的軌跡是橢圓

D.到A3兩點(diǎn)距離之差等于3的點(diǎn)的軌跡是雙曲線

9.（2021秋?遼寧沈陽?高三沈陽二十中校聯(lián)考期中）古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得在《幾何原本》中描述了圓錐曲

線的共性，并給出了圓錐曲線的統(tǒng)一定義，只可惜對這一定義歐幾里得沒有給出證明.經(jīng)過了500年，到

了3世紀(jì)，希臘數(shù)學(xué)家帕普斯在他的著作《數(shù)學(xué)匯篇》中，完善了歐幾里得關(guān)于圓錐曲線的統(tǒng)一定義，并

對這一定義進(jìn)行了證明.他指出，到定點(diǎn)的距離與到定直線的距離的比是常數(shù)e的點(diǎn)的軌跡叫做圓錐曲線；

當(dāng)0<e<l時(shí)，軌跡為橢圓；當(dāng)e=l時(shí)，軌跡為拋物線；當(dāng)e>l時(shí)，軌跡為雙曲線.現(xiàn)有方程

陽（尤2+V+2y+l）=（2x-2y+3）2表示的曲線是雙曲線，則相的取值范圍為（）

A.（0,8）B.（8,+co）C.（0,5）D.（5,+oo）

10.（2022?全國?高三專題練習(xí)）如圖①，用一個(gè)平面去截圓錐得到的截口曲線是橢圓.許多人從純幾何的角

度出發(fā)對這個(gè)問題進(jìn)行過研究，其中比利時(shí)數(shù)學(xué)家沅a/dawde/%（1794-1847）的方法非常巧妙，極具

創(chuàng)造性.在圓錐內(nèi)放兩個(gè)大小不同的球，使得它們分別與圓錐的側(cè)面、截面相切，兩個(gè)球分別與截面相切于

E,F,在截口曲線上任取一點(diǎn)A,過A作圓錐的母線，分別與兩個(gè)球相切于C,8,由球和圓的幾何性質(zhì)，

可以知道，AE^AC,AF=AB,于是AE+AF=AB+AC=BC.由8,C的產(chǎn)生方法可知，它們之間的距離

8c是定值，由橢圓定義可知，截口曲線是以E,尸為焦點(diǎn)的橢圓.

如圖②，一個(gè)半徑為2的球放在桌面上，桌面上方有一個(gè)點(diǎn)光源尸，則球在桌面上的投影是橢圓，已知A4

是橢圓的長軸，PA垂直于桌面且與球相切，尸A=5,則橢圓的焦距為（）

A.4B.6C.8D.12

11.（2022?全國?高三專題練習(xí)）阿基米德在他的著作《關(guān)于圓錐體和球體》中計(jì)算了一個(gè)橢圓的面積.當(dāng)

我們垂直地縮小一個(gè)圓時(shí)，我們得到一個(gè)橢圓，橢圓的面積等于圓周率％與橢圓的長半軸長與短半軸長的乘

22

積，已知橢圓C：A+2=l（a>b>0）的面積為6岳，兩個(gè)焦點(diǎn)分別為斗鳥，點(diǎn)尸為橢圓C的上頂點(diǎn).直

ab

Q

線、=履與橢圓c交于A,8兩點(diǎn)，若尸A的斜率之積為-],則橢圓C的長軸長為（）

A.3B.6C.2A/2D,4&

12.（2022秋?北京?高二北京工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)?？计谥校┲麛?shù)學(xué)家華羅庚曾說過：“數(shù)無形時(shí)少直覺，形

少數(shù)時(shí)難入微.”事實(shí)上，有很多代數(shù)問題可以轉(zhuǎn)化為幾何問題加以解決，如：可以轉(zhuǎn)化為

平面上點(diǎn)"（尤,門與點(diǎn)N（a,>）的距離.結(jié)合上述觀點(diǎn)，可得〃x）=4+10x+26+&+6x+13的最小值為

（）

A.5B.729C.V13D.2+岳

13.（2022秋?福建福州?高二福建省福州延安中學(xué)?？茧A段練習(xí)）1949年公布的《國旗制法說明》中就五星

的位置規(guī)定：大五角星有一個(gè)角尖正向上方，四顆小五角星均各有一個(gè)角尖正對大五角星的中心點(diǎn).有人

發(fā)現(xiàn)，第三顆小星的姿態(tài)與大星相近.為便于研究，如圖，以大星的中心點(diǎn)為原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系，

。。2,003,。。4分別是大星中心點(diǎn)與四顆小星中心點(diǎn)的連接線，a*16。，則第三顆小星的一條邊AB所在直

線的傾斜角約為（）

C.2°D.3°

14.（2022秋?湖北?高二宜城市第一中學(xué)校聯(lián)考期中）在唐詩“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”中隱含著

一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問題——“將軍飲馬”問題，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回

到軍營，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)軍營所在區(qū)域?yàn)椋▁+l）2+（y-l『Vl,若將軍

從點(diǎn)（1,。）處出發(fā)，河岸線所在直線方程為尤+V-5=0,并假定將軍只要到達(dá)軍營所在區(qū)域即認(rèn)為回到軍營，

則“將軍飲馬”的最短總路程為（）

A.3A/5B.4&C.3A/5-1D.4忘-1

15.（2022秋.安徽合肥.高二合肥市第七中學(xué)校聯(lián)考期中）國家體育場“鳥巢”的鋼結(jié)構(gòu)鳥瞰圖如圖1所示，

內(nèi)外兩圈的鋼骨架是離心率相同的橢圓；某校體育館的鋼結(jié)構(gòu)與“鳥巢”相同，其平面圖如圖2所示，若由外

層橢圓長軸一端點(diǎn)A和短軸一端點(diǎn)8分別向內(nèi)層橢圓引切線AC,BD,且兩切線斜率之積等于則橢圓

的離心率為（）

圖1圖2

A.-B.-C.3D.亞

3333

二、多選題

16.（2020秋?重慶巴南?高二重慶市實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）2020年H月24日，我國在中國文昌航天發(fā)射

場，用長征五號遙五運(yùn)載火箭成功發(fā)射探月工程嫦娥五號探測器，它將首次帶月壤返回地球，我們離月球

的“距離”又近一步了.已知點(diǎn)加（1，0）,直線/:x=-2,若某直線上存在點(diǎn)尸，使得點(diǎn)尸到點(diǎn)M的距離比到直

線/的距離小1,則稱該直線為“最遠(yuǎn)距離直線”，則下列結(jié)論正確的是（）

A.點(diǎn)P的軌跡曲線是一條線段

B.y=2x+6不是“最遠(yuǎn)距離直線”

C.y=gx+l是“最遠(yuǎn)距離直線”

D.點(diǎn)尸的軌跡與直線，：了=-1是沒有交會的軌跡（即兩個(gè)軌跡沒有交點(diǎn)）

17.（2022.廣東.統(tǒng)考模擬預(yù)測）數(shù)學(xué)家華羅庚曾說：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微.”事實(shí)上，很多代

數(shù)問題可以轉(zhuǎn)化為幾何問題加以解決.例如，與J（x-a）2+（y_b）2相關(guān)的代數(shù)問題,可以轉(zhuǎn)化為點(diǎn)A（x,y）與

點(diǎn)3（a,b）之間的距離的幾何問題.結(jié)合上述觀點(diǎn)，對于函數(shù)尤）=Jf+4x+5+Jx2—4x+5,下列結(jié)論正確

的是（）

A./（x）=6無解B./（%）=6的解為8=±，

C.“X）的最小值為2石D.的最大值為2行

18.（2022秋?廣東茂名?高二統(tǒng)考期末）（多選）如圖所示，“嫦娥四號”衛(wèi)星將沿地月轉(zhuǎn)移軌道飛向月球后，在

月球附近一點(diǎn)尸變軌進(jìn)入以月球球心廠為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓軌道I繞月飛行，之后衛(wèi)星在尸點(diǎn)第二次變軌進(jìn)

入仍以F為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓軌道II繞月飛行.若用2cl和2c2分別表示橢圓軌道I和II的焦距，用2al和2a2

分別表示橢圓軌道I和U的長軸長，下列式子正確的是（）

C.—<一D.。1。2〉平2

%a2

19.（2022.全國?高三專題練習(xí)）數(shù)學(xué)家稱史二1為黃金比，記為。.定義：若橢圓的短軸與長軸之比為黃金

2

比①，則稱該橢圓為“黃金橢圓”.以橢圓中心為圓心，半焦距長為半徑的圓稱為焦點(diǎn)圓.若黃金橢圓”：

22

二+與=l（a>6>0）與它的焦點(diǎn)圓在第一象限的交點(diǎn)為。，則下列結(jié)論正確的有（）

ab

A.蘇+0=1B.黃金橢圓離心率e=。

C.設(shè)直線OQ的傾斜角為仇則sin〃=/D.交點(diǎn)。坐標(biāo)為

20.（2022?全國?高二假期作業(yè)）1765年，數(shù)學(xué)家歐拉在其所著的《三角形幾何學(xué)》一書中提出：任意三角

形的外心、重心、垂心在同一條直線上，這條直線就是后人所說的“歐拉線”.已知的頂點(diǎn)

B（-l,0）,C（0,2）,重心則下列說法正確的是（）

A.點(diǎn)A的坐標(biāo)為1|,o]

B.AABC為等邊三角形

C.歐拉線方程為2尤+4y-3=0

D.AABC外接圓的方程為1_口+卜甯=胃

21.（2023秋?江蘇南京?高二?？计谀┕畔ＥD著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)：平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)A,B的距

離之比為定值力（彳21）的點(diǎn)的軌跡是圓，此圓被稱為“阿波羅尼斯圓''.在平面直角坐標(biāo)系中，已知A（~4,3）,

8（2,3）,動(dòng)點(diǎn)尸滿足5，=2,記點(diǎn)尸的軌跡為圓C,又已知?jiǎng)訄A￡>：（x-cos。）2+（y-sin。）2=1.則下列說

法正確的是（）

A.圓C的方程是（x—4）2+（y—3）2=16

B.當(dāng)。變化時(shí)，動(dòng)點(diǎn)。的軌跡方程為x?+丁=1

C.當(dāng)。=營時(shí)，過直線上一點(diǎn)。引圓C的兩條切線，切點(diǎn)為E,F,則NEQ尸的最大值為￡

22

D.存在。使得圓C與圓。內(nèi)切

22.（2022秋?江蘇無錫?高二江蘇省天一中學(xué)?？计谀╇p紐線最早于1694年被瑞士數(shù)學(xué)家雅各布?伯努利

用來描述他所發(fā)現(xiàn)的曲線.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，把到定點(diǎn)F,（-fl,0）,工（。，0）距離之積等于CT（a>0）的

點(diǎn)的軌跡稱為雙紐線C.已知點(diǎn)尸（x0,九）是雙紐線C上一點(diǎn)，下列說法中正確的有（）

A.雙紐線C關(guān)于x軸對稱B.-|<y0<|

C.雙紐線C上滿足|尸耳|=歸閶的點(diǎn)尸有兩個(gè)D.|尸0|的最大值為缶

三、填空題

23.（2022秋?內(nèi)蒙古赤峰?高二校考期末）油紙傘是中國傳統(tǒng)工藝品，至今已有1000多年的歷史.為宣傳和

推廣這一傳統(tǒng)工藝，某活動(dòng)中將一把油紙傘撐開后擺放在戶外展覽場地上，如圖所示.該傘沿是一個(gè)半徑

為2的圓，圓心到傘柄底端距離為,當(dāng)陽光與地面夾角為60。時(shí)，在地面形成了一個(gè)橢圓形影子，且傘

3

柄底端正好位于該橢圓的長軸上，該橢圓的離心率e=

24.（2022秋.河南.高二校聯(lián)考期末）臺球賽的一種得分戰(zhàn)術(shù)手段叫做“斯諾克”：在白色本球與目標(biāo)球之間，

設(shè)置障礙，使得本球不能直接擊打目標(biāo)球.如圖，某場比賽中，某選手被對手做成了一個(gè)“斯諾克”，本球需

經(jīng)過邊BC,8兩次反彈后擊打目標(biāo)球N,點(diǎn)M到C2BC的距離分別為200cm560cm，點(diǎn)N到CD,3c的

距離分別為80cmJ20cm,將ALN看成質(zhì)點(diǎn)，本球在M點(diǎn)處，若擊打成功，則tan6?=.

25.（2022秋?云南?高三校聯(lián)考階段練習(xí)）大約在2000多年前，我國的墨子給出了圓的概念“一中同長也”,

意思是說，圓有一個(gè)圓心，圓心到圓周的長都相等.這個(gè)定義比希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得給圓下定義要早100

多年.已知直角坐標(biāo)平面內(nèi)有一點(diǎn)C（2,0）和一動(dòng)點(diǎn)尸滿足|CP|=2,若過點(diǎn)M（l,夜）的直線，將動(dòng)點(diǎn)尸的軌

跡分成兩段弧，當(dāng)劣弧所對的圓心角最小時(shí)，直線/的斜率后=.

26.（2022秋?湖南?高二校聯(lián)考期中）古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德早在2200多年前利用“逼近法”得到橢圓的面積

22

除以圓周率等于橢圓的長半軸長與短半軸長的乘積，已知橢圓匕+匕=1,則該橢圓的面積為.

287

27.（2022?廣東韶關(guān)?統(tǒng)考一模）我們知道距離是衡量兩點(diǎn)之間的遠(yuǎn)近程度的一個(gè)概念.數(shù)學(xué)中根據(jù)不同定義

有好多種距離.平面上，歐幾里得距離是4（占,%）與3（%,%）兩點(diǎn)間的直線距離，即

dAB=-無2）2+（%-%）2.切比雪夫距離是Aa,%）與B（X2,%）兩點(diǎn)中橫坐標(biāo)差的絕對值和縱坐標(biāo)差的絕

對值中的最大值，即＜?=1110\{忱-無z|，|x—%|}.已知尸是直線/：2尤+yT5=0上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)尸與0（0為坐

標(biāo)原點(diǎn)）兩點(diǎn)之間的歐幾里得距離最小時(shí)，其切比雪夫距離為.

28.（2022.全國?高二假期作業(yè)）中國景德鎮(zhèn)陶瓷世界聞名，其中青花瓷最受大家的喜愛，如圖1這個(gè)精美

的青花瓷它的頸部（圖2）外形上下對稱，基本可看作是離心回的雙曲線的一部分繞其虛軸所在直線旋

3

轉(zhuǎn)所形成的曲面，若該頸部中最細(xì)處直徑為16厘米，瓶口直徑為20厘米，則頸部高為_____厘米.

圖1圖2

29.（2022秋?湖北?高二校聯(lián)考期末）如圖1所示，拋物面天線是指由拋物面（拋物線繞其對稱軸旋轉(zhuǎn)形成

的曲面）反射器和位于焦點(diǎn)上的照射器（饋源，通常采用喇叭天線）組成的單反射面型天線，廣泛應(yīng)用于

微波和衛(wèi)星通訊等領(lǐng)域，具有結(jié)構(gòu)簡單、方向性強(qiáng)、工作頻帶寬等特點(diǎn).圖2是圖1的軸截面，A,2兩點(diǎn)

關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，P是拋物線的焦點(diǎn)，是饋源的方向角，記為6,焦點(diǎn)廠到頂點(diǎn)的距離了與

口徑d的比值￡稱為拋物面天線的焦徑比，它直接影響天線的效率與信噪比等.如果某拋物面天線饋源的

a

方向角則其焦徑比為.

30.（2022?全國?高三專題練習(xí)）古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼奧斯在研究圓錐曲線時(shí)發(fā)現(xiàn)了它們的光學(xué)性質(zhì).比

如橢圓，他發(fā)現(xiàn)如果把橢圓焦點(diǎn)尸一側(cè)做成鏡面，并在尸處放置光源，那么經(jīng)過橢圓鏡面反射的光線全部

22

都會經(jīng)過另一個(gè)焦點(diǎn).設(shè)橢圓方程3+?=1（。＞辦＞0）,片，凡為其左、右焦點(diǎn)，若從右焦點(diǎn)用發(fā)出的光線經(jīng)

ab

3

橢圓上的點(diǎn)A和點(diǎn)B反射后，ABAD=90°,tanZABC=-,則該橢圓的離心率為.

31.(2022春?江西九江?高二九江一中?？茧A段練習(xí))天文學(xué)家卡西尼在研究土星及其衛(wèi)星的運(yùn)行規(guī)律時(shí)發(fā)

現(xiàn)：平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之積為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是卡西尼卵形線(CassiniOval).在平面直角坐標(biāo)系中，

設(shè)定點(diǎn)為耳(—0),1(GO),點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P(x,y)滿足歸耳|?歸閶=后(a?0且為常數(shù))，化簡得

222224

曲線E：x+y+c=yl4xc+a.下列命題中正確序號是.

①曲線E既是中心對稱又是軸對稱圖形；

②|尸國+|尸引的最小值為2a；

③當(dāng)a=c時(shí)，|尸01的最大值為缶；

④△月尸入面積不大于:片.

32.(2022.高二課時(shí)練習(xí))如圖，某建筑物白色的波浪形屋頂像翅膀一樣漂浮，建筑師通過雙曲線的設(shè)計(jì)元

素賦予了這座建筑以輕盈、極簡和雕塑般的氣質(zhì).若將該建筑外形弧線的一段按照一定的比例壓縮后可近

22

似看成雙曲線與-==1(。>0,6>0)下支的一部分，且此雙曲線的下焦點(diǎn)到漸近線的距離為2,離心率為2,

ab

則該雙曲線的方程為.

33.(2022?全國?高三專題練習(xí))幾何學(xué)史上有一個(gè)著名的米勒問題：“設(shè)點(diǎn)N是銳角/AQ8的一邊QA

上的兩點(diǎn)，試在Q8邊上找一點(diǎn)P,使得/MPN最大.”如圖，其結(jié)論是：點(diǎn)尸為過N兩點(diǎn)且和射線

Q8相切的圓與射線。B的切點(diǎn).根據(jù)以上結(jié)論解決以下問題：在平面直角坐標(biāo)系xOy中，給定兩點(diǎn)

M(-1,2),N(1,4),點(diǎn)尸在x軸上移動(dòng)，當(dāng)/MPN取最大值時(shí)，點(diǎn)尸的橫坐標(biāo)是.

34.（2022秋.北京?高二北京八十中?？计谀┓▏鴶?shù)學(xué)家加斯帕?蒙日被稱為“畫法幾何創(chuàng)始人”、“微分幾何

之父”.他發(fā)現(xiàn)與橢圓相切的兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)的軌跡是以該橢圓中心為圓心的圓，這個(gè)圓稱為該橢

圓的蒙日圓.若橢圓「++與=1（。＞。＞0）的蒙日圓為C：x2+y2=/2,過C上的動(dòng)點(diǎn)M作「的兩條切線，

ab2

分別與C交于尸，Q兩點(diǎn)，直線PQ交:T于人B兩點(diǎn)，則下列說法，正確的有.

①橢圓r的離心率為立

2

②AMPQ面積的最大值為|a2

③M到「的左焦點(diǎn)的距離的最小值為（2-拒）a

④若動(dòng)點(diǎn)￡＞在「上，將直線DA,OB的斜率分別記為K，k2,則匕《=一1

35.（2022?全國?高三專題練習(xí)）阿波羅尼斯（約公元前262-190年）證明過這樣一個(gè)命題：平面內(nèi)到兩定點(diǎn)

距離之比為常數(shù)左色＞0,左。1）的點(diǎn)的軌跡是圓，后人將這個(gè)圓稱為阿氏圓，已知P、。分別是圓C:（x-4）2+y2=8,

圓￡）:x2+（y-4）2=l上的動(dòng)點(diǎn)，。是坐標(biāo)原點(diǎn)，則|PQ|+】g|PO|的最小值是—.

四、解答題

36.（2022秋?江西宜春?高二校聯(lián)考階段練習(xí)）古希臘時(shí)期與歐幾里得、阿基米德齊名的著名數(shù)學(xué)家阿波羅

尼斯發(fā)現(xiàn)：平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之比為定值MD0且以1）的點(diǎn)所形成的圖形是圓，后人將這個(gè)圓稱為

阿波羅尼斯圓.己知點(diǎn)A（0,6）,2（0,3）、動(dòng)點(diǎn)M滿足質(zhì)=不，記動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為曲線c

⑴求曲線C的方程；

（2）過點(diǎn)N（0、4）的直線/與曲線C交于P,。兩點(diǎn)，若尸為線段N。的中點(diǎn)，求直線/的方程.

37.（2021春.上海普陀?高二?？计谥校?972年9月，蘇步青先生第三次來到江南造船廠，這一次他是為解

決造船難題、開發(fā)更好的船體數(shù)學(xué)放樣方法而來，他為我國計(jì)算機(jī)輔助幾何設(shè)計(jì)的發(fā)展作出了重要貢獻(xiàn).造

船時(shí)，在船體放樣中，要畫出甲板圓弧線，由