平面向量中等和線(xiàn)的應(yīng)用-高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)重點(diǎn)題型歸納與方法總結(jié)（解析版）

【一輪復(fù)習(xí)講義】2024年高考數(shù)學(xué)高頻考點(diǎn)題型歸納與方法總結(jié)(新高考通用)

素養(yǎng)拓展14平面向量中等和線(xiàn)的應(yīng)用(精講+精練)

、知識(shí)點(diǎn)梳理

一、平面向量共線(xiàn)定理

已知而=49+〃51,若;I+〃=1,則A,B,C三點(diǎn)共線(xiàn)，反之亦然.

二、等和線(xiàn)

平面內(nèi)一組基底無(wú)施及任一向量而，而=幾宓+〃5瓦若點(diǎn)P在直線(xiàn)AB上或者在平行

于A(yíng)8的直線(xiàn)上，則幾+〃=左(定值)，反之也成立，我們把直線(xiàn)A8以及與直線(xiàn)平行的直線(xiàn)稱(chēng)為等和

線(xiàn).

(1)當(dāng)?shù)群途€(xiàn)恰為直線(xiàn)A8時(shí)，k=l;、、由

(2)當(dāng)?shù)群途€(xiàn)在。點(diǎn)和直線(xiàn)AB之間時(shí)，左e(0,l);

(3)當(dāng)直線(xiàn)A8在點(diǎn)。與等和線(xiàn)之間時(shí)，ke(l,+oo)；

(4)當(dāng)?shù)群途€(xiàn)過(guò)。點(diǎn)時(shí)，k=0；

(5)若兩等和線(xiàn)關(guān)于。點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則定值A(chǔ)互為相反數(shù).°、

三、證明步驟

如圖1,P為AAOB所在平面上一點(diǎn)，過(guò)O作直線(xiàn)///AB,由平面向量基本定理知:

存在x,yeR,使得OP=%。4+yOB

圖1

下面根據(jù)點(diǎn)P的位置分幾種情況來(lái)考慮系數(shù)和x+y的值

①若Pe/時(shí)，則射線(xiàn)0P與/無(wú)交點(diǎn)，由///AB知，存在實(shí)數(shù)4,使得加=4而

而通=礪—0X,所以赤=4歷—2函，于是x+y=4U=0

②若時(shí)，

(i)如圖1,當(dāng)P在/右側(cè)時(shí)，過(guò)P作CD//AB,交射線(xiàn)Q4,08于C,。兩點(diǎn)，則

AOCD-AOAB,不妨設(shè)AOC。與AQ43的相似比為人

由P,C,。三點(diǎn)共線(xiàn)可知：存在2eH使得：OP=AOC+(l-A)OD=kAOA+k(l-^OB

所以x+y=kZ+^(1-A)=k

(ii)當(dāng)尸在/左側(cè)時(shí)，射線(xiàn)0P的反向延長(zhǎng)線(xiàn)與A5有交點(diǎn)，如圖1作尸關(guān)于。的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P',由6)的

分析知：存在存在/LGH使得：OP'=AOC+(l-^OD=kAOA+(l-^OB

所以聲=-左/l赤+-(1—2)OB于是x+y=-左2+-k(l-A)=-k

?

綜合上面的討論可知：圖1中而用雨,礪線(xiàn)性表示時(shí)，其系數(shù)和x+y只與兩三角形的相似比有關(guān)。

我們知道相似比可以通過(guò)對(duì)應(yīng)高線(xiàn)、中線(xiàn)、角平分線(xiàn)、截線(xiàn)、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑之比來(lái)刻畫(huà)。因?yàn)?/p>

三角形的高線(xiàn)相對(duì)比較容易把握，我們不妨用高線(xiàn)來(lái)刻畫(huà)相似比，在圖1中，過(guò)。作A3邊的垂線(xiàn)設(shè)

點(diǎn)P在/'上的射影為P,直線(xiàn)/'交直線(xiàn)A3于點(diǎn)則次1=告胃(左的符號(hào)由點(diǎn)尸的位置確定)，因此

Iu勺I

只需求出QPI的范圍便知y的范圍

一般解題步驟：(1)確定單位線(xiàn)(當(dāng)2+〃=1時(shí)的等和線(xiàn))；(2)平移等和線(xiàn)，分析何處取得最值；

(3)從長(zhǎng)度比計(jì)算最值.

二、題型精講精練

【典例1】設(shè)。,E是AABC邊上的點(diǎn)，=若詼〃而，則2+〃=()

【解析】因?yàn)檠?理一亞，所以正一罰=兄赤+〃近，因?yàn)锳DngAB,所以

AE=AB+^iAC,由于此時(shí)等和線(xiàn)為BC,所以；1+萬(wàn)+〃=1,即；1+〃=5

【典例2】如圖，四邊形Q43c是邊長(zhǎng)為1的正方形，點(diǎn)。在。4的延長(zhǎng)線(xiàn)上，且AZ)=2,點(diǎn)。是八68

(含邊界)的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)赤=4祝+〃礪，則2+〃的最大值為()

B

【解析】當(dāng)點(diǎn)P位于點(diǎn)3時(shí)，過(guò)點(diǎn)5作GH//DC,交OC,OD的延長(zhǎng)線(xiàn)于G,H，則OP=xOG+yOH,

且X+y=l,所以赤=礪=%而+、聞=—%雙+—丁麗=；1瓦+"赤，所以

333

A+ju=—x+—y=—.

222

3

故答案為：—,

2

【題型訓(xùn)練-刷模擬】

一、單選題

1.已知。為AABC的外心，若A(0,0),3(2,0),AC=1,ABAC=120。，且Zd=2AB+//AC,則4+〃=

)

【解析】過(guò)點(diǎn)A作AGJ_BC于G,過(guò)點(diǎn)。作于H，

過(guò)點(diǎn)。作EFVABC交AC的延長(zhǎng)線(xiàn)于E,交A3的延長(zhǎng)線(xiàn)于廠(chǎng)，

因?yàn)锳(0,0),5(2,0),AC=1,ABAC=120。,則AB=2,從而有CB=布,

叵

而三角形&4BC的外接圓的半徑為7>±=*,所以?！?/p>

sin120023~6~

_V21

]S76

且AG4C=ACAB-sinl20。，所以AG="，所以甘盤(pán)==有,

7AE尸721+72113

所以AC=9AE,AB=9AE,故而=包衣+也/，由于/+包=1,因此2+〃=上.

1313131313136

.1___.

2.在A(yíng)ABC中，M為邊2C上的任意一點(diǎn)，點(diǎn)N在線(xiàn)段AW上,且滿(mǎn)足4V=§MW,若麗=/通+〃AC（Z〃eR）,

則2+〃的值為（）

A.-B.-C.1D.4

43

【答案】A

【解析】設(shè)兩=應(yīng)?（醺91）,AN=^NM,

^r]^AN=-AM=-（AB+BM）

44

=-AB+-tBC

44

=-AB+-t（AC-AB）

44

11—.1—.

=（------t）AB+-tAC,

444

又前二;I南+〃正，

-」1、11

4444

故選：A.

3.在矩形ABCD中，AB=1,AD=2,動(dòng)點(diǎn)P是以C為圓心且與BD相切的圓上，若瓦=久成+〃礪，則

2+〃的最大值為（）

A.3B.2V2C.75D.2

【解析】：根據(jù)圖形可知，當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)到與A點(diǎn)距離最大時(shí)

A

AP

九+〃有最大值，此時(shí)X+〃=F，過(guò)A點(diǎn)作BD的垂線(xiàn)，如圖所示垂足分別為M、N,則

AQ

2AP=AM=3

AQAN

答案：A

4.在A(yíng)ABC中，點(diǎn)D是線(xiàn)段BC上任意一點(diǎn),且滿(mǎn)足AD=3AP，若存在實(shí)數(shù)m和n,使得BP=mAB+〃AC，

貝！Jm+n=()

2121

A.-B.-C.--D.--

3333

【解析】BP=AP-AB=mAB+nAC?則AP=(〃z+l)A5+〃AC，

所以機(jī)+1+鞏="=工，貝!］機(jī)+"=工一1=一2

AD333

答案：C

5.已知拋物線(xiàn)x2=4y的焦點(diǎn)為F,點(diǎn)C(0,-2),過(guò)點(diǎn)F且斜率為1的直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于A(yíng)B兩點(diǎn)，點(diǎn)P為拋

物線(xiàn)上任意一點(diǎn)，若CP=nzCA+“CB，則m+n的最小值為()

1123

A.-B.-C.一D.-

3234

CPCP

【解析】因CP=MC4+"C3,則冽+〃=\—,當(dāng)?shù)群途€(xiàn)相切于拋物線(xiàn)時(shí)機(jī)+〃二=一有最小值，過(guò)C作

CRCR

CPCS

兩等和線(xiàn)的垂線(xiàn)，垂足分別為T(mén)、S,則上一=舁

CRCT

由拋物線(xiàn)方程為必=4丁可得直線(xiàn)AB方程為x-y+l=。，y=|=l,故

13

切點(diǎn)為尸(2,1),此時(shí)切線(xiàn)方程為x—y—1=0,CS=忑,CT=&

則加+〃=金=5」

CRCT3

答案：A

6.在矩形ABCD中，AB==2,動(dòng)點(diǎn)p在以點(diǎn)C為圓心且與相切的圓上，若衣=4通+〃而,

則4+〃的最大值為（）

A3B272C亞D2

【解析】：如圖所示:

過(guò)A作的垂線(xiàn)，垂足為H,則AH=CE=CF=r,

當(dāng)E,C,P三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，高線(xiàn)最長(zhǎng)，即（2+〃）max=/=3

r

7.已知。是AABC內(nèi)一點(diǎn)，且兩+詼+反=0，點(diǎn)〃在A(yíng)OBC內(nèi)（不含邊界），若旃=4而+〃薪，則

7+2〃的取值范圍是（）

A.B.（1,2）C,51]D.gJ

【答案】B

【解析】因?yàn)?。是AABC內(nèi)一點(diǎn)，且次+礪+配=。

所以O(shè)為AABC的重心

加在A(yíng)OBC內(nèi)（不含邊界），且當(dāng)M與O重合時(shí)，2+2〃最小，此時(shí)

AM=2AB+//AC=|x1（AB+AC）]=|AB+|AC

所以2=；,〃=；,即彳+2〃=1

當(dāng)M與C重合時(shí)，2+2〃最大，此時(shí)

AM=AC

所以2=0,〃=1,即彳+2〃=2

因?yàn)镸在A(yíng)OBC內(nèi)且不含邊界

所以取開(kāi)區(qū)間，即幾+2〃?1,2）

所以選B

8.如圖，邊長(zhǎng)為2的等邊三角形的外接圓為圓0,P為圓。上任一點(diǎn)，若Q=x福+y*,則2x+2y的最大

值為（）

84

A.-B.2C.-D.1

33

【答案】A

【解析】

作5c的平行線(xiàn)與圓相交于點(diǎn)P,與直線(xiàn)45相交于點(diǎn)E,與直線(xiàn)AC相交于點(diǎn)八

^AP=AAE+/JAF,貝!|力+〃=1,

AFAF4

VBC//EF,???設(shè)——=——=k貝！

ABAC93

AE=kAB,AF=kAC,AP=AAE+juAF=AkAB+jukAC

:.x=Ak,y=/jk

Q

：.2x+2y=2(%+〃)％=故選：A.

二、填空題

1.如圖，在同一個(gè)平面內(nèi)，向量而，麗,反的模分別為1,b叵,而與56的夾角為&,且tana=7,

08與0c的夾角為45°，OC—mOA+nOB(m,n^R)>則m+n=.

【解析】連接AB,過(guò)C點(diǎn)作AB的平行線(xiàn)，則加+〃=—,

0D

在A(yíng)OAB中，由題意可知OA=OB=1,tanZAOD=7,/BOD=45°,

74f765

所以sinNAOD=--r=,sinZAOB=—，根據(jù)三角形張角定理得飛=5叵”,所以。D=W，則

5y/25

OD-1丁3

OC

m+n=-----