2025年高考數(shù)學(xué)好題必刷模擬卷（三）（解析版）

備戰(zhàn)2025年高考數(shù)學(xué)全真模擬卷（新高考）

第三模擬

（試卷滿分150分，考試用時120分鐘）

姓名班級考號

注意事項(xiàng):

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號等填寫在答題卡和試卷指定位置上.

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡

皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個

選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求.

1.設(shè)集合4={X卜2-2》一320},2={尤卜2<尤<2},則（）

A.{x|-l<x<2}B.1x|l<x<2^

C.{x卜2<x41}D.|x|-2<x<-l^

【答案】D

【詳解】

因?yàn)锳={.尤2—2x—32o}=（—8,—1][3,+co）,B=|x|—2<x<2},

所以4口3={尤|-2<xW-l}

故選：D

2.若復(fù)數(shù)z滿足z（l+i）=2i,則工的虛部為（）

A.iB.-iC.1D.-1

【答案】C

【詳解】

2i2i(l-i)

v復(fù)數(shù)z滿足方程z（l+i）=2i,

T+i-(l+i)(l-i)=l+i,

，z的虛部為1.

故選：C.

3.已知正四棱錐尸-ABCD的所有頂點(diǎn)都在球。的球面上，且正四棱錐P-ABCD的底面面

積為6,側(cè)面積為65，則球。的體積為（）

.3228幣125125m

DrD.--------71

3344

【答案】A

【詳解】

設(shè)底面邊長為。，側(cè)棱長為6，

因?yàn)榈酌婷娣e為6,所以a?=6,得a=巫,

因?yàn)閭?cè)面積為6療，

所以4xgx卜二日、義瓜=6幣,解得。=2代，

連接AC,3。交于點(diǎn)?！高B接PQ,則可得POJ平面ABC",

所以四棱錐P—ABCD的高「?=屈二^=3,

點(diǎn)。在PQ上，連接。4,設(shè)球的半徑為尺，則

7?2=(3-7?)2+(A/3)2,解得R=2,

4477

所以球0的體積為］萬爐=g萬X23=子,

故選：A

jl17T

4.已知sin(?-a)+sin(——a)=-,且?！?0,?),則tan(a+—)=()

254

11…一

A.----B.—C.7D.

77

【答案】A

【詳解】

7rl1

由sin(?-a)+sin(5-o)=g,可得sin二+cos1=—,

、、124

兩邊平方得l+2sinacos。=—,可得2sinacosa=-----<0,

因?yàn)?￡(0,萬)，所以sin?！?,cosa<0,所以sina—cosa>0,

24497

所以（sin1—cosa）2=1-（--）=—,所以sino+cosa=《,

聯(lián)立方程組，可得sina=±cosa=-2,所以tana=smQr=_g,

55cosa3

tana+tan—1——

所以tan（6Z+￡）=-----------=——）

4萬14

I-tanatan—Id----

43

故選：A.

22

5.設(shè)雙曲線E：]=1（。＞0步＞0）的離心率為e,直線/過點(diǎn)（。,切和雙曲線E的一個焦點(diǎn),

若直線/與圓相切，則《2=（）

A3+A/56+5_出+53+A/5

rD.

3322

【答案】D

【詳解】

不妨設(shè)直線/右焦點(diǎn)尸9,0）,則直線/的方程為二+；=1,即法+。-9-O,

cb

由直線/與圓/+/=/相切，且加

可得整理得62c2="s2+c2）,即（/-/）。2=°2（2，-/），

ylb2+c2

BPC4-3?2C2+?4=O,可得（￡）4-3（￡y+i=o,即（/一當(dāng)2=[,

aa24

解得/=史正或/=匕5,

22

因?yàn)閑＞l,可得/＞1,所以/=過音.

2

故選：D.

6.〃力=$皿2%+姆+甌0$（2%+姆（4＞。,0＜。＜]）最大值為2,滿足=,則

（P=（）

.7i-2冗-冗_(dá)p.5〃c兀兀

A.%B.yC.%或不D.§或§

【答案】B

【詳解】

因?yàn)?（%）=sm（2x+^）+tzcos（2x+^）=>/l-i-a^sin（2x+^+^）最大值為2,

所以\/1+a2=2，

解得4=

又因?yàn)椤?唱-'，

所以〃尤）的圖象關(guān)于X=（對稱，

所以/「）=sin'+q+Kcos'+O

=cos-A/3sin=2sinI|=±2,

jrTT

所以放=k兀?■—,keZ,

62

27r

BP^=te+—,^GZ,

因?yàn)?<。<萬,

所以。專，

故選：B

7.已知偶函數(shù)g。)在［0,+8)上單調(diào)遞增，若“=8(32),b=g(202)>c=g(-lne),則()

A.b<a<cB.a<c<bC.a<b<cD.c<a<b

【答案】B

【詳解】

因?yàn)間(無)是偶函數(shù)，所以C=g(-me)=g(-l)=g6，

因?yàn)?<log32<log33=l,2?>2°>1

所以0<log32<l<2股,

因?yàn)間(無)在［0,”)上的單調(diào)遞增，

所以g(log32)<g6<g(2。。)，

即a<c<b.

故選：B.

8.在發(fā)生某公共衛(wèi)生事件期間，有專業(yè)機(jī)構(gòu)認(rèn)為該事件在一段事件內(nèi)沒有發(fā)生大規(guī)模群體

感染的標(biāo)志是“連續(xù)10日，每天新增疑似病例不超過7人”.過去10日，甲、乙、丙、丁四地

新增疑似病例數(shù)據(jù)信息如下：

甲地：總體平均數(shù)為3,中位數(shù)為4；

乙地：總體平均數(shù)為1,總體方差大于0；

丙地：中位數(shù)為2,眾數(shù)為3；

丁地：總體平均數(shù)為2,總體方差為3.

則甲、乙、丙、丁四地中，一定沒有發(fā)生大規(guī)模群體感染的是（

A.甲地B.乙地C.丙地D.丁地

【答案】D

【詳解】

對于甲地，若連續(xù)10日的數(shù)據(jù)為0,0,0,0,4,4,4,4,4,10,則滿足平均數(shù)為3,中位數(shù)為4,但

不符合沒有發(fā)生大規(guī)模群體感染的標(biāo)志，A錯誤；

對于乙地，若連續(xù)10日的數(shù)據(jù)為0,0,0,0,0,0,0,0,0/0,則滿足平均數(shù)為1,方差大于0,但

不符合沒有發(fā)生大規(guī)模群體感染的標(biāo)志，B錯誤；

對于丙地，若連續(xù)10日的數(shù)據(jù)為0,0,1,1,2,2,3,3,3,10,則滿足中位數(shù)為2,眾數(shù)為3,但不

符合沒有發(fā)生大規(guī)模群體感染的標(biāo)志，C錯誤；

對于丁地，若總體平均數(shù)為2,假設(shè)有一天數(shù)據(jù)為8人，則方差$2>g、（8-2）2=4.5>3,不

O

可能總體方差為3,則不可能有一天數(shù)據(jù)超過7人，符合沒有發(fā)生大規(guī)模群體感染的標(biāo)志，

D正確.

二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)

中，有多項(xiàng)符

合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

9.某校高二年級進(jìn)行選課走班，已知語文、數(shù)學(xué)、英語是必選學(xué)科，另外需從物理、化學(xué)、

生物、政治、歷史、地理6門學(xué)科中任選3門進(jìn)行學(xué)習(xí).現(xiàn)有甲、乙、丙三人，則下列結(jié)論

正確的是（）

A.如果甲必選物理，則甲的不同選科方法種數(shù)為10

B.甲在選物理的條件下選化學(xué)的概率是g

C.乙、丙兩人至少一人選化學(xué)與這兩人全選化學(xué)是對立事件

D.乙、丙兩人都選物理的概率是!

【答案】AD

【詳解】

對于A,甲必選物理，還需從化學(xué)、生物、政治、歷史、地理中選2門，則甲的不同選科方

法種數(shù)為C；=10,故A正確；

對于B,甲在選物理的條件下，還需從化學(xué)、生物、政治、歷史、地理中選2門，共C；=10

種，其中選化學(xué)的有c；=4種，則甲在選物理的條件下選化學(xué)的概率是［=故B錯誤;

對于C,乙、丙兩人至少一人選化學(xué)包含乙、丙兩人全選化學(xué)，故c錯誤;

C21C21

對于D,乙選物理的概率為U=丙選物理的概率為U=5,因?yàn)橐疫x物理和丙選物理

相互獨(dú)立，所以乙、丙兩人都選物理的概率是《義［=3,故D正確；

224

故選：AD

10.已知向量c==則()

A.若"與之垂直，則〃B.若工//7,則的值為-5

C.若〃=1,則|?-5|=A/13D.若〃=—2,則之與萬的夾角為60°

【答案】ABC

【詳解】

A.若c與7垂直，貝!J=-1-2〃=0，〃=-5，正確；

一］R__

B.若c//d，貝汁丁=-n=2,c-J=1x(-1)+(—2)x2=—5,正確；

C.若〃=1,c-d=(2,-3),|c-j|=V13,正確；

―—c,d.—1+43

D.若〃=-2,3<。9>=麗=而胡=丁<c,d>^60°,D錯誤，

故選：ABC.

11.已知直線/：3x+w?y+3=0,曲線(7:犬+/+4苫+2Ny+5=0,則下列說法不正確的是

()

A."相>1"是曲線C表示圓的充要條件

B.當(dāng)“7=3指時，直線/與曲線C表示的圓相交所得的弦長為1

C."機(jī)=-3是直線/與曲線C表示的圓相切的充分不必要條件

D.當(dāng)〃?=-2時，曲線C與圓尤2+;/=1有兩個公共點(diǎn)

【答案】ABD

【詳解】

對于A,曲線C:X?+)2+4x+2Ny+5=0=>(x+2)2+(>+機(jī))2=一1,,曲線C要表示圓，則

m2-1>0,解得能<-1或%>1,所以“">1”是曲線表示圓的充分不必要條件，故A錯誤；

對于B,機(jī)=3相時，直線/:x+不y+l=0,曲線(7:(尤+2)2+(>+3百)2=26,

|-2+退x(3/)+l|

圓心到直線的距離d==5,所以弦長=2,產(chǎn)一］=2+26—25=2,故B

VT+3

錯誤;

對于C,若直線與圓相切，圓心到直線的距離d=S竺歲="力二機(jī)=±3,所以

y/9+m2

"m=-3是直線與曲線表示的圓相切的充分不必要條件，C正確；

對于D,當(dāng):〃=-2時，曲線C:(x+2)2+(y-2)2=3,其圓心坐標(biāo)(-2⑵，r=73,

曲線C與圓一+與=1兩圓圓心距離為4-2-0)2+(2-0)2=2收〉百+1,故兩圓相離，不

會有兩個公共點(diǎn)，D錯誤.

故選：ABD

12.已知正方體ABCD-4耳￡2的棱長為2,動點(diǎn)尸在正方形CD￡)G內(nèi)，則()

A.若俞寸於+詬J,則三棱錐的尸-BCG的外接球表面積為4萬

B.若4尸〃平面4BD,則不可能垂直CQ

C.若C/J_平面4CF,則點(diǎn)尸的位置唯一

D.若點(diǎn)E為8C中點(diǎn)，則三棱錐的體積是三棱錐體積的一半

【答案】CD

【詳解】

解：如圖，建立空間直角坐標(biāo)系：

則4(2,0,0),3(2,2,0),C(0,2,0),0(0,0,0),4(2,0,2)再(2,2,2),G(0,2,2),0(0,0,2),

由于動點(diǎn)下在正方形CDDG內(nèi)，可設(shè)尸(0,7〃,〃)，其中0〈根<2,0<〃<2,

對于A選項(xiàng)，由于6=；(座+病］,則P為CR的中點(diǎn)，此時歹(0,1,1),

設(shè)三棱錐的F-與CQ的外接球的球心為O(x,y,z),

OC=OBJJC2+(y-2)2+z2=(^-2)2+(y-2)2+(z-2)2

則.OC=0F\,gp^x2+(y-2)2+z2=x2+(y-l)2+(z-l)2

222

OC=0C}\X+(y-2)+z=f+(y_2『+(z-2)2

X=1

解得：y=2,所以。(1,2,1),

z=1

則三棱錐的歹-Bg的外接球的半徑為R=\OC\=y/2,

所以三棱錐的尸-Bg的外接球表面積為4萬支=4%x(友『=8萬，故A不正確；

對于B選項(xiàng)，設(shè)平面AB。的法向量為*=(x,y,z)，48=(0,2,-2)，BD=(-2,-2,0))

12y-2z=0-

則L,,_n，令y=得x=T,z=l,故”=(-1,1,1),

而戰(zhàn)=(一2,加一2,〃一2)，若4/〃平面AB。，則0:=0，

則2+機(jī)一2+〃一2=0,即根+〃=2,所以F(0,m,2-m),

此時，F(xiàn)=(—2,機(jī)—2,-機(jī))，而出=(0,—2,2)，

所以與尸?C￡)i=-2x0-2x(m-2)-mx2=-4m+4，

當(dāng)m=1時，-4m+4=0,此時后"E=0，則反尸_LC￡>],故B不正確;

對于C選項(xiàng)，若平面ACF,則殺，盛,擊，&，

——>""">

由于G尸=（0,根—2,〃—2），AC=（—2,2,—2）,C尸=（0,根—2,〃），

則［(2…x(m-。2)小-2(n--2))。=0'解得:m=l\m=2

〃=1或〃=2(舍去),

此時尸(0,1,1),即點(diǎn)尸的位置唯一，使得平面4CP,故C正確;

對于D選項(xiàng)，點(diǎn)E為BC中點(diǎn)，由正方體可知3CL平面AAB4，

三棱錐a-A8|E的體積為：=%_4明=耳SAW?EB，

由于F在正方形CD0G內(nèi)，則b到平面4AB為8C,

三棱錐A-體積為：匕一-3'BC,

而%w,=S%AB，班=/c,所以！匕一”，

所以三棱錐4-A4E的體積是三棱錐A-%2體積的一半，故D正確.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分

13.已知函數(shù)y=/(x)為奇函數(shù)，〃x+2)=-〃x),若當(dāng)xe［O,2］時，“*)=1陰(尤+。),

則“2022)=.

【答案】-1

【詳解】

?."(尤)為奇函數(shù)，?'■/(0)-logia-0i解得：fl=1：

3

?.?/(x+2)=-f(x),/(x+4)=-f(x+2)=-[-/(%)]=f[x),

??J(x)是周期為4的周期函數(shù)，

(2022)=/(4x505+2)=/(2)=log,(2+1)=-1

3

故答案為：-1.

14.已知直線/分別切拋物線Y=2py(p>0)和圓尤z+(y+l)2=1于點(diǎn)A,B(.A,B不重

合)，點(diǎn)F為拋物線的焦點(diǎn)，當(dāng)H口取得最小值時，P=.

【答案】2

【詳解】

，X,x

設(shè)4%,%),y=—,所以”』=一a,

PP

所以y-%=

7)1

所以直線/的方程為XoX=py+。%,則=1

M+p2

x；=4+4p,

把君=2p為代入，可解得<%=2+2,

P

2p

ffl|AF|=-+2+^>4,當(dāng)且僅當(dāng)。=2時等號成立，所以。=2.

P2

故答案為：2

x11

15.函數(shù)/(%)滿足：/'CO—/(x)=eJ,X￡[±,+OO)"⑴=—e,若"2--)<—e恒成立，貝股的取

x2t

值范圍為.

一2"

【答案】--1

【詳解】

由題可得，[卡]=J_,所以*=inx+C,(C為常數(shù))，即_f(x)=e*(lnx+C),而/⑴=-e,

，設(shè)g(x)=im+U1x2g),

所以C=T,即/(x)=e，(lnxTJ'(x)=exlnx-l+-

XX

g'G)」-?=土?，所以g(元)在$1)上遞減在。收)上遞增，即g(xL=g(i)=°，所以

XXX—乙)

尸(x)ZO.

1[2-f^177

/(2—)4-e=y'⑴可等價于；一解得工4/41.

'2--<13

It

'2'

故答案為：§，1.

16.畢達(dá)哥拉斯學(xué)派是古希臘哲學(xué)家畢達(dá)哥拉斯及其信徒組成的學(xué)派，他們把美學(xué)視為自然

科學(xué)的一個組成部分.美表現(xiàn)在數(shù)量比例上的對稱與和諧，和諧起于差異的對立，美的本質(zhì)

在于和諧.他們常把數(shù)描繪成沙灘上的沙粒或小石子，并由它們排列而成的形狀對自然數(shù)進(jìn)

行研究.如圖所示，圖形的點(diǎn)數(shù)分別為L5,12,22,…，總結(jié)規(guī)律并以此類推下去，第8個圖形

對應(yīng)的點(diǎn)數(shù)為，若這些數(shù)構(gòu)成一個數(shù)列，記為數(shù)列｛q,｝,則4+晟+,+…+詈=

【答案】92336

【詳解】

記第九個圖形的點(diǎn)數(shù)為，由題意知4=1,。2-4=4=1+3*1,

%—%=1+3x2,g—%=1+3x3,…，61n—61n_]—1+3(〃-1),

VI

累力口得Q〃-4=4+7H-----F[1+3(n—1)]=—(3n—1),

即a“=g(3〃-I),所以q=92.又組=，，

2n2

所以“+&+，…+&=工(2+5+8+…+62)='2%x21=336.

2321222

四.解答題：本小題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演

算步驟.

17.已知數(shù)列｛為｝的前"項(xiàng)和S〃=2"+】+A,若｛4｝為等比數(shù)列.

(1)求實(shí)數(shù)A及｛為｝的通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)b"=log2?！保髷?shù)列｛。"包｝的前n項(xiàng)和Tn.

【答案】

（1）根據(jù)題意，數(shù)列｛%｝的前"項(xiàng)和5n=2"+】+4

則ai=Si=22+A=^+A,

。2=$2—Si=（23+/4）—（2?+A）=4,

03=S3-52=（2，+A）—（23+4）=8,

又由｛4｝為等比數(shù)列，則。逐。3=（02）2,即（4+A）X8=42=16,

解可得A=-2,

則01=4—2=2,即數(shù)列｛q｝是首項(xiàng)為2,公比為2的等比數(shù)列，

則4=2",

（2）設(shè)）=皈2%，則設(shè)2=。必=/咚2"="，

則ae="2",

23

故Tn=lx2+2x2+3x2+...十/x2",①

貝I」有21=1x22+2x23+...+（〃-I）x2"+〃x2"+i,②

①一②可得：一（=2+22+23+……+2,,-nx2"+1=（l-M）2"+1-2,

變形可得：＜=（〃—1）2向+2,

故（=（"-1）22+2.

18.2020年8月，習(xí)近平總書記對制止餐飲浪費(fèi)行為作出重要指示，要求進(jìn)一步加強(qiáng)宣傳

教育，切實(shí)培養(yǎng)節(jié)約習(xí)慣，在全社會營造浪費(fèi)可恥、節(jié)約光榮的氛圍.為貫徹總書記指示,

大慶市某學(xué)校食堂從學(xué)生中招募志愿者，協(xié)助食堂宣傳節(jié)約糧食的相關(guān)活動.現(xiàn)已有高一63

人，高二42人，高三21人報名參加志愿活動.根據(jù)活動安排，擬采用分層抽樣的方法，從

已報名的志愿者中抽取12名志愿者，參加為期20天的第一期志愿活動.

（1）第一期志愿活動需從高一、高二、高三報名的學(xué)生中各抽取多少人？

（2）現(xiàn)在要從第一期志愿者中的高二、高三學(xué)生中抽取4人去粘貼宣傳標(biāo)語，設(shè)這4人中

含有高二學(xué)生X人，求隨機(jī)變量X的分布列和期望；

（3）食堂每天約有400人就餐，其中一組志愿者的任務(wù)是記錄學(xué)生每天倒掉的剩菜剩飯的

重量（單位：公斤），以10天為單位來衡量宣傳節(jié)約糧食的效果.在一個周期內(nèi)，這組志愿

者記錄的數(shù)據(jù)如下：

前10天剩菜剩飯的重量為：24.125.224.523.623.424.223.821.523.521.2；

后10天剩菜剩飯的重量為：23.221.520.821.320.419.420.219.320.618.3,

借助統(tǒng)計(jì)知識，分析宣傳節(jié)約糧食活動的效果.

【答案】

（1）報名的學(xué)生共有126人，抽取的比例為另12=三2,

222

所以高一抽取633=6人，高二抽取42專=4人，高三抽取2k五=2人

（2）隨機(jī)變量X的取值為2,3,4,

「202Ar\o「4001

P(X=2)=合=X=三，口*=3)=*=正，P(X=4)=,=z

所以隨機(jī)變量X的分布列為

X234

281

P

?1515

OO18

月⑶=2x—+3x—+4x—=

v7515153

K=2人1+25.2+24.5+23.6+23.4+24.2+23.8+21.5+23.5+21.2%.

(3)?/5

—_23.2+21.5+20.8+21.3+20.4+19.4+20.2+19.3+20.6+18.3_Qn二

才u------------------------------------------------------zsU.5

后10

所以前10天的平均值為23.5,后10天的平均值為20.5,且20.5<23.5,

所以宣傳節(jié)約糧食活動的效果很好

19.記EIA3C的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知6(“一兀05。)=。$布3,點(diǎn)M

在AC上，且AM=—MC,BM=1.

(1)求B；

(2)若a=5求AABC的面積.

【答案】

(1)由題設(shè)，^(sinA-sinBcosC)=sinCsinB,又A=?-(B+C),

073(sin(B+C)-sinBcosC)=sinCsinB,則^/§'cosBsinC=sinCsinB,又sinC#0,

13tanB=A/3,0<B<TT,可得B=

____,___,____.___1______.___1______,___,9___?1__.

(2)BM=BA+AM=BA+-AC=BA+-(AB+BC)=-BA+-BC,又BM=1，

團(tuán)加2=(g麗+；麗2=1,貝汁4麗2+4麗反+/2=9，〃=|前|=石，c=\BA\,

02c2+A/3C—3=0,可得c=^^或。=一石(舍)，

2

.R_3V3

□S?ABC=-acsinB=-^-.

20.在四棱錐尸-ABC。中，PD_L平面ABC。，ABIIDC,ABLAD,CD=AD=-AB=\,

2

（1）求證：DE〃平面PBC；

（2）求平面GPC與平面P3C夾角的余弦值.

（3）在線段叢上是否存在點(diǎn)“，使得G”與平面PGC所成角的正弦值是心，若存在,

3

求出A"的長；若不存在，請說明理由.

【答案】

（1）取網(wǎng)的中點(diǎn)/，連接E/，CF,

因?yàn)镋是上4的中點(diǎn)，所以￡F〃AB,且所=142,

因?yàn)榍褹B〃DC,所以EF〃CD且EF=CD,

2

所以四邊形CDEF是平行四邊形，可得DE//CF,

因?yàn)镃「u面P3C,￡）￡0面尸3。，所以￡）￡〃平面P3C

（2）因?yàn)锳B//OC,ABLAD,所以的＞_LCD,

因?yàn)槭辏綺!_平面ABCD,/Mu面ABCD,DCu面ABCD,

所以D4,DC,DP兩兩垂直，

以。為原點(diǎn)，分別以D4,DC,￡＞尸所在的直線為x，二z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

因?yàn)镹R4Z）=45。，在等于直接三角形APD中，DP=DA=1,

則￡＞（0,0,0）,尸（0,0,1）,C（0,l,0）,5（1,2,0）,設(shè)G（1J,O）,

CG=（1J-1,O）,BD=（-l,-2,0）,由西?麗=一1-2（［-1）=0,可得：f=g,

所以西=1,-g,0）,PC=（O,l,-l）,而=（1,2,-1）,

設(shè)平面GPC的一個法向量為五=（工］,%，4）,

—_1

CG'fh=Xy——y,=0K?I,八一一

由，2,令%=1,則必=2,Z]=2,所以根=(1,2,2),

PC-m=yi—zl=0

設(shè)平面PBC的一個法向量為〃=(%,%，Z2)，

PBn=x9+2y9-z9=0A…，，~,,一/、

由卮后—一,令%=1,則口，x2=-l,所以k(TLl)，

\m-rn

所以cos(加5-1+2+2

|m|-|n|3xg

所以平面GPC與平面PBC夾角的余弦值為顯

3

(3)由(2)知：平面GPC的一個法向量正二(1,2,2),

假設(shè)在線段以上是否存在點(diǎn)H,設(shè)近=4通=4(-1,0,1)=(-40,冷，2e[0,l],

則說=麗+而=[。,_；,0卜(—2,0,2)=f—2,——,2j,

因?yàn)镚”與平面PGC所成角的正弦值是當(dāng)

\GH-^|2-1|_73

所以

2把+卜33'

整理可得：如+8”1=。，解得f4或人彳(舍),

_V2

AH=

~10

所以在線段以上是否存在點(diǎn)H符合題意，4/的長為YZ

10

2L已知點(diǎn)4?！?,BOT),直線3與直線加的斜率之積為

(i)求點(diǎn)M的軌跡r方程；

(2)點(diǎn)N是軌跡「上的動點(diǎn)，直線AM,3N斜率分別為左，及滿足左：履=3：1,求MN中

點(diǎn)橫坐標(biāo)看的取值范圍.

【答案】

(1)解：設(shè)〃(x,y),因?yàn)橹本€A"與直線8M的斜率之積為所以2匚?四=-；，

4xx4

可得—+y?=l(xw0).

所以點(diǎn)M的軌跡「方程為三+/=1(除去點(diǎn)(0,±D).

(2)解：設(shè)直線A/2V的方程為＞=依+/,M(&x),N(x?y?),

2

[x2.

由《4'消去y得：(l+4e)x2+8ktx+4(t2-l)=0(*),

y=kx+t,

4(r2-l)

所以石+馬=才記，干2二不戰(zhàn)

由(1)知：-kBM=--,=--,0—=-4^.

44■鼠2

4M-1.%-1__4('+|-D(區(qū)2+1-1)

4代(廣二1)+-8-(1)+”])

=(左2%々+左?_1)(%+%)+?_1)2=[1+4代1+4左21一)

XyX24(r-1)

1+442

V=3,

得f=-g,此時方程(*)有兩個不同的實(shí)根，符合題意.

2

x+x-4kt2k11

龍。=丁?=-=由+r5或n

22.設(shè)函數(shù)/(%)=x2-(m-2)x-mlnx,

(1)求〃力的單調(diào)區(qū)間;

3

(2)設(shè)1＜相＜2心(％)=-/(%)+2%2-(2加一1)%,求證：l/jq,x2e[l,m],恒有

|g(xj-g(%)|＜；.

(3)若相＞0,函數(shù)〃x)有兩個零點(diǎn)辦,々，(為＜馬)，求證/'[玉+/]＞0.

【答案】

(1)函數(shù)/(X)=A：2-(772-2)x-mlnx的定義域?yàn)?0,+功,

2x2-(2x-根)(x