江蘇省常州市金壇區(qū)某中學(xué)2024-2025學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期階段訓(xùn)練一數(shù)學(xué)試卷（含答案）

九年級(jí)數(shù)學(xué)限時(shí)訓(xùn)練

一、選擇題（共10小題）

1.下列方程中，關(guān)于X的一元二次方程是（）

A.2x-3=xB.2x+3y—5C.2x-x2—1D.x+—=7

x

2.一元二次方程3x2-6x-4=0的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)分別是（）

A.3,6,4B.3,-6,4C.3,6,-4D.3,-6,-4

3.已知。。的半徑為2,OA=4,則點(diǎn)/在（）

A.。。內(nèi)B.。。上C.。。外D.無法確定

4.一元二次方程/+5x+l=0根的情況是（）

A.有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根B.有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根C.只有一個(gè)實(shí)數(shù)

根D.沒有實(shí)數(shù)根

5.已知機(jī)、”是一元二次方程/+2x-5=0的兩個(gè)根，則加+"的值為（）

A.2B.-2C.5D.-5

6.將方程x2+4x+2=0配方后，原方程變形為()

A.(X+4)2=2B.(X+2)2=2C.(x+4)2=—3D.(x+2)2=—5

7.如圖，00的弦AB=8,M是AB的中點(diǎn)，且OM=3,則00的半徑等于()

A.2B.5C.8D.10

8.關(guān)于x的一元二次方程x2-fox+c=0的兩根分別是4、-2,貝防、。的值分別是（）

A.-2、4B.4、-6C.-2、6D.2、-8

9.實(shí)數(shù)4，b,c滿足。-6+。=0,則（）

A.Z?-4ac>0B.b2-4ac<0

C.b2-4ac>0D.b2-4ac<0

10.如圖，四邊形P4OB是扇形OW的內(nèi)接矩形，頂點(diǎn)P在弧九W上，且不與N重合,

當(dāng)P點(diǎn)在弧上移動(dòng)時(shí)，矩形尸/02的形狀、大小隨之變化，則尸才+尸笈的值（）

試卷第1頁(yè)，共4頁(yè)

A.變大B.變小C.不變D.不能確定

二.填空題（共8小題）

11.一元二次方程x2-4=0的解是.

12.已知關(guān)于x的一元二次方程/-x+左=0的一個(gè)根為-1,貝?。┖?.

13.如果關(guān)于x的一元二次方程4--加x+l=0有相等的實(shí)數(shù)根，那么機(jī)的值

是.

14.已知機(jī)是關(guān)于x的方程--2x-5=0的一個(gè)根，則2加2_4川=.

15.梭梭樹因其頑強(qiáng)的生命力和防風(fēng)固沙的作用，被稱為“沙漠植被之王”.新疆北部某沙漠

2020年有16萬畝梭梭樹，經(jīng)過兩年的人工種植和自然繁殖，2022年達(dá)到25萬畝，求這兩

年的平均增長(zhǎng)率.

16.如圖，AB是的直徑，弦CDJLAB于點(diǎn)E,OC=5cm,CD=6cm,則AE=

17.若菱形的兩條對(duì)角線長(zhǎng)分別是方程x2-10x+24=0的兩實(shí)根，則菱形的面積為—

18.如圖，CD是。。的直徑，點(diǎn)A在。C的延長(zhǎng)線上，//=18。,/后交。。于點(diǎn)5,且

AB=OD.則.

三、簡(jiǎn)答題:

試卷第2頁(yè)，共4頁(yè)

19.解下列方程:

(l)(x-l)2-25=0；

(2)2X2-3X-2=0；

(3)X2+2X-8=0；

(4)3X(X-4)=2(4-X).

20.陽湖水蜜桃是常州特產(chǎn)，有“太湖仙果”的美譽(yù).某農(nóng)場(chǎng)2022年種植水蜜桃20畝，平均

畝產(chǎn)量是1000kg.2023年該農(nóng)場(chǎng)擴(kuò)大了種植面積，并引進(jìn)新品種，使總產(chǎn)量增長(zhǎng)到

33800kg.已知種植面積的增長(zhǎng)率與平均畝產(chǎn)量的增長(zhǎng)率相同，求平均畝產(chǎn)量的增長(zhǎng)率.

21.關(guān)于x的一元二次方程/-3x-后=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.

(1)求左的取值范圍；

(2)設(shè)匹，無2是方程的兩個(gè)實(shí)根，是否存在左值使2X]+占％+2苫2=10,若存在，求出左值，若

不存在，請(qǐng)說明理由.

(3)若方程兩實(shí)數(shù)根為西也，且滿足3網(wǎng)+2%=2,求實(shí)數(shù)左的值.

22.某超市銷售一批月餅，這批月餅每盒進(jìn)價(jià)為80元，售價(jià)為120元，平均每天可售出20

盒.為了增加盈利，商場(chǎng)采取了降價(jià)措施.假設(shè)在一定范圍內(nèi)，月餅的單價(jià)每降1元，商場(chǎng)

平均每天可多售出2盒，降價(jià)后商場(chǎng)消售這批月餅每天盈利1200元.求降價(jià)后該月餅每盒

的售價(jià).

23.若關(guān)于x的方程N(yùn)+6x+c=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且其中一個(gè)根比另一個(gè)根大2,那么稱這樣

的方程為“隔根方程”.例如,方程N(yùn)+2x=0的兩個(gè)根是肛=0,切=-2,則方程N(yùn)+2X=0

是“隔根方程”.

⑴方程N(yùn)-x-20=0是“隔根方程”嗎？判斷并說明理由;

(2)若關(guān)于x的方程N(yùn)+mx+m-1=0是"隔根方程”,求加的值.

24.如圖，在以點(diǎn)。為圓心的兩個(gè)同心圓中，大圓的弦48交小圓于點(diǎn)C、D.

(1)求證NC=2D；

(2)若NC=3,大圓和小圓的半徑分別為6和4,則CD的長(zhǎng)度是

試卷第3頁(yè)，共4頁(yè)

25.我們?cè)诎四昙?jí)上冊(cè)曾經(jīng)探索：把一個(gè)直立的火柴盒放倒（如圖1）,通過對(duì)梯形

面積的不同方法計(jì)算，來驗(yàn)證勾股定理.。、權(quán)c分別是和Rt^CDE的邊長(zhǎng)，易知

AD=6C，這時(shí)我們把關(guān)于x的形如ax2+42cx+b=0的一元二次方程稱為“勾氏方程”.

請(qǐng)解決下列問題：

⑴方程f+2x+l=0（填“是”或“不是”）“勾氏方程”；

（2）求證：關(guān)于x的“勾氏方程”辦2+&cx+6=0必有實(shí)數(shù)根；

⑶如圖2,的半徑為10,/反CD是位于圓心。異側(cè)的兩條平行弦，AB=2m,

CD=2〃,機(jī)力".若關(guān)于x的方程“2+10缶+〃=0是“勾氏方程"，連接求/BOD

的度數(shù).

試卷第4頁(yè)，共4頁(yè)

1.c

【分析】利用一元二次方程的定義判斷即可.

【詳解】4方程2x-3=x為一元一次方程，不符合題意；

B、方程2x+3y=5是二元一次方程，不符合題意；

C、方程2x--=i是一元二次方程，符合題意；

D、方程x+1=7是分式方程，不符合題意，

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的問題，掌握一元二次方程的定義是解題的關(guān)鍵.

2.D

【分析】根據(jù)一元二次方程的一般式可直接進(jìn)行求解.

【詳解】解：一元二次方程31-6x-4=0的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)分別是3,

—6,—4；

故選D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查一元二次方程的一般式，熟練掌握一元二次方程的一般式是解題的關(guān)

鍵.

3.C

【分析】本題考查了點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，根據(jù)點(diǎn)在圓上，則〃=廠；

點(diǎn)在圓外，則d>r；點(diǎn)在圓內(nèi)，則d<r（d即點(diǎn)到圓心的距離，『即圓的半徑）進(jìn)行判斷

是解決問題的關(guān)鍵.

【詳解】解：???。/=4>2,

???點(diǎn)A與OO的位置關(guān)系是點(diǎn)在圓外，

故選：C.

4.A

【分析】利用一元二次方程根的判別式進(jìn)行判斷即可得.

【詳解】解：一元二次方程V+5x+l=0中的。=1/=5,c=l,

則這個(gè)方程根的判別式為A=52-4xlxl=21>0,

所以方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程根的判別式，熟練掌握一元二次方程根的判別式是解題關(guān)

答案第1頁(yè)，共12頁(yè)

鍵.

5.B

【分析】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，關(guān)于x的一元二次方程

a，+6x+c=0(a*0)的兩個(gè)實(shí)數(shù)根X],%和系數(shù)。，b,c,有如下關(guān)系：x+x^--,

x2a

再由此即可得出答案，熟練掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系是解此題的關(guān)鍵.

a

【詳解】解："是一元二次方程/+2x-5=0的兩個(gè)根，

:.m+n=—2,

故選：B.

6.B

【分析】方程常數(shù)項(xiàng)移到右邊，兩邊加上2變形即可得到結(jié)果.

【詳解】試題分析：:x2+4x+2=0,

.??x2+4x=-2,

???x2+4x+4=-2+4,

(x+2)2=2.

故選B.

7.B

【分析】由題意連接OA,根據(jù)垂徑定理求出OM1AB,求出AM長(zhǎng)，根據(jù)勾股定理求出

OA即可.

【詳解】解：連接OA,

??,OO的弦AB=8,M是AB的中點(diǎn)，OM過O,

??.AM=BM=4,OM1AB,

???由勾股定理得：OA=NAM2+OM2="2+3,=5.

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理、垂徑定理，能構(gòu)造直角三角形是解答此題的關(guān)鍵，注意掌握垂

直于弦的直徑平分這條弦.

答案第2頁(yè)，共12頁(yè)

8.D

【分析】本題考查一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是掌握一元二次方程根與系

bc

數(shù)的關(guān)系，X1+x2=--,X產(chǎn)2=上，據(jù)此解答即可.

aa

【詳解】???一元二次方程--法+c=0的兩根分別是4、—2,

bc

?，.X]+=—=4+(-2)=6=2,玉=——4x(—2)—c——8,

???6=2,c=-8.

故選：D.

9.C

【分析】首先由〃—6+。=0得至解=。+。，然后化簡(jiǎn)4〃c求解即可.

【詳解】解：,??〃-6+。=0

??b—cic

???b2-4QC

=(Q+C)2-4ac

=Q?+2cle+c2—4。。

="—Zac+c?

=(a-0)2.

>0

???b1-4ac>0.

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了完全平方公式的應(yīng)用，熟練掌握完全平方公式是解題的關(guān)鍵.

10.C

【分析】P/O8是扇形OMN的內(nèi)接矩形，根據(jù)矩形的性質(zhì)N5=OP=半徑，所以長(zhǎng)度不

變.

【詳解】???P/O8是扇形OACV的內(nèi)接矩形,以8=?！?半徑,當(dāng)尸點(diǎn)在弧肱V上移動(dòng)時(shí)，半

徑一定，所以N3長(zhǎng)度不變，又PA2+_PB2=AB2,故選C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓周角的相關(guān)知識(shí)，而本題用到的知識(shí)點(diǎn)：90。的圓周角所對(duì)的弦

是直徑，垂直于非直徑的弦的直徑平分弦，三角形的中位線等于第三邊的一半.

11.x=±2

答案第3頁(yè)，共12頁(yè)

【詳解】移項(xiàng)得X2=4,

?-?x=±2.

故答案是：x=±2.

12.-2

【分析】把x=-l代入方程/-x+左=0得到關(guān)于后的一元一次方程，解方程即可得到答

案.

【詳解】解：根據(jù)題意得：

12-(-1)+^=0,

解得：k=-2,

故答案為：-2.

【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的解，解一元一次方程，熟練掌握解一元一次方程的解法

是解題的關(guān)鍵.

13.±4

【分析】此題考查了一元二次方程根的判別式，根的判別式的值大于0,方程有兩個(gè)不相等

的實(shí)數(shù)根；根的判別式的值等于0,方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；根的判別式的值小于0,方

程沒有實(shí)數(shù)根.

由已知方程有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根，得到根的判別式等于0,列出關(guān)于m的方程即可求得m的

值.

【詳解】解：???方程4/一切》+1=0有相等的實(shí)數(shù)根，

A=(-機(jī)-4x4x1=機(jī)？-16=0,

解得：m=±4,

故答案為：±4.

14.10

【分析】根據(jù)一元二次方程的解的定義得出十一2加=5,代入代數(shù)式，即可求解.

【詳解】解：?.?〃?是關(guān)于x的方程/-2x-5=0的一個(gè)根，

2m2-4m=2("/-2加)=2x5=10,

故答案為：10.

【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的解的定義，熟練掌握一元二次方程的解的定義是解題的

關(guān)鍵.

答案第4頁(yè)，共12頁(yè)

15.25%

【分析】設(shè)這兩年的平均增長(zhǎng)率為x,利用新疆北部某沙漠2022年梭梭樹的種植面積=新

疆北部某沙漠2020年梭梭樹的種植面積x（1+這兩年的平均增長(zhǎng)率即可得出關(guān)于x的

一元二次方程，解之取其正值即可得出結(jié)論.

【詳解】解：設(shè)這兩年的平均增長(zhǎng)率為x,依題意得：16（1+無y=25,

解得：々=0.25=25%,無2=225（不符合題意，舍去），

.?.這兩年的平均增長(zhǎng)率為25%.

故答案為：25%.

【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的

關(guān)鍵.

16.9

【分析】根據(jù)垂徑定理推出CE=ED=3,再利用勾股定理求出OE即可解決問題.

【詳解】解：,.,ABLCD,AB是直徑，

CE=ED=3cm,

在RtAOEC中，OE=7OC2-EC2=752-32=4（cm）,

AE=OA+OE=5+4=9（cm）,

故答案為9.

【點(diǎn)睛】本題考查垂徑定理，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考

常考題型.

17.12.

【分析】先解出方程的解，根據(jù)菱形面積為對(duì)角線乘積的一半，可求出結(jié)果.

【詳解】x2-10x+24=0

x=4或x=6.

所以菱形的面積為：（4x6）+2=12.菱形的面積為：12.

【點(diǎn)睛】本題考查菱形的性質(zhì)和面積的求法、根與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是掌握菱形的性

質(zhì)和面積的求法、根與系數(shù)的關(guān)系.

18.54°##54度

【分析】本題主要考查了圓的基本性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，根據(jù)圓的基本性質(zhì)，可得

答案第5頁(yè)，共12頁(yè)

NOEB=4OBE,ZAOB=180,從而得至1]NOEB=NOBE=N4+/40B=36。,進(jìn)而根據(jù)三

角形的外角的性質(zhì)，即可求解.

【詳解】解：連接30,

???c。是。。的直徑,

0D=OE=0B,

:.Z0EB=A0BE,

?/AB=0D,

AB=OB,

AAOB=N4,

???//=18。，

.\ZA03=18°f

/OEB=/OBE=//+ZAOB=36°,

/.ZEOD=ZOEB+ZA=54°.

故答案為：54°

19.(1)再=6,x2=-4

(2)西=一；，X2=2

(3)X]=—4,4=2

2

(4)占=4,9=一§

【分析】本題考查了解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是掌握一元二次方程的解法：直接開平方

法，配方法，公式法，因式分解法等.

（1）先移項(xiàng)，然后利用直接開方法解一元二次方程即可；

（2）利用十字相乘法進(jìn)行因式分解得出（2x+l）（x-2）=0,然后得出兩個(gè)一元一次方程，

再解一元一次方程即可；

（3）利用十字相乘法進(jìn)行因式分解得出（x+4（x-2）=0,然后得出兩個(gè)一元一次方程，再

答案第6頁(yè)，共12頁(yè)

解一元一次方程即可；

(4)先移項(xiàng)，然后利用提公因式法進(jìn)行因式分解得出(x-4)(3x+2)=0,再得出兩個(gè)一元

一次方程，最后解一元一次方程即可.

【詳解】(1)解：(XT)?-25=0,

移項(xiàng)得：(x-以=25,

開平方得：x-1=±5,

再=6,X?~—4?

(2)解：2X2-3X-2=0,

因式分解得：(2x+l)(x-2)=0,

???2%+1=0或％-2=0,

解得：再=一：，X2=2；

(3)解:X2+2X-8=0,

因式分解得：(X+4)(X-2)=0,

.?.x+4=0或工一2=0,

解得：再=-4,x2=2；

(4)M：3x(x-4)=2(4-x),

移項(xiàng)得：—4)—2(4—x)=0,

分解因式得：(x-4)(3x+2)=0,

x-4=0或3x+2=0,

2

解得：占=4,x2=--.

20.平均畝產(chǎn)量的增長(zhǎng)率為30%

【分析】本題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)等量關(guān)系列出方程，設(shè)平

均畝產(chǎn)量的增長(zhǎng)率為x,根據(jù)2022年種植水蜜桃20畝，平均畝產(chǎn)量是1000kg,2023年總

產(chǎn)量增長(zhǎng)到33800kg,種植面積的增長(zhǎng)率與平均畝產(chǎn)量的增長(zhǎng)率相同，列出方程解方程即

可.

【詳解】解：設(shè)平均畝產(chǎn)量的增長(zhǎng)率為x,由題意得：

答案第7頁(yè)，共12頁(yè)

20(l+x)xl000(l+x)=33800.

解得X1=0.3,x2=—2.3(舍).

答：平均畝產(chǎn)量的增長(zhǎng)率為30%.

9

21.

⑵不存在，理由見解析

(3)A=28.

【分析】本題考查了一元二次方程的判別式以及根與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵能夠正確運(yùn)用

判別式的表達(dá)式以及根與系數(shù)的關(guān)系式.

(1)根據(jù)一元二次方程的判別式△>(),然后解不等式即可；

(2)假設(shè)存在，代入兩根和，兩根積，求出左，再作出判斷.

(3)聯(lián)立再+無2=3,3再+2%=2可解得方程的一個(gè)根，再將這個(gè)根代入原方程即可求得k

的值.

【詳解】(1)解：?.?關(guān)于x的一元二次方程-4=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，

A=9+4Z;>0,

99

解得：左〉-不即人的取值范圍為《>-不

44

(2)解:X],%是方程/-3x4=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，

X]+%=3,-x2=-k,

'：2xj+xrx2+2X2=2(1+x2)+x1x2=10,

.16—后=10,

解得人=-4,

9

???方程有實(shí)數(shù)根時(shí)k的取值為后〉-二，

4

二不存在k值使得2匹+xtx2+2X2=10.

(3)解：由國(guó)+々=3,得再=3-.，

代入3占+2X2=2中得，3(3—x2)+2X2=2

答案第8頁(yè)，共12頁(yè)

解得：尤2=7,

把“2=7代入原方程得,7—3x7-左=0,

解得：上=28.

22.100元或110元

【分析】此題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用，關(guān)鍵是正確理解題意并找出題目中的等量關(guān)

系列出方程.設(shè)月餅每盒降了x元，根據(jù)降價(jià)后的銷量x每件的利潤(rùn)=1200,根據(jù)等量關(guān)系

列出方程并求解即可.

【詳解】解：設(shè)月餅每盒降了x元.根據(jù)題意，得：

(20+2x)(120-80-x)=1200,

解得：甌=20或％=10,

120-x=100或110,

答：降價(jià)后該月餅每盒的售價(jià)為100元或110元.

23.(1)不是，理由見解析；(2)加=0或%=4.

【分析】(1)不是，利用因式分解法解一元二次方程可得出方程的兩個(gè)根分別為切=5,心=

-4,二者做差后可得出5-(-4)=9#2,進(jìn)而可得出方程--x-20=0不是“隔根方程”;

(2)利用因式分解法解一元二次方程可得出方程的兩個(gè)根分別為々=-1,x2=l-m,結(jié)合

關(guān)于x的方程/+妙葉〃?-1=0是“隔根方程”，可得出關(guān)于m的含絕對(duì)值符號(hào)的一元一次方

程，解之即可得出”的值.

【詳解】解：(1)不是，理由如下：

"X2-x-20=0,即(x-5)(x+4)=0,

■■xi—5,X2=-4.

?■?5-(-4)=9先，

二方程/-x-20=0不是“隔根方程”.

(2)'-x2+mx+m-1=0,即(x+1)[x+(w-1)]=0,

'?X1-1,X2~~1-加.

又???關(guān)于x的方程x2+mx+m-1=0是“隔根方程”，

.'.|1-m-(-1)|=2,

解得：加=0或加=4.

答案第9頁(yè)，共12頁(yè)

【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程，“隔根方程”的定義，理解題意是解題的關(guān)鍵.

24.(1)見解析；(2)y

【分析】(1)作CH1CD于H,如圖，根據(jù)垂徑定理得到AH=BH,利用等量減等

量差相等可得到結(jié)論；

(2)連接OC,如圖，設(shè)CH=x,利用勾股定理得到。82=℃2-CHX42

O^OA2-AH2=62-(3+x)2,則42--=62-(3+x)2,然后解方程求出x即可得到CD的

長(zhǎng).

【詳解】(1)作C〃1C。于〃，如圖，???O//1CD,：.CH=DH,AH=BH,

：.AH-CH=BH-DH,；.AC=BD；

(2)連接。C,如圖，設(shè)C"=x.在RtZkOC〃中，OgOC?-Cg42-x2.在RgON”中,

OH2=OA2-AH2=62