2024-2025學(xué)年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義：對數(shù)與對數(shù)函數(shù)（含新定義解答題）（學(xué)生版+解析）

第06講對數(shù)與對數(shù)函數(shù)（分層精練）

A夯實基礎(chǔ)B能力提升C綜合素養(yǎng)（新定義解答題）

A夯實基礎(chǔ)

一、單選題

1.（2024上?湖北荊門?高一統(tǒng)考期末）函數(shù)>='三的定義域為（）

lgx

A.（0,1]B.（0,1）

C.（1,+co）D.（0,1）（1,-Ko）

2.（2024上?安徽六安?高一六安一中?？计谀┰O(shè)a=log2（）.3,Z>=log030.2,c=sin37°,

則a,b,c之間的大小關(guān)系是（）

A.a>b>cB.b>a>cC.c>a>bD.b>c>a

3.（2024上?江蘇宿遷?高一統(tǒng)考期末）已知log23=a,2"=7,用a,6表示1。84256為（）

“6+33/7°b+3-3b

A.-----B.------C.----------D.---------

a+ba+ba+b+1a+Z?+l

4.（2024?陜西?校聯(lián)考模擬預(yù)測）某市政府為了增加農(nóng)民收入，決定對該市特色農(nóng)副產(chǎn)品的

科研創(chuàng)新和廣開銷售渠道加大投入，計劃逐年加大研發(fā)和宣傳資金投入.若該政府2021年全

年投入資金120萬元，在此基礎(chǔ)上，每年投入的資金比上一年增長12%,則該政府全年投

入的資金翻一番（2021年的兩倍）的年份是（）（參考數(shù)據(jù)：lgL1220.05,lg2=0.30）

A.2025年B.2026年C.2027年D.2028年

5.（2024上?湖南婁底?高一校考期末）已知函數(shù)〃對=想段三（無?2）是定義在（也6）的

奇函數(shù)，則4?的取值范圍為（）

A.（0,4]B.（0,4）C.（1,4]D.（1,4）

6.（2024上?湖南婁底?高一?？计谀┖瘮?shù)〃》）=1嗎（-/+4X+5）的單調(diào)遞增區(qū)間是（）

A.（9,2）B.（2,+8）C.（2,5）D.（-1,2）

7.（2024上?江蘇鹽城?高一校考期末）已知函數(shù)“尤）定義域為（0,y）,/■⑴=e,對任意的

士e（O,~K?）,當尤2>國時，有""）'（*）>J-若〃lna）>2e-alna,則實數(shù)。的

取值范圍是（）

A.（0,1）B.（l,e）C.(-00,eD.(e,+oo)

/、log/,尤>1

8.（2024下?重慶?高三重慶八中?？奸_學(xué)考試）已知函數(shù)〃元）=j（2；_i）x+4ax<l在R上

為減函數(shù)，則實數(shù)。的取值范圍是（）

二、多選題

9.（2024上?陜西商洛?高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)/。）=1。82。蛆-7）在［3,4］上單調(diào)遞增，則

m的取值可能為（）

A.1B.2C.4D.5

10.（2024上?湖南衡陽?高一統(tǒng)考期末）下列計算正確的是（）

1

A.log35-log53=l(16%觸41=2x2y(x<0,y<0)

Ig2lg5-lg8

C.log^5=log25+=1

3lg50-lg40

三、填空題

11.（2024上?山西長治?高一校聯(lián)考期末）已知函數(shù)〃耳二1。83（-爐+4%+a-1）的最大值

為2,貝Ua=.

［（a—V）x+a,x>2

12.（2024上?湖南常德?高一常德市一中?？计谀┮阎瘮?shù)/（》）=/八?°是

（1,內(nèi)）上的減函數(shù)，則實數(shù)。的取值范圍是.

四、解答題

13.（2024上?云南昭通,高一昭通市第一中學(xué)校聯(lián)考期末）化簡求值:

!21

（1）0.0273-（兀一膏。+?+0.495；

(2)|lgl25+1lg4+lg5/0?T+e』2+lOg29xlog316.

1.（2024.遼寧?校聯(lián)考一模）設(shè)〃_潢，）=/，。=%，則（）

a—匕1010

A.a<b<cB.c<b<aC.b<c<aD.a<c<b

2.（2024上?江西南昌?高一校聯(lián)考期末）如圖，指數(shù)函數(shù)>=優(yōu),〉=///=8工（。/62與直

線>1）分別交于點A,B,C,若A,B,C的橫坐標分別為滿足,+工=工，

mnCD

貝ijq=,b=.

3.（2024上,湖南婁底?高一統(tǒng)考期末）設(shè)函數(shù)了。）的定義域為。，若滿足：①在。內(nèi)

是單調(diào)增函數(shù)；②存在加,川=￡）（〃>%）,使得/（X）在[見川上的值域為阿,川，那么就稱

y=/（元）是定義域為。的"成功函數(shù)”.若函數(shù)g（x）=iog.（產(chǎn)+）（。>0且"1）是定義域為

R的"成功函數(shù)"，則t的取值范圍是.

4.（2024上?河南駐馬店?高一統(tǒng)考期末）已知定義在R上的函數(shù)〃x）=log2（2*+l）+伙+：l）x,

且/（x）-x是偶函數(shù).

⑴求〃尤）的解析式；

（2）當xe[—3,0]時，記/1（x）的最大值為A1.g（x）=x2-2/TZX+2,若存在xe[2,4],使

g（x）<M,求實數(shù)機的取值范圍.

5.（2024上?浙江嘉興?高一統(tǒng)考期末）噪聲污染問題越來越受到人們的重視.我們常用聲

壓與聲壓級來度量聲音的強弱，其中聲壓P（單位：Pa）是指聲波通過介質(zhì)傳播時，由振

動帶來的壓強變化；而聲壓級4（單位：dB）是一個相對的物理量，并定義4=20xlg‘，

Po

其中常數(shù)P。為聽覺下限閾值，且p°=2xl0-5pa.

（1）已知某人正常說話時聲壓"的范圍是0.002Pa?0.02Pa,求聲壓級）的取值范圍；

⑵當幾個聲源同時存在并疊加時，所產(chǎn)生的總聲壓P為各聲源聲壓口?=1,2,3,,〃）的平方

和的算術(shù)平方根，即p=dp；+P；+P；++P：.現(xiàn)有10輛聲壓級均為80dB的卡車同時

同地啟動并原地急速，試問這10輛車產(chǎn)生的噪聲聲壓級％是多少？

C綜合素養(yǎng)

6.（2024上?四川宜賓?高一統(tǒng)考期末）對于函數(shù)y=〃x）,xeD,若存在使得

則稱函數(shù)/（x）為"不動點”函數(shù)，其中X。是“X）的一個不動點；若存在無oeD,

使得=則稱函數(shù)“X）為"次不動點"函數(shù)，其中與是〃尤）的一個次不動點.

⑴判斷函數(shù)/（x）=3-Inx是否為不動點函數(shù)，并說明理由；

⑵若函數(shù)=題2（4,+4-，+2-*-6）在區(qū)間［0內(nèi)上有且僅有兩個不同的不動點和一個次

不動點，求實數(shù)b的取值范圍.

7.（2024上?上海奉賢,高一統(tǒng)考期末）定義:給定函數(shù)y=，若存在實數(shù)機、〃，當/（I-x）、

/（X+1）、/⑺有意義時,/（I—尤）+〃礦（尤+l）=W（x）總成立，則稱函數(shù)y=/（x）具有"m*"性

質(zhì)”.

（1）判別函數(shù)y=2尤-3是否具有"m*〃性質(zhì)"，若是，寫出小、〃的值，若不是，說明理由；

⑵求證：函數(shù)y=log?%（a>0且"1）不具有"加*"性質(zhì)”；

⑶設(shè)定義域為R的奇函數(shù)y=/（x）具有"1*0性質(zhì)"，且當xe（o,l]時，

-2x,xe|0,—

/、I2

〃X）=（丁若對尤C[-4,4],函數(shù)y=f（x）Tx有5個零點，求實

-l+71-4（x-l）2,xe

數(shù)t的取值范圍.

第06講對數(shù)與對數(shù)函數(shù)（分層精練）

A夯實基礎(chǔ)B能力提升C綜合素養(yǎng)（新定義解答題）

A夯實基礎(chǔ)

一、單選題

1.（2024上?湖北荊門?高一統(tǒng)考期末）函數(shù)y=Y三的定義域為（）

lgx

A.（0,1]B.（0,1）

C.（l,+oo）D.（O,l）_（l,-H?）

【答案】B

【分析】根據(jù)函數(shù)的解析式有意義，列出不等式求解可得函數(shù)的定義域.

l-x>0

【詳解】由=>0<x<l.

xwl

所以函數(shù)的定義域為：（0,1）

故選：B

2.（2024上?安徽六安?高一六安一中校考期末）設(shè)a=log2（）.3,b=log030.2,c=sin37。,

則a,b,c之間的大小關(guān)系是（）

A.a>b>cB.b>a>cC.c>a>bD.b>c>a

【答案】D

【分析】通過三個數(shù)與0,1的關(guān)系即可解出.

【詳解】由題意，?=log20.3<log2l=0,^=log030.2>log030.3=l,

0<c=sin370<sin450<l,

a<0<c<l<b.

故選：D.

3.（2024上?江蘇宿遷?高一統(tǒng)考期末）已知log23=a,2"=7,用a,6表示現(xiàn)4256為（）

?b+33b-b+3-3b

A.---B.----C.-------D.

a+ba+ba+b+1a+b+1

【答案】C

【分析】由于=7指對互化得6=log?7,再把log4256利用換底公式計算可得答案.

【詳解】因為2"=7,所以6=logz7,

log256_log27+log28_log27+31og22

log4256=

log,42log,7+log26log27+log,2+log,3

b+3

Z?+a+1

故選：C.

4.（2024?陜西?校聯(lián)考模擬預(yù)測）某市政府為了增加農(nóng)民收入，決定對該市特色農(nóng)副產(chǎn)品的

科研創(chuàng)新和廣開銷售渠道加大投入，計劃逐年加大研發(fā)和宣傳資金投入.若該政府2021年全

年投入資金120萬元，在此基礎(chǔ)上，每年投入的資金比上一年增長12%,則該政府全年投

入的資金翻一番（2021年的兩倍）的年份是（）（參考數(shù)據(jù)：0.12=0.05,坨2。0.30）

A.2025年B.2026年C.2027年D.2028年

【答案】C

【分析】設(shè)再過〃年，該政府全年投入的資金翻一番，則（1+12%），=2,結(jié)合指對互化及對

數(shù)換底公式計算即可.

【詳解】設(shè)再過〃年，該政府全年投入的資金翻一番，貝lJ120x（l+12%）"=2xl20,

1g20.3,

即〃=logLi22=?-----=o

lgl.120.05

所以該政府全年投入的資金翻一番的年份是2021+6=2027年.

故選：C.

5.（2024上?湖南婁底?高一?？计谀┮阎瘮?shù)“力=坨分（元大-2）是定義在（-6,6）的

奇函數(shù)，則4的取值范圍為（）

A.（0,4]B.（0,4）C.（1,4]D.（1,4）

【答案】C

【分析】由函數(shù)為奇函數(shù)/（0）=0求出。的值，由函數(shù)有意義的條件求出6的取值范圍，即

可求的取值范圍.

【詳解】函數(shù)"X）=lg品（無力-2）是定義在（-9）的奇函數(shù)，

則有/（。）=想5=0,解得a=2,

即〃x）=lg汴，〃力有意義，*>0,解得一2<尤<2,

乙十X乙十X

所以有0<bW2,

此時/（_x）=lg==lg1=丫=-lg==-〃x）,滿足在（-6力）上為奇函數(shù),

由0<642,所以4=2展（1,4].

故選：c.

6.(2024上?湖南婁底?高一?？计谀?函數(shù)〃%)=1嗎(-/+4X+5)的單調(diào)遞增區(qū)間是()

A.(一s,2)B.(2,+s)C.(2,5)D.(-1,2)

【答案】D

【分析】由對數(shù)函數(shù)單調(diào)性、二次函數(shù)單調(diào)性以及復(fù)合函數(shù)單調(diào)性列出不等式組即可求解.

22+9>0

【詳解】Efe/(^)=log2(-^+4x+5)=log2[-(x-2)+9],令[fj),

解得—1<x<2,即函數(shù)〃x)=log?(-/+4x+5)的單調(diào)遞增區(qū)間是(-1,2).

故選：D.

7.(2024上?江蘇鹽城?高一?？计谀?已知函數(shù)/(X)定義域為(0,y),7?⑴=e,對任意的

G(0,-K?),當馬>國時，有“*)'.)>￡一——y(lna)>2e-olno,則實數(shù)。的

取值范圍是()

A.(0,1)B.(l,e)C.(ro,e)D.(e,+co)

【答案】B

【分析】根據(jù)題意，由條件可得〃%)+-為爐>/(%)+濟爸，構(gòu)造函數(shù)g(x)=〃x)+xe',

即可得到函數(shù)g(無)在(0,+向上單調(diào)遞增，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性求解不等式，即可得到結(jié)果.

【詳解】由題意可知，當%>*>0時，有"占)-

%/MX2

1

即〃玉)—)>書范一書為，即〃占)+占e'>f(x2)+々e”,

令g(x)=f(x)+xe”,則當％>為>。時，g(xj>g(x2),

則函數(shù)g(無)在(0,+8)上單調(diào)遞減，

由/(1)=e,f(Ina)>2e-alna可得/(lna)+(lna)xein">/(l)+lxe',

即g(lna)>g(l),所以0<lna<l,解得l<a<e,

即實數(shù)〃的取值范圍是(Le).

故選：B

,、｛\ogx,x>l

8.(2024下?重慶?高三重慶八中校考開學(xué)考試)已知函數(shù)〃尤)=|僅；_1)尤+4"工<1在R上

為減函數(shù)，則實數(shù)。的取值范圍是()

【答案】D

【分析】根據(jù)分段函數(shù)單調(diào)性以及對數(shù)函數(shù)性質(zhì)列式求解.

0<a<1

【詳解】由題意可得：2°-1<0,解得

,.、c62

所以實數(shù)。的取值范圍是-

1_62；

故選：D.

二、多選題

9.（2024上?陜西商洛?高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)/。）=叫2（蛆-7）在［3,4］上單調(diào)遞增，則

m的取值可能為（）

A.1B.2C.4D.5

【答案】CD

【分析】結(jié)合對數(shù)函數(shù)及復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，列出不等式組求解即可.

【詳解】解：因為函數(shù)，=log2》在（0，+s）上單調(diào)遞增，

所以函數(shù),=小-7在［3,4］上單調(diào)遞增,

m>07

解得-

3m—7>0

故選：CD.

10.（2024上,湖南衡陽?高一統(tǒng)考期末）下列計算正確的是（）

A.log351og53=lB.(16%8y4)Z=2%2y(x<0,y<0)

D.lg2+lg5-lg8=l

C.%5=1隰25

lg50-lg40

【答案】ACD

【分析】借助指數(shù)暴與對數(shù)的運算法則逐項計算即可得.

【詳解】對A：log35-log53=log35--I―=1,故A正確;

■5

對B：由x<0,y<。，故06xy):=2x2(_y)=_2x2y，故B錯誤;

lo

對C：g^35=log,5=21og35=log325；故c正確;

32

,2x5?5

對故D正確.

50一5'

lg40lg4

故選：ACD.

三、填空題

11.（2024上?山西長治?高一校聯(lián)考期末）已知函數(shù)/（*）=1。83（-/+4*+。-1）的最大值

為2,則”.

【答案】6

【分析】根據(jù)二次函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)計算可得.

【詳解】因為函數(shù)〃x）=log3（-x2+4x+。-1）由y=log3f,f>。與/=-/+4.￥+4-1復(fù)合而

成，

而y=iog3f在定義域上單調(diào)遞增，所以當/=-尤2+4了+°-1取最大值時，函數(shù)y=iog3/取得

最大值,

由二次函數(shù)的性質(zhì)易知當X=2時，*x=。+3,此時/（X）1mx=log3（a+3）,所以log3（a+3）=2,

解得a-6.

故答案為：6

l（a—l）x+a,x>2

12.（2024上?湖南常德?高一常德市一中?？计谀┮阎瘮?shù)〃無）=/八；c是

（L+8）上的減函數(shù)，則實數(shù)。的取值范圍是.

【答案】吊

【分析】根據(jù)題意，結(jié)合分段函數(shù)的單調(diào)性的判定法，以及一次函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，列

出不等式組，即可求解.

\（a—V）x+ax>2

【詳解】因為/（%）=（/…9。是（1,y）上的減函數(shù)，

[log/x-l）,l<x<2

6Z-1<0

2

所以0<。<1,解得

2（〃-1）+〃<logfl1

所以實數(shù)〃的取值范圍為,

故答案為：]。，|,

四、解答題

13.（2024上?云南昭通?高一昭通市第一中學(xué)校聯(lián)考期末）化簡求值:

1_3I

（i）0.0275一（兀_4）。+?+0.495；

（2）|lgl25+1lg4+1g痂+e/2+log29xlog3l6.

【答案】⑴8

（2）9

【分析】（1）根據(jù)指數(shù)分數(shù)累的運算可得答案；

（2）根據(jù)對數(shù)的運算性質(zhì)可得答案.

、111

5

【詳解】（1）0.027+16^+0,492

j_3］_

342i

=［（0.3）J-l+［（2）J+［（0.7）］

=0.3—1+8+0.7=8；

（2）|lgl25+1lg4+IgVoI+e』2+iOg29xlog316

=lg5+lg2+8

=9.

14.（2024上?安徽安慶?高一統(tǒng)考期末）茶是中華民族的舉國之飲，發(fā)于神農(nóng)，聞于魯周公，

始于唐朝，興于宋代，中國茶文化起源久遠，歷史悠久，文化底蘊深厚，是我國文化中的一

朵奇葩！我國人民歷來就有"客來敬茶”的習(xí)慣，這充分反映出中華民族的文明和禮貌.立德

中學(xué)利用課余時間開設(shè)了活動探究課《中國茶文化》，小明同學(xué)用沸水泡了一杯茶，泡好后

置于室內(nèi)，開始時測得這杯茶的溫度為100℃,經(jīng)過1分鐘測得其溫度變?yōu)?0℃,再經(jīng)過1

分鐘測得其溫度變?yōu)?5℃.小明想利用上述數(shù)據(jù)建立這杯茶的溫度y（單位：°C）隨經(jīng)過的

時間，（單位：分鐘）的函數(shù)關(guān)系式，選用了兩種函數(shù)模型：

@y=a-b'+c（a,b,c為常數(shù)，。＞0且1）；

（2）y=pt2+qt+r（"4/為常數(shù)，pwO）.

（1）請通過計算幫小明同學(xué)選出恰當?shù)暮瘮?shù)模型；

⑵現(xiàn)代研究結(jié)果顯示，飲茶溫度不要超過60℃,請利用（1）中選出的模型該杯茶泡好后到

適宜飲用至少需要等待多長時間？（參考數(shù)據(jù)：怛2。0.30,lg3。0.48）

【答案】（l）y=80x1j+20/20

（2）2.5分鐘

【分析】（1）分別代入"01=1/=2得到函數(shù)模型，結(jié)合生活實際進行判斷即可;

（2）根據(jù)（1）求出的函數(shù)模型解不等式即可.

a=80

a-b0+c=100,

3

【詳解】(1)若選用①，根據(jù)條件可得?加+c=80,解得W,

4

a-b2+c=65,

c=20

3

所以y=80x+20,^>0.

此時，y隨著/的增大而減小，符合生活實際;

r=100

r=100,

5

若選用②，根據(jù)條件可得P+4+-80,,解得<p=-

2

4P+2q+r=65,

45

q=F

545

所以^=5/-萬,+10012().

又竺/+100=90_21+竺，當d]時，y隨著/的增大而增大，不符合生活實

22212)82

際，應(yīng)舍去.

所以該函數(shù)模型為y=80x(j

+20,120.

(2)由(1),令y=80xgj+20<60,

于是兩邊取常用對數(shù)得Hg^Wlgg，又坨：＜坨1=°，

故目

-lg2_1g20.30

=2.5,

Ig3-lg4-21g2-lg32x0.30-0.48

叼

所以該杯茶泡好后到適宜飲用至少需要等待2.5分鐘.

15.(2024上?福建福州?高一統(tǒng)考期末)已知函數(shù)〃%)=log2行為奇函數(shù),

g(x)=m-4x-2x+2+l.

(1)求實數(shù)。的值；

⑵％3X2G[0,1),使得g(%)=〃％),求實數(shù)機的取值范圍.

【答案】⑴1

【分析】(1)由奇函數(shù)的性質(zhì)得恒等式，解出參數(shù)并檢驗即可得解.

(2)首先得M=N=(-8,0］,進一步通過換元，并對機進行分類討論即可得解.

【詳解】(1)因為“X)是奇函數(shù)，所以〃f)+〃x)=O,

a+x[a-x八

BRPnilog-——+log-——=0,

21—x1+x2

整理得?！?1一已

所以=1.

解得a=±l,

/7—Y

當4=—l時，--=-l＜0,舍去，

1+X

當1=1時，函數(shù)/(九)的定義域為(-1,1),符合題意.

所以。=1.

根據(jù)題意可得，MjN.

由(1)矢口/(1)=l°g2"；=1°§2|+；]，

1+X11+X)

當xe[O,l)時，+故N=(YO,0].

g(x)=%⑷-2X+2+l=m.(2v)2-4.2v+l,

設(shè)”23函數(shù)〃?)=加2-4/+1,re[1,2].

①當切=0時，h(t)=-4t+l,可得111ax=/7(l)=-3W0,符合題意;

②當WIN。時，h(t}=m[t-r-\+1-3,力(。圖象的對稱軸為f=2.

\m)mm

2

(i)當機＜0時，對稱軸￡=一＜0,

m

所以〃⑺在區(qū)間[1,2]上單調(diào)遞減，故[〃⑺11ax=〃⑴=租一3,

由A/qN,得加一3K0,即機《3,

所以相＜0；

(ii)當機＞0時，

9Q4

若獲V］，即時，［〃(川2=刈2)=4〃-7,

由得4力2-7W0,

47

所以§4加41；

若工,即。＜加《時，［2)二*=項)=*3,

由MqN,得機一3<0,

4

所以0<根<§；

綜上所述，加的取值范圍是，叫:.

B能力提升

1.(2024?遼寧?校聯(lián)考一模)設(shè).一小，1庶，。=陪，則()

a-c1010

A.a<b<cB.c<b<aC.b<c<aD.a<c<b

【答案】B

【分析】由題意可得a>l,b<l,c<l,即可得”>6,a>c,再比較6與c的大小關(guān)系，

借助對數(shù)運算轉(zhuǎn)化為比較(1.1),與2的大小關(guān)系，結(jié)合放縮計算即可得.

【詳解】rz_J>eo_p6=ln2<l,。=器<1,故a>6,a>c,

a-Q-iio10

要比較In?與喂的大小，即比較Inf—T與In2.2的大小，

ioioUoJ

等價于比較(L『°與2.2的大小，等價于比較(1.1)9與2的大小，

X(l.l)9=l.lx(l.l)8=l.lx(1.21)4>l.lx(1.2)4

=l.lx(1.44)2>l.lx(1.4)2=l.lxl.96>2,

故(1.1)9>2,即即6>c,

故c<b<a.

故選：B.

【點睛】關(guān)鍵點點睛:本題關(guān)鍵在于比較b與c的大小關(guān)系，可借助對數(shù)運算轉(zhuǎn)化為比較(1.1)9

與2的大小關(guān)系，再借助放縮幫助運算即可得.

2.(2024上?江西南昌?高一校聯(lián)考期末)如圖，指數(shù)函數(shù)>=優(yōu),y=6',y=8'(a,6eN)與直

線丫=左(左>1)分別交于點4B,C,若A,B,C的橫坐標分別為nv?，。，滿足工+工=工，

mnco

則〃=,b=.

【答案】24

【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的定義，求出九根據(jù),得出/的值，再結(jié)

mnco

合題意求出a/的值.

【詳解】由題意知a'"=6"=8"=上，

所以根=log”左，n=log^k,co=log8k,

所以工=logt<7,-=log^b,-=logA.8,

mna）

l1且111

因為—I--二—,

mnco

所以log&Q+log*=logk8,即而=8,

又因為。均不為1且左>1,a<b,

所以a=2,b=4.

故答案為：2；4

3.（2024上?湖南婁底?高一統(tǒng)考期末）設(shè)函數(shù)/（九）的定義域為O,若滿足：①/J）在。內(nèi)

是單調(diào)增函數(shù)；②存在［九川口￡）（〃>根），使得/（九）在［九網(wǎng)上的值域為［m,川，那么就稱

、=/（尤）是定義域為。的"成功函數(shù)”.若函數(shù)g（x）=log“（a"+）（。>0且awl）是定義域為

R的"成功函數(shù)"，則t的取值范圍是.

【答案】0<?<|

【分析】先根據(jù)對數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求得t>0,然后根據(jù)"成功函數(shù)"的定義列方程，從

而轉(zhuǎn)化為二次方程有兩正根的問題，利用二次函數(shù)根的分布列不等式求解即可.

【詳解】依題意，函數(shù)g（x）=log.（（。>0且awl）在定義域R上為單調(diào)遞增函數(shù)，

則讓0,

而1=0時，g（X>=2無不滿足條件②，所以1>0,

設(shè)存在［小〃］,使得g（x）在［加,"］上的值域為［加,"］，

時Jl°g"（*+'）='"即'

所以J\,即，2〃

log。（/?"+/）=〃+t=a

所以用，〃是方程（"）2-/+/=0的兩個不等的實根，設(shè)》="，貝|>>0,

所以方程等價為丁—y+/=0的有兩個不等的正實根，

A=l-4^>0r1

t<—1

即％%="。，所以4,解得0</<；

4

%+%=1>。匕>0

故答案為：。</<：

4

l

4.（2024上?河南駐馬店?高一統(tǒng)考期末）己知定義在R上的函數(shù)/⑺=log2（2+l）+（^+l）x,

且/（x）-x是偶函數(shù).

（1）求〃尤）的解析式；

⑵當3,0]時，記/（X）的最大值為A/.g（x）^jc-2mx+2,若存在無目2,4],使

g（x）<M,求實數(shù)〃，的取值范圍.

【答案】⑴〃x）=log2（2，+l）+；x

⑵加2：

【分析】（1）令/?（x）="x）-x=log2（2，+l）+丘，結(jié)合偶函數(shù)的定義計算即可；

（2）借助函數(shù)的單調(diào)性求出“力的最大值為V,再對尤2一2,秋+241進行參變分離求出最

值即可.

【詳解】（1）記/?（x）=〃x）-x=log2（2"+l）+fcv,

〃x）—X為偶函數(shù)，.?/（一力=/7（%）恒成立，

A

即log2Qr+1）-履=log2（2+l）+fcc恒成立,

-log

log22（2*+1）=2依恒成立，

.?.k>g2[/]=2區(qū)恒成立，即-x=2Ax恒成立，

x

.-./(x)=log2(2+l)+1x.

(2),二，=1。82(2*+1)和〉=；》都是單調(diào)遞增函數(shù),

.?/W=log2(2,+1)+gx在［-3,0］是單調(diào)遞增的，

.-.M=f(O)=l,

.,./_2鵬+2<1在工€［2,4］上有解,

7+在無42,4]上有解,

2m2x+—在xe[2,4]上有解，

.y=x+g在[2,4]上單調(diào)遞增，

/.2m>——.

24

5.（2024上?浙江嘉興?高一統(tǒng)考期末）噪聲污染問題越來越受到人們的重視.我們常用聲

壓與聲壓級來度量聲音的強弱，其中聲壓P（單位：Pa）是指聲波通過介質(zhì)傳播時，由振

動帶來的壓強變化；而聲壓級4（單位：dB）是一個相對的物理量，并定義4=20xlg‘，

Po

其中常數(shù)P。為聽覺下限閾值，且p°=2xl0-5pa.

（1）已知某人正常說話時聲壓"的范圍是0.002Pa?0.02Pa,求聲壓級4的取值范圍；

（2）當幾個聲源同時存在并疊加時，所產(chǎn)生的總聲壓P為各聲源聲壓口?=1,2,3,,〃）的平方

和的算術(shù)平方根，即p=加；+p；+1++pj.現(xiàn)有10輛聲壓級均為80dB的卡車同時

同地啟動并原地急速，試問這10輛車產(chǎn)生的噪聲聲壓級4是多少？

【答案】（1也目40,60]dB

⑵4=90（dB）

【分析】（1）因為金是關(guān)于。的增函數(shù)結(jié)合聲壓。的范圍是0.002Pa?O.O2Pa,即可得出

答案；

（2）由題意可得出80=20xlg&求出2,代入可求出總聲壓乙再代入4=20xlg二,

PoPo

求解即可.

【詳解】（1）當p=0.002=2xl0-3pa時，=20x1g2x10'=40dB；

P32x10-5

2xl

當p=0.02=2xl0-2pa時，Lp=20xlg0~=60dB；

P2x10-5

因為（是關(guān)于。的增函數(shù)，

所以正常說話時聲壓級Le[40,60]dB.

4

(2)由題意得：80=20x1gAp.=Pox10(Pa)(其中i=l,2,3,,10)

Po

4

總聲壓：p=Jp：+p[+—+pXQ=ViOpoX10(Pa)

Lp=20xlg2~=20xlg^P°X1°4=20x(4+lgy/10)=90(dB)

PoPoV'

故這10輛車產(chǎn)生的噪聲聲壓級Lp=90(dB).

C綜合素養(yǎng)

6.(2024上?四川宜賓?高一統(tǒng)考期末)對于函數(shù)y=〃x),x&D,若存在七e。，使得

則稱函數(shù)/(X)為"不動點”函數(shù)，其中/是7(x)的一個不動點；若存在

使得了(%)=-x。，則稱函數(shù)f(x)為“次不動點”函數(shù)，其中%是/(尤)的一個次不動點.

(1)判斷函數(shù)/(x)=3-Inx是否為不動點函數(shù)，并說明理由；

經(jīng)檢驗》=2滿足4*+4-r+2一*->0在區(qū)間［0,1］上恒成立，

所以實數(shù)b的取值范圍為{2}.

【點睛】關(guān)鍵點點睛：第(1)問中，根據(jù)"不動點”函數(shù)的概念，問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)

g(x)=lnx+x-3(x>0)有零點的問題是關(guān)鍵，再利用零點的存在性定理進行判斷；

第(2)問中，利用換元的思想，把問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在給定的區(qū)間上一個函數(shù)值可以有

兩個和一個自變量與之對應(yīng)的問題，是解決問題的關(guān)鍵.

7.(2024上?上海奉賢,高一統(tǒng)考期末)定義:給定函數(shù)>=f(x)，若存在實數(shù)"z、"，當"l-x)、

/(X+1)、/(x)有意義時，/(I一尤)+〃礦(尤+l)=W(x)總成立，則稱函數(shù)y=/(x)具有"機*〃性

質(zhì)”.

(1)判別函數(shù)y=2x-3是否具有"〃?*〃性質(zhì)”，若是，寫出機、〃的值，若不是,說