河南省濮陽市2025屆高三9月質(zhì)量檢測考試數(shù)學(xué)試題（含答案解析）

河南省濮陽市2025屆高三9月質(zhì)量檢測考試數(shù)學(xué)試題

學(xué)校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.已知z=2+4i,i為虛數(shù)單位，I為z的共軟復(fù)數(shù)，則()

A.V17B.4C.3D.V15

2.已知集合"=卜廿=1%卜+2)<2｝,N=｛小=2024，｝,則()

A.(-2,7)B.(-2,3)C.(0,7)D.(7,+s)

3.半徑為4的實(shí)心球a與半徑為2的實(shí)心球儀體積之差的絕對值為()

224215

A.-----兀B.76兀C.75兀D.------兀

33

4.已知向量a=(l,54+4),1=(2+4,8),其中若Z//知?jiǎng)t〃(4+3)=()

A.40B.48C.51D.62

4

5.已知V/BC的內(nèi)角4,B,C的對邊a,b,c成等差數(shù)列，且。。=20,cos5=y,貝1)6=

()

A.5B.2A/6C.4D.3

6.已知點(diǎn)《20+1,30+J在拋物線C：/=2加(p>0)上，則。的焦點(diǎn)與點(diǎn)(1,2)之間的距

離為()

A.4B.V5C.2D.

a

-1

.I

7.已知a,beR且bwO,—w-1,sina=—―，則工()

ba+1b

~b

卜1-cosa(兀}1-sincr2f7ia

A.B.tan---FClD.tan—i—

1+cosa14}1+sina(42

8.已知當(dāng)x>0時(shí)，eM-xlnx*恒成立，則實(shí)數(shù)。的取值范圍為()

A.(-℃,1]B.(I,e2]C.(-oo,2]D.[e,+oo)

二、多選題

試卷第1頁，共4頁

9.已知直線^=尤與圓。:一+/-2:^=4-〃/有兩個(gè)交點(diǎn)，則整數(shù)機(jī)的可能取值有()

A.0B.-3C.1D.3

10.已知函數(shù)f(x)=log*(x+l),則下列說法正確的有()

A./(X)的定義域?yàn)?0,+8)B./(x)=2有解

C./(x)不存在極值點(diǎn)D./(x)>/(x+l)(x>l)

11.北京時(shí)間2024年8月12日凌晨，第33屆法國巴黎奧運(yùn)會(huì)閉幕式正式舉行，中國體育

代表團(tuán)以出色的表現(xiàn)再次證明了自己的實(shí)力，最終取得了40枚金牌、27枚銀牌和24枚銅

牌的最佳境外參賽成績，也向世界展示了中國體育的蓬勃發(fā)展和運(yùn)動(dòng)員們頑強(qiáng)拼搏的精神.

某校社團(tuán)為發(fā)揚(yáng)奧運(yùn)體育精神舉辦了競技比賽，此比賽共有5名同學(xué)參加，賽后經(jīng)數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)

得到該5名同學(xué)在此次比賽中所得成績的平均數(shù)為8,方差為4,比賽成績xe[0,15],且xeN*,

則該5名同學(xué)中比賽成績的最高分可能為()

A.13B.12C.11D.10

三、填空題

12.曲線y=/ei一1在點(diǎn)(1,0)處的切線方程為.

13.3?。被10除的余數(shù)為.

14.在△44。中，若N、,月三點(diǎn)分別在邊4片，B￡,CM上(均不在端點(diǎn)上)，則

△4M4，"MN，△GM月的外接圓交于一點(diǎn)。，稱為密克點(diǎn).在梯形/BCD中，

ZS=ZC=60°,48=2/0=2,M為CD的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)尸在3C邊上(不包含端點(diǎn))，AABP

與！CW的外接圓交于點(diǎn)0(異于點(diǎn)尸)，則2。的最小值為.

四、解答題

15.已知橢圓C：/+/=1(。>6>0)的焦距為20，離心率為當(dāng).

(1)求C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

⑵若《-別，直線/：x=)+|(/>o)交橢圓c于￡,尸兩點(diǎn)，且△的'的面積為半,

求t的值.

試卷第2頁，共4頁

16.交通強(qiáng)國，鐵路先行，每年我國鐵路部門都會(huì)根據(jù)運(yùn)輸需求進(jìn)行鐵路調(diào)圖，一鐵路線/

上有自東向西依次編號為1,2,21的21個(gè)車站.

(1)為調(diào)查乘客對調(diào)圖的滿意度，在編號為10和11兩個(gè)站點(diǎn)多次乘坐列車P的旅客中，隨

機(jī)抽取100名旅客，得出數(shù)據(jù)(不完整)如下表所示:

車站編號滿意不滿意合計(jì)

102840

113

合計(jì)85

完善表格數(shù)據(jù)并計(jì)算分析：依據(jù)小概率值a=0.001的獨(dú)立性檢驗(yàn)，在這兩個(gè)車站中，能否

認(rèn)為旅客滿意程度與車站編號有關(guān)聯(lián)？

(2)根據(jù)以往調(diào)圖經(jīng)驗(yàn)，列車尸在編號為8至14的終到站每次調(diào)圖時(shí)有g(shù)的概率改為當(dāng)前終

到站的西側(cè)一站，有:的概率改為當(dāng)前終到站的東側(cè)一站，每次調(diào)圖之間相互獨(dú)立.已知原

定終到站編號為11的列車P經(jīng)歷了3次調(diào)圖，第3次調(diào)圖后的終到站編號記為X,求X的

分布列及均值.

附：八"(ad-bcf

其中n=a+b+c+d.

a0.10.010.001

%2.7066.63510.828

17.如圖，四棱錐P-/8CD的底面為平行四邊形，且/P=CP,BP=DP.

(1)僅用無刻度直尺作出四棱錐尸-的高物，寫出作圖過程并證明；

⑵若平面R13_L平面PCD,平面尸4D_L平面P8C,證明：四邊形4BCZ)是菱形.

試卷第3頁，共4頁

18.己知/'(x)=lno).

⑴證明：/(x)是奇函數(shù);

(2)若/(西)=〃工2)(玉<°<》2)，證明/(x)在(。,+°°)上有一個(gè)零點(diǎn)看,且修《三

19.對于一個(gè)正項(xiàng)數(shù)列｛%｝,若存在一正實(shí)數(shù)使得且"22,有

al+a2+---+an_l>Aan,我們就稱｛?！埃?I-有限數(shù)列.

⑴若數(shù)列｛氏｝滿足%=1,七=1,%=%+《&心3),證明：數(shù)列應(yīng)｝為1-有限數(shù)列;

⑵若數(shù)列｛叫是X-有限數(shù)列，3M>0,使得且"22,an<M,證明：

11rf11]

1-\qQ]M(%Q]+%---,

試卷第4頁，共4頁

參考答案:

題號12345678910

答案ACACBDDAACBCD

題號11

答案BC

1.A

【分析】求出胃后根據(jù)模長公式可求模長.

【詳解】由題設(shè)有I=2-4i，故三-l=l-4i，故==g,

故選：A.

2.C

【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)單調(diào)性及指數(shù)函數(shù)值域求出集合，再應(yīng)用交集計(jì)算即可.

【詳解】因?yàn)閎g3(x+2)<2,所以0cX+2<32,-2<X<7,

所以W=(—2,7),

因?yàn)榱?2024,>0,所以N=(0,+oo),

所以McN=(O,7).

故選：C.

3.A

【分析】先由已知條件和球的體積公式分別直接計(jì)算出實(shí)心球Q和實(shí)心球&的體積，再用

大實(shí)心球體積減去小實(shí)心球體積即可得解.

【詳解】由題意可知實(shí)心球已體積為:兀，4=竽兀，實(shí)心球Q體積為g兀*23=三兀，

所以實(shí)心球a與實(shí)心球Q體積之差的絕對值為學(xué)”與兀=咎兀.

故選：A.

4.C

【分析】依據(jù)題意以及向量平行的坐標(biāo)表示列式可求出力,進(jìn)而可求出［和B，再根據(jù)坐標(biāo)

表示的向量加法和數(shù)量積定義即可求解7(Z+可.

【詳解】因?yàn)?=(1,54+4),&=(2+2,8),且a/后，

所以(54+4乂2+彳)=1、8,解得力=0或一g,

答案第1頁，共15頁

又420,所以4=0,此時(shí)2=（1,4）,否=（2,8）,

所以Z+否=（3,12）,所以7口+3）=0,4｝（3,12）=1x3+4x12=51.

故選：C.

5.B

【分析】由題意可知：ac=20,2b=a+c,利用余弦定理運(yùn)算求解即可.

【詳解】由題意可知：ac=20,2b=a+c,

由余弦定理可得，b2=/+/-2accosB=+c『-2ac-2accosB,

4

即/=462—40—2乂20乂1=4/—72,解得6=2指.

故選：B.

6.D

【分析】根據(jù)A在拋物線上可求）的值，求出焦點(diǎn)坐標(biāo)后結(jié)合距離公式可得正確的選項(xiàng).

【詳解】因?yàn)锳在拋物線上，故（22+1）2=2。（3。+），

整理得到：4/+"+1=6/+|■即2/-?-1=0,

解得。=2或？=-；（舍），故焦點(diǎn)坐標(biāo)為（0,1）,

故所求距離為712+（2-1）2=V2,

故選：D.

7.D

tan——Fl

【分析】由題設(shè)可得J，結(jié)合二倍角的正弦及平方關(guān)系、商數(shù)關(guān)系可得=2

b1-sincrba1

tan-----1

最后利用兩角和的正切可得正確的選項(xiàng).

(V

.2a2ac.aaa

--1sin——I-cos——I-2sin—cos—sincos—

sina+1

【詳解】因?yàn)閟ina=j故六2222,__2_

a]b1-sina.2,2a個(gè)。a.aa

-+1sin——I-cos-----2sin—cos—sin——cos—

b2222I22)

aaaia兀

sm——bcos—tan——F1tan——Ftan-

而一^222—=-tan

aa1,a7i

sm-----cos—tan-----11-tan—tan-

22224

答案第2頁，共15頁

故選：D.

8.A

【分析】由當(dāng)x>0時(shí)，bn工一xlnxNa恒成立，貝1](/黑一工111%).>a,x>0,先利用導(dǎo)數(shù)工

具研究函數(shù)g(x)=xlnx,x>0的單調(diào)性，從而求出函數(shù)g(x)的值域?yàn)?：，+，]，進(jìn)而構(gòu)造

函數(shù)一：，”)，求出函數(shù)/⑺的最小值即為(e'M-xlnxL，進(jìn)而即可得解.

【詳解】令g(x)=xlnx,尤>0,則g[x)=lnx+l,

所以當(dāng)xe(0,1時(shí)，g，(x)<0,g(x)單調(diào)遞減；xeg,+"時(shí)，g((x)>0,g(x)單調(diào)遞

增，

所以8口焉=jn/=T，又Xf+8,g(X).+8,所以g(x)的值域?yàn)門，+°°]，

令f(t)=s-t,tc則/''(fAe'-l,

所以當(dāng)fe-：,0)時(shí)，/'⑺<0,/?)單調(diào)遞減，當(dāng)fe(O,+")時(shí)，r(/)>0,/⑺單調(diào)遞

增，

所以〃%,=〃°)=e°-0=1，所以(e^-xlnx)mm=l,x>0,

又當(dāng)x>0時(shí)，e"n'xlnx2a恒成立，所以(e*?*-尤Inx).>a,x>0,

故實(shí)數(shù)。的取值范圍為(-*1].

故選：A.

【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：恒成立求參問題通常轉(zhuǎn)化為最值問題，對“x>0時(shí)，e'x-xinxZa恒

Tlnx

成立”可轉(zhuǎn)化為“(e-xlnx)mm>a,x>0-,利用導(dǎo)數(shù)工具可求得函數(shù)g(x)=xIn無,x>0的值

域，從而函數(shù)/Oe'TJega)的最小值即為(eL-xlnxhjX〉。，故只需求出函數(shù)

eg(x)的最小值即可得解.

9.AC

【分析】利用圓心到直線的距離小于半徑可求參數(shù)的范圍，從而可得正確的選項(xiàng).

【詳解】圓。：/+/-2叩=4--即為：D:X1+=4,

答案第3頁，共15頁

故圓心。(0,加)，半徑為2,

Io-加|

因?yàn)橹本€〉=x與圓。有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，故〃=<2,

故-2世〈加<2夜，結(jié)合選項(xiàng)可知AC符合題意.

故選：AC.

10.BCD

【分析】對于A,由對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)即可求解定義域；對于B,根據(jù)對數(shù)與指數(shù)幕的關(guān)系由

/(無)=2得尤2=》+1,結(jié)合定義域解該方程即可得解；對于C,先求導(dǎo)函數(shù)

((尤)=-----/n2一:接著利用導(dǎo)數(shù)工具研究g(x)=Enx的性質(zhì)，于是得

y=(x+l)ln(x+l)圖象的性質(zhì)以及和g(無)圖象的關(guān)系特征，進(jìn)而得/'⑺無零點(diǎn)，即/(無)不

存在極值點(diǎn)；對于D,作差/(尤)-/(》+1)結(jié)合基本不等式判斷了(》)-/(尤+1)的正負(fù)即可

得解.

【詳解】對于A選項(xiàng)，由對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)知/(x)的定義域?yàn)?01)。(1,+8),故A錯(cuò)誤；

對于B選項(xiàng)，令log/x+l)=2,則Y=x+1,即Y_x_i=o,解得》=號1(舍去)或

x=l±2自，故B正確；

2

對于C選項(xiàng)，〃x)=log4+l)=l，；；l),則

Inxln(x+l)

Hxjlnx-(x+l)g+l),

In2xx(x+1)In2x

設(shè)函數(shù)g(x)=xlnx,則g[x)=lnx+l為增函數(shù)，令g[x)=O,解得x=g,

則時(shí)，g,(x)<0,g(x)單調(diào)遞減，時(shí)，gr(x)>0,g(x)單調(diào)遞增，

且在(0,1)上。(久)<0,

所以由圖象的性質(zhì)可知了=(x+l)ln(x+l)的圖象為g(x)的圖象向左平移一個(gè)單位長度得到,

且兩者無交點(diǎn)，

則f'(x)無零點(diǎn)，即/(力不存在極值點(diǎn)，故C正確；

對于D選項(xiàng)，因?yàn)?/p>

答案第4頁，共15頁

ln(x+l)ln(x+2)In2(x+l)-lnx-ln(x+2)

/(x)-/(x+1)=log(x+1)-logk+2)

xMInxln(x+l)lnx-ln(x+l)

j——]2i——]2

當(dāng)x>l時(shí)，lnx-ln(x+2)<爪1丁+2)<21n(^+1)=吩@+1),

故/(x)—/(x+l)>0即/(x)>/(x+l)(x>l)，故D正確.

故選：BCD.

11.BC

【分析】由題意結(jié)合平均數(shù)公式和方差公式得再+々+X3+%4+x5=*和

(再-8)+(工2-8)+(%3-8)+(14-8)+(%5-8)=20,對于A,檢驗(yàn)得

(再―8)+(x2—8)+(%3-8)+(x4—8)=—5不符合；對于BC,先求出

2222

-8)+(x2-8)+(x3-8)+(x4-8),接著舉一組符合比賽成績出來即可；對于D,先由

2222

已知得再+/+/+%4=30且(再一8)+(x2-8)+(X3-8)+(X4-8)=16,進(jìn)而得方程組

+x,+無+羽=30

2222?八無正整數(shù)解即可得解.

+芯+%；+%4=240

【詳解】設(shè)該5名同學(xué)在此次比賽中所得成績分別為占，0，/，匕，不，

由題得了=：(國++%3+)=8,

貝!J演+%+%3+%4+工5=40,

且§2=二[(/_8)+(x2—8)+(工3-8)+(匕—8)+(15—8)]=4,

則(芯—8)2+(%-8)2+(%3-8)2+(%4-8)2+(/~=2。，

不妨設(shè)退最大，

對于A選項(xiàng)，若丁=13,則(%1-8『+(%2-8)2+(%3-8『+(%4-8)2=-5不成立，故A錯(cuò)誤;

2

對于B選項(xiàng)，若毛=12,則($一8『+(%2-8『+(/一8)2+(x4-8)=4,

則滿足題意，例如5位同學(xué)的成績可為7,7,7,7,12,故B正確；

對于C選項(xiàng)，若％=11，貝!)(石—8)+(%2-8)+(%3-8)+(匕—8)=11，

則滿足題意，例如5位同學(xué)的成績可為5,7,8,9,11,故C正確；

對于D選項(xiàng)9若工5=1。，則再+工2+*3+*4=30且(%]—8)+(X2-8)+(%3_8)+(X4—=16,

答案第5頁，共15頁

貝UX；+X；+Xj+x4-16（玉+%2+工3+￡）+4x8?=16,

=>x；+x；+x；+x：=16(再+%2+、3+X4)—4x8?+16=16x30—4x8?+16=240,

比+x,+M+居=30

則可得；222?八，該方程組無正整數(shù)解，故D錯(cuò)誤.

國+芯+K+%4=240

故選：BC.

【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：先由題意結(jié)合平均數(shù)公式和方差公式得%+々+&+/+%5=4()和

22222

(X1-8)+(X2-8)+(X3-8)+(X4-8)+(X5-8)=20,接下來對各個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行檢驗(yàn)，檢驗(yàn)初

22

步過程是先求得(否-8『+卜-8『+(X3-8)+(X4-8)的正負(fù)，再對結(jié)果為正值的舉例或計(jì)

算求解即可得解.

12.y=3x-3

【分析】先求出函數(shù)導(dǎo)函數(shù)，進(jìn)而可求出曲線>=》為1-1在點(diǎn)(1,0)處的切線斜率，再由點(diǎn)

斜式即可得解.

【詳解】由題得y'=2xei+x2ei,

所以曲線y=Ye--1在點(diǎn)(1,0)處的切線斜率為2X1Xe'-'+Pxe1-'=3,

所以曲線y=x2ei-1在點(diǎn)(1,0)處的切線方程為y=3(x-l)=3x-3.

故答案為：y=3x-3.

13.1

【分析】先由題得3"=夕°=(10-1廠再結(jié)合二項(xiàng)式定理展開(10-1丫°,根據(jù)其展開式結(jié)構(gòu)特

征即可求解.

101098

【詳解】由題3?°=夕°=(10-1)=C°olO-C；010+CfolO-...-C?010+C；°

1098

=C"olO-C；010+C^010-...-C^010+l,

因?yàn)?C；olO9+cM()8一…一c：010可以被10整除，

所以32。被10除的余數(shù)為1.

故答案為：1.

14.V7-1/-1+V7

答案第6頁，共15頁

【分析】延長A4,CD交于點(diǎn)E得AEBC為正三角形，且得A/AP、！CMP、的外

接圓有唯一公共點(diǎn)為密克點(diǎn)。，接著由題給條件推出是直角三角形，進(jìn)而得其外接

圓半徑R=/。=1,再在△4BD中由余弦定理求出BD即可得BQ的最小值.

【詳解】延長A4,CD交于點(diǎn)E,則由題可知AEBC為正三角形，

由題設(shè)結(jié)論A/BP,!C兒。，的外接圓有唯一公共點(diǎn)，該公共點(diǎn)即為題中的點(diǎn)。,

故點(diǎn)0在的外接圓上，如上圖，

又由題=DM=1,NBAD=ZADM=180°-ZBCD=180°-60°=120°,

所以ZAMD=30°,故NEAM=1800-ZAMD-NAED=180°-30°-60°=90°,

所以是直角三角形，故其外接圓半徑尺=/。=1,

在LABD中，由余弦定理BD=722+l2-2x2xlxcosl20°=幣，

所以80的最小值為V7-1.

故答案為：V7-1.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解決本題得關(guān)鍵是正確作出輔助線/￡、ED,從而創(chuàng)造密克環(huán)境找到并

明確。點(diǎn)位置，從而結(jié)合已知條件得出AAME是直角三角形且其外接圓半徑尺==1以

及是點(diǎn)B與AAME外接圓上的點(diǎn)的距離，于是求出BD即可求出BQ.

22

15.(1)—+^=1

42

⑵血

答案第7頁，共15頁

【分析】（1）根據(jù)題意得到2c=2逝，e=-=—,即可得到答案.

a2

（2）首先設(shè)尸（尤2,%），根據(jù)直線與橢圓聯(lián)立，結(jié)合根系關(guān)系得到

回-小理半，設(shè)直線/與x軸的交點(diǎn)為小再根據(jù)叫限*手

t+zJ2Z

求解即可.

【詳解】（1）由題意得，2c=26，c=亞，

又e工叵,貝1]。=2,

a2

則/=0—2=2,

22

所以C的標(biāo)準(zhǔn)方程為土+匕=1.

42

（2）由題意設(shè)￡（再,必），廠（工2，%），如圖所示：

整理得（+2）/+3）一：=o,A>0,

3t7

貝叱+%=一不’包=一^^,

-J——H7M6廣+14

故卜4y^2

W+2）產(chǎn)+2一產(chǎn)+2-

設(shè)直線/與x軸的交點(diǎn)為嗚o],

又貝==

-hfrc11/cl11cJl6t2+14\

故LEF=2MHM為=2X/+2=---,

2

結(jié)合/>0,解得二0.

16.（1）表格補(bǔ)充見解析；在這兩個(gè)車站中,旅客滿意程度與車站編號有關(guān)聯(lián).

（2戶的分布列見解析，X的均值為10.

答案第8頁，共15頁

【分析】（1）根據(jù)題目所給數(shù)據(jù)補(bǔ)充表格即可；先零假設(shè)為"。：旅客滿意程度與車站編號

無關(guān)，接著依據(jù)表格數(shù)據(jù)計(jì)算/的值，比較/與10.828的大小，再結(jié)合獨(dú)立性檢驗(yàn)的思想

方法即可下結(jié)論得解.

（2）先由題得X的取值，接著依次計(jì)算每個(gè)取值相應(yīng)的概率即可得X的分布列，再根據(jù)均

值公式即可直接計(jì)算求解X的均值.

【詳解】（1）補(bǔ)充列聯(lián)表如下：

車站編號滿意不滿意合計(jì)

10281240

1157360

合計(jì)8515100

零假設(shè)為名：旅客滿意程度與車站編號無關(guān),

100x(28x3-57xl2)2200

則/>10.828,

40x60x85x15

所以根據(jù)小概率值c=0.001的獨(dú)立性檢驗(yàn)，推斷〃。不成立,

即認(rèn)為旅客滿意程度與車站編號有關(guān)聯(lián).

（2）由題X的可能取值為8,10,12,14,

則尸（X=8）=（j尸（X=10）=C；x1]xf；

「―⑵4無卜落；尸J"冉：。

所以X的分布列為

17.（1）作圖見解析，證明見解析.

答案第9頁，共15頁

（2）證明見解析

【分析】（1）連接AC,BD交于點(diǎn)〃，連接9,則是四棱錐尸-/5CD的高;證明尸H,

PH1BD即可由線面垂直的判定定理即可得尸〃，平面ABCD,故而得證.

（2）方法一：以"為原點(diǎn)，以就、麗的方向分別為x軸、z軸的正方向，以垂直于8c的

直線為了軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)/（a,d,O）,B（b,-d,O）,C（-a,-d,O）,D（-b,d,O）,

P（0,0,〃），接著根據(jù)法向量的求解步驟求出平面P/B和平面產(chǎn)。的法向量*和元，再由平

面尸43_L平面尸8得屋后=0①，同理得平面P/D和平面尸3c的法向量&和或以及

限點(diǎn)=0②，聯(lián)立①②解得06=/，進(jìn)而求出4D=得解.

方法二：過點(diǎn)H作EFL4B交AB于點(diǎn)E,交CD于點(diǎn)F,過點(diǎn)H作MN工BC交BC于點(diǎn)、M,

交/。于點(diǎn)N,連接PE,PF,PM,PN,接著依據(jù)已知條件分別求證PEL平面尸CD和9,平

面尸4D,從而得尸和尸進(jìn)而由=HM=HNPH=-EF=-MN

22

即￡/=MV,于是由AB-EF=BC-MN得AB=BC,從而得解.

【詳解】（1）連接/C,2。交于點(diǎn)”，連接PH,則是四棱錐尸-A8C。的高.

由于該四棱錐底面為平行四邊形，故點(diǎn)〃為/C與3D的中點(diǎn)，

又4P=CP,BP=DP,故有P〃_L/C,PHLBD,

又ACCBD=H,AC,BOu平面N3C。，

故尸H_L平面4BCD,

即9為四棱錐尸-4BCZ＞的高.

（2）（方法一）證明：以〃為原點(diǎn)，以就、麻的方向分別為x軸、z軸的正方向，以垂

直于8C的直線為y軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

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設(shè)4(a,d,0),B(b,-d,O),C(-tz,-<7,0),D(-b,d,O),P(O,O,A),

則或=麗=(〃一人2d,0),BP=(-b,d,h)fDP=(b-d,h),

設(shè)平面尸45、平面尸CD的法向量分別為近=(%i，yi，zD，n2=(x2,y2,z2)f

n_LBAn_LCDn,?BA—0nCD—0

則＜x2故」一，2

成而_L

1n2DPnx?BP-0n2DP=0

(?-/?)%!+2dyx=0I(^a-b^x2+2dy2-0

-bxx++,%=0'\bx2-dy2+hz2=0

再=2dhx2=2dh

令%=%2=2仍，解得vj=(Z>—a)〃，<y2=(b-a)h,

Z1=(6+a)dz2=-(b+a)d

所以“1=(2擊,(6_?！?(6+“”)，n2=(2dh,(b-a)h,-(b+a)d),

因?yàn)槠矫鍼AB_L平面PCD,

所以々?及2=4d%2+0_a)2〃2一(々+6)2[2=0,①

同理可得平面p/。、平面尸BC的一個(gè)法向量分別為或=(O,〃,d),點(diǎn)=(0,〃,-d),

故為?%=—/=°，即,=",②

聯(lián)立①②解得06=(/2,因此4D=-a-6,AB=Q(a-垃+4d2=Ja?+2ab+b。=-a-b,

故=而四邊形/2C。是平行四邊形，故四邊形/2CO是菱形.

(方法二)證明：過點(diǎn)〃作交于點(diǎn)E,交CO于點(diǎn)尸，過點(diǎn)〃作MNLBC交BC

于點(diǎn)M,交AD于點(diǎn)、N,連接PE,PF,PM,PN,

答案第11頁，共15頁

因?yàn)镻H_L平面/BCD,AB、8Cu平面/BCD,

所以PHIBC,

因?yàn)镋ECPH=H,EF、PHu平面PEF,所以4B_L平面PEF,

又PEu平面PE/，所以/8_LP￡,

因?yàn)?3//CD,48U平面尸CD,CDu平面PCD,故48//平面PCD,

設(shè)平面尸48門平面「。=4,又ZBu平面尸NB,所以NB/%,所以產(chǎn)￡，心

又平面尸N8_L平面尸C。，尸￡u平面尸所以尸￡_L平面尸C。，

又尸尸u平面PCD,所以PELPF；

因?yàn)镸NC\PH=H,MN、尸Xu平面RWN,所以3CJ_平面RIW,

又尸Mu平面RWN,所以BCLPM,

因?yàn)?C//N￡>,8C(Z平面尸N。，/Ou平面尸ND,故3C//平面P4。，

平面RlDc平面P5C=4，又BCu平面尸3C,所以BC//",所以WL2,

又平面尸ND_L平面P8C,尸Mu平面PBC,所以W_L平面P/D,

又尸Nu平面尸/￡),所以PM_L7W；

因?yàn)椤槠叫兴倪呅?BCD對角線的交點(diǎn)，所以HE=HF,HM=HN,

所以PH=LEF=^MN,所以EF=MN,

22

5LAB-EF=BC-MN,所以NB=8C,

所以平行四邊形ABCD是菱形.

【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：對于求證平行四邊形/BCD是菱形問題，可過點(diǎn)〃作E尸，Z8交于

點(diǎn)E,交CD于點(diǎn)F,過點(diǎn)〃作AW，3c交8C于點(diǎn)M,交/。于點(diǎn)N,連接PE,PF,PM,PN,

接著依據(jù)已知條件結(jié)合平行與垂直的判定定理和性質(zhì)定理分別求證尸EJ_平面尸8和尸M，

平面P4D,于是得PE_LPF和9_LPN,進(jìn)而由族=HF和HM=得

PH==EF=LMN即EF=MN,再結(jié)合平行四邊形面積公式/人石尸=8。MN得

22

AB=BC,從而得證.

18.(1)證明見解析

(2)證明見解析

【分析】(1)根據(jù)奇函數(shù)的定義證明即可；

答案第12頁，共15頁

(2)先根據(jù)函數(shù)是奇函數(shù)設(shè)％=-網(wǎng)，再做差運(yùn)算得出2/1上/)20=/卜2)+/(%)，最

后結(jié)合函數(shù)單調(diào)性證明不等式.

【詳解】(1)/(X)的定義域?yàn)?-8,-。)3凡+8),

x+

_f(-JC)=-ln^———㈠)=In+ax=歷(^_+ax=/(x).

由奇函數(shù)的定義知/(x)是奇函數(shù).

(2)由對稱性，不妨取退=-占，

,八/、八/、-a\(x.-a]/、

則/(X2)+/(%3)=E------M-----C+。(%2+、3)=0,

(%2+〃)(%3+。)

I——12

而”號

下證27[上丁]20=/(%)+/(%)，

設(shè)/一〃=機(jī)，x3-a=n,x2+a=p,x3+a=qf

2

則(%同+伍同(x2-65)(X3-a)(m+?)mn

(x2+Q)+(%3+〃)(x2+a)(x3+a)(p+療pq

pq(m+?)2-mn[p+q)2(pm-qn)^m-pn)

(p+q)2pq(p+q+pq

2a(x.+-xJ2

=-^一安一^>o(當(dāng)