高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)：空間向量與空間角-學(xué)案講義

第3講空間向量與空間角

［考情分析］以空間幾何體為載體考查空間角是高考命題的重點.空間向量是將空間幾何問

題坐標(biāo)化的工具，利用空間向量求平面與平面的夾角或線面角是高考熱點，通常以解答題的

形式出現(xiàn)，難度中等.

考點一異面直線所成的角

【核心提煉】

設(shè)異面直線/,根的方向向量分別為Q=(〃l,bl,Cl),8=(〃2,岳，C2),異面直線/與根的夾

角為夕

則(l)ee(0,胃；

(2)cos(9=|cos〈〃，b)|=|^jj||

_____\a\a2-\-b\b2~\~C\c^\

d屆虎+3

例1⑴如圖，已知圓柱的軸截面ABCD是邊長為2的正方形,E為下底面圓周上一點,

滿足靛=2部，則異面直線AE與BOx所成角的余弦值為()

E

B?米端

答案B

解析方法一如圖，連接石。2并延長，交底面圓于點尸，連接/Oi,FB,易知A石〃3月且

AE=BF,

所以N尸3。1為異面直線AE與BOi所成的角或其補角.

E

因為BE=2AE,則ZAO2￡=60°,

所以△AEO2為正三角形，故AE=BE=1.

由圓柱的性質(zhì)知OiF=OiB=乖百萬苻=下,

馴7V5

所以在等腰△2F01中，COS/F8OI=5^=指.

方法二以A為原點，AB,A。所在直線分別為y軸、z軸，過點A的A8的垂線所在直線為

x軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A(0,0,0),2(020),01(0,1,2),￡(停，0),

所以第=修，o),M=(o,-1,2),

所以異面直線AE與3。1所成角的余弦值為

HL或

|cos<AE,而;〉尸助空1

1義小一10.

\AE\\BOi\

故選B.

(2)(2023?吉安模擬)在正方體ABC。-AiSGA中，E,尸分別為AB,BC的中點，G為線段

81A上的動點，則異面直線AG與EF所成角的最大值為()

、71c兀一兀C5兀

A-6B-4C3D12

答案C

解析以。為坐標(biāo)原點，DA,DC,。。所在直線分別為x,y,z軸，建立如圖所示的空間

直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體棱長為2,則G(a,a,2),Ae[0,2],

因為E,尸分別為48,BC的中點,

到42,0,0)，￡(2,1,0),網(wǎng)1,2,0),

故A5=(a—2,a,2),￡>=(-1,1,0),

設(shè)兩異面直線的夾角為a,其中ae(0,

_|啟斜2_]

C°S(Z|AG||EF|^/(?-2)2+?2+4XV2N(aT)2+3'

因為ad[O,2],則當(dāng)。=0或a=2時，cosa取得最小值，最小值為今

又因為y=cosa在(0,方上單調(diào)遞減，則a的最大值為生

規(guī)律方法用向量法求異面直線所成的角的一般步驟

(1)建立空間直角坐標(biāo)系.

(2)用坐標(biāo)表示兩異面直線的方向向量.

(3)利用向量的夾角公式求出向量夾角的余弦值.

(4)注意兩異面直線所成角的范圍是(0,f,即兩異面直線所成角的余弦值等于兩向量夾角的

余弦值的絕對值.

跟蹤演練1(1)如圖，在直三棱柱ABC—A1B1G中，AAi=AC=AB=2,BC=2也。為

的中點，E為AQ的中點，尸為BG的中點，則異面直線8E與AP所成角的余弦值為()

A一返R返「—亞D近

A.39B.39L.3U.3

答案B

解析在直三棱柱ABC—ASG中，

AAi—AC=AB—2,BC—2-\(2,

所以AC2+AB2=BC2,即AC±AB,

又A4i_L平面ABC,AB,ACu平面ABC,所以A4i_LAC,AAi±AB,

如圖，以A為坐標(biāo)原點，AB,AC,A4i所在直線分別為無，y,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系,

則A(0,0,0),8(2,0,0),Ci(0,2,2),2(1,0,2),破0,1),尸(1,1,1),

所以第施=?,0,—1),

?赤麗標(biāo)

所以|cos(AF,EB)1=

|前向|39，

即異面直線BE與AF所成角的余弦值為嚶.

(2)(2023?石嘴山模擬)在正四面體ABC。中，M,N分別為AC,AD的中點，則異面直線

CN所成角的余弦值為()

A-3B-4C-5D-6

答案D

解析方法一取AN的中點E,連接ME,BE,則旌〃CN,所以或其補角就是異

面直線CN所成的角.

設(shè)48=4,

則BM=CN=V，ME=4

BE='AB?+AE2-2AB-A氏os60°=舊,

ME?+BM2-BE2

cosZBME=2ME-MB

3+12-131

一2乂小又2小一%，

方法二不妨設(shè)正四面體ABC。的棱長為2,以｛鼻，CB,日)｝為基底，則贏=(51—無=

^CA-CB,OV=1(CA+Cb),

則俞.國=船友+”.而一而&一蕾歷

=1X[JX22-|X22XCOS60。)=1

T

又|俞|=|兩=小，

設(shè)異面直線BM,CN所成的角為a6>G(0,T

\BM-CN\1

所以cos9=|cos(BM,CN〉|=

6,

\BM\\CN\

所以異面直線CN所成角的余弦值為今

考點二直線與平面所成的角

【核心提煉】

設(shè)直線/的方向向量為“，平面a的法向量為〃，直線/與平面。所成的角為仇

則(1)?！?，2；(2)sin8=|cos〈a,〃〉|=]；渭.

例2(2022?全國甲卷)在四棱錐P—45C。中，尸。_1底面48。。，CD//AB,AD=DC=CB=

1,AB=2,DP=p

K

(1)證明：BDLPA-,

(2)求PD與平面PAB所成角的正弦值.

⑴證明在四邊形ABC。中，作QE_LA8于點E,于點凡如圖.

因為CZ)〃A8,AD=CD=CB=1,AB=2,

所以四邊形ABC。為等腰梯形，

所以AE=8尸=3，

故DE=坐,

BD=yjDE2+BE2=y[3,

所以AQ2+8￡P(guān)=AB2,

所以

因為PO_L平面ABCD,BDU平面ABC。，

所以PD±BD,

又尸。AA￡)=。，PD,AOU平面以。，

所以BD_L平面PAD.

又因為HU平面PAD,

所以BD±PA.

（2）解由（1）知，DA,DB,兩兩垂直,

如圖，以。為原點，DA,DB,。尸所在直線分別為無，y,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系,

則。（0,0,0）,A（1,0,0）,

3（0,小，0）,尸（0,0,?。?，

則成=（—1,0,?。?，

麗=（0,一4，?。?

5>=（o,o,6）.

設(shè)平面必B的法向量為"=（無，y,z）,

n-AP=0,

則有，.

ji-BP=0,

-x+/z=0,

可取〃=（小，1,1）,

一小y+小z=0,

則|cos〈"，DP）|=^^=W，

\n\\DP\

所以尸。與平面PAB所成角的正弦值為專.

易錯提醒（1）線面角。與直線的方向向量a和平面的法向量n所成的角〈〃，〃〉的關(guān)系是〈0,

JTJT

〃〉+0=5或〈。，〃〉—（9=2，所以應(yīng)用向量法求的是線面南的正弦值，而不是余弦值.

（2）利用方程思想求法向量，計算易出錯，要認真細心.

跟蹤演練2（2023?泉州模擬）如圖，三棱臺ABC—AiSG中，AB=BC=23iG=2,。是AC

的中點，E是BC的中點.

⑴證明：AB"平面。EG；

(2)已知ABLBG，CGJ_平面ABC求直線BG與平面OEG所成角的正弦值的最大值.

⑴證明在三棱臺ABC-AiBCi中，AB=BC=2BxCx=2,。是AC的中點，

：.AiCi//AD,AiCi^AD,

四邊形AOG4為平行四邊形，故A4i〃OG,

平面。EG,ZJC1U平面QECi,故A4i〃平面。EG,

又在△ABC中，D,E分別為AC,8C的中點，

.,.DE//AB,又ABC平面。EG,OEU平面。EG,

〃平面DECi,

又ABnAAi=A,AB,平面ABBiAi,

平面ABBiAi〃平面DECi,

又ABC平面ABBA,

.?.43〃平面DECi.

(2)解：CG_L平面ABC,ABu平面ABC,

ACCi±AB,又4B_LBCi,CCiC8Ci=G,CCi,BGu平面BCC/i,

故4B_L平面BCGBi,由于BCu平面BCCiBi,

：.AB±BC,

又DE//AB,進而DELBC,

連接8iE,由BiCi〃EC,BC=EC,

：.四邊形BiGCE為平行四邊形，

故CJ〃BiE,由于CG_L平面ABC,因此Bi￡_L平面ABC,

故ED,EC,兩兩垂直，以E為坐標(biāo)原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)BiE=a,

則E(0,0,0),8(—1,0,0),D(0,l,0),Ci(l,0,a),

故應(yīng))=(0,1,0),￡Ci=(l,0,a),

設(shè)平面QEG的法向量為7〃=(x,y,z),

ED-m=y=O9

則

--?

^EC\'in=x~\~QZ=O,

取兀=〃，則m=(〃，0,—1),

又BG=(2,0,a),

故sin9=，os〈BCi,m)|=

_______a______

y/a2+lyla2+4

W+在WW+53

4L

當(dāng)且僅當(dāng)°2=/，即。=也時，等號成立，

直線8cl與平面DEG所成角的正弦值的最大值為;.

考點三平面與平面的夾角

【核心提煉】

設(shè)平面a,4的法向量分別為〃，V,平面a與平面。的夾角為仇

兀

則⑴6?e[0,2J；

,.\u-v\

(2)cos6*=|cos<w,v)1=]^|-

例3(2023?新高考全國I汝口圖，在正四棱柱ABC。一AbBiCiP中，AB=2,A4i=4.點4,

B2,CI，2分別在棱AAi，BBi，CCi，Z)Di±,AA2=1,BB2=DD?=2,CC2=3.

⑴證明：B2C2//A2D2；

⑵點尸在棱281上，當(dāng)二面角p—A2c2—為150。時，求&P.

⑴證明以C為坐標(biāo)原點，CD,CB,CCi所在直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,

如圖,

y

則C(0,0,0),C2(0,0,3),%(0,2,2),￡>2(2,0,2),A2(2,2,l),

.?.房=(0,-2,1),

初=(0,-2,1),

：.lhC^//A2D2,

又82c2,A2D2不在同一條直線上，

：.B2C2//A2D2.

(2)解設(shè)尸(0,2,2)(0W4W4),

則疝=(—2,-2,2),原=(0,—2,3—儲，京=(—2,0,1),

設(shè)平面RI2c2的法向量為"=(x,y,z),

“?A2c2=—2x—2y+2z=0,

則，_

、nPC2=_2y+(3—2)z=0,

令z=2,得y=3—九x=X—l9

n=(A—1,3—A,2),

設(shè)平面42。2。2的法向量為機=(。，b,C),

i/rA2c2=—2〃一2/7+2c=0,

則j_>

5?￡>202=—2a+c=0,

令4=1,得b=l,c=2,

?"=(1,1,2),

6

一曬4+("])2+(3T)2

小

=|cos150°|=-^-,

化簡可得，22—44+3=0,

解得A=1或2=3,

???尸(0,2,3)或尸(0,2,1),

：.B2P=1.

TT

易錯提醒平面與平面夾角的取值范圍是［o,句，兩向量夾角的取值范圍是［0,兀］,兩平面

的夾角與其對應(yīng)的兩法向量的夾角不一定相等，而是相等或互補.

跟蹤演練3(2023?新高考全國II改編)如圖，三棱錐A—8C。中，DA=DB=DC,BD±CD,

ZADB=ZADC=60°,E為BC的中點.

(1)證明：BC±DA；

(2)點/滿足濟=防，求平面ABD與平面4Bb夾角的正弦值.

⑴證明如圖，連接AE,DE,

因為E為BC的中點，DB=DC,

所以DELBC,

因為DA=DB=DC,ZADB^ZADC=60°,

所以△AC。與△A3。均為等邊三角形，

所以AC=AB,從而AE_LBC,

又AEAZ)E=E,AE,OEU平面AQE,

所以8C_L平面AOE,而ADU平面AOE,

所以8C_LDA.

(2)解不妨設(shè)DA=DB=DC=2,

因為BD_LC。，

所以BC=2吸,DE=AE=也.

所以AE2+DE2^4^AD2,

所以AELLOE,

又AE_LBC,DEDBC=E,DE,8CU平面BC￡),

所以AEJ_平面BCD.

以E為原點，ED,EB,EA所在直線分別為x,y,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示,

則D(巾,0,0),4(0,0,6)，B(0,g，0),￡(0,0,0),

設(shè)平面與平面b的法向量分別為〃1=(處，yi,zi),“2=(x2,＞2,Z2),

平面ABD與平面A8尸夾角為仇而施=（0,也，一也）,

因為筋=應(yīng)=（一也，0,也），

所以F（一也，0,也），

則命=（一也，0,0）.

m-DA=0

由＜一9

、〃i?贏=0,

{-y^2x\+y［2zi=0,

［也》—也zi=0,

令陽=1,得yi=l,zi=l,

所以m=(l,l,l).

"2?贏=0,

由＜一

、改A尸=0,

［也以一也Z2=0,

行X2=0,

貝1)X2=0,令丁2=1,得Z2=l,

所以"2=(0,1J),

任”1仆I-212乖

所以IcosOI—而麗一小義姬一3，

J3

所以平面ABD與平面A3/夾角的正弦值為￥?

專題強化練

1.(2023?錦州模擬)如圖一，△ABC是等邊三角形，CO為AB邊上的高線，D,E■分別是CA,

邊上的點，AD=BE=^AC=2；如圖二,

將△COE沿DE翻折，使點C到點P的位置,

P0=3.

C

圖一

(1)求證：OP±nABED；

(2)求平面BPE與平面PEF夾角的正弦值.

(1)證明因為△ABC為等邊三角形，

AD=BE=|AC,DE//AB,

CO為AB邊上的高線，故DE_LOF,DE±PF,

久OFCPF=F,OF,PFU平面所以QE_L平面FOP.

因為OPU平面尸OP,所以。E_LOP.

在尸中，OF=y[3,OP=3,PF=2y[3,

所以。/+022=尸尸2,故

而DEU平面ABE。，OPU平面ABE。，OFCDE=F,故OPJ_平面ABED

(2)解分別以。A,OB,法的方向為尤，y,z軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

y

則尸(0,0,3),8(0,3,0),E(y/3,2,0),F他,0,0),

則尸E=(小，2,—3),BE=(y[3,-1,0),EF=(0,-2,0).

設(shè)平面8PE的法向量為“1=(x1,力，zi),

平面PEF的法向量為“2=(X2,yi,Z2),

ni-PE—y[3xi+2yi—3zi—0,

jil-BE=y[3xi—yi=0,

ii2-PE=y[3x2+2y2-3z2=0,

且＜_

ji2-EF=—272=0,

取Xl=l,無2=小，

得到平面BPE的一個法向量"i=。，小，小),平面尸EF的一個法向量“2=(小，0,1),

設(shè)平面2PE與平面PEF的夾角為6,

則|c°s0|一同|"「巾乂2—巾，

所以sin3=\11—cos20=^y^.

所以平面BPE與平面PEF夾角的正弦值為平.

2.(2023碼寧統(tǒng)考)如圖，在三棱柱ABC-A向G中，側(cè)面2CGS為正方形，平面BCG3」

平面ABBA，AB=BC=2,M,N分別為4修，AC的中點.

(1)求證：MN〃平面BCGS；

(2)從條件①：AB1MN,條件②：8M=MN中選擇一個作為已知，求直線AB與平面BMN所

成角的正弦值.

⑴證明取的中點為K,連接MK,NK,

由三棱柱ABC—45G,得四邊形AB81A1為平行四邊形，

因為M是81Al的中點，所以MK〃88i,又MKC平面8CGB1,8囪＜=平面BCC/i,

故MK〃平面8CGB1,同理得NK〃平面BCC1B1,

又NKCMK=K,NKU平面MKN,MKU平面MKN,

故平面MKN〃平面BCCiBx,又MNU平面MKN,

故MN〃平面BCGB1.

(2)解因為側(cè)面BCGBi為正方形，故而C2U平面BCGBi,

平面BCG2i_L平面A8B1A1,

平面BCCiBiAABBiA^BBi,

故CB_L平面

因為A8U平面AB814,所以CB_L4B,

又NK〃BC,所以NK_LAB,

若選①：AB±MN,已證NK_LA8,又NKCMN=N,NKU平田MNK,MNU平面MNK,

故A8_L平面MNK,

因為MKU平面MNK,故AB±MK,

又MK//BB、,所以AB_L82i,所以BC,BA,26兩兩垂直.

故可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則3(0,0,0),A(0,2,0),N(1,1,0),M(0,l,2),

故或=(0,2,0),俞=(1,1,0),嬴=(0,1,2),

設(shè)平面8A/N的法向量為"=(x,y,z),

n-BN—0,

則＜_

、〃瀏f=0,

x+y=0,

從而

j+2z=0,

取z=1,則n=(2,-2,1),

設(shè)直線AB與平面BMN所成的角為仇

則sin@=|cos{n,BA)|=3X2=3^'

2

所以直線A8與平面8MN所成角的正弦值為

若選②：BM=MN,已證CB_L平面

又NK〃BC,故NK_L平面ABSAi,

而KMU平面ABBiAi,故NK1KM,

又BM=MN,NK=*C,BK=%B,A2=BC=2,

故AMKB會AMKN,

所以ZMKB=NMKN=90。,

所以MK_LA8,又MK〃BBi,

所以所以8C,BA,23兩兩垂直，

故可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

則8(0,0,0),A(0,2,0),N(l,l,0),M(0,l,2),

故或=(0,2,0),麗=(1,1,0),俞=(0,1,2),

設(shè)平面8MN的法向量為〃=(尤，j,z),

n-BN=0,

則‘一

、〃瀏/=0,

x+y=0,

從而

y+2z—0,

取z=l,則〃=(2,-2,1),

設(shè)直線與平面所成的角為仇

則sin0=卜os(n,BA)|=3X2=3^,

2

所以直線A8與平面8MN所成角的正弦值為5

3.如圖，四邊形A8CO與BOEF均為菱形，直線AC,平面點。為AC與8。的交點,

AB=2,且/。A8=NOB尸=60°.

(1)求異面直線OE與5所成角的余弦值；

(2)求平面A8F與平面CBF夾角的余弦值.

解(1)：ACJ_平面8DEF,FO,BDU平面BDEF,：.AC±FO,AC1BD,

?.?四邊形為菱形，且/。8尸=60。，

/為等邊三角形，

為3。的中點，：.FO±BD,

：.OA,OB,。尸兩兩垂直.

Ez

以。為坐標(biāo)原點，OA,OB,。尸所在直線分別為無，y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示.

'：AB=2,四邊形ABCD為菱形，ZBAD=60°,

：.BD=2,OA=NAB2-OB2=,,

月為等邊三角形，；.0F=小,

則A（小，0,0）,8（0,1,0）,0（0,-1,0）,

E（0,-2,?。?尸（0,0,小）,C（一小,0,0）,

.?.5E=（0,-1,事）,&=（^3,0,?。?

設(shè)異面直線。E與CF所成的角為3,

mln_|，一一、I\DE-CF\\[6

則coscos（DE,CF）___4，

\DE\\CF\

故異面直線。E與CF所成角的余弦值為坐.

（2）由（1）知矗=（一小，1,0）,

赤=(0,-1,小),CB=(y[3,1,0),

設(shè)平面A377的法向量為加=(?,yi,zi),

AB-m=一小+vi=0,

貝川一

、BF?m=—yi+d§zi=0,

令則％1=1,Z1=1,

得m=(l,小，1).

設(shè)平面C8/7的法向量為〃=(%2,丁2,Z2),

BF-n=-y2+V^Z2=0,

則《

、Ca〃=，§x2+y2=0,

令丁2=小，

貝ll%2=-1,Z2=19得M