高考數(shù)學(xué)得分技巧

高考數(shù)學(xué)得分技巧整理（完整版）

目錄

高考數(shù)學(xué)得分技巧整理（完整版）.....................................1

第1講選擇題的解題方法與技巧..................................2

一、題型特點(diǎn)概述............................................2

二、解題方法例析............................................2

三、知能提升演練...........................................10

第2講填空題的解題方法與技巧.................................15

一、題型特點(diǎn)概述...........................................15

二、解題方法例析...........................................16

三、知能提升演練...........................................23

第3講解答題答題模板.........................................28

模板1三角函數(shù)的單調(diào)性及求值問題..........................28

模板2解析幾何中的探索性問題..............................29

模板3由數(shù)列的前n項和S”與通項a?的關(guān)系求通項an.......................31

模板4函數(shù)的單調(diào)性、最值、極值問題........................31

第4講考前急訓(xùn)：答題規(guī)范......................................33

一、概念、符號應(yīng)用要規(guī)范....................................34

二'結(jié)論表示要規(guī)范..........................................34

三、書寫格式要規(guī)范..........................................36

四、幾何作圖要規(guī)范..........................................37

五、解題步驟要規(guī)范..........................................39

第1講選擇題的解題方法與技巧

一、題型特點(diǎn)概述

選擇題是高考數(shù)學(xué)試卷的三大題型之一.選擇題的分?jǐn)?shù)一般占全卷的

40%左右，高考數(shù)學(xué)選擇題的基本特點(diǎn)是：

(1)絕大部分?jǐn)?shù)學(xué)選擇題屬于低中檔題，且一般按由易到難的順序排列，

主要的數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法能通過它得到充分的體現(xiàn)和應(yīng)用，并且因?yàn)樗€有相

對難度(如思維層次、解題方法的優(yōu)劣選擇，解題速度的快慢等)，所以選擇題已

成為具有較好區(qū)分度的基本題型之一.

(2)選擇題具有概括性強(qiáng)、知識覆蓋面廣、小巧靈活及有一定的綜合性和

深度等特點(diǎn)，且每一題幾乎都有兩種或兩種

以上的解法，能有效地檢測學(xué)生的思維層次及觀察、分析、判斷和推理能力.

目前高考數(shù)學(xué)選擇題采用的是一元選擇題(即有且只有一個正確答案)，

由選擇題的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，決定了解選擇題除常規(guī)方法外還有一些特殊的方法.解選

擇題的基本原則是：“小題不能大做”，要充分利用題目中(包括題干和選項)提

供的各種信息，排除干擾，利用矛盾，作出正確的判斷.

數(shù)學(xué)選擇題的求解，一般有兩條思路：一是從題干出發(fā)考慮，探求結(jié)果;

二是從題干和選擇支聯(lián)合考慮或從選擇支出發(fā)探求是否滿足題干條件.

解答數(shù)學(xué)選擇題的主要方法包括直接對照法、概念辨析法、圖象分析法、

特例檢驗(yàn)法、排除法、逆向思維法等，這些方法既是數(shù)學(xué)思維的具體體現(xiàn)，也是

解題的有效手段.

二、解題方法例析

題型一直接對照法

直接對照型選擇題是直接從題設(shè)條件出發(fā)，利用已知條件、相關(guān)概念、性質(zhì)、

公式、公理、定理、法則等基礎(chǔ)知識，通過嚴(yán)謹(jǐn)推理、準(zhǔn)確運(yùn)算、合理驗(yàn)證，從

而直接得出正確結(jié)論，然后對照題目所給出的選項“對號入座”，從而確定正確

的選擇支.這類選擇題往往是由計算題、應(yīng)用題或證明題改編而來，其基本求解

策略是由因?qū)Ч?，直接求?

例1設(shè)定義在R上的函數(shù)4x)滿足“x)：/(x+2)=13,若火1)=

2,則人99)等于

()

132

A.13B.2C.彳D.記

思維啟迪先求人勸的周期.

131313

角軍析,.,y(x+2)二人工),?\/(X+4)=HX+2)=13=兀0

而

1313

函數(shù)五x)為周期函數(shù)，且7=4.；.，(99)=『(4*24+3)=『(3)=行=可.

探究提高直接法是解選擇題的最基本方法，運(yùn)用直接法時，要注意充分挖掘題

設(shè)條件的特點(diǎn)，利用有關(guān)性質(zhì)和已有的結(jié)論，迅速得到所需結(jié)論.如本題通過分

析條件得到而0是周期為4的函數(shù)，利用周期性是快速解答此題的關(guān)鍵.

變式訓(xùn)練1函數(shù)段)對于任意實(shí)數(shù)x滿足條件於+2)=七,

若火1)=—5,則膽5))的值為()

1

A.5B.15C-5D?一5

解析由f(x+2)-=Jv，得/<x+4)=k\=f(x),所以f(x)是以4為周期的函數(shù)，

所以/(5)=廣(1)=-5,從而/(/(5))=_f(-5)=/(—1)=/,(_]+2)=7717=—不

例2設(shè)雙曲線奈=1的一條漸近線與拋物線y=/+l只有

一個公共點(diǎn)，則雙曲線的離心率為()

A.1B.5。,坐

D.小

思維啟迪

b

求雙曲線的一條漸近線的斜率即/的值，盡而求離心率.

解析設(shè)雙曲線的漸近線方程為y=依，這條直線與拋物線y=f+l相切，聯(lián)立

y—kx卜

，整理得，一入+1=0,則/=層一4=0,解得左=±2,即?=2,故

y=jc+\a

雙曲線的離心率e=^=yj區(qū)—l+(-)2=V5.

探究提高關(guān)于直線與圓錐曲線位置關(guān)系的題目，通常是聯(lián)立方程解方程組.本

題即是利用漸近線與拋物線相切，求出漸近線斜率.

22

變式訓(xùn)練2已知雙曲線C：了x一臺V=l(a>0,b>Q),以C的右

焦點(diǎn)為圓心且與C的漸近線相切的圓的半徑是()

A.aB.bC.yfabD、/霹+方

解析《一3=1的其中一條漸近線方程為：y=~^x,即加;+分=0,而焦點(diǎn)坐

標(biāo)為(c,0),根據(jù)點(diǎn)到直線的距離d=>；/[：2的=。?故選B.

題型二概念辨析法

概念辨析是從題設(shè)條件出發(fā)，通過對數(shù)學(xué)概念的辨析，進(jìn)行少量運(yùn)算或推理，

直接選擇出正確結(jié)論的方法.這類題目常涉及一些似是而非、很容易混淆的概念

或性質(zhì)，這需要考生在平時注意辨析有關(guān)概念，準(zhǔn)確區(qū)分相應(yīng)概念的內(nèi)涵與外延，

同時在審題時要多加小心，準(zhǔn)確審題以保證正確選擇.一般說來，這類題目運(yùn)算

量小，側(cè)重判斷，下筆容易，但稍不留意則易誤入命題者設(shè)置的“陷阱”.

例3已知非零向量。=(xi,yi),b=(x2,*),給出下列條

件，①。=助(左?R)；②xiX2+yiy2=0；③(a+36)〃(2a—

b)；@a-b=\a\\b\；(5)x?^+%2y?2xix2yiy2.

其中能夠使得的個數(shù)是(

)

A.1B.2C.3D.4

解析顯然①是正確的，這是共線向量的基本定理；②是錯誤的，這是兩個向量

垂直的條件；③是正確的，因?yàn)橛?a+30)〃(2a—b),可得(a+3a)=7(2a—b),當(dāng)

i丸+31

7W5時，整理得。=不~~b,故a〃。，當(dāng)4=5時也可得到a〃。；④是正確的，

若設(shè)兩個向量的夾角為a則由aO=|a||A|cos仇可知cos6=l,從而。=0,所

以a〃b；⑤是正確的，由君次+x為彳W2XIX2W，可得(xi"—X2yi)2W0,從而xi”

-X2yi=0,于是

探究提高平行向量(共線向量)是一個非常重要和有用的概念，應(yīng)熟練掌握共線

向量的定義以及判斷方法，同時要將共線向量與向量中的其他知識(例如向量的

數(shù)量積、向量的模以及夾角等)有機(jī)地聯(lián)系起來，能夠從不同的角度來理解共線

向量.

變式訓(xùn)練3關(guān)于平面向量a,b,c,有下列三個命題：

①若則。=c.

②若a=(l,%,0=(—2,6),a//b,則左=—3.

③非零向量。和6滿足|。|=|例=|。一例，則a與。+人的夾角為

60°.

則假命題為

()

A.①②B.①③C.②③D.①②③

B

解析@a-b=a-c^>a-(b—c)=0,。與可以垂直，而不一定有6=c,故①為

假命題.

②"：a〃b,.?.1X6=-2左..?.左=—3.故②為真命題.

③由平行四邊形法則知圍成一菱形且一角為60。，a+6為其對角線上的向量，a

與a+6夾角為30。，故③為假命題.

題型三數(shù)形結(jié)合法

“數(shù)”與“形”是數(shù)學(xué)這座高樓大廈的兩塊最重要的基

石，二者在內(nèi)容上互相聯(lián)系、在方法上互相滲透、在一定

條件下可以互相轉(zhuǎn)化，而數(shù)形結(jié)合法正是在這一學(xué)科特點(diǎn)

的基礎(chǔ)上發(fā)展而來的.在解答選擇題的過程中，可以先根

據(jù)題意，做出草圖，然后參照圖形的做法、形狀、位置、

性質(zhì)，綜合圖象的特征，得出結(jié)論.

例4(2009?海南)用min{a,b,c}表示a,b,c三個數(shù)中的最

小值.設(shè)火x)=min{2x,x+2,10—x}(xN0),則五x)的最大

值為

()

A.4B.5C.6D.7

C

思維啟迪

畫出函數(shù)人x)的圖象，觀察最高點(diǎn)，求出縱坐標(biāo)即可.本題運(yùn)用圖象來求值，

直觀、易懂.

解析由題意知函數(shù)“X)是三個函數(shù)州=2丫，yi=x+2,*=10—x中的較小者，

作出三個函數(shù)在同一個坐標(biāo)系之下的圖象(如圖中實(shí)線部分為火》)的圖象)可知

A(4,6)為函數(shù)人為圖象的最高點(diǎn).

變式訓(xùn)練4(2010.湖北)設(shè)集合A=，(x,>)1+布=1；，

B={^x,y)\y=3x},則AA3的子集的個數(shù)是()

A.4B.3C.2D.1

A

72

解析集合A中的元素是橢圓〃+髭=1上的點(diǎn)，集合5中的元素是函數(shù)丁=3%

的圖象上的點(diǎn).由數(shù)形結(jié)合，可知AA3中有2個元素，因此AA3的子集的個

數(shù)為4.

例5函數(shù)火x)=l—|2x—1],則方程五。2*=1的實(shí)根的個數(shù)是()

A.0B.1C.2D.3

C

思維啟迪

若直接求解方程顯然不可能，考慮到方程可轉(zhuǎn)化為?=而函數(shù)y=?

和y=g)x的圖象又都可以畫出，故可以利用數(shù)形結(jié)合的方法，通過兩個函數(shù)圖

象交點(diǎn)的個數(shù)確定相應(yīng)方程的根的個數(shù)

解析方程次。2*=1可化為五x)=g),在同一坐標(biāo)系下分別畫出函數(shù)y=/(x)和

y=g)的圖象，如圖所示.可以發(fā)現(xiàn)其圖象有兩個交點(diǎn)，因此方程次x)=g;有

兩個實(shí)數(shù)根.

探究提高一般地，研究一些非常規(guī)方程的根的個數(shù)以及根的范圍問題，要多考

慮利用數(shù)形結(jié)合法.方程火x)=0的根就是函數(shù)y=/(x)圖象與x軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)，

方程兀c)=g(x)的根就是函數(shù)y=/(x)和y=g(x)圖象的交點(diǎn)橫坐標(biāo).利用數(shù)形結(jié)合

法解決方程根的問題的前提是涉及的函數(shù)的圖象是我們熟知的或容易畫出的，如

果一開始給出的方程中涉及的函數(shù)的圖象不容易畫出，可以先對方程進(jìn)行適當(dāng)?shù)?/p>

變形，使得等號兩邊的函數(shù)的圖象容易畫出時再進(jìn)行求解.

變式訓(xùn)練5函數(shù)y=|logLx|的定義域?yàn)槌觯?，值域?yàn)椋?,2］,

2

則區(qū)間［跖口的長度6—。的最小值是()

3

A.2B，2C.3

D-4

D

解析作出函數(shù)y=|log^x|的圖象，如圖所示，由y=0解得％=1；由y=2,解

2

題型四特例檢驗(yàn)法

特例檢驗(yàn)(也稱特例法或特殊值法)是用特殊值(或特殊圖形、特殊位置)代替題設(shè)普遍條

件，得出特殊結(jié)論，再對各個選項進(jìn)行檢驗(yàn)，從而做出正確的選擇.常用的特例有特殊數(shù)值、

特殊數(shù)列、特殊函數(shù)、特殊圖形、特殊角、特殊位置等.特例檢驗(yàn)是解答選擇題的最佳方法

之一，適用于解答“對某一集合的所有元素、某種關(guān)系恒成立”，這樣以全稱判斷

形式出現(xiàn)的題目，其原理是“結(jié)論若在某種特殊情況下不真，則它在一般情況下

也不真”，利用“小題小做”或“小題巧做”的解題策略.

例6已知A、B、C、。是拋物線V=8x上的點(diǎn)，R是拋物線

—>—>—>—>—>—>—>

的焦點(diǎn)，且砥+用+b。+㈤=0,則照1+1期I+ECI+

I局的值為

（）

A.2B.4C.8D.16

D

解析取特殊位置，AB,CD為拋物線的通徑，

—>—>—>—>

顯然剛+EB+RC+ED=O,

\FA\+\FB\+\FC\+\FD\=4p=16,故選D.

探究提高本題直接求解較難，利用特殊位置法，則簡便易行.利用特殊檢驗(yàn)法

的關(guān)鍵是所選特例要符合條件.

變式訓(xùn)練6已知尸、Q是橢圓3f+5/=1上滿足NPOQ=90。的兩個動點(diǎn)，則

濤+由等于（）

834

A.34B.8C?記^225

B

解析取兩特殊點(diǎn)尸（坐，0）、2（0,乎）即兩個端點(diǎn)，則轉(zhuǎn)+虛=3+5=8.故

選B.

例7數(shù)列｛m｝成等比數(shù)列的充要條件是（）

A.Cln+l=Clnq（q為常類0B.Cln+1~Cln'（ln+2-^0

C.a〃=aMT（q為常數(shù)）D.a?+i—\la?-a?+2

B

解析考查特殊數(shù)列0,0,…，0,…，

不是等比數(shù)列，但此數(shù)列顯然適合A,C,D項.

故選B.

探究提高判斷一個數(shù)列是否為等比數(shù)列的基本方法是定義法，也就是看二是

Cln

否為常數(shù)，但應(yīng)注意檢驗(yàn)一個數(shù)列為等比數(shù)列的必要條件是否成立.

變式訓(xùn)練7已知等差數(shù)列｛a“｝的前〃項和為S”若等=

Cln

手一7,則胎的值為（

2n-lon

）

A.2B.3C.4D.8

解析方法一（特殊值檢驗(yàn)法）

1徨絲—3?里+。2

取n=

Ql

.曰w1HLS2nSiQl+〃2,

于是，當(dāng)〃=l時，=丁=4.

方法二（特殊式檢驗(yàn)法）

、、群丁心2〃4n~I2-2n~I_

=

注思到白一7~i丁，取-1,

cin2n—12-n—1

1+(4〃-1)

co-2n

32九_____________乙________

Sn1+(2〃-1)

―2一刃

方法三(直接求解法)

L產(chǎn).4〃-1^ain—an2n

由募=2〃一1an=2n~l

ndIn.d(2n~1)

Qcn-2Cn—1，?,一，0，

41+42〃

S2n2之"Q]+〃2九

于是,—=------------=2----------

Sna\~\~ana\~\~an

n-n

C

題型五篩選法

數(shù)學(xué)選擇題的解題本質(zhì)就是去偽存真，舍棄不符合題目要求的選項，找到符

合題意的正確結(jié)論.篩選法（又叫排除法）就是通過觀察分析或推理運(yùn)算各項提

供的信息或通過特例，對于錯誤的選項，逐一剔除，從而獲得正確的結(jié)論.

例8方程tzx2+2x+1=0至少有一個負(fù)根的充要條件是（）

A.0<QW1B.a<\

C.D.0<QW1或。<0

解析當(dāng)a=0時，x=—1,故排除A、D.

當(dāng)a=l時，x=-1,排除B.

故選C.

探究提高選擇具有代表性的值對選項進(jìn)行排除是解決本題的關(guān)鍵.對“至少有

一個負(fù)根”的充要條件取值進(jìn)行驗(yàn)證要比直接運(yùn)算方便、易行.不但縮短時間，

同時提高解題效率.

變式訓(xùn)練8已知函數(shù)y（x）=g;2+（m—3）x+l的圖象與x軸的交點(diǎn)至少有一個在

原點(diǎn)右側(cè)，則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是（）

A.(0,1)B.(0,1]

C.(—8,1)D.(—8,1]

解析令m=0,由?t)=0得x=g適合，排除A、B.

令m=1,由?t)=0得：x=l適合，排除C.

題型六估算法

由于選擇題提供了唯一正確的選擇支，解答又無需過

程.因此，有些題目，不必進(jìn)行準(zhǔn)確的計算，只需對其數(shù)值

特點(diǎn)和取值界限作出適當(dāng)?shù)墓烙?，便能作出正確的判斷，

這就是估算法.估算法往往可以減少運(yùn)算量，但是加強(qiáng)了

思維的層次.

pvWO

例9若A為不等式組表示的平面區(qū)域，則當(dāng)。從一2連續(xù)變化到1

時，動直線x+y=a掃過A中的那部分區(qū)域的面積為

()

37

A，4B.1C，4D.2

解析如圖知區(qū)域的面積是△043去掉一個小直角三角形.陰影部分面積比1

大，比SK4B=gx2X2=2小，故選C項.

答案C

探究提高“估算法”的關(guān)鍵是應(yīng)該確定結(jié)果所在的大致范圍，否則“估算”就

沒有意義.本題的關(guān)鍵在所求值應(yīng)該比△A03的面積小且大于其面積的一半.

變式訓(xùn)練9已知過球面上43、C三點(diǎn)的截面和球心的距離等于球半徑的一半,

且A3=3C=C4=2,則球面面積是()

A.-nB."nC.4nD.-n

yoy

解析?.?球的半徑R不小于△ABC的外接圓半徑—羋，則S球=4位?2巳4兀/

=竽兀＞5兀，故選D.

規(guī)律方法總結(jié)

1.解選擇題的基本方法有直接法、排除法、特例法、驗(yàn)證法和數(shù)形結(jié)合法.但

大部分選擇題的解法是直接法，在解選擇題時要根據(jù)題干和選擇支兩方面的特點(diǎn)

靈活運(yùn)用上述一種或幾種方法“巧解”，在“小題小做”、“小題巧做”上做文

章，切忌盲目地采用直接法.

2.由半選擇題供選答案多、信息量大、正誤混雜、迷惑性強(qiáng)，稍不留心就會誤

入“陷阱”，應(yīng)該從正反兩個方向肯定、否定、篩選、驗(yàn)證，既謹(jǐn)慎選擇，又大

膽跳躍.

3.作為平時訓(xùn)練,解完一道題后，還應(yīng)考慮一下能不能用其他方法進(jìn)行“巧算”，

并注意及時總結(jié)，這樣才能有效地提高解選擇題的能力.

三、知能提升演練

1.已知集合人={1,3,5,7,9},5={0,3,6,9,12),則An&B)等于

A.{1,5,7}B.{3,5,7}

C.{1,3,9}D.{1,2,3)

解析由于3G[NB,所以3GAC([NB)二排除B、C、D,故選A.

2.已知向量a,6不共線，c=hz+。(左?R),d=a—6.如果那么

_()

A.左=1且c與d同向B.k=1且c與d反向

C.左=—1且c與d同向D.左=—1且c與d反向

解析當(dāng)k=1時，c=a+b,不存在實(shí)數(shù)九使得a=仍所以c與d不共線，與

c〃d矛盾.排除A、B；當(dāng)k=-1時，c=-a+0=—(a—b)=—d,所以c〃d,

且c與d反向.故應(yīng)選D.

3.已知函數(shù)尸tanox在(甘，等內(nèi)是減函數(shù)，則()

A.0<(wWlB.—lWcw<0

C.。三1D.a)W—1

B

解析可用排除法，?.?當(dāng)。>0時正切函數(shù)在其定義域內(nèi)各長度為一個周期的連

續(xù)區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)，???排除A、C,又當(dāng)|0|>1時正切函數(shù)的最小正周期長度小于

兀，?,.尸tan5在(甘，期內(nèi)不連續(xù)，在這個區(qū)間內(nèi)不是減函數(shù)，這樣排除D,

故選B.

4.已知函數(shù)2(4-/n)x+l,g(x)=mx,若對于任一實(shí)數(shù)x,與g(x)

的值至少有一個為正數(shù)，則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是()

A.(0,2)B.(0,8)C.(2,8)D.(-°0,0)

解析當(dāng)機(jī)=1時，兀勸=2%2—6x+l,g(x)=x,由?x)與g(x)的圖象知，機(jī)=1滿

足題設(shè)條件，故排除C、D.當(dāng)m=2時，y(x)=4x2-4x+l,

g(x)=2x,由其圖象知，麻2滿足題設(shè)條件，故排除A.因此，選項B正確.

—>—>—>

5.已知向量。3=(2,0),向量。。=(2,2),向量C4=

(&cosa,爽sina),則向量04與向量的夾角的

取值范圍是

兀

A.[0,4]

c?弓，得]

解析■.'|CA|=.,.A的軌跡是。C,半徑為V2.

由圖可知NC05/設(shè)向量OA與向量。3的夾角為仇則上狂痣鋪，故選

6.設(shè)函數(shù)y=/(x)在(一8,十8)內(nèi)有定義，對于給定的正數(shù)

優(yōu)x),為x)WK,

K,定義函數(shù)加x)=《°取函數(shù)H》)=2w,

[K,找x)>K.

當(dāng)"為寸，函數(shù)"x)的單調(diào)遞增區(qū)間為()

A.(一8,0)B.(0,+00)

C.(—8,-1)D.(1,+8)

解析函數(shù)/(1)=2-用=(1/，作圖<x)WK=T=x?(—8,—1]U[1,+8),故在(一

8,—1)上是單調(diào)遞增的，選C項.

7.設(shè)x,yGR,用2y是1+x和1—x的等比中項，則動點(diǎn)(x,y)的軌跡為除去

x軸上點(diǎn)的()

A.一條直線B.一個圓

C.雙曲線的一支D.一個橢圓

解析(2y)2=(l—力(1+尤)。。0)得f+4/=l(yW0).

8.設(shè)A、3是非空數(shù)集，定義A*JB={x|x?AUJB且xGAAB},已知集合4={4丫

=2x—f},B={j|y=2\%>0},則A*B等于

()

A.[0,1]U(2,+°°)B.[0,1)U(2,+00)

C.(—8,1]D.[0,2]

解析A=R,B=(l,+°°),故力*8=(—8,1],故選C.

%2

9.(2010.福建)若點(diǎn)。和點(diǎn)網(wǎng)一2,0)分別為雙曲線”一產(chǎn)=1(4>0)的中心和左焦點(diǎn)，

點(diǎn)P為雙曲線右支上的任意一點(diǎn)，則。P/P的取值范圍為()

A.[3—2小，+8)B.[3+24，+8)

77

C.[一不+°°)D.[不+8)

B

解析由c=2得/+1=4,；.a2=3,

2

...雙曲線方程為主r一>2=1.設(shè)尸(%,y)(x三小),

OPFP=(x,y>(x+2,y)

r24r-

=x2+2x+y2=x2+2x+y—1=^%2+2%—l(x三小).

令g{x}+2x—1(^A/3),則g(x)在[福，+8)上單調(diào)遞增.g(x)血n=g(m)=3+

o

―>―>

2斕.???。?￡曲取值范圍為[3+2斕，+8).

10.已知等差數(shù)列{〃〃}滿足Ql+〃2+…+。101=0,則有()

A.QI+〃IOI>OB.a2~\~aw2<0

C.Q3+Q99=0D.6Z51=51

解析取滿足題意的特殊數(shù)列斯=0,則〃3+。99=0,故選C.

11.在等差數(shù)列｛〃“｝中，若。2+。4+。6+。8+。10=80,則。7—的值為

A.4B.6C.8D.10

解析令等差數(shù)列｛aj為常數(shù)列a〃=16.顯然a?一■|a8=16—8=8.故選C.

12.若則下列不等式：①?\a\>\b\；

③a<b；④齊2中，正確的不等式是（）

A.①②B.②③C.①④D.③④

解析取。=—1,b=-2,則②、③不正確，所以A、B、D錯誤，故選C.

13.（2010.全國）如圖，質(zhì)點(diǎn)P在半徑為2的圓周上逆時針運(yùn)動，其初始位置為

Po（巾,一6），角速度為1,那么點(diǎn)P到x軸距離d關(guān)于時間/的函數(shù)圖象大致

CD

解析觀察并聯(lián)想P運(yùn)動軌跡與d的關(guān)系，

當(dāng)/=0時，d=^2,排除A、D；當(dāng)開始運(yùn)動時d遞減，排除B.

C

V2

14.若函數(shù)4%）=百7一。+4a的最小值等于3,則實(shí)數(shù)。的值等于

A.1B.1C.(或1D.不存在這樣的a

解析方法一直接對照法

V2

令百7=/，則。￡[0,1).

若aNl,則7(x)=|t—a|+4a=5。一/不存在最小值；

3

若OWa<l,則y(x)=|/—a|+4a,當(dāng)/=a時取得最小值4a,于是4a=3,得

符合題意；

若a<0,1Ax)=|/—a|+4a=/+3a,當(dāng)/=0時取得最小值3a,于是3a=3,得a=

1不符合題意.

3

綜上可知，。=不

方法二試驗(yàn)法

%2

若a=l,則兀0=工+4>4,顯然函數(shù)的最小值不是3,故排除選項B、

3x?3[-23

C；若a=4,?x)=/+]—,+3,這時只要令三口一W=°，即x=±\^，函數(shù)

可取得最小值3,因此A項正確，D項錯誤.

A

4-2m兀rt6一?

15.已矢口sin。=加+5,COS0=^+F(2<0<3T)-貝ha巧等于

()

m—3m—31

A.------B.|------1C.7

9~m9—m3

D.5

D

解析由于受條件sin2e+cos2e=l的制約，故機(jī)為一確定的值，于是sin。，cos

0的值應(yīng)與m的值無關(guān)，進(jìn)而tan3的值與m無關(guān)，又緊。<兀，與呆與，tan^>l,

故選D項.

16.已知函數(shù)y=f(x),y=g(x)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如下圖，那么y=fix),y=g(x)圖

象可能是()

ABCD

解析從導(dǎo)函數(shù)的圖象可知兩個函數(shù)在xo處斜率相同，可以排除B項，再者導(dǎo)

函數(shù)的函數(shù)值反映的是原函數(shù)增加的快慢，可明顯看出y=/(x)的導(dǎo)函數(shù)是減函

數(shù)，所以原函數(shù)應(yīng)該增加的越來越慢，排除A、C兩項，最后只有D項，可以

驗(yàn)證y=g(x)導(dǎo)函數(shù)是增函數(shù)，增加越來越快.

答案D

第2講填空題的解題方法與技巧

一、題型特點(diǎn)概述

填空題是高考試卷中的三大題型之一，和選擇題一樣，屬于客觀性試題.它只要

求寫出結(jié)果而不需要寫出解答過程.在整個高考試卷中，填空題的難度一般為中

等.不同省份的試卷所占分值的比重有所不同.

1.填空題的類型

填空題主要考查學(xué)生的基礎(chǔ)知識、基本技能以及分析問題和解決問題的能力，具

有小巧靈活、結(jié)構(gòu)簡單、概念性強(qiáng)、運(yùn)算量不大、不需要寫出求解過程而只需要

寫出結(jié)論等特點(diǎn).從填寫內(nèi)容看，主要有兩類：一類是定量填寫，一類是定性填

寫.

2.填空題的特征

填空題不要求寫出計算或推理過程，只需要將結(jié)論直接寫出的“求解題”.填空

題與選擇題也有質(zhì)的區(qū)別：第一，表現(xiàn)為填空題沒有備選項，因此，解答時有不

受誘誤干擾之好處，但也有缺乏提示之不足；第二，填空題的結(jié)構(gòu)往往是在一個

正確的命題或斷言中，抽出其中的一些內(nèi)容(既可以是條件，也可以是結(jié)論)，

留下空位，讓考生獨(dú)立填上，考查方法比較靈活.

從歷年高考成績看，填空題得分率一直不很高，因?yàn)樘羁疹}的結(jié)果必須是數(shù)值準(zhǔn)

確、形式規(guī)范、表達(dá)式最簡，稍有毛病，便是零分.因此，解填空題要求在“快

速、準(zhǔn)確”上下功夫，由于填空題不需要寫出具體的推理、計算過程，因此要想

“快速”解答填空題，則千萬不可“小題大做”，而要達(dá)到“準(zhǔn)確”，則必須合

理靈活地運(yùn)用恰當(dāng)?shù)姆椒?，在“巧”字上下功?

3.解填空題的基本原則

解填空題的基本原則是“小題不能大做”，基本策略是“巧做”.解填空題的

常用方法有：直接法、數(shù)形結(jié)合法、特殊化法、等價轉(zhuǎn)化法、構(gòu)造法、合情推理

法等.

二、解題方法例析

題型一直接法

直接法就是從題設(shè)條件出發(fā)，運(yùn)用定義、定理、公式、性質(zhì)、法則等知識，

通過變形、推理、計算等，得出正確結(jié)論，使用此法時，要善于透過現(xiàn)象看本質(zhì)，

自覺地、有意識地采用靈活、簡捷的解法.

例1在等差數(shù)列｛酸｝中,m=—3,Ua5=5a8—13,則數(shù)列｛如｝的前幾項和S,的最

小值為.

思維啟迪

計算出基本量d,找到轉(zhuǎn)折項即可.

解析設(shè)公差為d,則11(—3+4<7)=5(—3+7J)—13,

.,5

??ci=9，

,數(shù)列｛斯｝為遞增數(shù)列.

532

令>'?—3+(〃-

■GN*.

29

前6項均為負(fù)值，.，.S〃的最小值為56=一3.

答案一2年9

探究提高本題運(yùn)用直接法，直接利用等差數(shù)列的通項公式判斷出數(shù)列的項的符

號，進(jìn)而確定前幾項的和最小，最后利用等差數(shù)列的求和公式求得最小值.

變式訓(xùn)練1設(shè)的是等差數(shù)列｛羸｝的前〃項和，已知42=3,<26=11,則Sl=

49

7(。1+。7)

解析方法一Si=

2

7(?+?)7X(3+11)

—2—=49.

故填49.

t/2=ai+d=3,<71=1?

方法二可得<

G6~G1+5d—11、d=2,

.?.07=1+6X2=13.

.07((71+(77)7X(1+13)

=49.

??07—22

故填49.

題型二特殊值法

特殊值法在考試中應(yīng)用起來比較方便，它的實(shí)施過程是從特殊到一般，優(yōu)點(diǎn)

是簡便易行.當(dāng)暗示答案是一個“定值”時，就可以取一個特殊數(shù)值、特殊位置、

特殊圖形、特殊關(guān)系、特殊數(shù)列或特殊函數(shù)值來將字母具體化，把一般形式變?yōu)?/p>

特殊形式.當(dāng)題目的條件是從一般性的角度給出時，特例法尤其有效.

例2已知AABC的三個內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c,且滿足

(sinA-sinQ(tz+c).,.?

-------------------------=sinA-sinB,貝UC=.

思維啟迪題目中給出了△ABC的邊和角滿足的一個關(guān)系式，由此關(guān)系式來確

定角C的大小，因此可考慮一些特殊的三角形是否滿足關(guān)系式，如：等邊三角

形、直角三角形等，若滿足，則可求出此時角C的大小.

解析容易發(fā)現(xiàn)當(dāng)△ABC是一個等邊三角形時，滿足.in-―si；O(a+c)=sm.

-sinB,而此時C=60。,故角C的大小為60。.

答案60°

探究提高特殊值法的理論依據(jù)是：若對所有值都成立，那么對特殊值也成立，

我們就可以利用填空題不需要過程只需栗結(jié)果這一“弱點(diǎn)”，“以偏概全”來求

值.在解決一些與三角形、四邊形等平面圖形有關(guān)的填空題時，可根據(jù)題意，選

擇其中的特殊圖形(如正三角形、正方形)等解決問題.此題還可用直接法求解如

下：

(sinA-sin+c)..

由--------%-----------=sinA—smB可付

(Q—C)(〃+c)

=a-b,整理得，a2—c2=ab—b2,即居一.由余弦定理,

b4+

4+/—/1

得，所以

cosC=-----2-a-b------=72'C=60°.

變式訓(xùn)練2在△A5C中，角A、B、。所對的邊分別為〃、b、c,如果〃、b、c

八左左斗田,?cosA+cosC

*1

成等差數(shù)歹(J,貝~A

1+cosAcosC

4

5

i,4cosA+cosC

斛析萬法一取特殊值a=3,Z?=4,c=5,則COSA=5，COS。=°，］+COSACOSC

4

5-

7TIcosA+cosC4

方法二取特殊角A=B=C=ycosA=cosC=2?

1+cosAcosC51

A

N

K

B

O

M

例3如圖所示，在△ABC中,A。是3c邊上的中線，K為A。上一點(diǎn)，且。4=

2AK,過點(diǎn)K的直線分別交直線A3、AC于不同的兩點(diǎn)M、N,若43=版4”,AC

—>

=nAN,貝Um+n=.

思維啟迪

題目中過點(diǎn)7T的直線是任意的，因此力和〃的值是變化的，但從題意看勿+〃的

值是一個定值，故可取一條特殊的直線進(jìn)行求解.

解析當(dāng)過點(diǎn)K的直線與平行時,MN就是△ABC的一條中位線（?.?Q4=2AK,

—>—>—>—>

.?.K是A。的中點(diǎn)）.這時由于有AB=mAM,AC=nAN,因此m="=2,故加+〃

=4.

答案4

探究提高本題在解答中，充分考慮了“直線雖然任意，但加+〃的值卻是定值”

這一信息，通過取直線的一個特殊位置得到了問題的解，顯得非常簡單，在求解這

類填空題時，就要善于捕捉這樣的有效信息，幫助我們解決問題.

變式訓(xùn)練3設(shè)。是△ABC內(nèi)部一點(diǎn)，且。A+OC=—2。3,則△AOB與4人。。

的面積之比為.

解析采用特殊位置，可令△ABC為正三角形，則根據(jù)。4+0C=—2。3可知，

。是△ABC的中心，則。4=03=。。，所以

即△A03與△AOC的面積之比為1.

題型三圖象分析法（數(shù)形結(jié)合法）

依據(jù)特殊數(shù)量關(guān)系所對應(yīng)的圖形位置、特征，利用圖形直觀性求解的填空題，

稱為圖象分析型填空題，這類問題的幾何意義一般較為明顯.由于填空題不要求

寫出解答過程，因而有些問題可以借助于圖形，然后參照圖形的形狀、位置、性

質(zhì)，綜合圖象的特征，進(jìn)行直觀地分析，加上簡單的運(yùn)算，一般就可以得出正確

的答案.事實(shí)上許多問題都可以轉(zhuǎn)化為數(shù)與形的結(jié)合，利用數(shù)形結(jié)合法解題既

淺顯易懂，又能節(jié)省時間.利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問題能很好地考查考生對基礎(chǔ)知識的掌

握程度及靈活處理問題的能力，此類問題為近年來高考考查的熱點(diǎn)內(nèi)容

例4已知方程，—2x+m）（f—2x+〃）=0的四個根組成一個首項為（的等差數(shù)

列，則|〃L〃|的值等于.

思維啟迪

1

2

考慮到原方程的四個根，其實(shí)是拋物線y=x2—2x-\-m與y=x2—2x-\-n和x軸四

個交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，所以可以利用圖象進(jìn)行求解.

解析如圖所示，易知拋，物線y=x2—2x+機(jī)與y=x2—2x+〃有相同的對稱軸x

=1,它們與x軸的四個交點(diǎn)依次為A、B、C、D.

因?yàn)閄4=W，則初=不

35

又|AB|=|3C|=|CD|,所以期=不比=不

探究提高本題是數(shù)列問題，但由于和方程的根有關(guān)系，故可借助數(shù)形結(jié)合的方

法進(jìn)行求解，因此在解題時，我們要認(rèn)真分析題目特點(diǎn)，充分挖掘其中的有用信

息，尋求最簡捷的解法.

變式訓(xùn)練4已知定義在R上的奇函數(shù)人x)滿足火x—4)=—而0且在區(qū)間［0,2］上是

增函數(shù)，若方程加0=根(冽>0),在區(qū)間［—8,8］上有四個不同的根XI,X2,X3,X4,

則Xl+x2+x?+x4=.

-8

解析因?yàn)槎x在R上的奇函數(shù)，滿足1%—4)=-所以五4-x)=/(x).因

此，函數(shù)圖象關(guān)于直線x=2對稱且汽0)=0,由/(x—4)=—/(x)知火x—8)=?x),

所以函數(shù)是以8為周期的周期函數(shù).又因?yàn)槲鍎裨趨^(qū)間［0,2］上是增函數(shù)，所以/(X)

在區(qū)間［—2,0］上也是增函數(shù)，如圖所示，那么方程兀0=加(加>0)在區(qū)間［—8,8］上

有四個不同的根XI,X2,X3,X4,不妨設(shè)龍1<X2<X3<X4.由對稱性知Xl+%2=-12,X3

+%4=4,所以X1+&+尤3+%4=—12+4=-8.

例5函數(shù)y=/(x)的圖象如圖所示，其定義域?yàn)椋邸?,4］,那么不等式瞿W0的解

olllA

集為.

71

[—4,—71）U（—71,0）U71）

解析瞿W06f?^0,JIX%）N0,

lsinx>0,W.八在給出的坐標(biāo)系中，再作出y=sinx

bill人、smx<0,

在

［—4,4］上的圖象，如圖所示，觀察圖象即可得到所求的解集為［—4,—兀）U（—兀,

探究提高與函數(shù)有關(guān)的填空題，依據(jù)題目條件，靈活地應(yīng)用函數(shù)圖象解答問題,

往往可使抽象復(fù)雜的代數(shù)問題變得形象直觀，使問題快速獲解.

兀

變式訓(xùn)練5不等式（葉2）?sinx<0,xG［-71,271］的解集

為.

JTJI

（―兀）U（。,）U（兀,2兀）

71

2

解析在同一坐標(biāo)系中分別作出y=|x|-與丫=5111》的圖象:

根據(jù)圖象可得