黑龍江省雙鴨山市某中學2025屆高三第一次模擬考試（8月）數(shù)學試題（含答案解析）

黑龍江省雙鴨山市建新中學2025屆高三第一次模擬考試（8月）

數(shù)學試題

學校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.設集合S={x[x>-2},T={x|x2+3x-4<0},則（CRS）UT=（）

A.（-2,1]B.（-oo,-4]C.（-oo,1]D.[1,+oo）

2.已知復數(shù)z滿足|z|=|z-4i|（i為虛數(shù)單位），則z的虛部是（）

A.-2iB.2iC.-2D.2

—■1--

3.設尸是VABC內(nèi)一點，且AP+麗+存=0，BD=-BC,則AD+N?=（）

—?2——?1—?2—?4—?2—?2——?——?

A.AB+-ACB.-AB+-ACC.-AB+-ACD.-AB+AC

333333

4.我們學校附近的勝利電影院的放映大廳有20排共680個座位，從第二排開始，每一排都

比前一排多兩個座位，則該電影院大廳最后一排的座位數(shù)為（）

A.53B.51C.15D.16

5.若々=1115,6二）萬，。滿足6-，=1口0,則瓦c的大小關系為（）

A.a>b>cB.a>c>bC.c>b>aD.b>a>c

6.在100,101,102,999這些數(shù)中,各位數(shù)字按嚴格遞增（如“145”）或嚴格遞減（如

“321”）順序排列的數(shù)的個數(shù)是（）

A.120B.204

C.168D.216

7.若2sin(a+弓)=cos[a一5],貝tan(a一宗)=()

A.-4-73B.-4+73C.4-5/3D.4+73

8.已知函數(shù)人》=尤2,g(x)=-lnx,g'(x)為g(x)的導函數(shù).若存在直線/同為函數(shù)/（尤）與

g'(x)的切線，則直線/的斜率為()

A.275-4B.2C.4

二、多選題

9.若直線/不平行于平面a,且則下列說法正確的是（）

A.a內(nèi)存在一條直線與/平行B.a內(nèi)不存在與/平行的直線

C.a內(nèi)所有直線與/異面D.。內(nèi)有無數(shù)條直線與/相交

10.設xeR,用國表示不超過x的最大整數(shù)，則函數(shù)y=因被稱為高斯函數(shù)；例如[-2』=-3,

[2.1]=2,已知〃x）=sinW+binx|,g（尤）=[〃尤）],則下列說法正確的是（）

A.函數(shù)g（x）是偶函數(shù)

B.函數(shù)g（尤）是周期函數(shù)

C.函數(shù)g（M的圖像關于直線x對稱

D.方程]g（x）=尤只有1個實數(shù)根

22

11.已知雙曲線E：=1（a>0,b>0）的左右焦點分別為小F,。是圓尸2：

ab2

（尤-4）2+9=16上一動點，線段耳。的垂直平分線交直線于E上的點尸，則（）

A.E的離心率為2

B.E的漸近線方程為y=±gx

C.F?到E的漸近線的距離為百

D.”^工內(nèi)切圓圓心的橫坐標為±2

三、填空題

12.下列說法正確的有（填正確命題的序號）

①若函數(shù)/（x）在x=a處導數(shù)不存在，則/（X）的函數(shù)圖像在x=a處無切線.

②若4為離散型隨機變量，則4所有的取值構成的集合可能是無限數(shù)集.

③在對數(shù)據(jù)的相關性分析（回歸分析）中，相關系數(shù)廠越大，兩個變量的相關性越強.

④正態(tài)分布的密度曲線與x軸所圍成的區(qū)域的面積為1.

13.圓心為“（1,1）且與直線x-y=4相切的圓M的方程是.

14-對于實數(shù)〃和"定義運算設?。?（21）*（1）,且

試卷第2頁，共4頁

關于X的方程為“力=機(〃2€r)恰有三個互不相等的實數(shù)根不，馬，三，則加的取值范圍

是；%%彳3的取值范圍是?

四、解答題

15.已知數(shù)列也｝的前〃項和為%q=1,(n-l)S?=2nSn_1(n>2).

⑴求｛qj的通項公式；

(2)若-----,求也｝的前〃項和小

a“a,M

16.如圖，三棱柱ABC-a與G中，AB=BC=BIA=B￡=BIB3,。是AC的中點,

A耳1BD.

B

⑴證明：耳。，平面ABC；

(2)求點用到平面ACCM的距離；

(3)求平面A4C與平面AB,C的夾角的余弦值.

17.已知函數(shù)/(x)=-彳3+3x?+9x-2,求：

⑴函數(shù)y=/(%)的圖象在點(0,”0))處的切線方程;

⑵/⑺的單調遞減區(qū)間；

(3)求/(x)的極大值和極小值.

18.如圖，有一個半圓形場館，政府計劃改建為一個方艙醫(yī)院，改建后的場館由病床區(qū)(矩

形ABC。)及左右兩側兩個大小相同的休閑區(qū)(矩形〃和BEFG)組成，其中半圓的圓

心為。，半徑為50米，矩形麻尸G的一邊BG在上，矩形的一邊A"在AO上，點

jr

C,D,F,/在圓周上，E,J在直徑上，且NEO尸=二，設NBQC=e.若每平方米病

6

床區(qū)的造價和休閑區(qū)造價分別為W萬元和力萬元，記病床區(qū)及休閑區(qū)的總造價為/（e）（單

（1）求/（。）的表達式；

（2）為進行改建預算，當，為何值時，總造價最大？并求出總造價的最大值.

19.已知產(chǎn)為平面上的動點，記其軌跡為

（1）請從以下兩個條件中選擇一個，求對應的：T的方程.①已知點T（-L0）,直線/:x=Y,動

點尸到點T的距離與到直線/的距離之比為g；②設E是圓O：/+/=4上的動點，過E作

直線EG垂直于x軸，垂足為G,且不=@礪.

2

（2）在（1）的條件下，設曲線「的左、右兩個頂點分別為AB,若過點K（l,0）的直線加的斜

率存在且不為0,設直線機交曲線「于點M，N,直線〃過點T（T,0）且與x軸垂直，直線.

|7?|

交直線〃于點尸，直線BN交直線〃于點。，則線段的比值慟是否為定值？若是，求出該

定值；若不是，請說明理由.

試卷第4頁，共4頁

參考答案:

題號12345678910

答案CDAACBCCBDAD

題號11

答案ABD

1.C

【詳解】：集合S={x|x>-2},

.??CRS={X|X<-2)

由x2+3x-4<0得：T={x|-4<x<l},

故(CRS)UT={X|X<1}

故選C.

2.D

【分析】根據(jù)題意Iz|=|z-4i|可列式=，已+僅-4)2,即可解出復數(shù)虛部.

2222

【詳解】設2=々+歷，|z|=|z-4i|y/a+b=^a+(b-4),解得匕=2

故選：D

3.A

【分析】根據(jù)給定條件，求出=+再利用向量的線性運算求解作答.

【詳解】因P是VABC內(nèi)一點，AP+BP+CP=O,則而+(而-麗)+(而-正)=0,即有

—.1—.1—.—.1—.

AP=~AB+~AC,1^BD=-BC,

333

所以而+9=荏+而+荏=荏+；碇+/=通+；(正一函+g通/

=AB+-AC.

3

故選：A

4.A

【分析】設電影院放映大廳第"排座位有％個(1<?<20),由題意數(shù)列｛〃“｝是公差d=2的

等差數(shù)列，且$2。=680,根據(jù)數(shù)列的前"項和公式和通項公式求解即可.

【詳解】由題意，設電影院放映大廳第〃排座位有。"個(1<?<20),

答案第1頁，共14頁

由題意，??-??-1=2(n>2),故數(shù)列｛4｝是公差d=2的等差數(shù)列,

且數(shù)列的前20項和邑。=680,不妨設第一排座位為%,

20x19

故S20=20alH---------x2=680,解得：％=15,

2

故該電影院大廳最后一排的座位數(shù)a20=a1+19d=15+38=53.

故選：A

5.C

【分析】根據(jù)題意，構造函數(shù)y=與y=In尤的圖象交點問題，c為交點縱坐標，可得c>1,

再將a,b與0,1比較，即可求解.

【詳解】由題意，構造函數(shù)>="，與y=lnx交點，

由圖象知c>l

fl=In—<In1=0,貝I]a<0,

2

0<b=e~^<e°=1,則。<6<1，

貝!Jc>6>a

故選：C

【點睛】本題考查指數(shù)式，對數(shù)式比較大小，考查數(shù)形結合，屬于中等題.

6.B

【分析】根據(jù)三個數(shù)字中是否有“0”分兩類，利用分類加法計數(shù)原理求解.

【詳解】分兩類，第一類不含數(shù)字“0”，從1到9的自然數(shù)中任意取出3個，都可以得到嚴

格遞增或嚴格遞減順序排列的三位數(shù)，共有2C；=168個；

第二類含有數(shù)字“0”，從1到9的自然數(shù)中任意取出2個，三個數(shù)只能排出嚴格遞減順序的

三位數(shù)，共有C；=36個，

根據(jù)分類加法計數(shù)原理，所以共有168+36=204個.

故選：B

7.C

答案第2頁，共14頁

【分析】設尸="￡，則原等式可化為2sin[〃+]卜cosC，化簡后求出tanp即可.

【詳解】令尸=。-3IT則a=/?+7Tg

66

所以由2sin（a+g]=cos（a_m],

得2sin（尸+鼻=cos,一力，

即2cos尸=^^cos夕+；sin尸,

即sin用=（4—百卜05分，得tan分=4一石，

所以tan-=tan尸=4—6,

故選：C.

8.C

【分析】設出兩個曲線上的切點坐標：（埠尤；），[々「J]

用（工,無;）由點斜式寫出切線/的方程，根據(jù)直線/同為函數(shù)“X）與/（無）的切線知無2,一一

1”2.

也適合切線方程，列出方程組求解.

【詳解】；g（x）=-lnx,/（x）=x2,A/（x）=2x,g〈x）=-J,g"（無）=5，

設函數(shù)〃x）上的切點坐標為函數(shù)g'（x）上的切點為則切線斜率4=2%,

IX2）

故切線方程可表示為y-才=2%（x-西），由于直線/同為函數(shù)“X）與g'（x）的切線,

]一戶1=2

故，----占2=2玉（％-%）=><1,則直線/的斜率為4.

X2/二5

玉>0

故應選：C.

9.BD

【分析】利用直線與直線，直線與平面的位置關系判斷.

【詳解】A.若。內(nèi)存在一條直線與/平行，則由線面平行的判定定理知///￡,故錯誤；

B.因為直線/不平行于平面a,且/aa,所以直線與平面相交，故a內(nèi)不存在與/平行的直

答案第3頁，共14頁

線，故正確；

C.因為直線/不平行于平面a,且/aa,所以直線與平面相交，在。內(nèi)過交點的直線與/共

面，故錯誤；

D.因為直線/不平行于平面且所以直線與平面相交，在a內(nèi)過交點的直線有無

數(shù)條與/相交，故正確；

故選：BD

10.AD

【分析】確定x＞0時“X)的圖象，根據(jù)“彳)的奇偶性確定尤＜0部分的函數(shù)圖象，根據(jù)“X)

的圖象確定g(x)的圖象即可求解.

【詳解】選項A,函數(shù)的定義域為R,

因為/'(-尤)=sin|-x|+|sin(-x)|=sin|x|+|sinr|=/(x),所以y(x)為偶函數(shù)，

當0＜兄＜兀時，/(x)=sinx+sinx=2sinx,

當TI＜XK2兀時，/(x)=sinx-sinx=0,

當271Vx43兀時，/(x)=sinx+sinx=2sinx,

因為〃%)為偶函數(shù)，所以函數(shù)〃%)的圖象如下圖所示

當兀=2E+^,keZ時，g(x)=2,

兀5兀7L

當2E+—WxW2E+—,且犬w2%兀+—,左wZ時，g(元)=1,

662

當2E?尤＜2癡+4或2E+2Vx?2阮+2兀,左GZ時，g(x)=0,

66

因為g(f)=[〃f)]=[〃x)]=g(x)，所以g(x)為偶函數(shù)，則函數(shù)g(x)的圖象如下圖所

示

答案第4頁，共14頁

2兀x

顯然g(x)不是周期函數(shù)，故選項A正確，B錯誤,C錯誤；

對于方程、g(x)=尤，當g(x)=O時，x=0方程有一個實數(shù)根，

當g(x)=l時，x=^,此時g0=2",方程沒有實數(shù)根，

當g(x)=2時，X=7T,此時g㈤=0片2,方程沒有實數(shù)根，

所以方程、g(x)=x只有1個實數(shù)根，故D正確；

故選：AD.

11.ABD

【分析】由題意可求得a,6,C,再根據(jù)雙曲線的幾何性質可判斷A,B,C選項，根據(jù)雙曲線

的定義可判斷D選項.

【詳解】由題意，可知解(4,0),所以c=4.又由題意，知|尸團=|聞,所以

2a=|附尸聞=||圖-忸聞=|Q6|=4<8=2c,

22C

所以一/=12,故E的方程為Lr一v工=1,所以E的離心率為￡=4==2,漸近線方程

412a2

y=±~x=^3x,故A,B正確；

a

焦點F?到漸近線的距離為d=J；3)?=26,所以C錯誤；

設APK罵的內(nèi)切圓與x軸相切于點A(5,0),則由雙曲線定義得

2(7=歸周一|尸引=||4用-[4引=|(尤0+°)-(°-尤0)|=2闖,所以題=±。=±2,即A尸耳區(qū)內(nèi)切

圓圓心的橫坐標為±2,所以D正確，

故選:ABD.

答案第5頁，共14頁

【點睛】關鍵點點睛：本題以雙曲線為背景，關鍵在于運用雙曲線的定義、標準方程和幾何

性質，使問題得以解決.

12.②④

【分析】對①，利用函數(shù)的導數(shù)與切線的斜率之間的關系即可判斷；對②，根據(jù)離散型隨機

變量的定義即可判斷；對③，根據(jù)回歸直線方程的應用即可判斷；對④，根據(jù)正態(tài)分布的定

義即可判斷.

【詳解】解：對①，若函數(shù)f(x)在了=。處導數(shù)不存在，說明在該點處的斜率不存在,

不是說函數(shù)圖象在x=。處無切線，故①錯誤；

對②，若4為離散型隨機變量，則4所有的取值構成的集合可能是無限數(shù)集，故②正確;

對③，在對數(shù)據(jù)的相關性分析(回歸分析)中，相關系數(shù)力越大，兩個變量的相關性越強,

故③錯誤；

對④，正態(tài)分布的密度曲線與無軸所圍成的區(qū)域的面積為1,故④正確.

故答案為：②④.

13.(1)2+"1)2=8

【分析】由點直線的距離公式求得圓心到直線的距離，得到圓的半徑，結合圓的標準方程,

即可求解.2

|1-1-4|

【詳解】由題意，圓心M。』)到直線x-y=4的距離為d=20,

因為圓M且與直線x->=4相切，所以圓的半徑廠=2忘,

所以圓的方程為(x-l)2+(y-l)2=8.

故答案為：(x-l)2+(y-l)2=8.

答案第6頁，共14頁

【分析】先求得/（無）的解析式，畫出了（元）的圖像，將方程為〃尤）=刈機€尺）恰有三個互不

相等的實數(shù)根國,尤2，三，等價為y=/（x）的圖象與y=m的圖象有三個交點不，%，三，則可得

機的范圍，當尤＞0時，由-d+x=〃?，根據(jù)韋達定理，可求得馬三的范圍，當xWO時，根

據(jù)2爐-工=加，可求得4的最小值，即可得答案.

【詳解】當2x—IVx-l時，x＜0,當2x-l＞x—l時，尤＞0,

(2尤一Ip—(2%—1)(無一1),尤402x2-x,x<0

所以/（尤）=

(%-1)2-(2X-1)(X-1),%>0-x2+無，尤>0

（

f（x）圖象如圖所示：仆f

方程為/⑺=G尺）恰有三個互不相等的實數(shù)根和無2，不，等價于'=/（x）的圖象與

丫="的圖象有三個交點%,%，退，

2

當x＞。時，/（x）=-x+x,/Wmax=/（1）=1,

由圖象可得機e（oj）,

-^-x2+x=m,解得%退=根，所以?！从?忍＜；，

令2x-=辦解得根為N由圖象可得，當”根最高時，解得"小，止匕時機

三/I或.叱/i（舍）,

所以2x2—x=—,解得x=

4

所以上Wl<x<0,

41

答案第7頁，共14頁

【點睛】解題的關鍵是先求得了（元）解析式，畫出圖像，將方程求根問題，轉化為圖象求交

點問題，找到臨界位置，數(shù)形結合，分析計算，即可得結果，屬中檔題.

15.(I)。,=(〃+1>2"一2

Q

⑵…心

【分析】（I）先利用遞推關系得出S“，再利用遞推關系得出｛%｝的通項公式;

4〃

（2）根據(jù)a=——，利用列項相消法得出｛2｝的前〃項和

4A+1

qq

【詳解】（1）當“22時，由（7L1）S,,=27電T得2=

nn-1

又因為:=4=1,所以是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列,

n1

故2=2"7,Sn=n-2-,

n

當心2時，

所以=S“—Si=n-2"T——1>2皿=(?+1).丁(n>2),4=1也符合上式,

所以a“=(〃+l)-2"-2.

答案第8頁，共14頁

4n_________￡_________=_8_=8pM

(2)b=

+2.(〃+2).2"i(幾+l).(〃+2)(〃+ln+2)

所以北=81；一11111118

—?----------F…H------------A=4--------

334n+1n+22n+2n+2

16.(1)證明見解析

Q)與

⑶走

3

【分析】(1)先證明平面MC,得到耳。，再證明4。，平面A8C.

(2)方法一幾何法，取AG的中點2,過點B,作BXH，?？谟邳cH,可證B'H±平面ACGA,

點用到平面ACGA的距離即為耳求解得解；方法二向量法，建立空間直角坐標系利用

向量法求點面距；

(3)建立空間直角坐標系利用向量法求解.

【詳解】(1)因為AB=3C,。是AC的中點，所以3DLAC,

因為A2]_LB￡),AB；HAC=A,4月,ACu平面ABQ,

所以BD1平面陰C,

又BQu平面期C,所以

因為4A=BC，。是AC的中點，

所以用0AAC,BDcAC=D,BD,ACu平面ABC,

所以用。，平面ABC.

(2)法一：取AG的中點Q,連接r?A，42可得四邊形84QD是平行四邊形，

因為BO_LAC,B[D八AC,BD[}B{D=D,2。,瓦。u平面BBQ。，

所以AC_L平面8BQO,又ACu平面ACC14，

所以平面平面ACCM,

過點B{作B}H±DR于點、H,B、HU平面BBRD,

答案第9頁，共14頁

平面BBRDn平面ACC,A=DR,則，平面ACC^,

所以點用到平面ACGA的距離即為8戶，

JT

因為AB=BC=B]A=BXC,所以BD=B1D=BR,又AD{BXD=NBQB=—,

所以B1H=LL)R=LBBI=走,故點耳到平面ACG4的距離為41.

法二：由（1）知用平面ABC,BD1AC,所以。B,DC,。耳兩兩垂直，以。為原

點，

以DB,DC,。片所在直線分別為龍，y,Z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，

因為A5=BC=5]A=4C,所以30=5]。，又BD工B】D,B[B=Q,

所以用。=5。=1,

AB=BCm，BD.LAC,所以ZM=OC=1,

所以。（0,0,0）,A（0,-l,0）,5（1,0,0）,C（0,l,0）,4（0,0,1）,

AC=（O,2,O）,麗=甌=（一1,0,1）,設平面ACGA的一個法向量為陽=（〃也。），

m-AC=0fb=0

則＜—?，即＜c，令4=1,

m?A\=0[~a+c=0

則m=（1,0,1）為平面ACQA的一個法向量，

11

又=（0,0,1）,所以點用到平面ACQ4的距離d=,,=3=%，

\m\2

故點片到平面ACGA的距離為變.

2

（3）由⑵法二得CB,=（0-1,1）,咽=麗=（1,1,0）,設平面48c的一個法向量為n=（x,y,z）,

答案第10頁，共14頁

n-CR=O-y+z=O

則_得尤+y=。'令龍=1則y=-1,z=—1,

為?A耳=0

所以為=(1,—1,—1)為平面4月。的一個法向量，

又友平面AB.C,所以麗=(1,0,0)是平面AB.C的一個法向量,

/-7^\_萬?麗_1_V3

\/|M|.|DB|73X13，

故平面44c與平面AB,C的夾角的余弦值為B.

3

17.⑴9x-y-2=0

⑵(-8,-4),(3,+oo)

(3)極大值為25,極小值為-7

【分析】(1)利用導數(shù)的幾何意義可求得切線斜率，進而得到切線方程；

(2)根據(jù)導函數(shù)的正負即可確定所求的單調區(qū)間；

(3)根據(jù)(2)可求極值.

【詳解】(1)由題意得：/'(x)=-3x2+6x+9=-3(d-2x-3)=-3(x-3)(x+l),

?.J'(O)=9,又/(0)=-2,

y=的圖象在(0J(0))處的切線方程為y+2=9(x-0),即9》一y-2=0.

(2)由(1)知：/<x)=-3(x-3)(x+l),

.?.當xe(—x,-l)u(3,+功時，尸(久)<0；當xe(-l,3)時，尸⑴>0；:/(久)的單調遞減區(qū)

間為(-00,-1),(3,+00),

(3)根據(jù)(2)可知，當x=-l為函數(shù)的極小值點，且-7,

當x=3為函數(shù)“X)的極大值點,且/(3)=25,

所以/(元)的極大值為25,極小值為-7.

18.(1)/(0)=125(gsin26-2cos0+")(萬元)，。［。馬；(2)當6=￡時，總造價

答案第11頁，共14頁

的最大值為號（1+26）萬元.

【解析】（1）根據(jù)直角三角形的邊角關系以及倍角公式用。表示三個矩形的長和寬，用矩形

面積乘以相應造價得出了（。）的表達式；

（2）利用導數(shù)得出函數(shù)的單調性，進而得出最值.

【詳解】解：（1）設R=50,由圖可知在矩形ABCD中,

BC=Rsin?,OB=Reos0

12

所以5ABeD=2OBxBC=2Rsin3cos3=Rsin20

在矩形BEFG中,

^--cosOR

EF=Rsin-=—,BE=Rcos--Rcos0=

62612J

-cos0R2

所以2SBEFG=2EFXBE=12J

因為病床區(qū)每平方米的造價為*萬元，休閑區(qū)每平方米造價為2萬元,

；?/⑹=SABCDx*+2SBEFGx'=，x502（右sin20_2cos0+回

n7i

，/（e）=125（百sin26-2cose+百）（萬元），de

'6,1

(2)由(1)得，-⑹=125(26cos29+2sin6)=250(6-26sin2e+sind)

=-250(2sin9-")(若sin6?+1)

因為Oef，所以豆皿4；,1]

令/3）=0,解得sin0=g,因為de仔,彳1所以6=g

2162）3

當6變化時，/2）,（（。）的變化情況如下表:

en

T

f\o)+0—

答案第12頁，共14頁

于0極大值

所以當時，總造價/(⑶取得極大值與(i+2g)