2022-2023學(xué)年蘇科版七年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)壓軸題：有理數(shù)的乘方及混合運(yùn)算

專題06有理數(shù)的乘方及混合運(yùn)算壓軸題七種模型全攻略

聚焦考點(diǎn)

考點(diǎn)一有理數(shù)幕的概念考點(diǎn)二科學(xué)記數(shù)法

考點(diǎn)三有理數(shù)的乘方運(yùn)算考點(diǎn)四有理數(shù)的乘方的逆運(yùn)算

考點(diǎn)五乘方運(yùn)算的符號(hào)規(guī)律考點(diǎn)六新定義有理數(shù)的運(yùn)算

考點(diǎn)七有理數(shù)的混合運(yùn)算

典型例題

考點(diǎn)一有理數(shù)幕的概念

例題：(2022?全國(guó)?七年級(jí)專題練習(xí))討論：觀察下面兩個(gè)式子有什么不同？

(1)(-4)2與-42；⑵(*2與g

【答案】⑴見(jiàn)解析

(2)見(jiàn)解析

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)乘方的定義，即可求解；

(2)根據(jù)乘方的定義，即可求解；

(1)

解：???(-4)2表示一4的平方，一42表示4的平方的相反數(shù)，

A(-4)2與—42互為相反數(shù)；

⑵

解：表示g的平方，:表示32除以5.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了乘方的定義，熟練掌握熟練掌握"個(gè)相同因數(shù)的積的運(yùn)算，叫做乘方，記作a”,其中。叫

做底數(shù)，”叫做指數(shù)；注意(-"的意義是a的n次方"，-優(yōu)的意義是％的n次方的相反數(shù)"是解題的關(guān)鍵.

【變式訓(xùn)練】

I.(2022?全國(guó)?七年級(jí))(-3『與一3?有什么不同？結(jié)果相等嗎？

【答案】(-3)2表示2個(gè)3相乘，而-3。表示2個(gè)3的乘積的相反數(shù)；它們的結(jié)果不相等.

【解析】

【分析】

根據(jù)乘方的意義，即可求解.

【詳解】

解：（-3『表示2個(gè)3相乘，而-3?表示2個(gè)3的乘積的相反數(shù)；

它們的結(jié)果不相等，理由如下：

:（-3）2=9,-32=-9,

（-3『豐-32.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了乘方的運(yùn)算及其意義，熟練掌握乘方的運(yùn)算法則及其意義是解題的關(guān)鍵.

2.（2022?全國(guó)?七年級(jí)專題練習(xí)）（1）（-7）8中，底數(shù)、指數(shù)各是什么？

（2）（TOP中-10叫做什么數(shù)？8叫做什么數(shù)？（-IO?是正數(shù)還是負(fù)數(shù)？

【答案】（1）底數(shù)是-7,指數(shù)是8；（2）（TO?中-10叫做底數(shù)，8叫做指數(shù)，（-IO?是正數(shù).

【解析】

【分析】

（1）根據(jù)乘方的定義，a*a*...*a（"個(gè)a）-an,a是底數(shù)，〃是指數(shù)，進(jìn)而解決本題；

（2）根據(jù)有理數(shù)的乘方的概念即可回答.

【詳解】

解：（1）（-7）8中，底數(shù)是-7,指數(shù)是8；

（2）（TO?中TO叫做底數(shù)，8叫做指數(shù)，（TO）"是正數(shù).

【點(diǎn)睛】

本題考查有理數(shù)的乘方，關(guān)鍵是根據(jù)有理數(shù)的乘方的概念解答.注意：負(fù)數(shù)的奇次哥是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的偶次

塞是正數(shù).

3.（2019?全國(guó)?七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）填表：

乘方65（一57-27

底數(shù)

指數(shù)

【答案】見(jiàn)解才聽(tīng)

【解析】

【分析】

根據(jù)有理數(shù)乘方的定義解答即可.

【詳解】

解：填表如下:

乘方。6a（一5卉4-2%

底數(shù)。一5裂2〃

2

指數(shù)2524^3r7?

【點(diǎn)睛】

本題考查了有理數(shù)乘方的定義，屬于應(yīng)知應(yīng)會(huì)題型，熟知概念是關(guān)鍵.

考點(diǎn)二科學(xué)記數(shù)法

例題：（北京市門頭溝區(qū)20212022學(xué)年七年級(jí)下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷）《北京市"十四五”時(shí)期能源發(fā)展規(guī)劃》

中提出制定推廣新能源車實(shí)施方案，到2025年，全市新能源汽車?yán)塾?jì)保有量力爭(zhēng)達(dá)到200萬(wàn)輛，將？萬(wàn)

用科學(xué)計(jì)數(shù)法表示（）

A.2x104B.2x105C.2xl06D.2xl07

【答案】C

【解析】

【分析】

科學(xué)記數(shù)法的表示形式為axlO"的形式，其中"為整數(shù).確定"的值時(shí)，要看把原數(shù)變成。時(shí),

小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位，〃的絕對(duì)值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同.當(dāng)原數(shù)絕對(duì)值210時(shí)，〃是正整數(shù)；當(dāng)原數(shù)的

絕對(duì)值＜1時(shí)，〃是負(fù)整數(shù).

【詳解】

200萬(wàn)=2000000=2x106.

故選：C.

【點(diǎn)睛】

此題考查科學(xué)記數(shù)法的表示方法.科學(xué)記數(shù)法的表示形式為0X10〃的形式，其中區(qū)|a|V10,〃為整數(shù)，正

確確定a的值以及n的值是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

【變式訓(xùn)練】

1.（2022?河北?張家口市宣化區(qū)教學(xué)研究中心七年級(jí)期末）國(guó)家衛(wèi)健委每日都會(huì)公布全國(guó)31個(gè)?。ㄗ灾螀^(qū)、

直轄市）和新疆生產(chǎn)建設(shè)兵團(tuán)累計(jì)報(bào)告接種新冠病毒疫苗劑次.至2021年12月15日，31個(gè)省（自治區(qū)、

直轄市）和新疆生產(chǎn)建設(shè)兵團(tuán)累計(jì)報(bào)告接種新冠病毒疫苗26.4億劑次.其中26.4億用科學(xué)記數(shù)法表示為

()

A.26.4xl08B.2.64x10sC.26.4xlO9D.2.64xl09

【答案】D

【解析】

【分析】

科學(xué)記數(shù)法的表示形式為axio”的形式，其中正同＜10,"為正整數(shù).確定"的值時(shí)，要看把原數(shù)變成a

時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位，〃的絕對(duì)值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同.

【詳解】

26.4億=2640000000=2.64x109

故選D

【點(diǎn)睛】

本題考查了用科學(xué)記數(shù)法表示較大的數(shù)，一般形式為axlO",其中他同＜10,〃可以用整數(shù)位數(shù)減去1來(lái)

確定，用科學(xué)計(jì)數(shù)法表示數(shù)，一定要注意。的形式，以及指數(shù)〃的確定方法.

2.（2022?黑龍江牡丹江?模擬預(yù)測(cè)）在2022年3月13日北京冬殘奧會(huì)閉幕當(dāng)天，奧林匹克官方旗艦店再次

發(fā)售1000000只“冰墩墩"，很快便售罄.數(shù)據(jù)1000000用科學(xué)記數(shù)法表示為.

【答案】IO，

【解析】

【分析】

根據(jù)科學(xué)記數(shù)法的定義即可得.

【詳解】

解：科學(xué)記數(shù)法：將一個(gè)數(shù)表示成ax10”的形式，其中14時(shí)＜10,〃為整數(shù)，這種記數(shù)的方法叫做科學(xué)記

數(shù)法，

則1000000=1。6（這里。=1省略不寫）,

故答案為：1（）6.

【點(diǎn)睛】

本題考查了科學(xué)記數(shù)法，熟記科學(xué)記數(shù)法的定義（將一個(gè)數(shù)表示成ax10"的形式，其中144＜10,〃為整

數(shù)，這種記數(shù)的方法叫做科學(xué)記數(shù)法）是解題關(guān)鍵.確定〃的值時(shí)，要看把原數(shù)變成。時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多

少位，"的絕對(duì)值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同.

3.（2022?青海?中考真題）習(xí)近平總書記指出“善于學(xué)習(xí)，就是善于進(jìn)步學(xué)習(xí)強(qiáng)國(guó)”平臺(tái)上線的某天，全國(guó)

大約有124600000人在平臺(tái)上學(xué)習(xí)，將這個(gè)數(shù)據(jù)用科學(xué)記數(shù)法表示為.

【答案】1.246xl08

【解析】

【分析】

科學(xué)記數(shù)法的表示形式為axlO”的形式，其中14|a|<10,〃為整數(shù).確定〃的值時(shí)，要看把原數(shù)變成。時(shí),

小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位，〃的絕對(duì)值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同.當(dāng)原數(shù)絕對(duì)值卻0時(shí)，〃是正數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕

對(duì)值<1時(shí)，〃是負(fù)數(shù).

【詳解】

解：124600000=1.246x108,

故答案為：1.246x108.

【點(diǎn)睛】

此題考查科學(xué)記數(shù)法的表示方法.科學(xué)記數(shù)法的表示形式為“10〃的形式，其中14|a|V10,〃為整數(shù)，表

示時(shí)關(guān)鍵要正確確定。的值以及〃的值.

考點(diǎn)三有理數(shù)的乘方運(yùn)算

例題：(2021?上海青浦?期末)計(jì)算：.

【答案】-v

【解析】

【分析】

根據(jù)有理數(shù)的乘方，絕對(duì)值的性質(zhì)進(jìn)行求解即可；

【詳解】

解：原式=-1-3+:

4

15

【點(diǎn)睛】

本題主要考查有理數(shù)的混合運(yùn)算，掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵.

【變式訓(xùn)練】

1.(2022?全國(guó)?七年級(jí)專題練習(xí))計(jì)算

⑴2x(-3尸一4x(-3)+15；(2)(-2)3+(-3)x[(-4)2+2]-(-3)2(-2).

【答案】⑴27；

(2)57.5.

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)有理數(shù)的混合運(yùn)算法則計(jì)算即可；

(2)根據(jù)有理數(shù)的混合運(yùn)算法則計(jì)算即可.

⑴

解：2x(—3)3—4x(—3)+15

=2x(-27)+12+15

=—54+12+15

=-27.

(2)

解：(―2)3+(—3)x[(-釬+2卜(-+(—2)

9

=-8+(-3)xl8+-

9

=-8-54+-

2

=-57.5.

【點(diǎn)睛】

本題考查有理數(shù)的混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是掌握有理數(shù)混合運(yùn)算的法則，正確計(jì)算即可.

2.(2021?河南安陽(yáng)?七年級(jí)期中)閱讀下列材料：求1+2+2,+23+24+…+2加7的值.

解：設(shè)S=1+2+2?+23+2,+…+2初6+22。*①,

將等式兩邊同時(shí)乘以2得：2S=2+22+23+24+25+---+22017+22018②

將②減去①得：2S-S=22018-l,BPS=22O18-1,

即1+2+22+2=24+…+2刈7=2刈'-I.

請(qǐng)仿照上述方法計(jì)算：1+3+3?+33+…+32M.

【解析】

【分析】

設(shè)S=l+3+3?+33+…+3?必，然后兩邊同乘以3,進(jìn)而按照題中所給方法進(jìn)行求解即可.

【詳解】

解：設(shè)$=1+3+32*33+…+32W①,

將等式兩邊同時(shí)乘以3得：3S=3+32+33+34+--+32022@.

鼻2022_i

將②減去①得：3S-S=32022-l,即$=彳二，

220221

Al+3+32+33+-+32021=-—.

2

【點(diǎn)睛】

本題主要考查有理數(shù)的乘方運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是理解題中所給運(yùn)算方法.

考點(diǎn)四有理數(shù)的乘方的逆運(yùn)算

門、2021

例題：(2022?全國(guó)?七年級(jí)課時(shí)練習(xí))計(jì)算32。2。.(的結(jié)果是()

A.9B.—C.2D.—

39

【答案】B

【解析】

【分析】

根據(jù)乘方的逆運(yùn)算進(jìn)行計(jì)算.

【詳解】

解：原式=32020x(g產(chǎn)。x(1)'=(3x,。2。x(I)1=lx|=|

故選B

【點(diǎn)睛】

本題主要考查有理數(shù)乘方的運(yùn)算性質(zhì)的應(yīng)用，掌握乘方運(yùn)算是解題的關(guān)鍵.

【變式訓(xùn)練】

1.(2021?全國(guó)?課時(shí)練習(xí))(1)計(jì)算下面兩組算式：

①(3x5)2與3?x5?；②[(-2)x3]2與(-2)2x32；

(2)根據(jù)以上計(jì)算結(jié)果想開(kāi)去：(MP等于什么？(直接寫出結(jié)果)

(3)猜想與驗(yàn)證：當(dāng)"為正整數(shù)時(shí)，(M)”等于什么？請(qǐng)你利用乘方的意義說(shuō)明理由.

(4)利用上述結(jié)論，求(-4嚴(yán)°x0.252°21的值.

【答案】(1)

①225,225,(3x5)2=3?x5?;②36,36,[(-2)x3]2=(-2)2x32,

(2)a3b3

(3)見(jiàn)詳解

(4)0.25.

【解析】

【分析】

(1)①先算括號(hào)內(nèi)的數(shù)，再算平方；先算平方，再計(jì)算乘法即可，比較計(jì)算結(jié)果，

②先算括號(hào)內(nèi)的數(shù)，再算平方；先算平方，再計(jì)算乘法即可，比較計(jì)算結(jié)果，

(2)直接按(1)寫結(jié)果即可，

(3)利用乘方(而)”的意義寫成〃個(gè)數(shù)相乘，利用交換律轉(zhuǎn)化為\與小上乘積即可.

(4)利用積的乘方的逆運(yùn)算把0.25?⑼=0.252°2。*0.25,然后(T嚴(yán)。x0.25誣=(一4xO.25；T°x0.25,再簡(jiǎn)便

運(yùn)算即可.

【詳解】

(1)①(3x5)2=152=225,

3?x5?=9x25=225,

(3x5)2=32*52,

@[(-2)X3]2=(6)2=36,

(-2)2X3?=4X9=36,

[(-2)X3]2=(-2)2X32,

(2)-a3b3

(3)(")"=(仍)?(")..(ab)=:?夕?加…=a"b".

''I"個(gè)7I，，個(gè))

(4)(-4)202°X0252021=(-4x0.25嚴(yán)°x0.25=1x0.25=0.25.

【點(diǎn)睛】

本題考查有理數(shù)乘法法則問(wèn)題，先通過(guò)不同形式的計(jì)算，驗(yàn)證結(jié)果相同，達(dá)到初步認(rèn)證，再次認(rèn)證結(jié)果，

通過(guò)證明先算計(jì)積再算乘法，與先算每個(gè)數(shù)的乘方再算積，驗(yàn)證結(jié)論成立，會(huì)逆用積的乘方運(yùn)算來(lái)簡(jiǎn)便運(yùn)

算是解題關(guān)鍵.

2.(2022?江蘇?七年級(jí)專題練習(xí))閱讀計(jì)算：

閱讀下列各式：Cab)2—a2b2,Cab)3—a3b3,tab)4—a4b4...

回答下列三個(gè)問(wèn)題：

⑴驗(yàn)證：(4x0.25)100=；4lo°xO.25loo=.

(2)通過(guò)上述驗(yàn)證，歸納得出：()n=；()n=.

⑶請(qǐng)應(yīng)用上述性質(zhì)計(jì)算：(-0.125)2015X22014X42014.

【答案】(1)1,1;

(2)ab,anbn,abc,anbncn",

(3)-0.125

【解析】

【分析】

(1)先算括號(hào)內(nèi)的，再算乘方；先乘方，再算乘法.

(2)根據(jù)有理數(shù)乘方的定義求出即可；

(3)根據(jù)根據(jù)閱讀材料可得(-0.125x2x4)2014x(-0.125),再計(jì)算，即可得出答案.

(1)

解：(4x0.25)ioo=1ioo=1.

4looxO.25loo=1,

故答案為：1,1.

⑵

解：(ab)n—anbn,(abc)n—anbncn,

故答案為：ab,anbn,abc,anbncn.

⑶

解：原式=(-0.125)2014X22014X42014X(-().125)

=(-0.125x2x4)2O14X(-0.125)

=(-1)2014x(-0.125)

=lx(-0.125)

=-0.125

【點(diǎn)睛】

本題考查了有理數(shù)乘方的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的計(jì)算能力，理解閱讀材料是解題的關(guān)鍵.

考點(diǎn)五乘方運(yùn)算的符號(hào)規(guī)律

例題：(2022?全國(guó)?七年級(jí))填一填：

(1)102=,103=>104=,105=；

(2)(-10)2=,(-10)3=，(-10)4=,(-10)5=.

【答案】(1)100；1000；10000；100000(2)100；1000；10000；100000

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)正數(shù)的任何次幕都是正數(shù)計(jì)算即可；

(2)根據(jù)負(fù)數(shù)的奇次暴是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的偶次幕是正數(shù)計(jì)算可得結(jié)果.

【詳解】

解：(1)102=10x10=100,

103=10x10x10=1000,

104=10x10x10x10=10000,

105=10x10x10x10x10=100000,

故答案為：100；1000；10000；100000；

(2)(-10)2=-10x(-10)=100,

(-10)3=-10x(-10)x(-10)=-1000,

(一10『=-10x(-10)x(-10)x(-10)=10000,

(-10)5=-10x(-10)x(-10)x(-10)x(-10)=-100000,

故答案為：100；1000；10000；100000.

【點(diǎn)睛】

本題考查了有理數(shù)的乘方，正確計(jì)算各乘方的結(jié)果是關(guān)鍵.

【變式訓(xùn)練】

1.(2020?山東?周村二中階段練習(xí))已知a=176=(-2?,c=(-3尸，則a,b,c的大小關(guān)系為()

A.a<b<cB.a<c〈bC.c〈b<aD.c〈a〈b

【答案】D

【解析】

【分析】

先根據(jù)有理數(shù)的乘方的運(yùn)算化簡(jiǎn)，然后再比較大小即可.

【詳解】

解：*."a=l10=l,b=(-2)6=26,c=(-3)5=-35,

".c<a<b.

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了有理數(shù)乘方的運(yùn)算，掌握有理數(shù)乘方運(yùn)算的符號(hào)規(guī)律成為解答本題的關(guān)鍵.

2.(2022?全國(guó)?七年級(jí)課時(shí)練習(xí))觀察下列三組數(shù)的運(yùn)算：(-2)3=-8,-23=-8;(-3)3=-27,-33=-27；

(T)3=-64,-43=-64.聯(lián)系這些具體數(shù)的乘方，可以發(fā)現(xiàn)規(guī)律.下列用字母。表示的式子：①當(dāng)時(shí),

a3=(-a)3；②當(dāng)。>0時(shí)，-/=(_0)3.其中表示的規(guī)律正確的是()

N.①B.@C.①、②都正確D.①、②都不正確

【答案】B

【解析】

【分析】

根據(jù)三組數(shù)的運(yùn)算的規(guī)律逐個(gè)判斷即可得.

【詳解】

解：由三組數(shù)的運(yùn)算得：(-2)3=-8=-23=-[-(-2)]3,

(-3)3=-27=-33=-[-(-3)]\

(-4)3=-64=-43=-[-(-4)]3,

歸納類推得：當(dāng)a<0時(shí)，a3=-(-?)3,式子①錯(cuò)誤；

由三組數(shù)的運(yùn)算得：-23=-8=(-2兒

-33=-27=(-3)3,

—43=-64=(-4)3,

歸納類推得：當(dāng)。>0時(shí)，-a3=(-a)3,式子②正確；

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查了有理數(shù)乘方的應(yīng)用，正確歸納類推出一般規(guī)律是解題關(guān)鍵.

考點(diǎn)六新定義有理數(shù)的運(yùn)算

例題：(2022?江蘇?七年級(jí)專題練習(xí))定義一種新運(yùn)算(a,b),若ac=6,則(a,b)—c,例(2,8)=3,

(3,81)=4.已知(4,8)+(4,7)=(4,x),則x的值為

【答案】56

【解析】

【分析】

設(shè)4加=8,4?=7,根據(jù)新運(yùn)算可得加+〃=(4,x),從而得到4m+〃=x,即可求解.

【詳解】

解：設(shè)4加=8,4"=7,

(4,8)+(4,7)=(4,x),

m+n—(4,x),

.'.4m+n—x,

二4加x4〃=x,

8x7=x,

?.x=56,

故答案為：56.

【點(diǎn)睛】

本題考查有理數(shù)的混合運(yùn)算、新定義，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，會(huì)用新定義解答問(wèn)題.

【變式訓(xùn)練】

1.(2022?江蘇?七年級(jí))如果加=修那么我們記為：G,尸)=〃.例如32=9,則(3,9)=2.

⑴根據(jù)上述規(guī)定，填空：(2,8)=,(2,；)=；

⑵若(4,a)=2,(6,8)=3,求(6,a)的值.

【答案】⑴3,-2

(2)4

【解析】

【分析】

(1)這個(gè)定義括號(hào)內(nèi)第一個(gè)數(shù)為底數(shù)，第二個(gè)數(shù)為幕，結(jié)果為指數(shù)，根據(jù)有理數(shù)的乘方及負(fù)整數(shù)指數(shù)幕的

計(jì)算即可；

(2)根據(jù)定義先求出a,6的值，再求(6,a)的值.

(1)

解：因?yàn)?3=8,

所以(2,8)=3；

因?yàn)?。=!，

4

所以(2,-)=-2.

4

故答案為：3,-2；

⑵

解：根據(jù)題意得。=4?=16,〃=8,

所以6=2,

所以(.b,a')=(2,16),

因?yàn)?4=16,

所以(2,16)=4.

答：(6,a)的值為4.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了有理數(shù)的乘方，負(fù)整數(shù)指數(shù)幕，考核學(xué)生的運(yùn)算能力，熟悉乘方運(yùn)算是解題的關(guān)鍵.

2.(2021?江西南昌?七年級(jí)期中)定義一種新的運(yùn)算如2/i3=23=8,求

(1)3A2；

(2)(3A2)A2；

(3)3A(2A2).

【答案】(1)9,(2)81,(3)81；

【解析】

【分析】

根據(jù)新定義運(yùn)算法則，把新定義運(yùn)算轉(zhuǎn)化為有理數(shù)乘方運(yùn)算即可.

【詳解】

(1)3A2=32=9；

(2)(3A2)A2=(32)A2=9A2=92=81；

(3)3A(2A2)=3A(22)=3A4=34=81.

【點(diǎn)睛】

本題考查了新定義運(yùn)算，解題關(guān)鍵是明確題意，把新定義運(yùn)算轉(zhuǎn)化為有理數(shù)乘方.

考點(diǎn)七有理數(shù)的混合運(yùn)算

例題：(河南省南陽(yáng)市油田20212022學(xué)年七年級(jí)上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題)計(jì)算：

(1)(-1)2019-|-3-7|XL|LL|\

【答案】⑴5

⑵

【解析】

【分析】

(1)先算乘方，絕對(duì)值，除法轉(zhuǎn)化為乘法，最后算加減即可；

(2)先算乘方，括號(hào)里的運(yùn)算，再算乘法，最后算加減即可.

(1)

解：(-l)2019-|-3-7|x(-i)4-(-

=-l-10x(-1)x(-2)

=—1—4

二一5；

⑵

解：—I4—(1—0.5)X—x[1—(―2)2].

=-1-—X—x(1-4)

23

=-l--x(-3)

6

=-l+-

2

--21

【點(diǎn)睛】

本題主要考查有理數(shù)的混合運(yùn)算，有理數(shù)的乘方、絕對(duì)值，解題的關(guān)鍵是對(duì)相應(yīng)的運(yùn)算法則的掌握.

【變式訓(xùn)練】

1.(重慶市梁平區(qū)20212022學(xué)年七年級(jí)上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題)計(jì)算

(l)-22+3x(-l)2016-9^(-3)

(2)52旦上-4

l7rt7123

【答案】⑴2

85

⑵——

84

【解析】

【分析】

(1)先計(jì)算有理數(shù)的乘方、乘除，再計(jì)算加減；

(2)將分?jǐn)?shù)除法變形為分?jǐn)?shù)乘法，再進(jìn)行乘法和加減運(yùn)算.

⑴

解:-22+3x(-l)2016-9^(-3)

=-4+3+3

=2

⑵

_25_25_^_

--84-84^12

_85

-_84

【點(diǎn)睛】

本題考查帶乘方的有理數(shù)的混合運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題，掌握有理數(shù)的運(yùn)算法則并正確計(jì)算是解題的關(guān)鍵.

2.(2022?全國(guó)?七年級(jí))計(jì)算：-2"+-I2x(-6)|-(-1)2x(-16).

【答案】2

【解析】

【分析】

根據(jù)有理數(shù)的混合運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可.

【詳解】

解：原式=76…21x(-⑹

=-164-(-12+4)

=-16-(-8)

=2.

【點(diǎn)睛】

本題考查有理數(shù)的混合運(yùn)算，解題關(guān)鍵是熟練掌握有理數(shù)的運(yùn)算法則.

3.(2022?全國(guó)?七年級(jí)專題練習(xí))計(jì)算：

,「137、1

(1)(---1---------)4-----

481224

出(-1嚴(yán)2、|-13|+0.5+(-3.

【答案】⑴1

(2)3

【解析】

【分析】

(1)先化除為乘，再用乘法的分配率計(jì)算即可;

⑵按照有理數(shù)的混合運(yùn)算順序，先算乘方，再算乘除，最后算加減即可;

(1)

￡32_1

解:+

481224

J_32_

+x24

4812

137

-x24+-x24——x24

4812

6+9-14

1;

⑵

(-1)2024I-1；1+0.5+(-1)

31

(-1)X—+—x(-3)

22

3

—+

2

_3.

【點(diǎn)睛】

本題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，以及有理數(shù)的乘法分配率，解題的關(guān)鍵是熟悉有理數(shù)的混合運(yùn)算順序.

;課后訓(xùn)練

一、選擇題

1.(2021?四川成都?七年級(jí)期中)下列運(yùn)算正確的是()

c224

A.-32=—9B.(—3)=—9C.—=—D.23=6

39

【答案】A

【解析】

【分析】

根據(jù)有理數(shù)的乘方的定義對(duì)各選項(xiàng)分析判斷后利用排除法求解.

【詳解】

解：A.-32=-9,故本選項(xiàng)正確；

(-3)2=9,故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

?24

。、y=j,故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

D、23=8,故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查了有理數(shù)的乘方，有理數(shù)的乘法，有理數(shù)的除法，注意分?jǐn)?shù)、負(fù)數(shù)的乘方要加括號(hào)，這也是初學(xué)

者最容易出錯(cuò)的地方.

2.(2022?全國(guó)?七年級(jí)專題練習(xí))近日，恩施州發(fā)改委公布2021年度恩施州旅游景區(qū)免費(fèi)開(kāi)放日的執(zhí)行情

況，截止到2021年12月31日，恩施州18家景區(qū)落實(shí)了此計(jì)劃，門票以外項(xiàng)目實(shí)現(xiàn)綜合收入237.3萬(wàn)元以

上，且沒(méi)有發(fā)生任何安全事故，也沒(méi)有接到價(jià)格違法行為舉報(bào)和投訴.將數(shù)237.3萬(wàn)用科學(xué)記數(shù)法表示為

()

A.2.373xl05B.23.73xl04C.2.373xl06D.0.2373xl06

【答案】C

【解析】

【分析】

用科學(xué)記數(shù)法表示較大的數(shù)時(shí)，一般形式為“10",其中141al<10,〃為整數(shù)，且〃比原來(lái)的整數(shù)位數(shù)少

1,據(jù)此判斷即可.

【詳解】

解：237.3萬(wàn)=2373000=2.373x106.

故選：C.

【點(diǎn)睛】

此題主要考查了用科學(xué)記數(shù)法表示較大的數(shù)，一般形式為610〃，其中l(wèi)V|a|<10,確定。與〃的值是解題

的關(guān)鍵.

3.（2022?全國(guó)?七年級(jí)）下列各對(duì)數(shù)中互為相反數(shù)的是（）

A.32與-233.-23與（-2）3

C.（-3x2）2與23x（-3）D.-32與（-3）2

【答案】D

【解析】

【分析】

根據(jù)相反數(shù)的意義逐一判斷即可求解.

【詳解】

解：A.根據(jù)有理數(shù)的乘方、相反數(shù)的定義，32=9,-23=-8,那么32與-23不是相反數(shù)，故/不符合題

十.

忌;

氏根據(jù)有理數(shù)的乘方、相反數(shù)的定義，-23=-8,（-2）3=-8,那么-23與（-2）3不是相反數(shù)，故8

不符合題意；

C.根據(jù)有理數(shù)的乘方、相反數(shù)的定義，（-3x2）占36,23x（-3）=-24,那么（-3x2）2與23、（-3）

不是相反數(shù)，故C不符合題意；

D根據(jù)有理數(shù)的乘方、相反數(shù)的定義，-32=-9,（-3）2=9,那么-32與（-3）2互為相反數(shù)，故。

符合題意；

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查了相反數(shù)、有理數(shù)乘方的運(yùn)算，熟練掌握相反數(shù)的定義及有理數(shù)乘方的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵是

解題的關(guān)鍵.

4.（2022?江蘇■七年級(jí)專題練習(xí)）下列各式X、爐、彳2+2、|x+2|中，值一定是正數(shù)的有（）

1個(gè)8.2個(gè)C.3個(gè)D4個(gè)

【答案】B

【解析】

【分析】

根據(jù)有理數(shù)的乘方、絕對(duì)值的性質(zhì)進(jìn)行解答即可.

【詳解】

解：x不一定是正數(shù)；N不一定是正數(shù)；

」一定是正數(shù)；爐+2一定是正數(shù)；

1^1

|x+2|不一定是正數(shù)；

所以值一定是正數(shù)的有2個(gè)，

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查了非負(fù)數(shù)，絕對(duì)值.掌握非負(fù)數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

5.（2022?山東青島?七年級(jí)期末）按照如圖所示的計(jì)算程序，若x=3,則輸出的結(jié)果是（）

A.1B.9C.-71D.-81

【答案】C

【解析】

【分析】

將x的值代入程序圖中的程序按要求計(jì)算即可.

【詳解】

解：當(dāng)x=3時(shí)，10x2=109=l>0,

于是再把x=l輸入，10X2=101=9>0,不合題意；

再把x=9輸入，10d=1081=71<0,符合題意，

因此輸出的數(shù)為：71,

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了求代數(shù)式的值，有理數(shù)的混合運(yùn)算，本題是操作型題目，按程序圖的要求運(yùn)算是解題的關(guān)

鍵.

二、填空題

6.（2022?黑龍江?哈爾濱市第六十九中學(xué)校期中）若卜+耳+（3-6）2=0,則/=.

【答案】-27

【解析】

【分析】

由非負(fù)數(shù)的性質(zhì)可得。+6=0旦3-6=0,再求解0,6的值，代入計(jì)算即可得到答案.

【詳解】

解：Q\a+b\+（3-b）2=0,

Q+6=0且3-6=0,

解得：a=-3,b=3,

\ab=卜3）3--27.

故答案為：-27.

【點(diǎn)睛】

本題考查的是非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，乘方的含義，求解。=-3,6=3是解本題的關(guān)鍵.

7.（2022?全國(guó)?七年級(jí)）歷經(jīng)183天，2022年4月16日，太空"出差"三人組順利凱旋，平安降落在內(nèi)蒙古

東風(fēng)著陸場(chǎng).三人順利回家，這也意味著，我國(guó)將進(jìn)入空間站工程的建造階段.中國(guó)空間站離地球有400

千米遠(yuǎn).400千米用科學(xué)記數(shù)法表示為米.

【答案】4x105

【解析】

【分析】

根據(jù)科學(xué)記數(shù)法的表示形式即可求解.

【詳解】

解：400千米=400000米=4x105米，

故答案為：4xl05.

【點(diǎn)睛】

本題考查了科學(xué)記數(shù)法，熟練掌握科學(xué)記數(shù)法的表示形式是解題的關(guān)鍵.

ab4

8.（2022?江蘇?七年級(jí)專題練習(xí)）定義一種新運(yùn)算：=ad-bc,根據(jù)新運(yùn)算規(guī)則，計(jì)算

ca2

3

【答案】-25

【解析】

【分析】

根據(jù)新定義的運(yùn)算法則，列式進(jìn)行計(jì)算即可.

【詳解】

解：*.*=ad-bc

ca

=-28+3

=-25,

故答案為：-25.

【點(diǎn)睛】

本題考查的是新定義運(yùn)算，有理數(shù)的加減乘法運(yùn)算，掌握〃新定義的含義，有理數(shù)的混合運(yùn)算的運(yùn)算順序〃

是解本題的關(guān)鍵.

9.（2022?江蘇?七年級(jí)專題練習(xí)）已知.、〃互為相反數(shù)，p、夕互為倒數(shù)，x的絕對(duì)值為2,則代數(shù)式

天亦+20220q+x的值是

【答案】2024或2020##2020或2024

【解析】

【分析】

根據(jù)題意可知〃?+"=0,pq=1,x—±2,將原式化簡(jiǎn)代入即可.

【詳解】

..?加、〃互為相反數(shù)，p、q互為倒數(shù)，x的絕對(duì)值為2,

??加+〃=0,pq=\,x=±2.

加+〃0

則----+2022p”x=-------+2022x1±2

20212021

=0+2022+2

=2022±2.

，原式=2022+2=2024或原式=2022-2=2020.

故答案為：2024或2020.

【點(diǎn)睛】

本題考查相反數(shù)，倒數(shù)，絕對(duì)值的概念，能夠掌握整體代入思想是解決本題的關(guān)鍵.

10.（2022?山東濟(jì)寧?二模）現(xiàn)定義一種新運(yùn)算（a,b），若"=6，貝U（。力）=c,例如：：3,=81,，（3,81）=4.依

據(jù)上述運(yùn)算規(guī)則，計(jì)算（5,125）+[；,5）的結(jié)果是.

【答案】5

【解析】

【分析】

根據(jù)新運(yùn)算定義求出（5,125）=3,[Wj=2,代入計(jì)算即可.

【詳解】

解：；53=125,

/.（5,125）=3,

(5,125)+(；,總=3+2=5,

故答案為：5.

【點(diǎn)睛】

此題考查了新定義運(yùn)算，正確掌握有理數(shù)的乘方運(yùn)算是解題的關(guān)鍵.

三、解答題

11.(2022?江蘇?七年級(jí)專題練習(xí))若(x+3)2與|j,-2|互為相反數(shù).求個(gè)的值.

【答案】9

【解析】

【分析】

根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)列式求出x、y的值，然后代入代數(shù)式進(jìn)行計(jì)算即可得解.

【詳解】

解：???(X+3)2與-21互為相反數(shù)，

(x+3)2+\y-21=0,

.*.x+3=0且y-2=0,

??x——~3,y=2,

?'?xy=(-3)2=9；

【點(diǎn)睛】

本題考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和為0時(shí)，這幾個(gè)非負(fù)數(shù)都為0.

12.(2021?江蘇?無(wú)錫市江南中學(xué)七年級(jí)期中)在數(shù)軸上表示下列各數(shù)，并用〃<〃號(hào)把它們按照從小到大的順

序排列.

1.5,-(-1)10°,-(-2),-22,-I-2y|.

IIIII111111A

-5-4-3-2-1012345

【答案】在數(shù)軸上表示見(jiàn)解析；(-1)100<1.5<-(-2).

【解析】

【分析】

先將各數(shù)化簡(jiǎn)，再在數(shù)軸上表示出來(lái)，并結(jié)合數(shù)軸用號(hào)連接即可求解.

【詳解】

解：-(-1)1。。=1,-(-2)=2,-2?=4,-|-2：|=2；,

將1.5,-(-1)%-(-2),-22,-|-23|在數(shù)軸上表示為：

1

曼2100

一J-|1-j2lI-(-J1)1.,5-J(-2)II_____>,

-5-4-3-2-1012345

用號(hào)把它們按照從小到大的順序排列-22<-I-2；IV-(-1)100<1.5<-(-2).

【點(diǎn)睛】

本題考查了用數(shù)軸表示有理數(shù)、有理數(shù)的大小比較，乘方的意義，絕對(duì)值、相反數(shù)等知識(shí)，綜合性較強(qiáng)，

準(zhǔn)確將各數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)是解題關(guān)鍵.

13.(2021?福建三明?七年級(jí)期中)如圖，一只螞蟻從點(diǎn)/沿?cái)?shù)軸向右爬了2個(gè)單位長(zhǎng)度到達(dá)點(diǎn)2,點(diǎn)/表

(2)求+的值.

【答案】(1)；(2)

24

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)題意得出8表示的數(shù)，確定出〃的值即可；

(2)根據(jù)〃的范圍確定出"1的正負(fù)，原式利用絕對(duì)值的代數(shù)意義化簡(jiǎn)，將”的值帶入(”2)2即可得到結(jié)

果.

【詳解】

解：(1)根據(jù)題意得：-1：+2=：,

22

則"的值為:；

(2)當(dāng)時(shí)，

原式:(1-2)2

22

【點(diǎn)睛】

本題考查了數(shù)軸，絕對(duì)值的性質(zhì)和有理數(shù)的乘方，理解數(shù)軸上的數(shù)向右移動(dòng)加是解題的關(guān)鍵.

14.(2021?山東德州?七年級(jí)期中)計(jì)算：

(1)12+(-13)+8+(-7)；

(3)-5+2x(-3)-(-12)十(-2)；

Q

(4)-l2014+|-5|x(--)-(-4)2+(-8).

【答案】(1)0；(2)I；(3)17；(4)7.

【解析】

【分析】

(1)利用有理數(shù)的加減運(yùn)算法則計(jì)算即可；

(2)利用有理數(shù)的乘除運(yùn)算法則計(jì)算即可；

(3)利用有理數(shù)的運(yùn)算法則計(jì)算即可；

(4)先計(jì)算乘方再利用有理數(shù)的運(yùn)算法則計(jì)算即可;

【詳解】

解：(1)12+(-13)+8+(-7)；

=1213+87

=0

(3)-5+2x(-3)-(-12)-r(-2)；

=566

=17

Q

(4)-12014+|-5|x(--)-(-4)2+(-8).

=1816+(-8)

=7

【點(diǎn)睛】

此題考查了有理數(shù)的加減混合運(yùn)算、有理數(shù)的乘除混合運(yùn)算以及含乘方的混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是

解本題的關(guān)鍵.

15.(2022?江蘇?七年級(jí)專題練習(xí))計(jì)算：

25

(1)(-3)2x[-(--)]；

。y

(2)-14+(-3)x[(-4)2+2]-(-2)3%；

⑶(-10)3+[(-4)2+(1-32)x2]-(-0.28)+0.04x(-1)2020

【答案】⑴-11;

⑵-53；

⑶-993

【解析】

【分析】

(1)先化簡(jiǎn)，利用乘法分配律計(jì)算即可；

(2)運(yùn)用有理數(shù)的混合運(yùn)算法則計(jì)算：先乘方、后乘除、最后算加減，有括號(hào)先算括號(hào)里面的；

(3)運(yùn)用有理數(shù)的混合運(yùn)算法則計(jì)算：先乘方、后乘除、最后算加減，有括號(hào)先算括號(hào)里面的.

(1)

25

原式=9、(-y--)

25

=9x(--)+9x(---)

39

=-6-5

=-H;

⑵

原式=-1-3x(16+2)-(-8)+4

=-1-3x18+84-4

=-1-54+2

=-53；

⑶

原式=-1000+[16+(1-9)x2]-(-0.28)+0.04x1

=-1000+(16-8x2)-(-7)xi

=-1000+(16-16)+7

=-1000+7

=-993.

【點(diǎn)睛】

本題考查有理數(shù)的混合運(yùn)算，熟練掌握有理數(shù)混合運(yùn)算的法則是解題的關(guān)鍵，其中每一項(xiàng)的符號(hào)是易錯(cuò)點(diǎn).

16.(2021?四川成都?七年級(jí)期中)(1)(-6)-(-11)-7+(-5)

(2)(-2)4-(-2-+2.5)-TP

(4)1x|-|x[2x(-l)3-7j-3-^j-4x0.^

【答案】(1)7；(2)84；(3)-10-；(4)19

3

【解析】

【分析】

先算乘方，再算乘除，最后算加減，有括號(hào)的先算括號(hào)內(nèi)的.

【詳解】

解：(1)原式=-6+11-7-5

=-7;

(2)原式=―8+(_^+

=-84---4

10

=-80-4

=84；

(3)原式二一9—9*(—曰+(—4)+1—1.5x?義；

2

一*3

-10-；

3

9「7