2024-2025學(xué)年人教版高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)講義：拓展三圓錐曲線的方程（弦長問題）原卷版

第09講圓錐曲線的方程（弦長問題）

一、知識點歸納

知識點一：弦長公式

|=-%）2+（八一%）2

\AB1=J（l+k2）（再―％）2

=Jl+k|xj—X-,|

=J（1+&）［（石+々）2-（最常用公式，使用頻率最高）

=+。2）2-4yly2

知識點二：基本不等式

a+b>14^b（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時等號成立）

二、題型精講

題型01求橢圓的弦長

【典例1】（2023春?四川成都?高二校聯(lián)考期末）已知橢圓E：的離心率為當(dāng)且其

中一個焦點與拋物線N=8x的焦點重合.

⑴求橢圓E的方程；

（2）若直線/：y="+2與橢圓E交于不同的A,8兩點，且滿足西?麗=-1（。為坐標原點），求弦長|鈿|

的值.

【典例2】(2023春?廣西?高二校聯(lián)考階段練習(xí))在直角坐標系xOy中己知人(-5,0),3(5,0),尸是平面內(nèi)一

動點，且直線PA和直線的斜率之積為記點P的運動軌跡為曲線C.

⑴求曲線C的方程；

(2)若直線/與曲線C相交于N兩點.且線段MN的中點為。，求|MN|.

【變式11(2023春?黑龍江哈爾濱?高二哈爾濱三中校考階段練習(xí))已知平面內(nèi)動點/(羽y)與定點歹(L0)的

距離和M到定直線x=4的距離的比是常數(shù)3.

⑴求動點/的軌跡方程；

⑵設(shè)動點加的軌跡為曲線C,過定點尸(1,0)的直線/和曲線C交于不同兩點A、3滿足衣=2而，求線段

A3的長.

【變式2](2023秋?新疆巴音郭楞?高二校聯(lián)考期末)已知橢圓C的焦點為B(0,2)和尸2(0,2),長

軸長為2際，設(shè)直線y=x+2交橢圓C于A,2兩點.

⑴求橢圓C的標準方程；

(2)求弦AB的中點坐標及|AB|.

題型02求橢圓的弦長的最值（范圍）

【典例1】（2023秋?浙江寧波?高二校聯(lián)考期末）過點（0,2）的直線/與橢圓C:斗+丁=1交于P,Q兩點，則|P（2|

O

的最大值是.

22

【典例2】（2023春?福建莆田?高二莆田第十中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知橢圓C:「+2的離心率

ab

為乎，C上的點到其焦點的最大距離為亞+2.

⑴求C的方程；

4

（2）若圓尤2+>2=耳的切線/與c交于點A,B,求I4BI的最大值.

22

【典例3】（2023?全國?高三專題練習(xí)）己知橢圓C言+}=l（a>b>0）的離心率為左頂點為人（-2,0）,

直線/與橢圓C交于P,Q兩點.

（1）求橢圓的C的標準方程；

⑵若直線AP,4。的斜率分別為左，k2,且尢,&=-\,求|PQ|的最小值.

22

【典例4】(2023秋?湖南岳陽,高二湖南省汨羅市第一中學(xué)校聯(lián)考期末)設(shè)橢圓氏]+==1(。>6>0)的

左右焦點片，F(xiàn)?分別是雙曲線!一y=1的左右頂點，且橢圓的右頂點到雙曲線的漸近線的距離為坐.

(1)求橢圓E的方程；

(2)是否存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點AB,且況，礪？若存在，

寫出該圓的方程，并求|鉆|的取值范圍，若不存在，說明理由.

【變式1】(2023?全國?高三專題練習(xí))已知橢圓C:/+，=l(a>b>0)的離心率為白，它的四個頂點構(gòu)

成的四邊形的面積為4.

⑴求橢圓C的方程；

(2)設(shè)過點,0)的直線/與圓尤2+y2=i相切且與橢圓。交于人、8兩點，求的最大值.

22

【變式2](2023春?福建泉州?高二福建省永春第一中學(xué)校考階段練習(xí))已知橢圓C：「+2=l(a>6>0)

ab

的短軸長為4,離心率為逝.點尸為圓V：尤2+丁=16上任意一點，O為坐標原點.

3

⑴求橢圓C的標準方程；

(2)記線段。尸與橢圓C交點為Q,求|尸。|的取值范圍.

22

【變式3］（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知橢圓￡：二+當(dāng)=1（。＞6＞。）的兩個焦點片，B，動點P在橢

ab

圓上，且使得/月尸鳥=90。的點P恰有兩個，動點尸到焦點耳的距離的最大值為2+忘.

⑴求橢圓G的方程；

（2）如圖，以橢圓C1的長軸為直徑作圓C2，過直線》=_20上的動點T作圓C2的兩條切線，設(shè)切點分別為A,

B,若直線AB與橢圓G交于不同的兩點C,D,求弦ICOI長的取值范圍.

題型03根據(jù)橢圓的弦長求參數(shù)

【典例1】（2023春?上海靜安?高二統(tǒng)考期末）在平面直角坐標系xOy中，設(shè)A（-l,0）、以1,0）,動點P滿足:

k、％=m,其中加是非零常數(shù)，％、均分別為直線尸4PB的斜率.

⑴求動點P的軌跡「的方程，并討論「的形狀與加值的關(guān)系；

（2）當(dāng)機=T時，直線產(chǎn)質(zhì)+入交曲線1于C、。兩點，。為坐標原點.若線段CO的長度|C"=2,△（%?的

面積S=l,求直線CO的方程.

【典例2】(2023春?四川成都?高二四川省成都市新都一中校聯(lián)考期末)已知在平面直角坐標系xOy中，橢

圓C：5+/=l(a>6>0)的右頂點為A,上頂點為8,AAOB的面積為0,離心率e=與.

⑴求橢圓C的方程；

(2)若斜率為左的直線/與圓尤2+y2=]相切，且/與橢圓C相交于M、N兩點，若弦長|跖V|的取值范圍為

|,2行,求斜率k的取值范圍.

【典例3】(2023春?四川成都?高二四川省成都市新都一中校聯(lián)考期末)已知在平面直角坐標系xOy中，橢

圓C:/+，=l(a>6>0)的右頂點為A,上頂點為3,AAOB的面積為0,離心率e=，.

⑴求橢圓C的方程；

(2)若斜率為左的直線/與圓V+y2=i相切，且/與橢圓C相交于N兩點，若弦長|MN|的取值范圍為

:20,求兩.兩的取值范圍.

22

【變式1](2023春?上海浦東新?高二統(tǒng)考期末)橢圓C上+匕=1.

42

⑴求橢圓C的離心率；

⑵若月、尸2分別是橢圓C的兩個焦點，P是C上的一點，且短質(zhì)=1,求點尸的坐標;

⑶如果/：、=尤+a被橢圓C截得的弦長拽，求該直線的方程.

3

【變式2】（2023?黑龍江齊齊哈爾?齊齊哈爾市實驗中學(xué)?？既＃┰谄矫嬷苯亲鴺讼祒Oy中，己知橢圓

222

'+匕=l（a>板）與橢圓C?：/+匕=1,且橢圓C2過橢圓q的焦點.過點e（0,后））且不與坐標軸

a22

平行或重合的直線/與橢圓G交于A,8兩點，與橢圓a交于c,。兩點.

⑴求橢圓G的標準方程；

⑵若存在直線/,使得|AB|=6|CD|,求實數(shù)/的取值范圍.

【變式3］（2023春?四川內(nèi)江?高二四川省內(nèi)江市第六中學(xué)校考階段練習(xí)）橢圓E的方程為

fv21

2+2=1（〃>6>0）,短軸長為2,若斜率為-1的直線與橢圓E交于兩點，且線段A8的中點為（與）.

⑴求橢圓E的方程；

（2）若直線/：、=履+m（左>0）與圓相切，且與橢圓E交于N兩點，且|MV|=若，求直線/

的方程.

題型04求雙曲線的弦長

【典例1】（2023?新疆喀什,校考模擬預(yù)測）已知雙曲線C兩條準線之間的距離為1,離心率為2,直線/經(jīng)

過C的右焦點，且與C相交于42兩點.

（1）求C的標準方程；

（2）若直線/與該雙曲線的漸近線垂直，求A8的長度.

【典例2］（2023春?甘肅金昌?高二永昌縣第一高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知雙曲線C的漸近線為y=±后，

且過點M（l,應(yīng)）.

⑴求雙曲線C的方程；

（2）若直線y=6+l與雙曲線C相交于A,8兩點,。為坐標原點，若0A與。8垂直,求a的值以及弦長|

22

【變式1］（2023秋?廣東湛江,高二統(tǒng)考期末）設(shè)第一象限的點〃（汽,幾）是雙曲線C:3=1色＞0）上

的一點，已知C的一條漸近線的方程是y=^x.

（1）求。的值，并證明：*無。一%＜且；

2%

（2）若直線/：y=尤-3和曲線c相交于E,尸兩點，求但同.

【變式2］（2023?江蘇?高二專題練習(xí)）雙曲線的焦點耳,工的坐標分別為（-5,0）和（5,0）,離心率為e=j,

求：

⑴雙曲線的方程及其漸近線方程；

⑵已知直線/與該雙曲線交于交于兩點，且A,8中點尸（5,1）,求直線AB的弦長.

題型05根據(jù)雙曲線的弦長求參數(shù)

【典例1】（2023春?上海浦東新?高二上海南匯中學(xué)?？计谥校┮阎c月，尸2依次為雙曲線

22

土方=1（“>0,6>0）的左、右焦點，且寓局=6,令鞏0力）.

⑴設(shè)此雙曲線經(jīng)過第一、三象限的漸近線為4,若直線工8與直線《垂直，求雙曲線的離心率；

（2）若〃=有，以此雙曲線的焦點為頂點，以此雙曲線的頂點為焦點得到橢圓C,法向量為為=（4,3）的直線4

與橢圓C交于兩點N,且|"N|=4,求直線4的一般式方程.

22

【典例2】（2023秋?重慶渝中?高二重慶巴蜀中學(xué)?？计谀┮阎p曲線C:二-與=1（°>0,。>0）的漸近線方

ab

程是2尤土y=0,右頂點是A（“,0）.

⑴求雙曲線C的離心率；

⑵過點A傾斜角為?的直線/與雙曲線的另一交點是8,若|AB|=8應(yīng)，求雙曲線C的方程.

【變式1］（2023秋?浙江寧波,高二期末）已知焦點在x軸上的雙曲線C的漸近線方程為〉=±2彳,

⑴求雙曲線C的離心率e

（2）若直線y=x+2與C相交于不同的兩點A,B,且|AB|=2年，求雙曲線C的方程.

【變式2］（2023秋?安徽合肥?高三?？计谀╇p曲線C的中心在原點，右焦點為尸,0,漸近線方程

為y=±>/3x.

⑴求雙曲線C的方程；

⑵過點"(0,1)且斜率為的直線/,與雙曲線C交于不同的A,8兩點，若求直線/的

方程.

22

【變式3](2023春?上海浦東新,高二上海市洋涇中學(xué)校考階段練習(xí))已知雙曲線C?一斗=1(。>01>0)

ab

的離心率為百，實軸長為2.

⑴求雙曲線的標準方程；

(2)若直線y=被雙曲線C截得的弦長為40,求m的值.

題型06求拋物線焦點弦

【典例1】(2023春?甘肅武威?高二統(tǒng)考開學(xué)考試)已知拋物線y2=2px(p>0)過點(1,2).

⑴求拋物線的標準方程；

⑵過拋物線焦點P作直線/與拋物線交于兩點，已知線段8的中點以橫坐標為4,求弦。的長度.

【典例2】(2023?全國,高三專題練習(xí))已知拋物線E：無2=2處(0>0)的焦點為b(0,2).

⑴求?；

（2）斜率為2的直線過點尸，且與拋物線E交于A8兩點，求線段A3的長.

【典例3】（2023春?新疆塔城,高二統(tǒng)考開學(xué)考試）已知拋物線C：V=2px過點A（-2,T）.

⑴求拋物線C的方程，并求其準線方程；

（2）過該拋物線的焦點，作傾斜角為60°的直線，交拋物線于4B兩點，求線段A8的長度.

【變式1］（2023春?四川雅安?高二雅安中學(xué)校考階段練習(xí)）已知拋物線V=2px的準線的方程為x=-l,

過點（1,0）作傾斜角為?的直線1交該拋物線于兩點3仇,必）.求：

（1）。的值；

（2）弦長

【變式2］（2023秋?湖南懷化?高二統(tǒng)考期末）己知拋物線丁=2力（0>0）的準線方程是x=T1是拋物線

焦點.

⑴求拋物線焦點坐標及其拋物線方程：

⑵已知直線/過點/，斜率為2,且與拋物線相交于A,3兩點，求

【變式3］（2023秋?四川宜賓?高二四川省宜賓市南溪第一中學(xué)校?？计谀┮阎獟佄锞€C的頂點在原點,

焦點坐標為尸（2,0）.

⑴求C的標準方程；

（2）若直線y=2x-4與C交于A、B兩點,求線段AB的長.

題型07求拋物線中非焦點弦

22

【典例1】（2023?四川成都?成都七中?？寄M預(yù)測）已知橢圓G：2+/=1>6>0）與拋物線C2：V=4辦

的圖象在第一象限交于點P.若橢圓的右頂點為3,且「用=:。.

⑴求橢圓G的離心率.

（2）若橢圓。的焦距長為2,直線/過點B.設(shè)/與拋物線C?相交于不同的兩點M、N,且AOMN的面積為24,

求線段|加用的長度.

【典例2】（2023?廣西?統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知拋物線C:y2=2px（p>0）的焦點/到準線的距離為2.

⑵若P為直線/：x=-2上的一動點，過P作拋物線C的切線以尸6A3為切點，直線A2與/交于點過

/作的垂線交/于點N,當(dāng)|肱V|最小時.求|刈|.

【變式1］（2023春?內(nèi)蒙古興安盟?高二烏蘭浩特市第四中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知拋物線C的頂點在原點,

22

對稱軸是坐標軸，它的準線過雙曲線的左焦點.

⑴求拋物線C的方程;

(2)若過點P(3,l)且斜率為1的直線與拋物線C交于M,N兩點，求|MN|.

【變式2](2023秋?湖北?高二統(tǒng)考期末)已知拋物線C：V=2px(p>0)上第一象限的一點P(l,y)到其焦

點的距離為2.

⑴求