與導(dǎo)數(shù)相關(guān)的極值、最值-高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)壓軸題（選擇、填空題）（新高考地區(qū)專用）

專題33與導(dǎo)數(shù)相關(guān)的極值、最值

【方法點(diǎn)撥】

1.極值問題轉(zhuǎn)化為（二次）方程根的問題，為求某個表達(dá)式的范圍，其難點(diǎn)在于消元、新元的

范圍.

2.利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)零點(diǎn)問題的方法：

（1）直接法：先對函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的方法求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值，根據(jù)函數(shù)的基

本性質(zhì)作出圖象，然后將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)問題，突出導(dǎo)數(shù)的工具作用，體

現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想和分類討論思想的應(yīng)用；

（2）構(gòu)造新函數(shù)法：將問題轉(zhuǎn)化為研究兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題；

⑶參變量分離法：由〃九）=0分離變量得出Q=g（%）,將問題等價轉(zhuǎn)化為直線>與

函數(shù)y=g（x）的圖象的交點(diǎn)問題.

【典型題示例】

例1（2022?全國乙卷17）已知x=芭和x=%分別是函數(shù)/（x）=2優(yōu)-ex?（a>0且

awl）的極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn).若不<々，則a的取值范圍是.

【答案】

【分析】由國,無2分別是函數(shù)/（力=2優(yōu)-eV的極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn)，可得

%?-00,%）。（％2，+00）時，xe（X],X2）時，r（x）>0,再分4>1和o<a<l

兩種情況討論，方程21na?優(yōu)—2ex=0的兩個根為和馬，即函數(shù)y=lna?優(yōu)與函數(shù)

>=ex的圖象有兩個不同的交點(diǎn)，且滿足石時，In〃?優(yōu)<ex，

%6（%,々）時，111人,>Q，求出函數(shù)y=lna?優(yōu)與函數(shù)>=夕相切時。的值，結(jié)合圖

象即可得出答案.

【解析】f'（x）=21na-a'—2ex,

因為為,尤2分別是函數(shù)/（尤）=2ax-ex2的極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn)，

所以函數(shù)/'（x）在和（%2，+°°）上遞減，在（%，9）上遞增，

+00

所以當(dāng)XC(YO,X1)5W，)時，r(x)＜。，當(dāng)％?石,兀2)時，r(x)＞。,

若〃〉］時,

當(dāng)x<0時，21n〃?[*>0,2ex<0,

則此時/'(%)＞0,與前面矛盾，

故a＞1不符合題意(如下圖左立知)

設(shè)函數(shù)y=lna?優(yōu)與函數(shù)>=ex的圖象的切點(diǎn)為（毛,%）,

In2a?/=e①

則、

x

Ina-a°=ex0②

①?1

內(nèi)得lna=—即x（）lna=l,a^=e

代入①得In2a=1，解得a=e(不合題意，舍去)，或a=，

e

此時，當(dāng)。增大時，函數(shù)y=lna?優(yōu)與函數(shù)y=ex的圖象有兩個不同的交點(diǎn)(如上圖右)，

又0<a<l,所以

e

綜上所述，4的范圍為

例2已知/(x)=(x-l)2+alnx在］;,+00)上恰有兩個極值點(diǎn)X］,%，且占＜%,則

3上的取值范圍為（）

X2

A.卜3,；—ln21B.—

C.f-oo,^--ln2jD,f^--In2,-1-ln2

【答案】D

【分析】由題意得導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間有兩個零點(diǎn),根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)可得3＜。＜!，

U）82

%+9=113/（x）

由根與系數(shù)的關(guān)系可得1a以及一＜.＜一,求出口12的表達(dá)式，將占用超表

-=-24x2

示，表示為關(guān)于馬的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系即可求出結(jié)果.

【解析】由題意得/'（力=2%-2+q="凸士@（x〉0）,

令r（X）=O,得2/_2苫+4=0,

由題意知2/—2x+a=0在上有兩個根匹，々，

tz＞0,

f17131

⑷482

△=4—8?！?

%+/=1

由求根公式得菁2=8。=1士;2a,

由根與系數(shù)的關(guān)系得《a

\X2=~

1+J1—2。,...U.」＜/＜工

2822-4

則上hl」%—1）+4如石=石+2石々如石=々+2（1_々）如（1_々）

=x?-]+2(1-%2)ln(l-/j+l3＜々＜力,

人ii

令。=1一%2，貝nr!!-</<一.

42

11

設(shè)g(%)=—t+2/In/+1—<t<—，則g'⑺=l+21n，,

42

易知g’⑺在d

上單調(diào)遞增,

Ag,(r)=l+21nr<l-21n2=ln1<0,

,當(dāng)（＜/＜;時，函數(shù)g（'）為減函數(shù)，

1113n/\1111,

<---l-2x—In—+1=——In2,且g⑺〉----l-2xln—In—+1=——In2,

4444v72222

故選：D.

點(diǎn)評：

1.根據(jù)極值點(diǎn)的概念，結(jié)合根據(jù)系數(shù)的關(guān)系和二次函數(shù)的性質(zhì)得到參數(shù)”的取值范圍，

以及占與馬之間的關(guān)系；

2.將題意轉(zhuǎn)化為關(guān)于％的函數(shù)，構(gòu)造出/=利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性.

例3已知玉，%是函數(shù)/（%）=彳2+相歷，機(jī)eR的兩個極值點(diǎn)，若不＜々，則*”）

的取值范圍為.

【答案】（-&Tn2,o]

mf（1

【分析】先由題得所以菁+尤2=1，%-々=一，化簡得±3=（1一再）+2%比玉一「，

2%21—

再構(gòu)造函數(shù)g（x）=（1-X）+2xlnX]-—匚（0＜x＜3,利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的值域即得解.

1-x2

2

\cmA2x-2x+m

【解析】7(%)=2%+——2=----------------(XG(0,+O)))

XX

丁玉，%是函數(shù)/(%)=%2+minx-2x的兩個極值點(diǎn)

項、％是2好-2x+m-G兩個根，

由韋達(dá)定理得萬+%2=1，%%2=晟，且A=4—8機(jī)>。

故加<g,m-2%%-2/0—%)

22

/(%1)_x,+m]nx1-2xi_-I)+2^X2^^-1

所以---------------------------------------------

/X?X?

~(11%)+2X]InXj---------

\-xx

令g(x)=(l-x)+2xlnx———(0<x<—),

1x2

貝!Jg'(%)=-l+21nx+2-----------=ln(ex2)----------

(x-1)2(x-1)27

由%〈工

0<=^>0<<—<1,/.ln(^x2)<0,

24

所以g'(x)<0,.-.g(x)在(0,-)單調(diào)遞減，

2

1113

又當(dāng)xf0時，xlnx-O,g(—)=—+ln—2=------In2,

2222

所以函數(shù)g(x)的值域為1—^—1112,0)

即的取值范圍為[-5—In2,0).

點(diǎn)評：解決以極值為背景的范圍問題，關(guān)鍵點(diǎn)有二，一是減元，二是構(gòu)造函數(shù)，最終轉(zhuǎn)化為

區(qū)間上的最值問題.

例4已知函數(shù)/（尤）=以+,+（〃—1）111元（々￡外的最小值為2,則實(shí)數(shù)Q的值是

【答案】Q=1或a=e

1〃一1(A：+l)(at-l)

【解析】Vf\x)=a--+——

xx

當(dāng)aWO時，r（X）＜0,，/（X）是（0,+8）上的減函數(shù),

函數(shù)/（X）無最小值，舍去;

當(dāng)a>0時，由/>'(x)>0得，x>~,

a

y（x）在（0,工）上單調(diào)遞減，在（,，+8）上單調(diào)遞增,

aa

函數(shù)/（X）的最小值為/（-）=l+?+（l-?）lna,

a

由l+〃+（l-〃）ln〃=2,得（〃一1）（1一In〃）=0,

解得a=1或a=e.

【鞏固訓(xùn)練】

1.設(shè)函數(shù)/（x）=ax+L+lnx有兩個極值，實(shí)數(shù)。的取值范圍是.

2.若函數(shù)/00=,辦2_，+1在x=%和％=/兩處取得極值，且迤22,則實(shí)數(shù)。的取

2Xj

值范圍是.

3.己知函數(shù)/（x）=ad—2x+lnx有兩個不同的極值點(diǎn)為，/，若不等式丸＞/（%）+

/（%）恒成立，則實(shí)數(shù)力的取值范圍是.

4.已知函數(shù)f（x）=x2-ax+21nx（其中〃為常數(shù)）,設(shè)函數(shù)/（%）有兩個極值點(diǎn)七,/（不＜/），

若/（%）＞嘩恒成立，求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍.

5.已知函數(shù)段）=lnx+coHbH其中a,6為常數(shù)且。=0）在x=l處取得極值，若黃尤）在（0,

e］上的最大值為1,則。的值為.

x1

6.設(shè)函數(shù)/（%）=e—+“歷x-2%—-）恰有兩個極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)/的取值范圍是（）

XX

A.停｝U（l,+8）B.申UL+8）c.性汕［1,+8）D.口,+8）

7.（2022?全國乙卷」7改編）已知％和%分別是函數(shù)/（冗）=2優(yōu)一ed（〃>0且

QW1）的極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn).若玉<%2，則〃的取值范圍是.

【答案或提示】

1.【答案】（—，0）

4

?皿7..「,/、11ax2+x-1

【角牛析1?f（x）=〃--H—=----------,

XXX

a<0

11

若函數(shù)/（%）有兩個極值，則4——>0,解得——<〃<0,

2a4

1+4〃〉0

故〃的取值范圍是（-工，0）.

4

2

2.【答案】［■；——,+8）

m2

【解析】?.?函數(shù)/（刈=；以2—，+1在X=X］和％=%兩處取得極值，且個22

，方程/'（%）=。%-/=0有兩個根％=%和%=%2，且工

石

考慮函數(shù)y=?和y=/的圖象，利用導(dǎo)數(shù)，不難得到a〉e時，方程f'（x）=ax-ex=0

有兩個根

ax-eXx=0eXleX1

進(jìn)一步的，由《x—sa————

X2

ax2-e=0為冗2

構(gòu)造函數(shù)R(x)=J,可知/(X)在區(qū)間(0,1］上減，在區(qū)間［1,+00)上增，且

X

x2>l>x1>Q

X22%jx1

即解之得0<』Wln2

x22%i再2%

??.L里=3,故a上之2

再In2In2石In2

綜上得：實(shí)數(shù)a的取值范圍是—

In2)

3.【答案】［—3,+oo)

■Ev?,八12ax2-2x+1

【解析】f(zx)x=2ax-2+—=-----------------

XX

不難得出：OVQ<1,Xj+x=—>0,xx=—>0

2ar22a

/(%1)+/(%)=---ln2a-l(下略).

2a

4.【答案】(-a),-3］

【解析】f\x)=2/9+2(X>0),

X

若/(%)有兩個極值點(diǎn)不，％2,則不，％2是方程212-改+2=。的兩個不等正實(shí)根,

易知。>4.則％1+%2=W>2,玉%2=1，故。<玉

要使/(%)>〃加恒成立，只需加恒成立.

x2

因為四2=.-啊+21哼=x；-2x；12+21哼=十項，

x2x2

石

令h(t)=-t3-2t+2t\nt(0<^<1),則hr(t)=一3產(chǎn)+21n5,

當(dāng)Ovtvl時，W)<0,為⑺為減函數(shù),所以用⑺>"(1)=一3.

由題意，要使/(%,)>如；2恒成立，只需滿足mW-3.

所以實(shí)數(shù)m的取值范圍(-00,-3］.

5.【答案】或。=—2

e-2

【解析】因為所以/(x)的定義域為(0,+°°),f'(x)=~+2ax+b9

因為函數(shù)“x)=lnx+a^+bx在x=1處取得極值，

所以/(1)=1+2〃+。=0,b=~2a~\

2加一2〃+1%+12ax-lx-1

f(x)=---------------=---------(x>0),

令/(X)=O，得制=1,X2=*,

因為y(x)在x=i處取得極值，所以尤2=方須=1.

①當(dāng)。<0,即￡<0時，八勸在(0』)上單調(diào)遞增，在(1,e］上單調(diào)遞減，

所以1x)在區(qū)間(0,e］上的最大值為式1),令11)=1,解得。=—2.

②當(dāng)°>0,即X2=^>0時，

若亡<1,危)在(0,/［1，e］上單調(diào)遞增，在氐，1)上單調(diào)遞減，所以最大值可能

在x=4或x=e處取得，而也)=1弓+七)2_3+1%=心-表-1<0,

令7(e)=lne+ae?—(2a+l)e=l,解得

若於)在區(qū)間(0,1),七，e上單調(diào)遞增，在［1,為上單調(diào)遞減，

所以最大值可能在x=l或x=e處取得，

而/U)=lnl+a—(2a+l)<0,

令/(e)=lne+ae2—(