遼寧省沈陽(yáng)市協(xié)作體2024-2025學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題（含答案）

2024—2025學(xué)年度上學(xué)期期中協(xié)作體學(xué)情調(diào)研九年級(jí)數(shù)學(xué)學(xué)科（本試卷共23道題滿分120分考試時(shí)間120分鐘）考生注意：所有試題必須在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，在本試卷上作答無效第一部分選擇題（共30分）一、選擇題：（本題共10小題，每題3分，共30分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的）1．下列方程中屬于一元二次方程的是（）A． B． C． D．2．已知一元二次方程的一個(gè)根為m，則的值是（）A．2020 B．2021 C．2023 D．20253．在中，，，，那么的值為（）A． B．2 C． D．4．在數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師要求同學(xué)們判斷一個(gè)四邊形的門框是否為矩形，下面是某合作學(xué)習(xí)小組的四位同學(xué)擬定的方案，其中正確的是（）A．測(cè)量其中三個(gè)角是否都為直角 B．測(cè)量對(duì)角線是否相等C．測(cè)量?jī)山M對(duì)邊是否分別相等 D．測(cè)量對(duì)角線是否相互平分5．一元二次方程的根的情況是（）A．沒有實(shí)數(shù)根 B．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根C．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 D．只有一個(gè)實(shí)數(shù)根6．如圖所示的兩個(gè)四邊形相似，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）第6題圖A． B． C． D．7．如圖，和是以點(diǎn)P為位似中心的位似圖形，若，的周長(zhǎng)為6，則的周長(zhǎng)是（）第7題圖A．8 B．12 C．18 D．248．如圖，在中，，，，則BC的長(zhǎng)是（）第8題圖A． B．9 C． D．9．凸透鏡成像的原理如圖所示，，若縮小的實(shí)像是物體的，則物體到焦點(diǎn)的距離與焦點(diǎn)到凸透鏡的中心線GH的距離之比為（焦點(diǎn)和關(guān)于點(diǎn)O對(duì)稱）（）第9題圖A． B． C． D．10．如圖，已知，，是三個(gè)全等的等腰三角形，底邊BC，CE，EG在同一直線上，且，，連接BF，分別交AC，DC，DE與點(diǎn)P，Q，R．有下列結(jié)論①；②；③；④EF平分∠BFG。其中正確的有（）第10題圖A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)第二部分非選擇題（共90分）二、填空題：（本題共5小題，每題3分，共15分）11．若，且，則______．12．如圖，某校為生物興趣小組規(guī)劃一塊長(zhǎng)15m，寬12m的矩形試驗(yàn)田、現(xiàn)需在試驗(yàn)田中修建同樣寬的兩條互相垂直的小路（兩條小路各與矩形的一條邊平行），根據(jù)學(xué)校規(guī)劃，小路分成的四塊小試驗(yàn)田的總面積為．求小路的寬為多少米?若設(shè)小路的寬為xm，根據(jù)題意所列的方程是______．第12題圖13．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)在第二象限內(nèi)、若OP與x軸負(fù)半軸的夾角的正切值為，則m的值為______．第13題圖14．如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，點(diǎn)F在線段CE上，且四邊形BFED為菱形，則CF的長(zhǎng)為______．第14題圖15．如圖，矩形ABCD中，，，的直角頂點(diǎn)P在BA的延長(zhǎng)線上且，E在邊BC上，，EF與邊AD交于點(diǎn)M，若，則線段FD的長(zhǎng)為______．第15題圖三、解答題（本題共8小題，共75分，解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或推理過程）16．解方程（每題5分，共10分）（1）； （2）．17．（本小題8分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，．（1）畫出將向左平移2個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位后得到的；（2）以原點(diǎn)O為位似中心，在y軸的右側(cè)畫出的一個(gè)位似，使它與的相似比為2:1；（3）判斷和是否是位似圖形（直接寫結(jié)果），若是，請(qǐng)?jiān)趫D中標(biāo)出位似中心點(diǎn)M，并寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)．18．（本小題8分）如圖1是一款多功能可調(diào)節(jié)的桌面手機(jī)、平板支架．點(diǎn)A、B、C處均可旋轉(zhuǎn)180°，CD處可擺放平板或者手機(jī)，其中，，．研究表明，當(dāng)手機(jī)（CD）與桌面的夾角為55°時(shí)，更符合人體工學(xué)設(shè)計(jì)，出是多數(shù)人操作手機(jī)最舒適的角度．（1）如圖2，當(dāng)AB和桌面垂直且時(shí)，可將BC繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)一定的角度，就能達(dá)到最舒適的觀影狀態(tài)，求此時(shí)∠CBA的度數(shù)；（2）在（1）的條件下求點(diǎn)D到AB的距離（結(jié)果保留整數(shù)），（參考數(shù)據(jù)，，，．）19．（本小題8分）如圖，在中，于點(diǎn)E，延長(zhǎng)BC至點(diǎn)F，使，連接DF，AF與DE交于點(diǎn)O．（1）求證：四邊形AEFD為矩形；（2）若，，，求DF的長(zhǎng)．第19題圖20．（本小題8分）某商場(chǎng)將進(jìn)貨價(jià)為30元的水杯以40元售出，1月份銷售400個(gè)，2月份和3月份這種水杯銷售量持續(xù)增加，在售價(jià)不變的基礎(chǔ)上，3月份的銷售量達(dá)到576個(gè)，設(shè)2月份和3月份兩個(gè)月的銷售量月平均增長(zhǎng)率不變．（1）求2月份和3月份兩個(gè)月的銷售量月平均增長(zhǎng)率；（2）從4月份起，在3月份銷售量的基礎(chǔ)上、商場(chǎng)決定降價(jià)促銷，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，售價(jià)在35元至40元范圍內(nèi)，這種水杯的售價(jià)每降價(jià)0.5元、其銷售量增加8個(gè)．若商場(chǎng)要想使4月份銷售這種水杯獲利4864元，則這種水杯售價(jià)應(yīng)定為多少元?21．（本小題9分）一數(shù)學(xué)興趣小組為了測(cè)量校園內(nèi)燈柱AB的高度，設(shè)計(jì)了以下方案：在點(diǎn)C處放一面平面鏡，從點(diǎn)C處后退到1m點(diǎn)D處，恰好在平面鏡中看到燈柱的頂部A點(diǎn)的像；再將平面鏡向后移動(dòng)4m放在F處（即），從點(diǎn)F處向后退1.5m到點(diǎn)H處，恰好再次在平面鏡中看到燈柱的頂部A點(diǎn)的像，測(cè)得眼睛距地面的高度ED，GH均為1.5m，已知點(diǎn)B，C，D、F，H在同一水平線上，且，，，求燈柱AB的高度．（平面鏡的大小忽略不計(jì)）第21題圖22．（本小題12分）問題背景數(shù)學(xué)小組發(fā)現(xiàn)國(guó)旗上五角星的五個(gè)角都是頂角為的等腰三角形，對(duì)此三角形產(chǎn)生了極大興趣并展開探究．探究發(fā)現(xiàn)，如圖1，在中，，（1）操作發(fā)現(xiàn)：將折疊，使BC邊落在BA邊上，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)E，折痕交AC于點(diǎn)D，連接DE，DB，則______°，設(shè)，，那么______（用含x的式子表示）；（2）進(jìn)一步探究發(fā)現(xiàn)：這個(gè)比值被稱為黃金比，在（1）的條件下試證明；拓展應(yīng)用當(dāng)?shù)妊切蔚牡着c腰的比等于黃金比時(shí)，這個(gè)三角形叫黃金三角形，例如，圖1中的是黃金三角形．如圖2，在菱形ABCD中，，．求這個(gè)菱形較長(zhǎng)對(duì)角線的長(zhǎng)．23．（本小題12分）（1）問題探究：如圖1，在中，，，于D，P，Q分別是線段AB，AC上的動(dòng)點(diǎn)，且，求PQ的最小值．23題圖123題圖223題圖3小慧的做法：如圖2，過點(diǎn)P作交AD所在直線于點(diǎn)H，可證，四邊形CQPH是平行四邊形，則，求PQ的最小值即為求CH的最小值．小明的做法：如圖3，過點(diǎn)P作于點(diǎn)M，于點(diǎn)J，于點(diǎn)N，于點(diǎn)G，可證，，可得為定長(zhǎng)，在中，求PQ的最小值．王老師總結(jié)：兩位同學(xué)都是利用圖形的特點(diǎn)作出恰當(dāng)?shù)妮o助線構(gòu)造出定形或找到定關(guān)系，使離散的線段聚合或產(chǎn)生關(guān)聯(lián)，進(jìn)而使問題發(fā)生轉(zhuǎn)化并得到解決．請(qǐng)你選擇一位同學(xué)的做法，寫出完整的解答過程；（2）類比練習(xí)：如圖4，菱形ABCD中，，對(duì)角線AC和BD交于點(diǎn)O，，R是BC邊上（不與點(diǎn)B和點(diǎn)C重合）的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接RO并延長(zhǎng)交AD于點(diǎn)P，M為AC上一點(diǎn)，Q為AB上一點(diǎn)且，，連接PQ，當(dāng)時(shí)，求出BR的長(zhǎng)；23題圖4（3）拓展提升：如圖5，在中，于D，，，，P，Q分別是線段AB，CB上的動(dòng)點(diǎn)，且，M為BQ的中點(diǎn)，N為PC的中點(diǎn)，連接MN并延長(zhǎng)，交AC邊于點(diǎn)G，，請(qǐng)直接寫出線段CM的長(zhǎng)，23題圖5

2024-2025學(xué)年度上學(xué)期期中協(xié)作體學(xué)情調(diào)研九年級(jí)數(shù)學(xué)學(xué)科評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)一、選擇題：（本題共10小題，每題3分，共30分）1．A2．B3．C4．A5．C6．B7．B8．D9．B10．C二、填空題：（本題共5小題，每題3分，共15分）11．612．13．－614．15．三、解答題（本題共8小題，共75分）16．（1）解：，，，，．（2）解：，．17．（1）圖略，即為所求．（2）如圖2，即為所求．（3）和是位似圖形：理由如下：如圖3，點(diǎn)M即為位似中心，．18．解：（1）過點(diǎn)D作于E，由題意得：，，∵，∴，∴，∴此時(shí)∠CBA的度數(shù)為125°：（2）過點(diǎn)C作于F，過點(diǎn)B作于G．∴，由題意得：，∵，∴，∵，∴，∴，在中，，∴（mm）．在中，，∴（mm），∴（mm），答：點(diǎn)D到AB的距離約為107mm．19．（1）證明：∵，∴，即，在中，，，∴，∴四邊形AEFD是平行四邊形，又∵，∴，∴□AEFD是矩形；（2）∵四邊形AEFD是矩形，∴，，∵，∴，在中，，∴是直角三角形，，∴，，又∵，∴，∴．20．解：（1）該商場(chǎng)2月份和3月份兩個(gè)月的銷售量月平均增長(zhǎng)率為x，由題意，，解得：，（<0，舍去），答：銷售量月平均增長(zhǎng)率為20%；（2）設(shè)商場(chǎng)決定降價(jià)a元，由題意，，解得：（<0，舍去），，，，符合題意，答：這種水杯售價(jià)應(yīng)定價(jià)38元．21．解：由題意，，，，又∵，∴，∴，即，，設(shè)BC的長(zhǎng)為2xm，則AB的長(zhǎng)為3xm，由題意，，，，又∵，，∴，即，解得：，∴，答：燈柱AB的高度為12m．22．（1）72，：（2）證明：由（1）知：，∴，∴，∵，∴，∴，即，解得，∴；拓展應(yīng)用如圖，在AC上截取，連接DE，∵四邊形ABCD是菱形，∴，，，，∴，，∴，∴，∴，∴，∴．23．解：（1）小慧的做法：如圖2，過點(diǎn)P作交AD所在直線于點(diǎn)H，∴∵，，∴，，∴，∴，∵，∴，∴四邊形CQPH是平行四邊形，∴，∴當(dāng)時(shí)，CH最小值為6，∴PQ最小值