成都某中學(xué)2024-2025學(xué)年高三年級(jí)上冊(cè)10月月考數(shù)學(xué)文試題（含答案）

2024-2025學(xué)年度高三上期數(shù)學(xué)10月階段性測(cè)試

（考試時(shí)間：120分鐘；滿分150分）

第I卷（選擇題，共58分）

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.

1.已知集合/=卜卜=，2%-爐},8={y卜=2*+1},貝！]/0臺(tái)=（）

A.（0,1]B.（1,2]C.[1,2]D.[0,2]

2.已知復(fù)數(shù)二滿足z+2』=3+i，則出=（）

z

A.l+2iB.l-2iC.2+iD.2-i

3.已知向量%B滿足口-2語(yǔ)忸-可=2,且忖=1,則（）

1111

A.-B.——C.-D.——

4422

4.如圖為函數(shù)y=f（x）在[-6,6]上的圖象，則/（X）的解析式只可能是（）

2

COSXB./(x)=In^]x+1+xjsinx

2

C.f(^v)=Inivx2+1-xIcosxD./(%)=ln^Jx+1-xjsinx

5.已知〃x）=a+q）cosx為奇函數(shù)，則曲線v=/（x）在點(diǎn)（兀J（兀））處的切線方程為（）

A.x+ny-Ti=0B.x一町+兀=0C.工一>+兀=0D.x+y=0

jrjr

6.在體積為12的三棱錐/-BCD中，ACLAD,BC1BD,平面/CD_L平面BCD,ZACD=-,ZBCD=-,

34

若點(diǎn)48,C,D都在球。的表面上，則球。的表面積為()

A.12KB.16TIC.32兀D.48兀

7.若sin(c+￡)=cos2asin(a-p),貝！Jtan(c+夕)的最大值為()

A."B.—C.—D.—

2424

8.設(shè)a=log2()242023,Z>=log20232022,c=log020240.2023,貝!!()

A.c<a<bB.b<c<aC.b<a<cD.a<b<c

試卷第1頁(yè)，共4頁(yè)

二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.

9.設(shè)等比數(shù)列｛%｝的公比為4,其前"項(xiàng)和為前〃項(xiàng)積為北，并滿足條件：4>1,。2024a2025>1，4二<0,

a2025~1

下列結(jié)論正確的是()

1

A.S2024Vs2025B.02024?2026<C.心024是數(shù)列｛北｝中的最大值D.數(shù)列｛1｝無(wú)最大值

10.一個(gè)不透明的盒子中裝有大小和質(zhì)地都相同的編號(hào)分別為1,2,3,4的4個(gè)小球，從中任意摸出兩個(gè)球.設(shè)

事件4="摸出的兩個(gè)球的編號(hào)之和小于5"，事件4="摸出的兩個(gè)球的編號(hào)都大于2"，事件4="摸出的兩個(gè)球中

有編號(hào)為3的球"，則()

A.事件4與事件4是互斥事件B.事件4與事件4是對(duì)立事件

c.事件4與事件4是相互獨(dú)立事件D.事件4n4與事件4c4是互斥事件

11.已知61n機(jī)=加+凡6〃=/+a,其中加we",則打+e"的取值可以是()

222

A.eB.eC.3eD.4e

第II卷(非選擇題，共92分)

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分，第14題第一個(gè)空3分，第二個(gè)空2分.

12.若sina=-g,貝！Jcos(it-2a)=.

13.設(shè)S,是數(shù)列｛qj的前n項(xiàng)和，點(diǎn)(〃,%)(〃€"*)在直線了=21上，則數(shù)列的前〃項(xiàng)和為.

14.已知點(diǎn)”(2,0),8(1,4),M、N是V軸上的動(dòng)點(diǎn)，且滿足1MM=4,A/MM的外心P在〉軸上的射影為0,則點(diǎn)尸

的軌跡方程為.PQ+PB的最小值為.

四、解答題：本題共5小題，共77分.

15.(13分)設(shè)A/BC的內(nèi)角4B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且(b+a)(sin//3C-sin/R4C)=c(sinNNBC-sinC),

BC,NC邊上的兩條中線NO,5E相交于點(diǎn)P.

⑴求/B/C；

(2)若/。=近，BE=2,cosZDPE=—,求A48C的面積.

試卷第2頁(yè)，共4頁(yè)

16.(15分)如圖，在三棱錐。一4BC中，△ABC是以N3為斜邊的等腰直角三角形，△NRD是邊長(zhǎng)為2的正三

角形，E為4D的中點(diǎn)，下為OC上一點(diǎn)，且平面平面N5D.

(1)求證：4D_L平面5EF；

(2)若平面4BC_L平面ABD,求平面BEF與平面BCD夾角的余弦值.

17.(15分)為研究“眼睛近視是否與長(zhǎng)時(shí)間看電子產(chǎn)品有關(guān)”的問(wèn)題，對(duì)某班同學(xué)的近視情況和看電子產(chǎn)品的時(shí)間

進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，得到如下的列聯(lián)表：

每天看電子產(chǎn)品的時(shí)間

近視情況合計(jì)

超過(guò)一小時(shí)一小時(shí)內(nèi)

近視10人5人15人

不近視10人25人35人

合計(jì)20人30人50人

附表:

a0.10.050.010.0050.001

Xa2.7063.8416.6357.87910.828

n(ad-be)2

(a+b)(c4-d)(a+c)(b+d)

⑴根據(jù)小概率值a=0.05的/獨(dú)立性檢驗(yàn)，判斷眼睛近視是否與長(zhǎng)時(shí)間看電子產(chǎn)品有關(guān)；

⑵在該班近視的同學(xué)中隨機(jī)抽取3人，則至少有兩人每天看電子產(chǎn)品超過(guò)一小時(shí)的概率是多少？

(3)以頻率估計(jì)概率，在該班所在學(xué)校隨機(jī)抽取2人，記其中近視的人數(shù)為X,每天看電子產(chǎn)品超過(guò)一小時(shí)的人數(shù)為

Y,求P(x=y)的值.

試卷第3頁(yè)，共4頁(yè)

18.(17分)已知函數(shù)/(x)=ln(x+l).

(1)求曲線y=/(均在》=3處的切線方程；

(2)討論函數(shù)尸(x)=ax-/(x)(aeR)的單調(diào)性;

(3)設(shè)函數(shù)8(9=(》+1)/(1也+”?證明：存在實(shí)數(shù)機(jī)，使得曲線y=g(無(wú))關(guān)于直線i對(duì)稱.

19.(17分)已知橢圓。的對(duì)稱中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)(6,1)和卜，半)

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;

⑵過(guò)點(diǎn)M(2,0)作不與坐標(biāo)軸平行的直線/交曲線。于A,B兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A,8分別向無(wú)軸作垂線，垂足分別為點(diǎn)

E,直線NE與直線相交于尸點(diǎn).

①求證：點(diǎn)尸在定直線上；

②求AP/2面積的最大值.

試卷第4頁(yè)，共4頁(yè)

2024-2025學(xué)年度高三上期數(shù)學(xué)10月階段性測(cè)試（參考答案）

一、單項(xiàng)選擇題：BAACDDDC

8.【解】由對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)知c=log°.2°24°2023＞log02°2402024=1,

0=log20241<log20242023<log20242024=1,0=log20231<log20232022<log20232023=1,所以c>1,0<a<l,0<<1；

當(dāng)〃>2時(shí)，ln(n+1)>Inn>ln(w-1)>0,

i——12

所以+皿〃+1苧("-1)一"

2

=皿小叩("山(丁)一("］叫一

取”=2023,貝！Jig2022?1g2024-(1g2023)2<0,

lg2022lg2023_lg2022-lg2024-(lg2023)2

所以6-4=log20232022-log20242023=<0>即6<a,綜上，b<a<c.

lg2023lg20241g2023.lg2024

二'多項(xiàng)選擇題：ABCACDCD.

11.【解】令/(尤)=61nx-x,則r(x)=9_i=%三

XX

故當(dāng)xe（O,6）時(shí),f'（x）＞0,/（x）單調(diào)遞增,當(dāng)xe（6,+s）時(shí)，（尤）＜0,/（無(wú)）單調(diào)遞減,

6\nm=m+a,6〃=61ne"=e"+。，二/(4)=/(e"),又不妨設(shè)0(機(jī)<6<e",

解法一:記無(wú)1=嘰尤2=6",設(shè)g(x)=/(12-x)-/(x),xe(O,6),

則g'(x)=-7'(12-x)-/(x)==-1=半鼻<0在(0,6)上恒成立，所以g(x)在(0,6)上單調(diào)遞減,

x-12xxyx-12)

所以g(x)=/(12—x)-/(x)>g(6"0,xe(0,6),則/(12-再)>/(占)=/(%),

又因?yàn)?2-占戶2e(6,+8),且/(x)在(6,+8)上單調(diào)遞減,所以12-玉<%,則占+々>12,所以〃z+e">12.

解法二：由61n,〃=〃z+a,6〃=61ne"=e"+a,兩式相減，可得61nJ=e"-〃?，令J=

mm

mi-/八6ln,〃6/lnZ.”6〃+l)ln/

貝［|61n/=加(，-1),加=-,e=mt=------,..m+e=-----------；

令g?)=(t+l)lnf-2?-l)J>l,貝！jg，?)=hn+Y_2=ln/+：_l,

令了=Inf+；-1”1),貝5=；-5=*>0在(1,+8)上恒成立，所以g'?)在(1,+8)上單調(diào)遞增，

因?yàn)間'(。>g'(l)=0在(1,+8)上恒成立，

所以g⑺在(1,+8)上單調(diào)遞增，貝！Jg(，)>g⑴=0,即("1)3>2,所以加+e"=6('+l)lnf>i2.

試卷第1頁(yè)，共4頁(yè)

e-m

解法三：61n加=加+Q,6〃=61ne"=e〃+a,兩式相減得=6，

Inen-\nm

由對(duì)數(shù)均值不等式卮<戶二><%手，可得加+e">12,

\nx2-In%2

三'填空題：—y2=4xi3

14.【解】設(shè)點(diǎn)M（O,f）,則N（0,?4））根據(jù)點(diǎn)尸是“AW的外心,P（x,52）,

而1PM「=|尸"，則/+4=（》-2），（-2）2,所以》=（￡￡^}_,了=-2

從而得到點(diǎn)尸的軌跡為/=4x,焦點(diǎn)為F（1,O）

由拋物線的定義可知戶尸|=|尸。|+1，

因?yàn)闅w尸|+歸卻2忸尸|=4,|尸可+|尸邳=|尸0|+1+|尸邳24,即|尸0|+忸5性3,當(dāng)點(diǎn)P在線段BF上時(shí)等號(hào)成立.

四、解答題：

15.【解】⑴因?yàn)椋?+a）（sin//2C-sin/8/C）=c（sin//8C-sinC）,所以由正弦定理得=A，

由余弦定理得cosNR4C="+>-4=J.,^0<ZBAC<7i,所以/B4C=工.（6分）

2bc23

（2）因?yàn)镻是BC,AC邊上的兩條中線AD與BE的交點(diǎn)，所以點(diǎn)P是A48C的重心.

又AD=S,BE=2,ZAPB=ZDPE,

所以在中，由余弦定理°2=/82=刃2+總2—2P/?尸8COS//P8

7T

所以c=2,又BE=2,ZBAC=~,所以/E=8E=2,所以b=2/E=4,

所以A/5C的面積為工x4x2xsin烏=26.（13分）

23

16.【解】（1）是邊長(zhǎng)為2的正三角形，E為AD的中點(diǎn)，則5EJ.N。.

且平面8EF_L平面，平面平面40<=平面/8。，

則平面5E尸.（6分）

（2）由于底面A/8C為等腰直角三角形，ANBD是邊長(zhǎng)為2正三角形，

可取AB中點(diǎn)O,連接0D,則。。

且平面N8CJ_平面480,且平面/BCc平面A3。=48,則OD_L平面/8C.

因此OC,CM,。。兩兩垂直，可以建立空間直角坐標(biāo)系。-xyz.

△45。是邊長(zhǎng)為2的正三角形，則可求得高。。=百.

底面A/5C為等腰直角三角形，求得OC=OZ=O8=1.

rx

試卷第2頁(yè)，共4頁(yè)

可以得到關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)/(o,1,o),B(0-1,0),c(1,0,0),q0,0,「)

由第(1)問(wèn)知道平面8斯的法向量可取屈=(0,-1,6b

設(shè)平面BCD的法向量為m=(x,y,z),且就=(1,1,0),函=(-1,0,6),則

rh-BC=0\x+y=0

［冊(cè)函.。，則1+匠=。解得成=(百，-

/_~Tr\\tnAD2v3J21J5T

則cosm叫=廚歷="蘇=—.則平面BEF與平面BCD夾角的余弦值為第.(15分)

17.【解】(1)零假設(shè)〃。為：學(xué)生患近視與長(zhǎng)時(shí)間使用電子產(chǎn)品無(wú)關(guān).

2_50x(10x25-10x5)2

計(jì)算可得,-6.349>3.841弓^，

-15x35x20x3063

根據(jù)小概率值a=0.05的/獨(dú)立性檢驗(yàn)，推斷〃。不成立，即患近視與長(zhǎng)時(shí)間使用電子產(chǎn)品的習(xí)慣有關(guān).(5分)

(2)每天看電子產(chǎn)品超過(guò)一小時(shí)的人數(shù)為匕

貝!］尸修之2)=尸修=2)+尸修=3)=^^臬45x5+120=69

墨墨45591

所以在該班近視的同學(xué)中隨機(jī)抽取3人，則至少有兩人每天看電子產(chǎn)品超過(guò)一小時(shí)的概率是69券.(10分)

(3)依題意，P(X=Y=0)=-x-=-,P(X=y=2)=-x-=—,

2245525

事件X=y=］包含兩種情況：

①其中一人每天看電子產(chǎn)品超過(guò)一小時(shí)且近視，另一人既不近視，每天看電子產(chǎn)品也沒(méi)超過(guò)一小時(shí)；

②其中一人每天看電子產(chǎn)品超過(guò)一小時(shí)且不近視，另一人近視且每天看電子產(chǎn)品沒(méi)超過(guò)一小時(shí)，

■^^P(X=y=l)=C*X-X-+C'X-X—=—,

225251025

所以尸(x=Y)=p(x=y=o)+尸(x=y=i)+尸(x=y=2).(15分)

42525100

18.【解】⑴切點(diǎn)為(3,ln4).因?yàn)?(》)=￡,所以切線的斜率為左=/13)=；,

所以曲線了=/(x)在x=3處的切線方程為》-山4=｝》-3),化簡(jiǎn)得x-4y+81n2-3=0；(5分)

(2)由題意可知尸(x)="-ln(x+l),則F(x)的定義域?yàn)?-1,+8),

l,/\1QX+Q—1/\

F(%)=a-----=--------,xe(-l1,+oo),

X+IX+I

當(dāng)a?0時(shí)，P(x)=a-9<0,則F(x)在(-1,+8)上單調(diào)遞減；

當(dāng)Q〉0時(shí)，令尸=即辦+〃一1=0,解得％=,一1,

a

試卷第3頁(yè)，共4頁(yè)

什i1一。11l，/\ax+a八什I「，/、ax+a八

若—l<x<——二一一I,P(x)=-----------<0；若%>一—1,產(chǎn)(%)=-------->0,

aax+1ax+1

則F(x)在上單調(diào)遞減，在P■-1,+e]上單調(diào)遞增.

kQ」\a)

綜上所述，當(dāng)aVO時(shí)，F(xiàn)（x）在（-1,+。）上單調(diào)遞減;

當(dāng)Q〉0時(shí)，F(xiàn)（x）在（一1」一1

上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；（11分）

\a

函數(shù)g(x)=(x+l)ln[l+J

（3）證明:-ln12+-

函數(shù)g（x）的定義域?yàn)椋?8,T）“0,+8）.若存在俏，使得曲線y=g（x）關(guān)于直線x="，對(duì)稱,

則（-8,T）口（0,+℃＞）關(guān)于直線x=m對(duì)稱，所以加=-；

1

由g（-l一無(wú)）=（—Mln[1+—Vlnf2I]

.x.2x+l,x+1,2x+l(、x.x+1.x+1.2x+l(、x.x+112x+l(、

=-xln--------In--------=xm---------In--------=(1+1)In---------In---------In--------=(1+xHn---------In--------=g(x).

x+1x+1xx+1xxx+1xx

可知曲線y=g(x)關(guān)于直線x=-g對(duì)稱.(17分)

19.【解】（1）設(shè)橢圓。的方程為加工2+孫2=1（加＞0〃＞0,加R”），代入已知點(diǎn)的坐標(biāo),

3冽+幾=1m=—22

得：L2,,解得:,所以橢圓